L'idéalisme dans l'infinitésimal

Weyl et l'espace à l'époque de la relativité

Julien Bernard

DOI : 10.4000/books.pupo.3917

Éditeur : Presses universitaires de Paris Nanterre

Année d'édition : 2013

Date de mise en ligne : 29 juillet 2016

Collection : Prix de thèse

ISBN électronique : 9782821851023

http://books.openedition.org

Édition imprimée

ISBN : 9782840161318

Nombre de pages : 342

Référence électronique

BERNARD, Julien. L'idéalisme dans l'infinitésimal : Weyl et l'espace à l'époque de la relativité. Nouvelle édition [en ligne]. Nanterre : Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013 (généré le 18 septembre 2020). Disponible sur Internet : <http://books.openedition.org/pupo/3917>. ISBN : 9782821851023. DOI : https://doi.org/10.4000/books.pupo.3917.

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De 1917 à 1923, Hermann Weyl s'implique prioritairement dans la réflexion sur les fondements de la théorie de la relativité générale et de la géométrie différentielle. Sa pensée sur l'espace est riche de multiples motifs philosophiques dont le texte d'Espace-Temps-Matière nous fournit une admirable synthèse. Comprendre l'unité de la pensée philosophique de Weyl sur l'espace demande de résoudre un conflit entre deux entités aux traits radicalement différents ; il s'agit d'un côté, de l'espace des algébristes, et d'un autre, du champ métrique dynamique, issu des travaux d'Einstein. Comment Weyl peut-il défendre à la fois la position idéaliste d'un espace comme forme de notre intuition, nécessairement homogène, et l'idée einsteinienne d'une métrique hétérogène qui ne peut être fixée a priori, mais doit s'adapter dynamiquement à l'évolution de la distribution de matière dans l'espace ?

Sommaire

Introduction

1. WEYL, ACTEUR D’UNE RÉVOLUTION MAJEURE EN PHILOSOPHIE DE L’ESPACE

2. TENSION ENTRE DEUX ASPECTS DE LA SPATIALITÉ

3. DEUX FAÇONS DE RÉSOUDRE CETTE TENSION : DE L’EXCLUSION DE LA MÉTRIQUE À LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT

4. MÉTHODE ET PLAN DE L’OUVRAGE

Chapitre I. Le contexte intellectuel de la formation de Weyl

1. L’approche des sciences dans l’école de Göttingen

1. 1 ÉLÉMENTS BIOGRAPHIQUES SUR WEYL

1. 2. MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUE À GÖTTINGEN

1. 3. LA « POSTURE RÉALISTE » À GÖTTINGEN

1.4. LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ ET L’ÉCOLE DE GÖTTINGEN

2. Weyl et la philosophie

2. 1. SES SOURCES PHILOSOPHIQUES DE L’ENFANCE À LA PÉRIODE DE ZURICH

2. 2. UN INTÉRÊT POUR LA PHILOSOPHIE INTRINSÈQUE À LA PRATIQUE DE LA SCIENCE

2. 3. L’IDÉALISME ALLEMAND FOURNIT À WEYL DES « HEURISTIQUES »

