Nous tenons à remercier chaleureusement Philippe Geluck pour ses magnifiques illustrations.

Nous remercions également vivement Jérémie L’Hostis pour la réalisation de la mise en pages de l’ouvrage, et Louise Cosson pour le soin qu’elle a accordé à la finalisation du projet.

© Guy Trédaniel éditeur, 2017.

Tous droits de traduction, reproduction ou adaptation réservés pour tous pays.

ISBN : 978-2-81321-595-6

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Sommaire

Introduction

Mathématiques

Table des matières

INTRODUCTION

La science. Ses incroyables surprises. Ses éblouissantes merveilles. Ses fascinants mystères. La science pour découvrir. Pour s’amuser. Mais aussi pour rêver. La science pour tous !

Voulez-vous savoir pourquoi vous allez peut-être vivre centenaire ? Découvrir le visage d’un jeune champion du monde cycliste de 105 ans ? Deviner à coup sûr un nombre auquel pense quelqu’un ? Être abasourdi en apprenant que votre corps contient des milliards de kilomètres d’ADN ? Faire la connaissance de cet homme-phénomène qui connaissait par cœur mot à mot les 12 000 livres de sa bibliothèque ? Mais aussi comprendre ce que vient faire la vitesse de la lumière dans la plus célèbre formule du monde E = mc² ? Maîtriser certains pouvoirs inexplorés de votre cerveau ? Accéder en une minute au plus profond mystère de la science, celui de l’origine de l’Univers ?

Et 1 000 autres prodiges, 1 000 autres énigmes à couper le souffle en mathématiques, en physique, en cosmologie, en biologie, en sciences de la nature et de l’environnement.

Ce livre est fait pour vous. Pour vous qui voulez savoir un peu de tout sur tout. Vous qui voulez connaître ce qu’il y a d’essentiel et de durable dans la science d’hier. Mais aussi de renversant dans la science d’aujourd’hui et de demain : nous serons vos guides tout au long de ce voyage inoubliable au pays des merveilles. Au fond de l’inconnu. Au bout de chaque page, où vous attendent des réponses fascinantes.

Prêt ? Un nouveau départ vous attend dans quelques minutes…

Deviner un nombre

Nous allons commencer notre promenade au fascinant pays des mathématiques par un exploit saisissant, que vous allez accomplir ! Choisissez quelqu’un autour de vous et dites-lui de penser à un nombre, n’importe lequel. Demandez-lui de multiplier ce nombre par 2. Puis d’ajouter 6 et de diviser le tout par 2. Enfin, faites-lui retrancher du résultat obtenu le nombre choisi au début.

Et soudain, c’est le miracle ! Voilà que vous énoncez sans hésiter le nombre final. Comme si vous lisiez dans les pensées de votre interlocuteur. Il s’agit du nombre 3. Pourquoi 3 ? Parce que le résultat final ne peut pas être autre chose que 3. Comment est-ce possible ? Par quel prodige, quel que soit le nombre choisi au départ, retombe-t-on inéluctablement sur le nombre 3 ?

Et voici qu’avec la réponse, nous venons de toucher du bout du pied le mystère mathématique. Plus exactement, celui des nombres. Que découvrons-nous ? Que le résultat – ici l’inconnue x – est totalement indépendant des opérations que nous venons d’effectuer. Autrement dit, le petit calcul qui précède élimine tout simplement x. La même procédure vous permettra de deviner n’importe quel nombre choisi par quelqu’un. Demandez-lui de prendre le double de ce nombre, d’ajouter 3 et de multiplier le tout par 5. Il vous suffit alors de soustraire 15 et de diviser le résultat par 10 pour trouver en un clin d'œil le nombre auquel a pensé votre interlocuteur.

Mais comme vous allez le voir au chapitre suivant, vous pouvez faire encore mieux…

Deviner trois nombres

Vous voilà prêt pour un nouvel exploit : découvrir trois nombres différents pensés par trois personnes différentes.

Première étape, proposez aux trois personnes choisies de penser chacune à un chiffre entre 1 et 10. Vous demandez alors à votre premier interlocuteur de multiplier son chiffre par 2, d’ajouter 3 et de multiplier le tout par 5 avant de communiquer le résultat à son voisin. Votre deuxième candidat devra alors ajouter au nombre obtenu son chiffre à lui, multiplier le tout par 10 et chuchoter à la troisième personne le produit de son calcul. Enfin, le troisième ajoute au résultat le chiffre auquel il a pensé et énonce le total. L’instant d’après, vous révélez dans l’ordre le chiffre auquel a pensé la première personne, celui de la seconde et enfin de la troisième.

