Directrice des éditions : Claire de Gramont

Directeur éditorial : Thierry Kremer

Éditrice : Carole Trochu

Édition et coordination des illustrations : Alain Bouteveille

Conception de la maquette et de la couverture : Catherine Lattuca

Réalisation de la couverture : STDI (David Poidvin)

Mise en pages : STDI

Réalisation des illustrations : Ursula Bouteveille, Jean-Pierre Saux, STDI (Kathy Lesueur et Charlène Pineau)

Fabrication : Anne-Lise Lapoire

© Groupe Moniteur (Éditions du Moniteur), Antony, 2018

ISSN : 2262-5089

ISBN papier : 978-2-281-14204-4

ISBN numérique : 978-2-281-14251-8

Avant-propos

Ce livre constitue un abrégé des fondements et des formulations hydrauliques usuelles, étendues aux matières connexes de l’hydrologie, de l’hydromorphologie… Chaque chapitre décrit de façon simple et homogène les contextes particuliers de l’hydraulique naturelle, souterraine, en surface, en obstacle, en aménagement, en réseau, en application d’énergie cinétique et mécanique.

En marge des nombreux ouvrages classiques, les développements théoriques qui sortent du cadre d’application courante, ont été réduits à l’essentiel. Les textes législatifs et normatifs (toujours plus complexes) imposant sous « la dictature » de prescriptions les règles de calcul réductrices ont été exclus, à l’occasion réfutés, opposés ou comparés à des pratiques plus adaptées aux conditions habituelles d’études.

Conçu comme un instrument de travail, cet ouvrage participe à l’appréhension des bases indispensables et présente un panorama condensé d’outils et de méthodes de calcul, pour rendre effectif les savoir-faire. Il contribuera utilement à la tâche de tous ceux qui sont en situation de diagnostics, d’aménagements hydrauliques, de conception de réseaux d’eau et d’assainissement, d’exploitation d’ouvrages, d’électropompage, etc.

Il est destiné aux techniciens et ingénieurs, en situation de maîtrise d’ouvrage, de maîtrise d’œuvre, de réalisation et d’exploitation, d’adductions d’eau potable, de réseaux d’assainissement, d’aménagements de rivière et d’hydro-environnement.

Liste des abréviations

ACT : Assistance au maître d’ouvrage pour la passation des contrats de travaux

AE : Acte d’engagement

AFAQ : Association française de l’assurance qualité

AFB : Agence française pour la biodiversité

Afnor : Association française de normalisation

AMO : Assistance à maîtrise d’ouvrage

AOR : Assistance lors des opérations de réception et pendant l’année de garantie

APD : Études d’avant-projet définitif

APS : Études d’avant-projet sommaire

ARAA : Ballon à air

ATEx : Avis techniques d’expérimentation

AVP : Études d’avant-projet

BPU : Bordereau des prix unitaires

BRGM : Bureau de recherches géologiques et minières

BSR : Bassin de stockage restitution

CAR : Concept d’aide à la réhabilitation

CCAP : Cahier des clauses administratives particulières

CCTP : Cahier des clauses techniques particulières

CISSCT : Collège interentreprises de sécurité, de santé et des conditions de travail

CN : Curve number

CR : Charge par roue

CR : Classe de résistance

CSPS : Coordination sécurité et protection de la santé

DET : Direction de l’exécution des contrats de travaux

DIA : Études de diagnostic (d’ouvrage)

DICT : Déclaration d’intention de commencement de travaux

DIUO : Dossier d’intervention ultérieure sur l’ouvrage

DN : Diamètre nominal

DO : Déversoir d’orage

DOE : Dossier des ouvrages exécutés

DPGF : Décomposition du prix global et forfaitaire

DT : Déclaration de projet de travaux

DTS : Dossier technique simplifié

EBV : Écoulement brusquement varié

EGV : Écoulement graduellement varié

Ei  : Évaporation instantanée

ENSMP : École nationale supérieure des Mines de Paris

EP : Eaux pluviales

EP : Études préliminaires

EPCI : Établissement public de coopération intercommunale

EPCI-FP : Établissement public de coopération intercommunales à fiscalité propre

ESQ : Esquisse d’investigations

ESQ : Études d’esquisse

ETP : Évapotranspiration potentielle

ETR : Évapotranspiration réelle

EU : Eaux usées

EXE : Études d’exécution

FAA : Federal Aviation Agency

GPA : Garantie de parfait achèvement

HMT : Hauteur manométrique totale

IDF : Intensité, durée, fréquence

IGN : Institut national de l’information géographique et forestière

LCHF : Laboratoire central d’hydraulique de France

LCPC : Laboratoire central des Ponts et Chaussées

MASE : Manuel d’amélioration sécurité des entreprises

MEI : Indice de rendement minimal

MES : Matières en suspension

MESI : Matières en suspension intercepteur

MICQ : Mission interministérielle pour la qualité des constructions publiques

MNT : Modèle numérique de terrain

MP : Milieu poreux

NPSH : Net Positive Suction Head

OPC : Ordonnancement, pilotage, coordination

OPN : Optimum Proctor Normal

PA-AL-PE : Polyéthylène aluminium

PAQ : Plan d’assurance qualité

PAX : Polyéthylène réticulé

PB : Polybutène

PCGT : Plan de contrôle général des travaux

PE : Polyéthylène

PE-AL-PE : Polyéthylène-aluminium-polyéthylène

PEHD : Polyéthylène haute densité

PER : Pression d’épreuve du réseau

PE-X : Polyéthylène réticulé

PGC : Plan général de coordination

PGCSPS : Plan général de coordination, sécurité et protection de la santé

PGCT : Plan de contrôle général des travaux

PH : Passage hydraulique sous voiries

PHA : Plus hautes eaux

PHEN : Plus hautes eaux navigables

PIPO : Passages inférieurs en portique ouvert

PLU : Plan local d’urbanisme

PMA : Pression maximale admissible

PMF : Pression maximale de fonctionnement

PNS : Pression normale de service

PP : Polypropylène

PPE : Périmètre de protection éloigné

PPI : Périmètre de protection immédiat

PPR : Périmètre de protection rapproché

PPR : Plan de prévention des risques

PPRI : Plan de prévention des risques d’inondations

PPRNP : Plan de prévision des risques naturels prévisibles

PPS : Périmètre de protection satellite

PPSPS : Plan particulier de sécurité et de protection de la santé

PRO : Études de projet

PRV : Polyester renforcé de fibres de verre

PVC : Polychlorure de vinyle

PVC-C : Polychlorure de vinyle surchloré

PVC-U : Polychlorure de vinyle non plastifié

QMNA : Quantité mensuelle minimale annuelle

QSE : Qualité-sécurité-environnement

RAN : Réalimentation artificielle des nappes

RC : Règlement de consultation

RFU : Réserve facilement utilisable

RUPT : Rétention des rejets urbains de temps de pluie

SDQ : Schéma directeur de la qualité

SHE : Sécurité, hygiène, environnement

SIAAP : Syndicat interdépartemental pour l’assainissement de l’agglomération parisienne

SIG : Système d’information géographique

SOGED : Schéma d’organisation de gestion des déchets

SOPAQ : Schéma organisationnel du plan assurance qualité

STS : Solution technique standard

SYN : Plans de synthèse

TN : Terrain naturel

UTS : Unités typologiques des sols

VBS : Valeur au bleu de méthylène d’un sol

VISA : Visa des études d’exécution

Liste des symboles

Les symboles et définitions des constantes, des paramètres, des variables et des coefficients les plus courants, entrants dans une formulation régissant l’état et la dynamique hydraulique figurent à la nomenclature ci-après.

A

Aire, superficie

b

Largeur au fond

B

Largeur au miroir, largeur en surface

c

Célérité, vitesse de propagation

C

Coefficient de ruissellement, coefficient de Chézy

Ca

Nombre de Cauchy, rapport de similitude de Cauchy

Ca

Coefficient fractionnaire, coefficient d’apport

Cf

Coefficient de frottement

CHW

Coefficient de rugosité de Hazen-Williams

Cx

Coefficient de traînée

D

Diamètre

Dh

Diamètre hydraulique ou profondeur hydraulique

E

Module d’élasticité, énergie interne massique

f

Coefficient de frottement

Fa

Force pressante ascendante, infiltration

Fi

Débit de fuite par unité de longueur

Fr

Nombre de Froude

Fv

Force verticale de pression

g

Accélération de la pesanteur

h

Hauteur, tirant d’eau

hc

Hauteur critique, profondeur critique

hn

Hauteur normale, profondeur normale

H

Charge de l’écoulement

ΔH

Perte de charge

Hs

Charge spécifique

I ou i

Pente, intensité

Ic

Pente critique

Im

Pente motrice

Ir

Pente de radier

k

Perméabilité intrinsèque

K

Conductivité hydraulique, vitesse de filtration

Ks

Coefficient de rugosité de Manning-Strickler

L

Longueur

L*

Longueur caractéristique

P

Pression

Pa

Puissance absorbée, puissance active

Pm

Périmètre mouillé

q

Débit linéique

Q

Débit

R ou r

Rayon de courbure ou de cercle

Re

Nombre de Reynolds

Rh

Rayon hydraulique

S, Ω, W

Section d’écoulement

t

Temps

T

Période, température

u*

Vitesse de frottement

U, u, V, v

Vitesse, vitesse de filtration, de ruissellement, de chute…

Us

Vitesse de sédimentation

Vol, V

Volume

We

Nombre de Weber

y

Tirant d’eau

yc

Profondeur critique, tirant d’eau critique

yn

Profondeur normale

γ

Poids volumique spécifique

ε

Rapport de rugosité relative

η

Viscosité dynamique turbulente

θ

Angle de pente

κ

Constante de von Karman

λ

Coefficient de frottement

μ

Vitesse de frottement

υ

Viscosité cinématique

ξ

Variable de similitude

ρ

Masse volumique

σ

Contrainte normale, tension superficielle

τ

Contrainte de cisaillement dans les conduites

τf

Contrainte de cisaillement au fond

τp

Contrainte de cisaillement à la paroi

φ

Potentiel de vitesse ou diamètre de canalisation

χ

Périmètre mouillé

ψ

Fonction de dissipation

Ψ

Énergie totale

ω

Poids spécifique

Ω

Vitesse de rotation

∇

Opérateur nabla (se note aussi « grad »)

Chapitre 1

Définitions et terminologies

1.1Explicatives d’hydrostatique et d’hydrodynamique

Le fluide en termes de statique ou d’hydrostatique se caractérise au repos. Sa vitesse est donc nulle en tout point (v→=0) et la somme des forces auxquelles il est soumis vaut 0 (f→−grad→p=0).