2. 4. LES ÉLÉMENTS A PRIORI DE LA CONNAISSANCE DANS ESPACE-TEMPS-MATIÈRE

2. 5. NOTRE APPROCHE DE LA PHILOSOPHIE DE WEYL

3. La période 1917-1923 et l’évolution du problème de l’espace

3.1. PARCOURS RAPIDE DES TEXTES DE CETTE PÉRIODE

3. 2. LA CONSTRUCTION DU PROBLÈME DE L’ESPACE AU FIL DES DIFFÉRENTES ÉDITIONS D’D’ESPACE-TEMPS-MATIÈRE

4. Annexe : textes de Weyl sur ses rapports à la philosophie

Chapitre II. L'espace mathématique

1. Délimitation de la notion mathématique d’espace

1.1. LES TROIS NIVEAUX D’ANALYSE : LE MATHÉMATIQUE, LE PHYSIQUE ET LE PHÉNOMÉNAL

1. 2. UN SOLIPSISME SURMONTÉ

1.3. CONTINUUM INTUITIF ET CONTINUUM MATHÉMATIQUE

1. 4. LE PROBLÈME PHILOSOPHIQUE DE L’ESPACE LAISSÉ À L’ÉTAT D’ÉBAUCHE

1.5. LA GÉOMÉTRIE (MATHÉMATIQUE) COMME PRÉMISSE DE LA CONSTRUCTION SCIENTIFIQUE DE L’ESPACE

1. 6. DU CONTINUUM AUX VARIÉTÉS, PLACE DE LA TOPOLOGIE DANS ESPACE-TEMPS-MATIÈRE

1.7. LA STRATIFICATION DES RELATIONS SPATIALES ET LA NOTION DE TRANSFORMATION

2. L’espace mathématique comme forme

2.1. AUTHENTICITÉ DES DIFFÉRENTES CARACTÉRISATIONS DE L’ESPACE DANS ESPACE-TEMPS-MATIÈRE

2.2. LA NOTION DE FORME CHEZ WEYL ET SES OPPOSÉS

2. 3. L’IDÉALITÉ DE L’ESPACE CHEZ WEYL, ET SES RAPPORTS COMPLEXES À KANT

3. L’objectivité géométrique comme abstraction du sujet-coordonnées

3. 1. Le sujet-coordonnées et sa fonction épistémique

3. 2. L’homogénéité de l’espace, de sa définition logique à sa fonction épistémique

3. 3. Transversalité de l’homogénéité et du sujet-coordonnées chez Weyl

3.4. La double interprétation des transformations

3. 5. L’abstraction mathématique

3. 6. Nature des objets géométriques

4. Les éléments idéalistes dans la notion mathématique d’espace

4. 1. CONCLUSION SUR LA FONCTION ÉPISTÉMIQUE DE L’HOMOGÉNÉITÉ

4. 2. UN IDÉALISME DÉCRIT DANS UNE TERMINOLOGIE RENVERSÉE

5. Annexe : comment caractériser la nature spatiale d’une grandeur ?

Chapitre III. La métrique physique 1. L'espace-temps-matière comme problème

1. L’espace-temps-matière comme problème

2. La matière, facteur de détermination de la métrique

2. 1. GÉOMÉTRIE INTRINSÈQUE ET GÉOMÉTRIE PHYSIQUE, DE GAUSS À RIEMANN

2. 2. LʼAPPEL RIEMANNIEN À LA PHYSIQUE

2. 3. PLACE DE LʼEXPÉRIENCE DANS LA DÉTERMINATION DE LA NATURE DE LA MÉTRIQUE

2.4. PLACE DE LʼEXPÉRIENCE DANS LA DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS DE LA MÉTRIQUE

2.5. ESPACE HOMOGÈNE ET MÉTRIQUE HÉTÉROGÈNE, LʼIMPASSE DES GÉOMÉTRIES DE KLEIN

2.6. LʼARGUMENT DE LA BOULE DʼARGILE

3. Exclusion de la métrique hors de la notion d’espace

4. Annexes

Chapitre IV. Rapports entre ces deux aspects de la spatialité : l'idéalisme dans l'infinitésimal

1. L’infinitésimal comme domaine d’influence légitime de la raison pure

1. 1 DÉPLACEMENT DE L’A PRIORI DANS LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT

1. 2. LA DISTINCTION NAHE/FERN COMME FRONTIÈRE ENTRE L’APRIORI ET L’A POSTERIORI DANS LA CONNAISSANCE GÉOMÉTRIQUE

1. 3. LA GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE, UN NOUVEAU CADRE UNIFICATEUR

1. 4. JUSTIFICATION ÉPISTÉMOLOGIQUE DE LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT : LE SUJET PONCTUEL

1. 5. LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT COMME PROGRAMME DE RECHERCHE

2. La reconstruction de la géométrie selon le programme de la géométrie par contact

2. 1. L’ARCHITECTURE MATHÉMATIQUE GÉNÉRALE D’UNE GÉOMÉTRIE PAR CONTACT

2. 2. À MI-CHEMIN DE LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT, CHRISTOFFEL ET LEVI-CIVITA

2. 3. LE RÔLE DE WEYL DANS L’ACHÈVEMENT D’UNE GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE PURE : LA STRATE AFFINE

2. 4. LE RÔLE DE WEYL DANS L’ACHÈVEMENT D’UNE GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE PURE : LES STRATES CONFORMES ET MÉTRIQUES

2. 5. DEVENIR DE LA NOTION D’HOMOGÉNÉITÉ DANS LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT

2. 6. DEVENIR DU PROBLÈME DE L’ESPACE DANS LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT

3. La géométrie par contact, fondement de la physique des champs

3. 1. La géométrie par contact comme corrélat d’une physique par contact

3. 2. Vers un monisme ontologique des champs et une géométrisation de la physique

4. Annexe : comment caractériser la nature spatiale d’une grandeur dans un espace de Weyl ?

Conclusion

Introduction

1. WEYL, ACTEUR D’UNE RÉVOLUTION MAJEURE EN PHILOSOPHIE DE L’ESPACE

En 1916, revenant de son affectation militaire, Hermann Weyl, promis à devenir un des plus grands mathématiciens du xxe siècle, découvre les Fondements de la théorie de la relativité générale d’Albert Einstein. Ce texte déclenche un bouleversement profond dans sa vie intellectuelle. Cela va l’amener à se concentrer principalement de 1916 à 1923 sur les fondements du concept d’espace, dans ses dimensions tant mathématique et physique que philosophique. En effet, Weyl comprend que la nouvelle théorie d’Einstein n’apporte pas seulement une correction aux lois physiques de la gravitation. Elle implique, bien au-delà, un changement radical du concept d’espace. Weyl comprend donc qu’il y a une urgence épistémologique à saisir clairement ce changement conceptuel et à renouveler la réflexion philosophique sur la notion d’espace. C’est le moyen pour donner des bases sûres à la révolution einsteinienne, voire pour poursuivre cette révolution en la radicalisant.

Dans le présent ouvrage, il s’agit d’expliciter, de remettre dans son contexte, et de saisir les enjeux, de ce remarquable travail philosophique qu’a réalisé Weyl sur le concept d’espace pendant la période 1917-1923, en interrelation avec son travail scientifique.

Weyl a été choisi à la fois pour la profondeur de ses travaux scientifiques en mathématiques et en physique ; mais aussi et surtout pour le rapport privilégié qu’il entretient avec la philosophie. Non seulement cet auteur est un connaisseur de la philosophie qui sait tenir à l’occasion le rôle d’historien ou de vulgarisateur de la pensée philosophique. Mais, il se sert en outre de la philosophie à l’intérieur même de son travail scientifique ; héritant de certaines postures philosophiques de la tradition et produisant de nouvelles réflexions philosophiques sur les théories scientifiques en cours de développement. Par un cercle vertueux, ses pensées nouvelles nourrissent à leur tour sa création scientifique.

Les écrits de Weyl sur la notion d’espace sont nombreux pendant cette période. Cependant, la plupart sont des articles spécialisés qui n’abordent qu’un aspect limité de sa réflexion sur l’espace. Il n’y a qu’une seule monographie importante de Weyl qui aborde synthétiquement tous les aspects de sa pensée sur l’espace. Il s’agit de son célèbre texte Espace-Temps-Matière1. Ce sera l’ouvrage clef dont nous nous servirons pour pénétrer dans la pensée du grand mathématicien et penseur allemand.

2. TENSION ENTRE DEUX ASPECTS DE LA SPATIALITÉ

Lorsque nous entrons dans les profondeurs d’Espace-Matière-Temps-Matière et que nous recherchons l’unité de cet ouvrage, nous buttons incessamment sur un conflit interne à la pensée de Weyl. L’unité de l’ouvrage semble en effet fragilisée par un antagonisme entre deux notions d’espace.

Premièrement, on trouve l’espace comme notion mathématique ; la seule pour laquelle Weyl assume pleinement le terme d’espace [Raum]. Il s’agit d’une forme dont la nature est fixée a priori et dont la caractéristique essentielle est son homogénéité. La façon dont Weyl pense cette notion est fortement influencée par la tradition algébrique des géomètres du xixe siècle. Ceux-ci pensaient l’espace à travers son groupe de symétrie, c’est-à-dire à travers le groupe des transformations préservant les structures spatiales. On sait bien que cette tradition culmine avec le fameux programme d’Erlangen qui était encore développé à Göttingen par Felix Klein à l’époque de la formation universitaire de Weyl. Conformément à cette tradition, ce dernier pense la notion mathématique d’espace en étudiant les groupes de transformations qui préservent chacune des strates de relations spatiales, notamment les strates affine et métrique.