L’effet est saisissant. Or, il repose sur un calcul mathématique. En effet, il vous suffit de retrancher le nombre 150 du résultat que l’on vous a communiqué. Vous obtenez alors un nouveau nombre de trois chiffres, par exemple 257.

À partir de là, le premier chiffre (le 2 dans notre exemple) correspond au chiffre auquel a pensé la première personne. De même, le choix de la deuxième personne vous est donné par le deuxième chiffre (ici le 5) tandis que le troisième (en fait le 7) correspond au choix du troisième candidat.

Mais tout cela n’est qu’un début. Comme vous allez le voir au chapitre suivant, les nombres ont bien plus d’un tour dans leur sac…

Ces tours que nous jouent les nombres

Voici à présent deux bizarreries numériques que les mathématiciens peuvent expliquer, mais devant lesquelles ils se frottent les yeux. À votre tour d’être saisi par ce que vous allez découvrir.

Commençons simplement par la somme des nombres impairs :

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

Incroyable ! La somme des nombres impairs consécutifs est tout bonnement égale au carré des nombres entiers, jusqu’à l’infini ! Par quel prodige est-ce possible ? Mais il y a encore plus inattendu ! Regardez bien les étranges additions qui suivent :

1 + 2 = 3

4 + 5 + 6 = 7 + 8

9 +10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24

Non seulement les deux membres de ces étonnantes additions sont égaux, mais ils sont composés de nombres entiers qui se suivent en ordre croissant. Mieux encore : chaque ligne débute par les carrés successifs de tous les nombres entiers, de 1 à l’infini ! De quoi nous préparer à rencontrer le nombre diabolique qui va suivre…

Le diabolique nombre 666

530 avant J.-C. Un jour, en réfléchissant au fameux théorème qui porte son nom, Pythagore tombe sur une étrange relation :

3³ + 4³ + 5³ = 6³ = 6 × 6 × 6

Perplexe, il va plus loin et découvre cette égalité qui le cloue de stupeur :

(6 × 6 × 6) + (6 × 6 × 6) + (6 × 6 × 6) + (6 + 6 + 6) = 666

Depuis, la légende de 666 n’a cessé de s’amplifier. Ainsi, la somme de tous les nombres de 1 à 6 x 6 soit 1 + 2 + 3 + … + 35 + 36 donne 666. Plus fort encore, la somme des cubes de 1 à 36 est égale à 666 × 666. Mais observez aussi que la somme des carrés de tous les nombres premiers jusqu’à 17 donne 666 :

2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17² = 666. Tout aussi étonnant, 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 123 + 456 + 78 + 9 = 666.

Mais il y a plus encore. La somme des 144 premières décimales de π est 666 et celle des 146 premières décimales du nombre d’or est également 666. Est-ce tout ? Loin de là. Vers 1750, l’étincelant Euler a découvert la célèbre fonction Φ indicatrice des nombres premiers qui porte son nom. Or, étonnamment, Φ (666) = 6 x 6 x 6.

Et pour finir, voici le nombre premier le plus étrange de tous :

1000000000000066600000000000001

avec 1 suivi de 13 zéros, 666 au milieu et 13 zéros de plus avant un autre 1 à la fin. De quoi donner un avant-goût de la magie des nombres.

Surprenant ? Pas autant que le calcul qui va suivre.

Combien vaut 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1… ?

Nous voici en janvier 1703 à Rome, au monastère Saint-Grégoire-le-Grand. Blotti au fond de sa cellule, un jeune prêtre du nom de Guido Grandi a du mal à repousser le vent qui fait vaciller la flamme de sa chandelle. Mais peu importe le froid. Le père Guido Grandi – qui est également mathématicien – a de quoi se réchauffer avec cette question : que vaut la somme 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 … jusqu’à l’infini ?

Si l’on pose (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + … alors on obtient : (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0

Pourtant, en plaçant les parenthèses différemment, l’on débouche sur un résultat tout autre :

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1

0 et 1 en même temps ! Le père Grandi en a immédiatement déduit que l’Univers a été créé à partir de rien. Mais revenons aux mathématiques. Quel est le bon résultat ?

Pour tenter de répondre, appelons S la somme en question et posons :

S = 1 – 1 + 1 – 1 + …, donc :

1 – S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + …) = 1 – 1 + 1 – 1 + … = S

D’où 2S = 1 et, par conséquent, S = (ce qui, au passage, correspond à la moyenne arithmétique de 0 et de 1). Pour étonnant qu’il soit, ce résultat est aujourd’hui admis par la communauté des mathématiciens. Mais comme vous allez le voir, la suite de Grandi n’est que le prélude à un phénomène numérique encore bien plus incroyable…

L’incroyable addition

Combien vaut 1 + 2 + 3 + 4 + 5… jusqu’à l’infini ? Vous vous dites sans doute qu’on obtient forcément quelque chose qui grandit jusqu’à l’infini.