Le fluide est la substance liquide dont les éléments se mettent en mouvement avec une liberté restreinte pour les fluides réels, dits visqueux.

La mécanique des fluides appliquée considère l’écoulement de fluides du point de vue macroscopique. Ce sont donc les propriétés moyennes d’un élément liquide (l’eau) qui sont étudiées selon les principes de l’hydromécanique.

Le volume de contrôle est, dans le cadre de l’analyse de mouvement de fluide, un élément matériel, géométrique et arbitraire, de volume V(t), délimité par une surface S(t), fixe ou mobile selon n→ la normale extérieure à dS.

La pression p est la force F exercée sur une unité de surface S :

p=FS

où p est en pascals (Pa), F en newtons (N) et S en m2.

Les forces extérieures, ou forces à distance, ou forces de champ, sont celles produites par la pesanteur (ρ⋅g→), la force centrifuge…, qui agissent sur les particules fluides d’un petit élément de volume ou de masse, soit :

la force de pesanteur f→=g→ ou champ de la pesanteur ρ⋅g→ ;

la force totale à l’instant t s’exerçant sur un élément de volume δV, centré en un point P dont le vecteur position est x soit f→(x,t)pδV ;

la force centrifuge ρ⋅ω2⋅r→ selon ω vecteur de rotation et r vecteur de position à l’axe de rotation.

La contrainte locale ou force de contact ∑→, selon l’un des principes d’action et réaction de Newton est :

−∑→(n→,x→,t→)δA

où :

δA : élément de surface plane de l’aire A ;

∑→: tenseur de contraintes dépendant de l’orientation de n→ ; égal aussi à ∑→(−n→,x→,t→)δA.

La cinématique considère le mouvement des fluides sans tenir compte des forces qui lui donnent naissance.

Les mouvements qui se produisent dans les liquides réels sont de deux types :

laminaire ou visqueux, chaque particule décrit une trajectoire définie avec une vitesse uniquement dans le sens de l’écoulement ;

turbulent, chaque particule est animée d’agitation, avec des vitesses transversales à l’écoulement assimilées à un ensemble de mouvements tourbillonnaires.

Le mouvement est dit permanent ou stationnaire lorsque les lignes de courant ne varient pas au cours du temps, que la vitesse à tout instant en tout point fixe est constante.

Le mouvement est dit uniforme à un temps donné lorsque toutes les particules ont la même vitesse.

L’écoulement est dit établi lorsqu’il cesse de varier dans l’espace (∂V∂x=0). En pratique, lorsqu’un fluide pénètre dans une canalisation, il faut une certaine longueur (30 à 50 fois le diamètre hydraulique) pour que la vitesse ne varie plus dans la direction de l’écoulement.

La ligne de courant définit toutes les courbes dont la tangente en chacun de ses points est colinéaire au vecteur vitesse des champs d’écoulement, à chaque instant. Les composantes de la vitesse dans le repère considéré sont : U(x, y, z, t), V(x, y, z, t), W(x, y, z, t) pour un temps fixé.

La trajectoire est la courbe décrite au cours du temps par une particule du champ d’écoulement. La différence avec la ligne de courant réside dans le fait que la trajectoire est relative à une même particule à des instants différents (le temps est devenu une variable).

Le gradient est un opérateur qui s’applique à une grandeur scalaire (masse volumique, pression…) et qui traduit l’intensité des variations spatiales de cette grandeur physique. Soit f, une fonction de x, y, z, ses trois dérivées partielles sont :

∂f∂x, ∂f∂y, ∂f∂z

à partir desquelles on construit un vecteur, le gradient grad→ ou ∇→ :

dans un système de coordonnées cartésiennes :

grad→f ou ∇→f∂f∂x∂f∂y∂f∂z

dans un système de coordonnées cylindriques :

grad→f ou ∇→f∂f∂r∂fr∂θ∂f∂z

Il correspond à une ligne composante de la pente par rapport à une surface.

1.2Caractéristiques hydrauliques essentielles

1.2.1Forces statiques, dynamiques et contraintes

La détermination des caractéristiques des écoulements consiste à chercher la pression et la vitesse en tout point, à définir les différentes forces dominantes agissant sur le fluide.

Les équations de base sont les suivantes (voir Annexe A1) :

l’équation de continuité ou de conservation de la masse (m) du fluide

dmdt=0 [1.1a]

l’équation de la quantité de mouvement qui établit l’équilibre entre la somme des forces extérieures (F) exerçant une variation de la quantité de mouvement du fluide :

d(m⋅v)dt = ∑​F [1.1b]

La variation de masse contenue dans un volume V (M = ρ  · V) est égale à la masse de fluide qui entre, moins la masse de fluide qui sort de la section S, durant dt :

qM=∫V∂ρ∂t dV=∫sρ⋅V⋅n⋅dS [1.1c]

1.2.1.1Hydrostatique des fluides (l’eau non compressible)

Le fluide est considéré en équilibre et au repos, soumis aux forces de pesanteur (Fp) ainsi qu’aux forces de pression (fig. 1.1).

Le poids P du volume de fluide V dont chaque volume élémentaire dV a pour poids ρ · g · dV, a pour expression de la force volumique interne :

Fig. 1.1. Équilibre de la cellule de fluide soumis à la pesanteur

Fpint=∭Vρ⋅g⋅dV [1.2a]

Ces trois sommes ∫​dépendent des trois variables d’espaces x, y et z, en cas de mouvement de la variable temps t (variables qui ne sont pas réécrites afin d’alléger les formulations).

La force de pression externe Fext exercée sur chaque élément de surface dS, dans la direction normale n, définie par la pression locale p, s’applique sur toute la surface S entourée de fluide, d’où l’expression de la force surfacique externe :

FSext=∬S− p⋅n⋅dS [1.2b]

La loi hydrostatique d’équilibre d’un volume V de fluide et de surface S, immobile, contrebalance les forces internes de poids et externes de pression, d’équation :

∭Vρ⋅g⋅dV︸Force volumique+∬S– p⋅n⋅dS︸Force de pression=   0   ︸Résultat [1.2c]

En substituant l’intégrale de surface en intégrale de volume, la loi de l’hydrostatique s’écrit :

∭Vρ⋅g⋅dV+∭V(− grad→p)dV=0 [1.2d]

où grad→ est le gradient de la grandeur vectorielle de pression p variant dans l’espace.

Ce bilan des forces donne :

dP/dF : poids de la cellule de fluide ;

ABCD : action des forces pressantes sur la face « ABCD » ;

l’action est identique pour les cinq autres faces.

Le centre d’inertie ou centre de gravitation correspond au point au centre du cube de la figure 1.1.

En appliquant le principe fondamental de la statique on a :

∑​F→=0→ [1.3a]

Dans les conditions hydrostatiques, les équations [1.1] donnent :

∑​F→ = forces surfaciques + forces volumiques + (forces fictives)

∑​F→=∫S(− n→⋅p) dS+∫V(− ρ⋅g→) dV=0→ [1.3b]

soit en écriture vectorielle :

∫V(−∇→p+ρ⋅g→) dV=0→ [1.3c]

d’où −∇→p+ρ⋅g→=0→ (V étant arbitraire) [1.3d]

En absence d’écoulement, le champ de force F→(fx,fy,fz) par unité de volume, lié au champ de pression, s’applique à un élément de surface dS entourant le volume de contrôle(1) dx, dy, dz (fig. 1.1).

La somme des forces auxquelles le volume élémentaire est soumis s’écrit :

f→−grad→p=0 [1.4]

où le gradient est l’opérateur qui s’applique à une grandeur vectorielle traduisant l’intensité des variations spatiales de cette grandeur, en l’occurrence : grad→f, grad→p.

Pour un élément de surface dS appartenant à une surface fermée S, les forces externes de pression ont potentiellement comme effet de repousser la surface vers l’extérieur du volume qu’elle renferme :

dfp→=−p⋅n→⋅dS [1.5a]

Pour une surface finie S, la résultante des forces vaut donc :

Rfp→=−∬sp⋅n→⋅dS [1.5b]

avec n→ : normale orientée vers l’extérieur (−n→ dans le sens opposé).

Lorsque le champ de force hydrostatique se limite à la gravité :

fx=− ρ⋅g (orienté Oz) en N · m−3 [1.5c]

En projetant cette somme vectorielle selon les 3 axes OX, OY et OZ, on a une seule relation de variation selon OZ (fig. 1.1) :

dpdz=− ρ  · g soit dp = − ρ  · g · dz [1.5d]

P(x, y, z) = ρ · g(zs – z) = ρ  · g · hz [1.5e]

P+ρ⋅g⋅z=cste

avec zs surface libre et z hauteur d’immersion.

Le poids du volume qui s’exerce est :

P=ρ⋅V⋅g=m⋅g [1.6a]

où :

ρ: masse volumique (kg · m−3) de masse m et de volume V (N · kg−1 = m · s−2) :

ρ=mV [1.6b]

La force hydrostatique de pesanteur vaut donc :

Fp = ρ  · g · h [1.6c]

Fp(h) = 10 kN · m−3 × 9,81 m · s−2 × h (hauteur d’eau)

En termes de pression statique ou d’énergie potentielle, on a :

P(h)=ρ  · g · h + P0 [1.6d]

avec P0 la pression atmosphérique au-dessus de h, soit :

P = ρ  · g · h [1.7]

La pression hydrostatique en un point au repos est constante :

z = Pϖ = constante

où p désigne la pression appliquée à une facette (Pa ou N · m−2).

ω¯ = γe = ρ  · g

La différence de pression PA − PB entre les points A et B ne dépend que des profondeurs et du poids spécifique ω¯ (fig. 1.2).

dP = PA + PB = ω¯(hA − hB) [1.8]

Fig. 1.2. Différence et distribution des pressions statiques

Pour les fluides en équilibre, les forces de contact sont toujours normales aux éléments de surface sur lesquels elles s’exercent et sont indépendantes de l’orientation :

σ→(N,n→)=−P(x,y,z)⋅n→ [1.9]

avec P(x,y,z): champ de pression et force de pression isotrope.

La statique d’un fluide (incompressible) dans le champ de pesanteur, dont les forces de volume dérivent d’un potentiel, a pour expression :

F→=−grad→(ρ⋅g⋅z) [1.10]

soit, en le plaçant dans l’équation fondamentale de la statique des fluides :

grad→(P+ρ⋅g⋅z)=0⇒P+ρ⋅g⋅z=cste=P* [1.11a]

L’équation [1.11a] s’écrit en hauteur piézométrique (m) :

Pρ⋅g+z=h [1.11b]

Force hydrostatique sur une paroi verticale

La pression exercée par un fluide s’applique à toutes les directions. Sur une paroi verticale, la pression est nulle au niveau de la surface et est maximum en bas de paroi (fig. 1.3).