Cela aboutit à une pensée unifiée de la notion mathématique d’espace, que Weyl appuie sur une analyse originale de la notion de système de coordonnées et de la place que ce système occupe dans le processus de la mesure. Alors que les relations spatiales sont pensées par l’intermédiaire de structures conceptuelles, le système de coordonnées est pensé a contrario comme un donné intuitif lié à la place singulière qu’occupe le sujet. L’espace n’est pas seulement homogène vis-à-vis de ses points mais plus généralement vis-à-vis des différents systèmes de coordonnées. On comprend alors que son homogénéité occupe une fonction épistémique essentielle. L’homogénéité est en effet la condition de possibilité de l’objectivité de la géométrie, en exprimant une indifférence de la connaissance géométrique à l’égard de l’individualité des sujets qui appréhendent l’espace. Le jeu constant entre, d’une part, les relations géométriques objectives et, d’autre part, leurs différentes représentations numériques subjectives (i. e. dépendant des coordonnées) est essentiel. En effet, ce jeu prépare l’ancrage du schème conceptuel de la géométrie dans la réalité effective, celle auquel, en particulier, le physicien expérimentateur est confronté. Ainsi, ce jeu, fondé sur ce que Weyl appelle « le principe de relativité de la mesure », permet que la notion mathématique d’espace puisse servir de cadre à la mesure physique. Le processus de l’abstraction mathématique est la notion clef qui permet de penser ce jeu, et fait le pont avec les travaux du Continu2, l’autre grand texte de Weyl de cette période sur les fondements des mathématiques. Enfin, la constitution de l’objectivité par abstraction à partir des représentations numériques subjectives, s’étend de l’espace aux grandeurs physiques qui y sont représentées, par la considération de leurs différentes natures spatiales (vecteurs, tenseurs, etc.).

Cette analyse de la notion mathématique d’espace manifeste une forme d’idéalisme dans la pensée géométrique de Weyl. En effet, d’une manière générale, la pensée de Weyl s’inscrit dans le courant général et polymorphe de l’idéalisme allemand, issu de Kant. Ce courant met l’accent sur la place du sujet et de ses facultés de connaissances (la Raison, pris dans un sens large) quant à la détermination du cadre a priori rendant possible le développement des sciences de la nature. Ce que nous avons appelé succinctement « cadre a priori » se décline dans la pensée kantienne sous la forme d’intuitions pures de la sensibilité, et de concepts purs de l’entendement. En quel sens l’analyse de la notion mathématique d’espace que propose Weyl se range-t-elle déjà dans cette mouvance idéaliste ? C’est le cas parce que Weyl insiste sur des principes comme la continuité et l’homogénéité, pensés comme des exigences que la géométrie doit remplir pour satisfaire la Raison dans sa constitution d’une science objective de l’espace. Le niveau mathématique de la notion d’espace ne consiste ainsi pas en un foisonnement désorganisé de constructions de l’esprit entre lesquelles l’expérience seule pourrait ensuite trancher. La Raison y a au contraire un rôle extrêmement contraignant qui délimite a priori la notion de mesure.

Deuxièmement, à cet espace mathématique entièrement fixé conceptuellement et répondant à des exigences rationnelles, on oppose le champ métrique d’Einstein qui est dynamique et en un certain sens hétérogène, du fait de son interaction avec la matière. Il s’agit en quelque sorte ici d’une notion physique d’espace dont la connaissance passe par l’expérience, mais pour laquelle Weyl évite le terme explicite d’« espace » [Raum], sans doute précisément pour marquer la rupture ontologique entre les deux concepts.