Mais est-ce sûr ? Pour en savoir plus, appelons notre addition C :

C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 … D’où (pour une somme infinie) : 4C =  4  + 8  + 12 + …

Nous avons placé ici les termes de 4C selon la technique de Ramanujan (voir ci-contre). À présent, soustrayons C de 4C :

4C – C = 3C = – 1 + 2 – 3 + 4 – …

Et pour obtenir la célèbre série alternée des entiers, il suffit de réécrire :

–3C = 1 – 2 + 3 – 4 + …

Or, Euler a montré en 1750 que 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … = 

D’où -3C = , ce qui débouche sur l’étonnante conclusion : 4

C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … = 

Cela vous paraît bien sûr absurde. Lorsqu’en 1913, le grand

Ramanujan (que nous vous présentons plus loin) propose ce résultat

au mathématicien Godfrey Hardy, il prend soin d’écrire : « Si je vous dis

cela, vous me direz tout de suite que je suis bon pour l’asile de fous. »

Et pourtant…Le physicien Hendrik Casimir a montré que deux plaques parallèles dans le vide s’attirent. Or, pour calculer cette force,

Casimir a utilisé l’égalité 1 + 2 + 3 + 4 + … = . Allez-vous le croire ? En 1997, cette force a été mesurée et correspond à … !

Nous verrons plus loin le sens de cette surprenante addition généralisée. En attendant, nous allons rencontrer quelqu’un qui va nous émerveiller.

Dans la tête d’un génie

Un petit saut dans le temps et nous atterrissons au xviiie siècle en Suisse. Nous allons y rencontrer l’un de nos grands héros, le Mozart des mathématiques. Son nom ? Leonhard Euler !

Un nom aujourd’hui mythique. En 1725 il a 18 ans, et le voilà déjà étudiant à l’université de Bâle. Sa mémoire est phénoménale. Il lui suffit d’un coup d’œil sur une page pour la retenir mot à mot. Abasourdi, le grand mathématicien Johann Bernoulli le prend sous son aile et, très vite, Leonhard devient un as.

À 20 ans, en plus de l’anglais, de l’allemand et du latin, histoire de ne pas rester sur sa faim, le jeune prodige a avalé d’un trait le grec et l’hébreu, qu’il parle couramment. Et, entre deux calculs, il s’offre un petit cadeau en apprenant par cœur l’Énéide de Virgile, qu’il déclame en entier sans une faute à qui veut l’entendre.

Puis les choses sérieuses commencent. Dans la grâce de ses 20 ans, Euler trouve la valeur du nombre e, l’une des grandes constantes de l’Univers avec π, à la base de ce qu’on appelle le calcul exponentiel. Nous y reviendrons en détail.

Mais le plus époustouflant nous attend plus loin, dans les grandes profondeurs de ces suites infinies de nombres dont il s’est rendu maître et qui vont nous entraîner vers le mystère ultime.

Un mystère que va explorer à son tour l’étrange personnage qui suit.

Le mystère Ramanujan

Nous voici à présent au xxe siècle face à l’un des mathématiciens les plus étranges qui ait jamais existé : Srinivasa Ramanujan.

Comme Euler, lui aussi est un pur génie. Sans avoir jamais appris, il calcule comme il respire. Fantastiquement à l’aise dans le contrôle mental des grands nombres, il ne perd jamais de vue les relations que les êtres numériques entretiennent perpétuellement entre eux.

Par exemple, sa formule de π, restée fameuse – et aujourd’hui encore considérée comme la meilleure de toutes. Elle déroule une série infinie, avec racine de 2 sur 9 801 suivie d’un rapport où l’on a 26 390 sur 396 à la puissance 4k. D’où a-t-il donc sorti tout ça ?

Le mathématicien anglais Godfrey Hardy raconte qu’un jour il a rendu visite à Ramanujan en taxi. Le numéro de la voiture était 1729. « Rien de bien intéressant », laissa tomber Hardy. « Au contraire ! », répondit Ramanujan, « 1 729 est très intéressant ! C’est le plus petit nombre naturel représentable de deux manières différentes comme la somme de deux cubes ! ».

Par quel chemin Ramanujan accédait-il à ces trouvailles affolantes ? Pour toute réponse, il haussait les épaules. Aujourd’hui encore, des milliers de formules dorment au fond de ses carnets et ne sont toujours pas élucidées. Ramanujan reste un cas unique au monde, que personne n’a jamais pu expliquer.

Et tout aussi inexplicable est le cas étrange qui va suivre.