Fig. 1.3. Surface du triangle (H · ρ · g · H)/2

F=ρ⋅g⋅h⋅H2⋅H [1.12a]

Pour un point quelconque on a :

PM=ρ⋅g⋅hM [1.12b]

On démontre qu’au point A s’applique :

OA→∧F→=∫0Hρ⋅g⋅h⋅h⋅dh=ρ⋅g⋅H33 [1.12c]

d’où

OA=23H [1.12d]

Les propriétés de la pression hydrostatique s’appliquent :

au principe des vases communicants, tels la distribution d’eau en agglomération, le fonctionnement des écluses, les traversées en siphon… (voir chapitre 9) ;

au principe fort connu de la poussée d’Archimède : « Tout corps de volume V plongé dans un fluide au repos subit une poussée de bas en haut égale au poids du même volume de fluide. »

Principe des vases communicants

Le principe de Pascal (fig. 1.4) implique que les pressions mesurées aux deux extrémités d’une conduite d’eau, plus ou moins éloignées, sont égales :

ρ⋅g⋅h1+P01=ρ⋅g⋅h2+P02 [1.13a]

où P01 est la pression atmosphérique sur la surface 1 égale à P02 sur la surface 2 (P01=P02).

Donc, en simplifiant :

h1=h2

Ce principe trouve son application dans le système du baromètre qui n’est rien d’autre qu’un tube en U dont l’une des extrémités est fermée, donc P01=0 (Pa). On peut donc écrire :

P02=Patm=ρ⋅g⋅h+0 [1.13b]

Fig. 1.4. Principe de Pascal : le baromètre

Poussées sur les corps immergés

La formule de la flottabilité ou poussée d’Archimède est :

PA = Vdéplacé · Mvol. eau · g [1.14a]

L’effet inverse de la gravité G qui s’applique est :

G′ = Vcorps · Mvol. corps · g [1.14b]

La résultante G des pressions sur la surface S du corps est donc la poussée d’équation :

PA = − G [1.14c]

La résistance totale des corps en partie immergés est :

Ft = F + F0 [1.14d]

Dans le cas particulier d’un navire, avec les valeurs très approximatives, les expressions de Scimeni sont :

F = 0,296 ƒ · ϖ · S · V1,825

F0=0,527 β(PL2)V4

dans lesquelles :

ƒ : coefficient compris entre 0,14 et 0,15 ;

L : longueur de l’embarcation ;

β : coefficient de sveltesse du navire β=WL⋅l⋅i ;

P : déplacement volumétrique (t) ;

W : volume immergé ;

l : largeur de l’embarcation ;

i : l’immersion ;

ϖ = ρ · g, soit 1 t · m−3 et 9,81 kN · t−1.

La pression hydrostatique à la profondeur hA vaut :

PA = ρ · g · hA [1.14e]

Le liquide (eau) exerce donc la force pressante ascendante Fa sur la face inférieure du corps :

Fa = Pa · S = ρ · g · hA · S [1.14f]

La poussée d’Archimède exprime donc la force de pression Fp→ exercée par un fluide sur un corps de volume V dans lequel il est plongé. Cette force s’écrit :

Fp→=∫S(−n→⋅p) dS (force de pression surfacique) [1.15a]

Fp→=∫Vρ⋅g→⋅dV (force de pesanteur volumique) [1.15b]

Fp→=− ρ⋅g→∫VdV=− ρ⋅g→⋅V [1.15c]

Ainsi, la force élémentaire dF→ appliquée par le fluide sur un élément de surface dS∈S vaut :

dF→=−p⋅n→⋅dS=ρ⋅g⋅z⋅dS→ [1.15d]

d’où F→=−n→∫Sρ⋅g⋅z⋅dS→ [1.15e]

avec :

p(z)=p0−ρ⋅g⋅z

p0 : pression à la surface libre en z = 0 ;

ρ⋅g⋅V : poids du fluide déplacé par V ;

Fp→ : force de poussée orientée selon la verticale ascendante.

On en déduit la différence de pression :

p2−p1=ρ⋅g⋅H

avec : H=z1−z2.

En pratique, on peut généraliser à n’importe quelle surface immergée, paroi ou barrage, quelle que soit sa forme, pour évaluer la force résultante :

F→=∫S(−p⋅n→) dS=ρ⋅g⋅hG⋅S⋅n→ [1.15f]

avec :

F→ : densité volumique de la force ;

ρ : masse volumique (kg · m−3) ;

hG : profondeur du barycentre de la surface S soumise à la pression du liquide ;

n→ : vecteur unitaire normal, orienté à l’opposé de la force liquide (fig. 1.1).

1.2.1.2Dynamique des fluides (l’eau non compressible)

D’après la relation fondamentale de la dynamique, la quantité de mouvement, constante dans le temps, dépend des forces extérieures ayant pour équations :

∑​F→=m⋅a→G [1.16a]

ou

a→=1m∑​Fext→ [1.16b]

dans lesquelles :

a→ : accélération de son centre d’inertie dans un référentiel galiléen R(O, x, y, z, t) ;

m⋅a→G : quantité d’accélération ;

Fext→ : forces extérieures exercées sur la cellule de fluide.

Le principe d’inertie énoncé par la première loi de Newton stipule que le centre d’inertie est soit au repos, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme :

V→G/R=cste⇒PG/R=m⋅V→G/R=cste

et conduit à la loi de conservation de la quantité de mouvement :

dP→G/Rdt=0→ [1.17a]

La deuxième loi de Newton résumée par la formule s’écrit :

F=Vdmdt+mdVdt [1.17b]

dans laquelle :

F : force appliquée à un fluide en mouvement (N) ;

V : vitesse du fluide (ms) ;

m  : masse contenue dans le volume (kg) ;

t : temps (s).

Ce qui est exprimé par l’équation d’Euler (fig. 1.5) :

dP+ρ⋅g⋅dV+ρ⋅g⋅dz=0 [1.18a]

qui donne

dP=− ρ⋅V→ · dV→ – ρ  · g · dz [1.18b]

Fig. 1.5. Dynamique d’une cellule de fluide

1.2.2Charge hydraulique, spécifique et moyenne

La charge hydraulique en un point d’une ligne de courant en mouvement a pour valeur :

Hp = Zp + Pye + α V22g [1.19a]

ou sous forme de pression :

Hp=ρ⋅g⋅zp+P+α12ρ V2 [1.19b]

avec :

zp : cote du point p ;

P : pression au point p ;

V : vitesse au point p.

La charge moyenne dans une section est :

H = zf + y + α V22g [1.19c]

avec :

zf : cote du fond :

y : tirant d’eau ;

α : coefficient de Coriolis ; 1 ≤α≤2 selon le régime d’écoulement, la répartition des vitesses.

Généralement, α vaut 1. En régime laminaire, α vaut 2. En régime turbulent : 1,03 ≤α≤1,07.

On définira alors la masse volumique locale (kg · m−3 · s−1) :

ρ(x, y, z, t)=∑imi=dMdVol [1.20a]

Mais comme la masse volumique est constante à la fois dans l’espace et le temps, et incompressible, la masse d’un volume Vol est simplement donnée par :

M=ρ⋅Vol [1.20b]

Par ailleurs, la vitesse moyenne d’une quantité de mouvement P est :

V(x, y, z, t)=∑imiVi∑imi=dPρ⋅dVol [1.20c]

La quantité de mouvement global d’un volume Vol s’écrit :

P(t)=∭Volρ⋅v⋅dVol [1.20d]

Et, l’énergie cinétique du centre de masse pour le volume dVol (fig. 1.5) s’écrit donc :

K(t)=∭Vol12⋅v2⋅dVol [1.20e]

La charge spécifique est la charge moyenne mesurée par rapport au fond de la voie d’eau :

Hs = H − zf = Pγe + α V22g [1.21a]

La pression hydrostatique vaut :

p = γe⋅ycosθ [1.21b]

La pente est faible, donc cos θ ≈ 1, p = γe⋅y. D’où :

Hs=y+α⋅V22g (fig. 1.6) [1.21c]

Fig. 1.6. Charge spécifique et charge moyenne

1.2.3Forces de mouvement, d’inertie, de gravité…

On peut généraliser et exprimer par :

L’équation de la quantité de mouvement : la somme des forces (F) qui exercent une influence sur la particule est égale au taux de variation de la quantité de mouvement de la particule pour une masse m, à la vitesse V, à l’intervalle de temps dt.

d(m⋅v)dt=dp→dt=∑​F→ext [1.22]

d(m⋅v)dt=ρ⋅ds⋅dx(∂v_∂t+∂v_∂x∂x∂t)=ρ⋅ds⋅dx+(∂v∂t+div(v⋅v_))

Les forces de pesanteur (fig.1.7).

Fig. 1.7. Forces de pesanteur

En écrivant l’équation au premier ordre dans le sens de l’écoulement :

Fpesanteur=ρ⋅g⋅S⋅∂x⋅I [1.23]

Les forces de pression (fig. 1.8).

Fig. 1.8. Forces de pression

ΔFpression=Fpression(x)−Fpression(x+dx)=∂f∂xdx [1.24a]

avec:f=∫0h(x)ρ⋅ g(h(x)−z)l(z)dz

Soit :

ΔFt pression totale = − ρ⋅g⋅S(Zam−Zav) [1.24b]

D’où la poussée d’Archimède sur un corps immergé :

ΔF=F2−F1=ρ⋅g⋅S(Z1−Z2) [1.24c]

avec :

S : surface de la face horizontale du corps ;

Z1 : niveau haut du corps immergé ;

Z2 : niveau bas du corps immergé ;

F : ρeau · g · Vsolide ;

si F = P, le corps est en équilibre ;

si F > P, le corps remonte ;

si F < P, le corps coule.

Ainsi, la force de pression sur une paroi de longueur L et de hauteur h vaut :

F=ρ⋅g⋅L(h2−h2z)⋅i [1.24d]

Les forces de frottement (fig. 1.9).

Fig. 1.9. Section d’écoulement

Ffrottement=τcisaillement⋅Ppérimètre mouillé⋅∂x=− ρ⋅g⋅S⋅∂x⋅Je [1.25a]

avec Je : ligne de charge (pente piézométrique).

Les forces qui s’exercent sur une tranche unité de l’écoulement se réduisent à la projection du poids sur la ligne de fond et au frottement :

Ks · V2 · P = ρ · g · S · i [1.25b]

ou encore :

V=(gKsRh⋅i)1/2 [1.25c]

dans lesquelles :

Ks : rugosité du périmètre mouillé ;

Rh : rayon hydraulique S/Pm ;

i : pente du fond.