Sensible à la composante mathématique de toute théorie physique, Weyl ne conclut pas de cette découverte d’une composante empirique supplémentaire au cœur de la géométrie relativiste, au statut purement empirique de cette discipline. L’a priori n’a pas disparu, il s’est seulement déplacé. En fait, la conception physique de la métrique n’est pas opposée à la conception mathématique de l’espace, au sens où elle viendrait la remplacer. La notion mathématique d’espace est bien plutôt un moment de la construction du concept physique de mesure spatiale. Mais, la relativité générale oblige pourtant à une redistribution, au sein de la notion d’espace, entre ce qui est fixé a priori par la forme mathématique, et ce qui est susceptible de variations contingentes et est l’objet de mesures physiques. À cause de la dépendance manifestée par la relativité générale, entre la courbure de l’espace et son contenu physique (la distribution de la matière exprimée par le tenseur d’énergie-impulsion), il n’est plus question de pouvoir faire se correspondre la délimitation entre l’a priori et l’empirique, avec la distinction entre un espace-contenant et la matière-contenue. C’est du moins le cas tant que l’on suit la pensée commune qui fait de la structure des relations métriques un caractère essentiel de cet espace-contenant. Avec la relativité générale, non seulement les relations métriques entre les corps contenus dans l’espace ne peuvent être évidemment déterminées que de façon empirique, mais il en est de même de la forme métrique de l’espace lui-même. En effet, la courbure affecte non pas uniquement la trajectoire particulière de tel ou tel corps singularisé, mais l’espace même de toutes les trajectoires possibles (les géodésiques de type temps de la théorie d’Einstein). On voit donc comment l’interrogation philosophique, classique depuis Kant, qui consiste à vouloir délimiter l’a priori et l’empirique dans le phénomène de la mesure physique, va se trouver déplacée, chez Weyl, sous la forme d’une recherche de délimitation entre le mathématique et le physique, dans la constitution du nouveau concept relativiste d’espace.

La façon dont ces deux aspects de la spatialité peuvent s’articuler est problématique en raison de leurs propriétés radicalement opposées. D’un côté, nous avons l’espace mathématique comme une forme homogène déterminée a priori par la raison ; de l’autre, la métrique hétérogène de Riemann-Einstein, entité physique dynamique dont les lois d’évolution sont découvertes a posteriori. Aussi voit-on, dans le paragraphe 12 d’Espace-Temps-Matière3, éclater le conflit entre ces deux notions antagonistes. Dans un petit texte où il semble mimer le fameux argument du trou d’Einstein, Weyl interroge le statut du système de coordonnées et l’articulation entre mathématiques et physique. Cela se fait dans le nouveau cadre de la relativité générale ; c’est-à-dire un espace de Riemann où la métrique est influencée, voire déterminée, par la matière. À partir de là, le motif qui dirige Weyl diverge de celui d’Einstein. Ce dernier était en quête d’une théorie qui réponde adéquatement à l’exigence d’une métrique entièrement déterminée par la distribution de la matière (ce qu’on connaît dans la littérature sous le nom de « principe de Mach »). Le problème de Weyl est tout autre. Il s’agit précisément de résoudre le conflit entre une notion d’espace mathématique qu’il considère par essence homogène, et cette métrique dynamique que la dépendance envers la répartition de la matière rend hétérogène. En mettant en avant ce paragraphe d’Espace-Temps-Matière, nous pensons fournir une problématique épistémologique primordiale pour saisir dans son ensemble l’unité du texte et, ce faisant, l’unité de la philosophie de l’espace de Weyl.

3. DEUX FAÇONS DE RÉSOUDRE CETTE TENSION : DE L’EXCLUSION DE LA MÉTRIQUE À LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT

À la suite de ce passage, Weyl propose une première réponse radicale à cette problématique. Pour sauver l’homogénéité de l’espace, il en exclut d’une certaine manière l’aspect métrique. La métrique devient le corrélat du « comportement physique des règles de mesure et des rayons lumineux, en tant qu’ils sont déterminés par le champ gravitationnel4 ». Cette solution, encore très inspirée par Einstein, n’est cependant pas pleinement satisfaisante, dans la mesure où ce schéma épistémologique cède plus qu’il n’est nécessaire à la physique et à l’a posteriori. L’espace en soi, c’est-à-dire la notion mathématique d’espace comme forme homogène, semble ne pouvoir trouver sa place dans ce schéma, qu’en étant débarrassée de toutes ses structures conceptuelles (affines, conformes, métriques.) pour ne garder qu’un caractère topologique et différentiel. L’espace (-temps)5 est alors réduit à la seule notion riemannienne de variété continue (ou différentiable).

Weyl n’en restera pas là. Dès ses travaux de 1918 qui suivent immédiatement la première édition d’Espace-Temps-Matière, il va petit à petit mettre en évidence et développer une solution beaucoup plus acceptable à ce conflit entre le caractère homogène et a priori de l’espace mathématique et le caractère hétérogène et dynamique de la métrique physique de Riemann-Einstein. Weyl, radicalisant un mouvement initié par Riemann, va finalement faire correspondre la frontière entre l’a priori et l’a posteriori, au sein des mesures spatiales, avec la frontière entre les relations infiniment proches et les relations finiment éloignées. Ce que nous traduisons ici par le couple infiniment proche / finiment éloigné est le couple de termes allemands Nahe/Fern difficilement traduisible sans perte de sens6.