Dans ces relations, la contrainte tangentielle de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse, comme dans tout écoulement turbulent.

Souvent écrit de façon adimensionnelle sous la forme i = ƒ en introduisant la pente de frottement, qui peut être relative à une section quelconque ouverte de tirant d’eau h ou à un plan d’eau de largeur B :

ƒ=V2Ks2h4/3 = Q2Ks2B2h10/3 [1.25d]

L’effort tangentiel de frottement à la paroi d’une canalisation (fig. 1.10) s’applique selon :

R : la résistance de la paroi (effort τ0) ;

G : le poids du fluide (l’eau : G = ρ · g · ΔL · S) ;

P : les pressions appliquées sur les surfaces d’extrémités.

ΔL=Z1−Z2sinθ [1.25e]

hr = JL = (Z1 – Z2) + P1−P2ρg [1.25f]

Fig. 1.10. Résistance de la paroi de canalisation

En projection sur l’axe du tuyau, on écrit :

(P1⋅S1)−(P2⋅S2)+G⋅sinθ−τ0⋅π⋅D⋅ΔL=0 [1.25g]

La force d’écoulement provient de la vitesse V et de la masse de l’eau Me :

F = V · Me [1.25h]

Les forces d’accélération se produisent avec la variation de la vitesse et de la masse de l’eau dans le temps :

Faccél = Me ∂V∂t [1.26a]

La force d’accélération convective (fig. 1.11) provient de la variation de la vitesse (Vx, Vy, Vz) dans l’espace repère (x, y, z) :

Fac conv = Me [∂V∂x⋅Vx+∂V∂y⋅Vy+∂V∂z⋅Vz] [1.26b]

Fig. 1.11. Force d’accélération convective

VA est la vitesse moyenne dans la section A et VB la vitesse moyenne dans la section B, on a également, d’après l’équation de continuité, VB · SB = VA · SA et comme SB < SA, on aura VB > VA, donc le régime est accéléré.

Entre B et C, on a VB = VC donc, une vitesse moyenne ne variant pas, le régime est uniforme.

Entre C et D, la vitesse moyenne est réduite, VD < VC, donc le régime est retardé.

Lignes de charge et de courant

Suivant les lignes de courant, on a une ligne de charge (fig. 1.12) :

en unité de pression (Pa) :

P+ρ⋅V22+ρ⋅g⋅z=cste [1.27a]

en unité de hauteur (m) (fig. 1.6) :

pρ⋅g+V22g=cste=Htotale [1.27b]

Fig. 1.12. Diagramme piézométrique

En l’intégrant aux sections d’entrée et de sortie Se, Ss, le bilan d’une grandeur G (kg · m−3) et de la composante normale de la vitesse V, s’écrit :

dGdt=−∬Seg⋅ϑ⋅dS−∬Ssg⋅ϑ⋅dS [1.28a]

avec :

dGdt : accumulation de G ;

∬Seg⋅ϑ⋅dS= Ge : quantité entrante par Se ;

∬Ssg⋅ϑ⋅dS= Gs : quantité sortante par Ss.

En prenant G = M la masse du volume V et g = ρ la masse volumique, on a donc l’accumulation et le flux entrant-sortant :

dMdt=ddt∭Vρ⋅dV=−∬Sρ⋅ ϑ⋅dS [1.28b]

avec : g = ρ pour la masse et g = ρ  · v pour la quantité de mouvement.

Avec S0 une section perpendiculaire à l’axe, le débit massique a alors pour expression :

qm=∫S0ρ⋅V⋅dS [1.28c]

On évite souvent de s’embarrasser du terme ρ, en utilisant le débit volumique (m3 · s–1) :

qv=∫S0V⋅dS [1.28d]

La conservation de la matière se traduit par le bilan de masse sur une section S entourant un volume V, pendant un intervalle de temps dt (connue sous le nom de seconde loi de Newton).

En considérant un fluide de densité ρ en écoulement uniforme v→ à toute section S d’un courant ou d’une section variable S1, S2, S3, qui délimitent les portions de fluide P1 et P2, et qui parcourent les courtes distances v1δt, v2δt, v3δt pendant l’intervalle δt (fig. 1.13), il se produit que la région occupée par P1 change en occupant un nouveau volume S2v2δt, balayé par S2. Comme la masse de P1 est nécessairement conservée, on a alors à tout instant :

v1 · S1 = v2 · S2

et également : v2 · S2 = v3 · S3

Par conséquent : v1 · S1 = v2 · S2 = v3 · S3 = V · S

où : v1 < v2 < v3 et S1 > S2 > S3.

Ce bilan de quantité de mouvement à travers une section s’établit par les expressions en termes de :

débit volumique : Qv=∬sV→⋅n⋅dS⇔dQv=V→⋅dS→→Qv=V⋅S (m3 · s−1) ;

débit massique : Qm=∬sρV→⋅n⋅dS⇔dQm=ρV→⋅dS→→Qm=ρ⋅V⋅S (kg · s−1) ;

Qm=∬sj→⋅dS→ où j=ρV→ (kg · m−2 · s−1)

La masse totale sortant de la surface S par unité de temps est :

∬sj→⋅dS→=∭τdiv j→⋅dτ

avec dτ : élément de volume.

1.2.4Rapport entre les forces

La force de pression P est le rapport de la force F (en N) agissant sur la section S (m2).

P = FS [1.29]

Le rapport entre les forces d’inertie M · a et les forces de pression P · S, ou nombre d’Euler (pression statique/pression dynamique), applicable au calcul des forces statiques et dynamiques de l’eau sur une paroi est :

M⋅aP⋅S=ρ⋅L3(LT2)P⋅L2=ρV2P ou Eu=ΔPρ⋅V2 [1.30]

avec :

M : masse ;

a : accélération de l’eau ;

P : pression ;

ΔP : variation de pression ;

ρ : masse volumique ;

S : surface d’application de la pression ;

V : vitesse caractéristique de l’écoulement ;

T : temps.

Si Eu est très faible, on peut négliger le gradient de pression.

Le rapport entre les forces d’inertie M · a et les forces tangentielles τ ·S, ou nombre de Reynolds Re, qui distingue le régime laminaire et turbulent, est fondamentalement :

Re = M⋅aτ⋅S = ρ⋅L3(L/T2)μ(LTL)L2 = ρV⋅Lμ=V⋅Lν [1.31a]

ou encore le rapport :

flux convectifflux diffusif=ρ⋅V2⋅L−1μ⋅V⋅L−2=Re [1.31b]

avec :

τ : force de frottement par unité de surface ;

S : surface d’application de la force de frottement ;

L : longueur caractéristique de l’écoulement L* = h ou D ou 4Rh ;

Si Re < 1 l’écoulement est laminaire autour d’une particule sphérique ;

Si Re > 1 l’écoulement est turbulent.

Dans le cas d’un écoulement dans une conduite :

Re < 500 : régime laminaire ;

500 < Re < 2 000 : régime de transition ;

2 000 < Re < 2 500 : régime instable ;

Re ≥ 2 500 : régime turbulent (si Re est très grand, on peut négliger la viscosité et l’assimiler à un fluide parfait) ;

ρ : densité de l’eau ;

μ : viscosité dynamique (10−3 Pa · s ou N · s · m−2) (1,8 · 10−3 ≤μ≤2,9⋅10−4 pour l’eau entre 0 et 100 °C), appliquée à un élément de volume ou loi de Newton :

μ=dFdS⋅dZdV soit dFdS=μ⋅dVdZ=τ contrainte tangentielle

ν : viscosité cinématique (10−6 m2 · s−1 à 20 °C).

La viscosité à différente température est approximativement égale à :

ν=1,781+0,0337 t+0,000221 t2

ν en cSt (centi-stockes, 1 cSt = 10−6 m2 · s−1) ; t en °C ;

1,8 · 10−6 ≤v≤0,3⋅10−6 entre 0 et 100 °C.

Le rapport entre les forces d’inertie M · a et les forces de pesanteur M · g, ou nombre de Froude Fr = force d’inertieforce de gravité, qui distingue le régime fluvial (Fr < 1) ou torrentiel (Fr > 1), est :

M⋅aM⋅g=ρ⋅L3(LT2)ρ⋅L3⋅g=ρ⋅L2⋅V2ρ⋅L3⋅g=V2L⋅g [1.32]

avec g : accélération de la pesanteur.

La composante d’énergie cinétique est : V22g.

Le rapport entre les forces d’inertie M · a et les forces d’élasticité E · S, ou nombre de Cauchy Ca, est :

M⋅aE⋅S=ρ⋅L3(LT2)E⋅L2=ρ⋅V2E [1.33]

avec E : module d’élasticité de l’eau (2,1 · 109 N · m−2).

Le rapport entre les forces d’inertie M · a et les forces de tension superficielle, ou nombre de Weber We, est :

M⋅aσ⋅L=ρ⋅L3(LT2)σ⋅L=ρ⋅L⋅V2σ [1.34]

avec σ tension de surface ; la force de tension superficielle appliquée à un solide tiré par une lame liquide vaut :

F = 2γt · L

où :

γt : coefficient de tension superficiel : 72 · 10−3 N · m−1 ≤ γt ≤ 76 · 10−3 N · m−1 (ou énergie en J · m−2) ; pour l’eau entre 0 et 25 °C, γt ≈ 74 × 10−3 N · m−1.

Le rapport des forces d’inertie et des forces de gravité dans un conduit ouvert, ou nombre de Boussinesq, est :

Bo=V2g⋅L* [1.35]

avec :

V : vitesse (m/s) ;

g : accélération de la pesanteur (9,81 m · s−2) ;

L* : longueur caractéristique (m).

Le rapport entre la diffusivité de quantité de mouvement (ou viscosité cinématique ν) et la diffusivité massique, ou nombre de Schmidt, est :

Sc=νD=PemRe [1.36]

avec :

D : coefficient de diffusion massique (m2 · s−1) ;

Pem : nombre de Péclet massique : Pem=Lc⋅VD=Re⋅Sc

Le rapport de la force de frottement F et de la surface S, avec la viscosité et le rapport de la vitesse et la longueur L donne la contrainte τ :

FS=μ∂U∂y=μU0L=τ (en N · m−2) [1.37a]

avec μ: viscosité dynamique ou absolue (eau : 0,001 N · s · m−2), interprétée comme un coefficient de résistance au glissement.

Soit la force de frottement :

F=μS∂U∂y [1.37b]

Les forces de turbulence sont assimilables par défaut aux forces de frottement.

La viscosité cinématique est le rapport de la viscosité moléculaire de l’eau sur sa densité. La viscosité détermine la vitesse de mouvement de l’eau et le gradient de vitesse depuis la paroi (fig. 1.15).

FS=τ=νdudy [1.37c]

avec :

τ : contrainte tangentielle ;

u : vitesse instantanée ;

y : profondeur de l’écoulement ;

du/dy : gradient de vitesse ;

ν : viscosité cinématique (10−6 m2/s) : ν=μφ

Le rapport entre le temps de relaxation d’une particule et le temps caractéristique du fluide (temps d’ajustement du fluide), ou nombre de Stockes St, permet d’évaluer l’importance relative de la force inertielle et de la force de dissipation visqueuse :

St=τvisqueuxτinertie=ω⋅LV=LV⋅τ [1.38a]

St=118ρp⋅dp2⋅vμ⋅Lc [1.38b]

avec :

ρp : masse volumique de la particule ;

dp : longueur caractéristique de la particule ;

v : vitesse du fluide ;

μ: viscosité dynamique du fluide ;

Lc : longueur caractéristique ;

St≤1 : régime visqueux (si St est très faible, l’écoulement est considéré stationnaire) ;

St≥1 : régime inertiel (si St est très grand, la trajectoire d’une goutte est très peu affectée par l’écoulement).

Le nombre utile à l’étude des écoulements diphasiques représente donc le rapport entre l’énergie cinétique de la particule et l’énergie dissipée par frottement avec le fluide.

Le rapport entre la force de traînée et la force dynamique ou coefficient de frottement est :

Cf=τp12ρ⋅U2 [1.39a]

Le coefficient de traînée est :

Cx=Fx12ρ⋅U2⋅A [1.39b]

avec :

τp : contrainte de cisaillement à la paroi ;

Fx : force de traînée dans la direction du vecteur vitesse (N) ;

ρ : masse volumique du fluide (kg · m−3) ;

A : superficie de la plaque (A = b · l) ;

U : vitesse relative (U(x, y) près de la paroi) ;

Cx=24Re pour Re<1 ;

Cx=18,5Re0,6 pour 1<Re<103 ;

Cx=0,5 pour 103<Re<3⋅105 ;

Cx=0,1 pour Re>3⋅105 (sillage turbulent).

En associant accélérations et forces, on obtient :

∂V→∂t+v→⋅∇→v→=1FrZ→−∇→P+1ReΔv→ [1.40]

avec :

∂V→∂t : accélération locale ;

v→⋅∇→v→ : accélération par convection :

1FrZ→ : forces volumiques/forces d’inertie ;

∇→P : forces de pression/force d’inertie ;

1ReΔv→ : forces visqueuses/force d’inertie.

Selon la définition d’un fluide newtonien, il existe des contraintes tangentielles à l’écoulement (fig. 1.13) qui accélèrent la couche la plus lente et ralentissent la couche la plus rapide, soit :

τr⋅μdVdn=μu¯ [1.41a]

avec :

dVdn : gradient de vitesse :

u¯ : vitesse de cisaillement.

Fig. 1.13. Effets sur le calcul du gradient pariétal

La contrainte de cisaillement turbulent selon Prandtl demeure constante près de la paroi et la vitesse de frottement devient :

u*=τ(y≈0)ρ [1.41b]

La loi de comportement des fluides newtoniens (fig. 1.14) est donc :

τn=− μdVdn [1.42]

avec :

τ : contrainte ;

dV : vitesse relative ;

dn : écartement de deux plaques de surface.

Fig. 1.14. Fluides newtoniens

En introduisant le coefficient de frottement Cf, la contrainte à la paroi avec ses micro-rugosités (fig. 1.15) reliée à la vitesse u est :

τ¯=12Cf⋅ρ⋅u2 [1.43]

Fig. 1.15. Micro-rugosités des parois

1.2.5Écoulements externes, couche limite, couche cisaillée

Par opposition aux écoulements à l’intérieur de conduites, les écoulements dits « externes » s’écoulent sur plaque plane, autour d’obstacles ou en jets.

Lorsque l’écoulement se fait au voisinage de parois ou d’obstacles, il est en condition d’adhérence à l’endroit de la paroi (u = 0). En revanche, l’écoulement éloigné est animé de gradients de vitesse élevés. Il y a donc, lorsque ces deux écoulements différents se rejoignent, une couche de vidange dite « couche cisaillée ».

Dès que l’écoulement aborde la plaque, une couche limite s’établit et s’épaissit au fur et à mesure que l’abscisse x augmente. Avec cette augmentation de l’épaisseur le long de la plaque, la contrainte de frottement diminue.

Ainsi, la contrainte pariétale réelle τp dont la valeur est théoriquement infinie en x = 0, évolue à une échelle de contrainte valant :

τ*=12ρ⋅U2 [1.44]

Ce coefficient de frottement adimensionnel local fonction de Re(x)=Uxν, a pour expression d’après la solution de Blasius :

Cf(x)=0,664Re(x)−1/2 [1.45a]

De la contrainte τp on déduit la traînée D et un coefficient de traînée(2) Cx = CD dans :

la zone laminaire :

CD=1,328Re(L)−1/2 [1.45b]

la zone d’écoulement turbulent :

CD=0,074Re(L)−1/5 [1.45c]

où L : longueur de la plaque (L = x).

Lorsque la valeur x augmente, la couche limite stable devient instable puis turbulente. La longueur caractéristique x qui sépare les régimes stable et instable appelée valeur critique a pour équation :

(Re(x))c=Uxν≈5⋅105 [1.45d]

où x(c) peut s’avérer faible avec U≤1 m⋅s−1:

x(c)=5⋅105×1⋅10−6=0,5 m

Pour un écoulement turbulent, le coefficient de frottement local défini comme en laminaire s’écrit :

Cf=τp12ρ⋅Vc2=0,455(log10Re(x))2,58 [1.45e]

1.2.6Descriptions, variations et lignes d’émission

La description de Lagrange est un procédé permettant de caractériser un écoulement dans son évolution spatio-temporelle. La position M à l’instant t de la particule est donnée par la relation :

M=f(x,y,z,t) [1.46]

On suit individuellement chaque particule dans son mouvement dont la description paramétrique de la trajectoire dans un système de coordonnées cartésiennes est illustrée sur la figure 1.16.

La description d’Euler est l’autre version, plus usitée, permettant de caractériser un écoulement ; en décrivant le champ de vitesses à tout instant t, donnant le vecteur vitesse V en tout point M :

Fig. 1.16. Description des trajectoires d’un ensemble de particules de l’espace fluide

V(M, t)=grad→ θ [1.47]

En fait, la variation de la fonction F(r→, t) dérivable au cours du temps est constituée de deux parties :

une variation locale liée à la position où se trouve la particule à l’instant donné ;

une variation provenant de son mouvement dans l’espace.

Soit r→ la position à l’instant t et r→+Δr→ celle à l’instant t+dt.

La dérivée particulaire associée à son mouvement s’écrit alors

dFdt=∂F∂t+v→·grad→ F [1.48]

avec :

∂F∂t : variation locale ;

v→⋅grad→ F : variation due à la convection.

Le développement de Taylor est une analyse permettant d’écrire le mouvement tourbillonnaire d’un élément fluide selon trois changements :

une translation ;

une rotation ;

une déformation.

Ainsi, on appelle lignes tourbillonnaires (ou lignes de rotation) à un instant donné les lignes de force du champ de vecteurs ω¯, de la même manière que les lignes de courant :

ω¯=∇∧v→ et on déduit ∇⋅ω¯=0 [1.49]

On considère alors une surface fermée S engendrée par des lignes tourbillonnaires st appuyant sur une couche C et délimitant un volume V du fluide dans son mouvement (fig. 1.17), selon le théorème de divergence de Gauss-Ostrogradski :

∫V(∇⋅ω→) dV=0=∫S(n→⋅ω→) dS [1.50]

avec :

n→ : vecteur normal extérieur à S ;

ω→ : vorticité, l’orthogonal à π→.

Le théorème de Kelvin-Stokes définit la circulation de vecteur de vitesse Γ (m2 · s–1)le long d’une courbe C située sur une surface tourbillonnaire i d’équation d’écoulement rotationnel au départ d’un fluide peu visqueux (eau) :

ΓC=∮CV→⋅dl=∬ω→⋅dS=2∫Sω→⋅n⋅dS=0 [1.51]

dans laquelle :

C : courbe portée par l’écoulement (intégrale curviligne) ;

V : distribution de vitesse U∞ ;

u : vitesse locale ;

l : longueur le long de C ;

dl : distance entre des particules de fluide (pouvant évoluer dans le temps) ;

ω: vorticité ou tourbillon, orthogonal à n→ la normale extérieure, définie par le rotationnel :

ω=∇⋅VN1=(rotVθ)z=12∇⋅u

S : surface engendrée par C.

Si Γ<0, Vθ<0 : le tourbillon tourne autour de l’origine dans le sens des aiguilles d’une montre.

Si Γ>0, Vθ>0 : le tourbillon tourne en sens inverse.

La courbe dans son mouvement s’exprime par :

dΓdt=ddt(∮CU→⋅dl→) [1.52]

Les équations [1.51] et [1.52] expriment la conservation du mouvement cinétique pour un fluide sans ou ayant peu de viscosité.

Si on considère un tube élémentaire de vorticité de longueur dl s’appuyant sur un cercle de rayon r perpendiculaire à ω (fig. 1.17), on montre que ω/2 est égal au vecteur vitesse angulaire local Ω de l’élément de fluide.

Fig. 1.17. Moment cinétique pour un élément de tube de vorticité

Aussi, la circulation Γ de la vitesse le long du cercle C de rayon r est égale au flux total de la vorticité à travers ce cercle. Γ est reliée au module ω de la vorticité par :

Γ=∫CV⋅dl=π⋅r2⋅ω [1.53]

Le produit π⋅r2⋅ω peut être réécrit de façon à faire apparaître le module Ω de la vitesse de rotation locale Ω=ω2 et le moment d’inertie J du cylindre de longueur dl sous la forme :

π⋅r2⋅ω=δ m⋅r22⋅ω2⋅4πδ m=K⋅J⋅Ω [1.54]

avec :

δ m=ρ⋅π⋅R2⋅dl : masse de fluide de densité ρ contenue dans l’élément de cylindre ;

J=δ m⋅r22 : moment d’inertie associé à ce fluide ;

K=4πδ m.

Ainsi, comme la masse δ m de fluide dans l’élément matériel de tube de vorticité est nécessairement constante, la conservation de la circulation Γ au cours du temps est équivalente, d’après les équations [1.52] et [1.54], à la conservation du moment cinétique J⋅Ω du fluide dans l’élément du tube de vorticité.