L’idée de géométrie par contact [Nahegeometrie], qui va désormais guider tous les travaux de Weyl sur les fondements de la géométrie, consiste alors à penser que seules les relations spatiales infinitésimales, c’est-à-dire celles qui concernent le voisinage infinitésimal d’un point, doivent être fixées a priori. A contrario, la structure des relations à distance finie n’est pas déterminée par l’espace en soi mais possède le même type de statut physique que Weyl semblait donner à la métrique toute entière, sans plus de distinction, dans sa première version de la solution.

En réunissant et réorganisant des réflexions éparses dans le texte de Weyl, nous voyons comment il justifie épistémologiquement le positionnement de cette frontière. Il s’en acquitte par une conception du sujet comme un être incarné dans un corps idéalement ponctuel, et fournissant de ce fait un point de vue essentiellement ponctuel sur le monde. Cette conception est illustrée par l’identification en mathématiques entre le sujet et l’origine du système de coordonnées, et en physique par la modélisation rudimentaire du sujet sous la forme d’un « œil ponctuel ». Ainsi, dans un monde physique où toute interaction est essentiellement localisée et ne se fait que de proche en proche, le sujet n’a accès qu’à son environnement immédiat par l’entremise de son corps. Si, conformément à ce que nous suggère la tradition de l’idéalisme transcendantal, la Raison est une faculté capable d’imposer a priori l’espace comme forme de notre rapport au monde extérieur, cela ne peut être légitime pour Weyl que dans la sphère des relations infiniment proches, seul domaine auquel le sujet soit rattaché immédiatement de par son incarnation dans un corps essentiellement localisé.

Conformément à ce principe fondamental d’une limitation à l’infinitésimal des structures imposées par la Raison, Weyl va se lancer dans un vaste programme de reconstruction des sciences de l’espace, i. e. de la géométrie (mathématique), de la géométrie physique7, et de leurs épistémologies. On peut désigner ce programme par le nom de la notion fondamentale qui le guide : la géométrie par contact, ou géométrie infinitésimale.

Sur le plan mathématique d’abord, Weyl va reconstruire la géométrie pour qu’elle réponde entièrement à cet idéal de géométrie par contact. Partant de la notion de variété continue comme soubassement topologique, la strate des relations affines, puis la strate métrique, vont être déterminées a priori dans la seule sphère infinitésimale. Outre cette structure infinitésimale, on fixe également a priori le mode de connexion d’un espace infinitésimal à ses voisins. Ainsi, Weyl généralise-t-il la notion mathématique de connexion, apparue chez les géomètres continuateurs de la pensée de Riemann. Weyl en fait un concept général traversant méthodiquement, l’une après l’autre, les strates structurelles de la notion d’espace. D’abord, il parvient à construire une notion purement affine de connexion, en débarrassant la notion de connexion de Levi-Civita du présupposé d’une immersion dans un espace de Riemann. Ensuite, il déplace la signification de la forme quadratique gµν (x) qui servait à définir la notion d’espace de Riemann. En effet, en ne s’intéressant à la forme quadratique qu’à une recalibration près par un facteur positif λ(x) (jauge), il lui donne un sens seulement conforme. C’est-à-dire que la forme quadratique ne nous fournit désormais qu’une notion d’angle ou de rapport entre des longueurs infiniment petites prises au même point. Elle ne nous fournit plus une notion absolue de longueur ayant une signification à distance. Enfin, Weyl introduit l’idée de connexion métrique pour pouvoir raccorder les espaces métriques infinitésimaux les uns aux autres et redonner, après coup, une unité à l’espace dans son aspect métrique. Il achève dès 1918 la construction d’une telle géométrie, appelée aujourd’hui « espace de Weyl », qu’il considère comme une géométrie infinitésimale pure et qu’il incorpore à Espace-Temps-Matière à partir de la 3e édition8.

Sur le plan physique ensuite, Weyl montre comment les grandeurs et lois physiques connues jusqu’ici doivent être retranscrites, pour s’adapter à ce nouveau cadre d’une géométrie infinitésimale pure. Dans un premier temps...