Dans un écoulement où le vecteur vorticité ω(r) n’est plus identiquement nul, les lignes (et les tubes) de vorticité se déplacent en suivant exactement le mouvement des lignes (et des surfaces) constituées de particules de fluide.

En abandonnant le terme visqueux qui devient négligeable dès que le nombre de Reynolds est très grand, l’équation du tourbillon (fig. 1.18) peut s’écrire :

1ω⋅dωdt=∂u∂s [1.55]

Fig. 1.18. Illustration de la variation du vecteur MN→ = δs d’une ligne de tourbillon liée à la différence de vitesse entre ses extrémités M et N (d’après R. Moreau)

L’allée de tourbillon est attachée à un obstacle qui produit une fréquence f de détachement des tourbillons (fig. 1.19) ayant pour expression :

f=UDg⋅hc [1.56a]

où :

U : vitesse de l’écoulement loin de l’obstacle ;

D : dimension caractéristique de l’obstacle.

Fig. 1.19. Oscillations alternées derrière un obstacle
(d’après Karman – allée tourbillonnaire du sillage)

Pour un cylindre (par exemple une pile de pont), la fréquence vaut approximativement :

f=UD×0,198 [1.56b]

1.2.7Bilans de matière et d’énergie dans l’écoulement

La conservation de la matière se traduit par le bilan de masse sur une section S entourant un volume V, pendant un intervalle de temps dt (connue sous le nom de seconde loi de Newton).

En considérant un fluide de densité ρ en écoulement uniforme V→ à toute section S d’un courant ou d’une section variable S1, S2, S3 (voir fig. 1.12) qui délimitent les portions de fluide p1, p2, et qui parcourent les courtes distances v1 · St, v2 · St, v3 · St pendant l’intervalle δt, il se produit que la région occupée par p1 change en occupant un nouveau volume S2 · v2 · δt, balayé par S2. Comme la masse de p1 est nécessairement conservée, on a alors à tout instant :

v1⋅S1=v2⋅S2

et également

v2⋅S2=v3⋅S3

où : v1>v2>v3 et S1<S2<S3

Le bilan de quantité de mouvement à travers une surface S (fig. 1.20) s’établit par les expressions en termes de :

débit volumétrique (m3 · s−1) :

Qv=∬SV→⋅n⋅dS⇔Qv=V⋅S [1.57a]

débit massique (kg · s−1) :

Qm=∬Sρ ⋅V→⋅n⋅dS⇔Qm=ρ⋅V⋅S [1.57b]

débit de quantité de mouvement :

dQq=ρ⋅V→(v→⋅dS→) (kg · m · s−2) [1.58a]

débit d’énergie :

dQe=ρ⋅e→⋅V⋅dS→ (W ou J · s−1) [1.58b]

La masse totale sortant de la surface S par unité de temps est :

Mt=∬sj→⋅dS→=∭τdiv j→⋅dτ [1.59]

où j=ρ⋅V (kg · m−2 · s−1) ;

avec dτ : élément de volume.

Fig. 1.20. Champ de vitesse à travers une surface S

Dans un écoulement unidirectionnel (fig. 1.21), la contrainte τ exprimée en fonction de la normale n→ à chaque face orientée vers l’extérieur s’écrit :

τ=μ∂V∂n [1.60]

Fig. 1.21. Profil de vitesses en Fx

Ainsi, la vitesse augmente quand on se déplace dans la direction de na (normale orientée depuis l’axe) et la vitesse diminue quand on se déplace dans la direction de nb (normale orientée en bordure).

Par unité de volume, et toujours dans la direction x, l’équation de mouvement d’un fluide réel s’écrit :

ρdUxdt=−∂P∂x+divτx→+fx [1.61]

où fx désigne les forces de volume (N · m−3) s’exerçant dans la direction x.

En menant les calculs pour la composante x et les autres composantes y et z, on obtient l’opération vectorielle de Navier-Stokes suivante :

ρdV→dt=−∇p→+μ⋅∇2⋅V→+fv→ [1.62]

La vitesse pour un point éloigné de l’axe d’une distance y(n) (fig. 1.22) s’exprime par :

Uy=U0(1−y2ym2)=Um(1−yym)1/7 [1.63]

Fig. 1.22. Gradient de vitesse dans un écoulement (profil longitudinal et perspective)

Le débit linéique (m2 · s−1) par unité l de largeur vaut :

q=∫yymu⋅dy [1.64a]

Soit :

q=23l⋅y3μ(∂p∂x) [1.64b]

Pour une même contrainte, le gradient de vitesse varie en fonction inverse de la viscosité :

fluide à viscosité faible : grand gradient ;

fluide à viscosité forte : faible gradient.

Le mouvement de la particule est :

dP = V¯dt [1.65]

avec :

V¯ : vecteur de vitesse de composante u1, u2, u3 (ou ui et dx = ui · dt) ;

dt : intervalle de temps.

Les lignes de courant (voir fig. 1.12, 1.16 et 1.23) donnent une représentation théorique des directions des vecteurs vitesses à un instant donné, en régime permanent, uniforme, non uniforme ou turbulent auxquelles les vecteurs de vitesse sont inégaux.

La fonction de courant en écoulement bidimensionnel implique que le débit volumique total à travers toute section a pour équation :

Fig. 1.23. Lignes de courant : laminaire ou turbulent

∫v∇⋅v→⋅dV=∮sv→⋅n⋅dS [1.66]

Dans un chenal, il est considéré une vitesse moyenne :

V→=1h∫0hμ(y)⋅d(y)=13ρ⋅g⋅sinθμh2 [1.67]

avec μ = 10−3 Pa · s.

La célérité des ondes ou propagation d’une variation de pression dans l’eau est :

C=Eρ [1.68]

et vaut 1 425 m/s dans l’eau à 10 °C.

1.2.8Ligne d’énergie, ligne piézométrique

En hydraulique, l’énergie (ou travail)(3) W, est généralement rapportée à l’unité de poids (force) écoulé Σ(F→,V→).

Ainsi, la particule animée d’une vitesse V est sujette à :

une énergie de position Ez = Z [1.69a]

une énergie de pression Ep=Pρ⋅g [1.69b]

une énergie cinétique du mouvement : Ec=Wc=12m⋅V2 [1.69c]

avec Ec en J, m en kg et V en m · s−1.

L’énergie cinétique par unité de poids est alors :

Ec=Wcρe=12m⋅V2ρ⋅g=V22g [1.69d]

La puissance cinétique s’appliquant au point M est la dérivée :

PM=dEcdt

On a ainsi (fig. 1.24) :

l’énergie totale est égale en somme à :

E=Z+Pρ⋅g+α⋅V22g = constante du régime permanent [1.69e]

l’énergie de courant ou de trajectoire H(z) ;

l’énergie statique ou piézométrique :

Es=Z+Pρ⋅g=P*ρ⋅g [1.69f]

L’énergie perdue ΔH par frottement entre 1 − 2 (fig. 1.24).

Fig. 1.24. Représentation des lignes d’énergie perdue et utilisable

La puissance du courant est la capacité de fournir un travail produisant l’érosion et le transport, soit :

V=μ⋅τ [1.70]

avec :

V : vitesse moyenne déterminée par les relations ci-après (Chézy, Manning…) ;

τ : force de frottement (contrainte tangentielle) exercée sur une unité de surface du fond (ou des bords).

Pour un écoulement gravitaire la valeur de τ dépend de la pente α et de la profondeur h :

τ=ρ⋅g⋅h⋅sinα [1.71]

La puissance d’un courant est la capacité de produire l’érosion, de formule :

W=V→⋅ρ⋅g⋅h⋅sinα [1.72]

La puissance du courant peut varier de 1 à 1 000 W par m2 de fond (fig. 1.25).

La puissance spécifique vaut :

PW=g⋅ρ⋅Q⋅IL [1.73]

avec :

Q : débit (m3/s) ;

I : pente (m/m) ;

L : largeur d’écoulement.

Fig. 1.25. Puissance du courant en fonction de la profondeur et de la pente (extrait de P. Friend)

1.2.9Équations et formulations générales

En hydraulique, on traite principalement du transit et du stockage de l’eau. Les variations de pression et de température ne modifient pratiquement pas la masse volumique incompressible.

L’équation de continuité exprime donc la différence entre :

Le débit volumique entrant QE et sortant QS (fig. 1.26), soit :

∂∂t(vol)=QE−QS [1.74a]

Le débit massique dans la section : ∂∂t∫ρ ⋅dS=mE−mS [1.74b]

Fig. 1.26. Profil d’écoulement turbulent u¯(z)=u¯(r) de Hagen-Poiseuille dans une canalisation circulaire

La vitesse maximale dans une section circulaire s’obtient à l’axe :

Umax=14μ(dpdx)R2 [1.75a]

Ce qui permet d’écrire que :

U(z)=U(r)=Umax(1−r2R2) [1.75b]

En écrivant que :

SE⋅VE=SS⋅VS⇒QE=QS⇒VE=VS [1.76]

Comme il n’y a qu’une seule composante de la vitesse Vx, le débit massique dans la section d’entrée, on a :

ME=ρ⋅VX⋅Δy⋅Δz [1.77a]

Le débit massique dans la section de sortie, à une distance dx par rapport à l’entrée, s’écrit :

MS=ρ ⋅Vx⋅Δy⋅Δz+∂∂x(ρ ⋅Vx⋅Δy⋅Δz)dx [1.77b]

De ces équations on obtient la forme différentielle de l’équation de continuité pour un écoulement unidirectionnel :

∂ρ∂t+∂∂x(ρ ⋅Vx)=0 [1.77c]

La relation devient :

∂Vx∂x=0 soit Vx=f(y, z, t) [1.77d]

Pour un écoulement bidimensionnel et bidirectionnel, l’équation de continuité s’écrit :

∂Vx∂x+∂Vy∂y=0 soit y+∂Vy∂y=0 [1.77e]

Par intégration :

Vy(x, y)=−y22+f(x) [1.77f]

puisque Vy(x, 0)=f(x)=0 pour tout x, donc f(x)=0.

Si bien que Vy(x, y)=−y22.

Dans une conduite de diamètre D, l’équation de continuité devient :

V = constante dans tout le tronçon

La vitesse moyenne d’écoulement V=∬u⋅dsS (fig. 1.26) a pour expression basique la relation de Chézy :

V = C · (h · I)1/2 [1.78]

avec :

C : coefficient de frottement sur la paroi de Chézy ;

h : profondeur ou rayon hydraulique (Rh=SP) ;

I : pente (m/m).

Ou l’expression de Manning-Strickler dans laquelle C=1nRh1/6=Ks(4), soit :

V=KsRh2/3I1/2 [1.79]

La formule de Torricelli donne la vitesse à la sortie d’un orifice réduit d’une ouverture, d’un réservoir… :

V = (2g · h)1/2 [1.80]

avec :

g : accélération de la pesanteur (9,81 m/s2) ;

h : hauteur de charge d’eau au-dessus de l’orifice (h au temps t).

Exemple

Soit h(t) la hauteur d’eau à l’instant t, dans le réservoir de section S et d’orifice de vidange s. La conservation du débit volumique est :

QV(t)=sV(t)=−Sdhdt

On vérifie ainsi la formulation d’égalité des débits volumiques :

s(2gh)1/2=−Sdhdt

avec l’équation différentielle :

−dhh=sS2g⋅dt

En intégrant entre h0 (origine) et h(t), on a :

h0−h=s2S2g⋅t

La durée de vidange Δt, en considérant h(t) = 0, est :

Δt=sS2h0g

L’écoulement par l’orifice (s<S) permet d’écrire d’après le théorème de Bernoulli :

S⋅V1=s⋅V2

on en déduit que :

V2=S2ghS2−s2

La vitesse n’étant pas constante, on a :

−S⋅dz=S⋅Vz⋅dt

L’intégration donne la variation en fonction du temps :

h(t)=(h0−12t2gS2−s2)2

La relation qui exprime le passage de l’écoulement laminaire à l’écoulement turbulent selon le rapport des forces et viscosité ci-dessus est le nombre de Reynolds (éq. [1.31a et b]) :

De même, dans l’équation de continuité en écoulement uniforme (et conservatif), l’uniformité s’écrit :

V=f(x, t) et Q=f(x, t) [1.81a]

En régime d’écoulements variés :

V=f(x, y) et Q=cste [1.81b]

La relation fondamentale déterminant le débit Q à travers la section S est :

Q = V · S [1.82a]

Elle donne, pour une section S rectangulaire de largeur superficielle B et de hauteur d’eau h, un débit :

Q = V · B · h [1.82b]

Et la hauteur moyenne hm = SB.

En toute rigueur, la hauteur spécifique d’énergie est :

hS=PW+V22g [1.83a]

avec :

P : pression exercée sur le point considéré (Pa) ou ≈10−59,81 mCE (mètres de colonne d’eau) ;

W : poids spécifique de l’eau (9 810 kg · m−3 · s−2).

Et on obtient alors la charge spécifique :

Hs=h+Q22g⋅B2⋅h2=h+V22g [1.83b]

Cette relation montre qu’il existe une hauteur d’eau « critique » qui permet d’évacuer un débit Q donné sur une charge Hs minimale.

hc=(Q2g⋅B2)1/3 [1.83c]

Avec l’influence de la pente, la relation devient :

Hs=Z+h+Q22g⋅B2⋅h2 [1.83d]

Pour un écoulement lentement variable, on peut admettre qu’en toute section la pente de la ligne de charge est celle d’un régime uniforme, substituant la pente au terme g · h.

La vitesse peut alors être déterminée par différentes formules (tab. 1.2) déduites de la formule de Chézy :

V=CRh⋅I [1.78bis]

Tab. 1.2. Vitesse moyenne u¯, hauteur hn et pente du fond jf selon la loi de frottement utilisée

Loi de frottement

u¯

hn

jf

Manning-Strickler

KiRh2/3

(qKi)3/5

u¯2K2Rh4/3

Darcy-Weisbach

8gfiRh1/2

(qf8gi)2/3

u¯2f(Rh)2g4Rh

Chézy

CiRh1/2

(q1Ci)2/3

u¯2C2Rh

Avec C le coefficient qui, selon Manning-Strickler (formulation la plus utilisée), est égal à :

C = (1/n) · Rh1/6 = Ks · Rh1/6

soit V=Ks⋅Rh2/3⋅I1/2 [1.79bis]

Les valeurs usuelles de coefficient de rugosité Ks et les commentaires sont donnés en annexes :

Rh : le rayon hydraulique ; Rh = Sm/Pm = h · B(2h + B)

Sm : section mouillée ;

Pm : périmètre mouillé, en fonction du tirant d’eau y (le tirant d’eau normal est singularisé yn) ;

I : pente motrice (Hs – h/d) selon la distance d considérée (m/m).

Le débit est donc égal à :

Q = Ks  · Rh2/3 · I1/2 · Sm [1.84a]

Dans une rivière très large ou un canal de forme rectangulaire : Rh ≈ y, d’où :

Q = Ks · B · y5/3 · I1/2 [1.84b]

Il existe donc dans ce cas une relation explicite donnant le tirant d’eau en fonction du débit :

y = Q3/5 · Ks−3/5 · B−3/5 · I−3/10 [1.84c]

1.2.10Charge hydraulique et ligne d’énergie

1.2.10.1Théorème de Bernoulli

Base du théorème de Bernoulli, la ligne d’énergie ou perte de charge s’exprime par la somme de trois quantités homogènes en termes d’énergie, de pression, de hauteur de liquide (l’eau) en un point donné (fig. 1.27 et tab. 1.3, 1.4 et 1.5) :

H=Z+Pρ⋅g+V22g=Wm⋅g=Eg [1.85]

où :

P : pression (Pa) ; Patm = 101 325 Pa ;

ρ : masse volumique (kg/m3) ;

g : accélération de la pesanteur (9,81 m/s2) ;

V : vitesse moyenne (m/s) ;

α : coefficient de Coriolis (éq. [1.19a, b, c]) ;

E : énergie interne massique ;

H : charge hydraulique (m) :

H=P−Patmρ⋅g+(z↑)

Fig. 1.27. Traduction graphique de l’équation de Bernoulli

Pour un liquide parfait, le théorème montre que la quantité P1+g⋅h+V22 est constante le long d’une ligne de courant ; dans le cas d’une chute de hauteur h, cette quantité vaut :

0 + g · h + 0 au point haut [v(hmax = 0)]

0 + 0 + V22 au point bas

d’où : V22=g⋅h ; V=2g⋅h ; h = V22g [1.78bis]

Par la suite de frottement, la vitesse acquise est strictement inférieure à 2g⋅h

Donc V=m2g⋅h, avec m < 1.

La perte de charge en un point singulier (rétrécissement, appareillage…) vaut alors :

h=1m2⋅V22g=kV22g avec k≥0,01 [1.86]

L’équation de Bernoulli généralisée entre deux points (1 − 2, fig. 1.27) devient :

P1ρ ⋅g+12αV12g+z1=P2ρ ⋅g+12αV22g+z2+ΔH12 [1.87]

Dans cette équation, les termes peuvent être interprétés comme un bilan énergétique par kilogramme de fluide (tab. 1.3).

Tab. 1.3. Termes du bilan énergétique

Terme

Interprétation

P1ρ

Énergie massique (J · kg−1)

12⋅V12

Énergie cinétique massique (J · kg−1)

g⋅z1

Énergie potentielle massique (J · kg−1)

Dans cette équation, les termes peuvent être interprétés en qualité de pressions, exprimées dans le théorème de Bernoulli en pressions absolues (tab. 1.4).

Tab. 1.4. Termes des qualités de pressions

Terme

Interprétation

12⋅ρ ⋅V12

Pression dynamique (Pa)

P1 + ρ  · g · z1

Pression statique (Pa)

Dans cette équation, les termes peuvent être interprétés en qualité de hauteurs d’eau (tab. 1.5).

Tab. 1.5. Termes des qualités de hauteurs d’eau

Terme

Interprétation

P1ρ ⋅g

Hauteur manométrique (m)

P1ρ ⋅g+z1

Hauteur piézométrique (m)

12⋅V12g

Hauteur produite par la vitesse (m)

Z1

Altitude (m)

Entre les sections 1 et 2 (fig. 1.27 et 1.24), on distingue :

les équations de conservation d’énergie :

(P1γ+αV122g+z1)−(P2γ+αV222g+z2+ΔH1−2)=τ0γ⋅Rhdx [1.88]

les équations de quantité de mouvement :

P1S1−P2S2−R+G⋅sinθ=ρ⋅Q(V2−V1) [1.89]

les équations de continuité :

V1=V2=V=QS car S1=S2=S [1.90]

avec :

R=τ0⋅P⋅L

G⋅sinθ=g⋅S⋅L⋅sinθ=g⋅S(z1–z2)

La combinaison des équations [1.88], [1.89] et [1.90] donne :

(P1−P2)γ+(z1−z2)=J⋅L [1.91a]

γ⋅S[(P1−P2)γ+(z1−z2)]=τ0⋅P⋅L [1.91b]

En divisant [1.91a] par [1.91b] et après séparation de la contrainte de cisaillement τ0 (N · m–2), on obtient la relation indépendante de (z1 − z2) :

τ0=γ · Rh · J [1.92]

Puisque γ = ρ  · g, on peut écrire :

τ0ρ=g⋅Rh⋅J [1.93]

La perte de charge unitaire ou pente de ligne d’énergie est donc :

J=dHdx [1.94]

Les pertes de charge linéaires Δ (ou unitaires J) des écoulements canalisés(5) sont usuellement exprimées par la formule de Darcy-Nikuradse où :

la différence de pression (en Pa) est :

Δh=P⋅V22⋅LDh [1.95a]

la différence d’énergie potentielle (en mCE) est :

Δh=λ⋅V22g⋅LDh [1.95b]

J=ΔhL

dans lesquelles :

L : longueur du tronçon de canalisation ;

Dh : diamètre hydraulique (4Rh) ;

λ : coefficient de perte de charge 1λ=2log10(k3,71Dh), formule de Colebrook-Nikuradse. La formule de Colebrook introduit un deuxième terme additionnel, négligeable en écoulement turbulent et fluide newtonien, sous forme implicite :

1λ=− 2log10(k3,71Dh+2,51Reλ)

avec k : rugosité, généralement 0,03 mm ≤k ≤0,1 mm selon le type de canalisation (0,001 m si la paroi est en mauvais état).

La perte de charge par frottement hf conduit à la formule générale suivante :

hf=K⋅L⋅QnQm [1.96]

avec K, n, m constantes,

où :

K=8π2g=0,0826λ

n = 2 ;

m = 5 ;

L : longueur de la conduite (m) ;

D : diamètre (m) ;

Q : débit (m3 · s−1).

Si on substitue : αV22g à 0,0826Q2/D4, on retrouve l’équation [1.95] de Darcy (tab. 1.2).

La charge hydraulique en un point M d’un écoulement de filtration soumis à la seule gravité vaut également par la relation :

h=u¯22g+Pρ⋅g+z [1.97a]

avec :

ū : vitesse réelle du fluide au point M (dont la cote z est comptée positivement vers le haut).

La charge ne peut que décroître dans le sens de l’écoulement.

Si un fluide est immobile, sa charge est constante dans l’espace.

En milieu poreux, les vitesses réelles sont toujours très lentes, on peut donc négliger le terme de charge dynamique u¯22g (ex. : U = 0,01 m/s → 5 · 10−6) si bien que la charge se résume à la charge statique ou cote piézométrique :

h=Pρ⋅g+z [1.97b]

La cote piézométrique est donc confondue avec la charge. La valeur de la charge est fonction de l’origine choisie sur l’axe z. On exprime généralement les charges par rapport au nivellement général (NGF) comptées au-dessus du niveau moyen des mers, comme les altitudes topographiques.

Finalement, en régime d’écoulement laminaire (Re < 2 000) dans une canalisation, la perte de charge régulière est proportionnelle à L. L’équation de Darcy-Weisbach est :

Δp=Re(Re)12μ⋅V¯2LD avec λ=64Re [1.98]

En régime d’écoulement turbulent lisse (2 000 ≤ Re ≤100 000), le coefficient λ dépend de Re, comme dans l’expression empirique suivante :

λ=(100Re)−0,25 [1.99]

En régime d’écoulement turbulent rugueux, cas le plus courant, un autre membre sans dimension intervient : la rugosité relative (k/D) qui mesure la hauteur moyenne des aspérités (k) la paroi interne de la canalisation sur son diamètre (D), d’où :

λ=0,79kD [1.100]

Lorsque le fluide pénètre dans une canalisation (fig. 1.28), sa vitesse U augmente pour atteindre un régime stationnaire au bout d’une certaine distance d’entrée LE pour lequel la pression diminue linéairement. La distance de la canalisation de diamètre D dépend du nombre de Reynolds par les relations :

en écoulement laminaire (Re < 2 000) :

LED=0,0065Re [1.101a]

en écoulement turbulent (Re > 3 000) :

LED=1,5Re0,25 [1.101b]

Fig. 1.28. Profils de vitesses entrantes dans une canalisation

1.2.10.2Liens entre perte de charge, profil de vitesse et débit

L’écoulement en régime permanent (∂V→∂t=0→) sous l’action d’un gradient de pression s’écrit :

G=∂p∂x [1.102]

traduisant la perte de charge et le profil de vitesse. En généralisant en 3D l’espace, la force résultante de pression s’écrit :

fp→=− grad→P=∇→P [1.103]

En écoulement permanent, les forces de volumes se réduisent à la pesanteur :

F→=− grad→(ρ⋅g⋅z) [1.104]

Et sous le référentiel de coordonnées cylindriques r, θ, z (fig. 1.29), de vitesse d’écoulement ux = ur, la composante n · S suivant x s’écrit :

−∂p∂x+μ[1r∂∂r(r∂ux∂r)]=0 [1.105]

avec dans l’axe d’écoulement la variation de vitesse entre :

r=∫r=0Ret en r=R→u=0

Fig. 1.29. Débit d’un profil parabolique en conduite cylindrique

Le débit selon la formule de Poiseuille a pour équation :

Q=∫0Ru⋅2π⋅r⋅dr=∫0RG4μ(r2−R2)2π⋅r⋅dr [1.106a]

soit :

Q=πR48μG=2π⋅Umax(R22−R24) [1.106b]

où : G=(P1−P2)/L (pente piézométrique).

Ces relations permettent de faire le lien entre le débit et les pertes de charge, donc :

ΔPt=−dPtdxΔx=− GΔx [1.107a]

où G=− 8μQπR4

avec Δx=L : longueur de la conduite :

ΔPt=8μπR4Q⋅L=8μUR2L [1.107b]

Ainsi, la perte de charge le long d’une ligne de courant exprimée d’après l’équation de Navier-Stokes a pour termes :

ΔPi=μ⋅ΔV→⋅dL (en J · m−3) [1.108]

La vitesse maximum en r = 0 est :

Umax=G⋅R44μ [1.109]

Le champ de vitesse a pour expression :

Ux(r)=Umax(1−r2R2) [1.110]

La vitesse moyenne débitante considérée vaut :

U=QπR2=Umax2=−G⋅R28μ [1.111]

Les contraintes valent :

τrx=τxr=μdudr=G⋅r2 [1.112a]

où, sur la paroi (r = R) :

τxr=−G⋅R2 [1.112b]

Le champ de vitesse est défini par :

Vx(r)=Vmax(1−r2R2)=Δp4μL(R2−r2) [1.113]

On en déduit le débit volumique :

QV=∬V→​⋅dS→=∫0RVX2π⋅R⋅dr=2π⋅Vmax(R22−R24) [1.114]

d’où :

V¯=Vmax2 [1.115]

Pour l’écoulement dans un canal fermé (fig. 1.30), le champ de vitesse se définit semblablement par :

Ux(y)=Umax(1−yeh2) [1.116]

soit le débit lunéique (par unité de largeur l) :

q=Ql=2∫0hUX⋅dy=2Umax(h−h3)=43h⋅Umax=∫−h/2+h/2UX⋅dy [1.117]

avec q le débit unitaire (m3 · s−1 · m−1 ou m2 · s−1) ;

d’où la vitesse moyenne :

V¯=23Umax [1.118]

Le débit d’un profil parabolique entre plans parallèles est illustré à la figure 1.30.

Fig. 1.30. Débit d’un profil parabolique entre plans parallèles

Le champ de vitesse est ici défini par :

Vx(y)=Vmax(1−y2h2)=Δp4μL(y2−h2) [1.119]

d’où :

y=Δpμg [1.120]

soit la loi de Poiseuille :

Δp=Rh⋅Qr [1.121]

où Δp=p1−p2 : différence de pression entre entrée et sortie d’un profil.

1.2.11Énergie hydraulique et cinétique d’une chute

L’énergie hydraulique pouvant se transformer en énergie cinétique, lors d’une chute d’eau, résulte :

de l’énergie potentielle :

W=m⋅g⋅h [1.122]

de la puissance de la chute d’eau :

P=Wdt [1.123]

de la puissance utilisable :

Pu=mV⋅V⋅g⋅hdt [1.124]

du débit :

Q=Vdt [1.125]

de la puissance produite :

Pp=n⋅Q⋅g⋅h [1.126]

dans lesquelles :

W : énergie (J) ;

m  : masse d’eau (1 000 kg) ;

g : accélération de la pesanteur (m · s−2 ou N · kg−1) ;

h : hauteur de la chute (m) ;

P : puissance de la chute (W) ;

dt : durée (s) ;

mV : masse volumique (t · m−3 ≈ 1) ;

V : volume (m3) ;

n : rendement (≈ 0,7).

1.2.12Moment cinétique d’un point « matériel » en rotation

Le moment cinétique d’un point M par rapport au point fixe O de l’axe est un vecteur perpendiculaire à OM, trajectoire du point M (fig. 1.31).

Fig. 1.31. Mouvement de rotation d’un point M

Le moment de la quantité de mouvement s’écrit :

L→M/O=OM→∧m⋅V→M/R [1.127]

La dérivée du moment cinétique est égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport à O.

∑​M→O(F→ext)=dLO→dt=OM→∧m⋅aM/R [1.128]

avec :

∑​M→O(F→ext) : actions ;

dLO→dt=OM→∧m⋅aM/R : moment cinétique variable.

Le moment d’inertie I du point distant de L de l’axe de rotation est égal au produit de la masse de ce point par le carré de la distance :

IΔ=m⋅L2 [1.129]

où Δ est l’axe fixe.

1.2.13Effet ou forces centrifuge et centripète

C’est une des lois du mouvement de Newton (F→=m⋅a→) dont les deux relations équivalentes de la force centrifuge sont :

Fc=m⋅ω2⋅r→=m⋅V2R [1.130]

dans lesquelles :

Fc : force centrifuge (N) ;

m : masse du fluide ou corps considéré (kg) ;

ω : vitesse angulaire (rad · s−2) soit 2π/r ;

V : vitesse linéaire sur la tangente de la trajectoire (m · s−1) ;

R : distance de l’axe de rotation au centre de gravité du corps, ou rayon r de courbure de la trajectoire (m).

La composante tangentielle de la résultante des forces (repère de Frenet) dont on déduit le moment est :

C=JOα=MO(Ft)=Ft⋅r [1.131]

où :

C : moment de la force par rapport au centre O du cercle de trajectoire (N · m) ;

JO : moment d’inertie du point par rapport à O, JO=m⋅r2 (kg · m2) ;

α : accélération angulaire du point matériel (rad · s−2).

Exemple

Avec une masse de 1 kg, une vitesse angulaire de 1 rad · s, un rayon r = 2 m, l’accélération centrifuge est de 2 m · s2 et la force centrifuge Fc = 2 N.

L’accélération centripète (opposé de centrifuge) est donnée par la formule :

aC=− ω2⋅r→ [1.132]

La quantité de force pour déplacer un objet à la vitesse V sur la courbe de rayon r est donc :

F→=m⋅ω2⋅r→ [1.130bis]

dans lesquelles :

ω: vitesse angulaire ω=v/r, le signe négatif indique que la direction de l’accélération est dirigée vers l’intérieur, le centre du cercle, c’est-à-dire opposée au vecteur position r→.

Pour un mouvement circulaire uniforme, la force centripète vaut :

FC=m⋅v2r [1.130ter]

où :

v : vitesse intérieure (m/s) ;

r : rayon du cercle (m).

Le fluide en rotation uniforme (fig. 1.32) a pour équation :

− V¯p+ρ⋅g→(dV)+ρ⋅ω2⋅r→(dV)=0→ [1.133]

avec :

− V¯p : force de pression ;

ρg→ : force de pesanteur ;

ρω2r→ : force centrifuge ;

dV : élément de volume.

Fig. 1.32. Force centrifuge s’exerçant sur un élément de volume dV

La relation vectorielle générale liant les forces par unité de masse à la pression s’écrit :

MV⋅F−grad→(P)=0 [1.134]

La surface d’un liquide en mouvement circulaire est un paraboloïde de révolution à concavité dirigée vers le haut. Avec l’origine y0 au centre du fond, cette courbe a pour équation :

y=ω22gx2+y0 [1.135]

avec x : distance de rayon r.

Le volume du paraboloïde de révolution de hauteur H dont la section circulaire est de rayon R vaut :

V=12π⋅R2⋅H [1.136]

1.2.14Écoulement oscillatoire naturel

À faible profondeur, la vitesse d’écoulement en milieu naturel (fleuve, estuaire, rivage) s’établit selon la formulation de Torricelli : V=2gh, où h est initialement faible, mais cette hauteur d’eau peut subitement être affectée par une perturbation avec propagation d’onde. C’est la formation de vague, de mascaret, tsunami…, en fait un ressaut hydrodynamique(6) (fig. 1.33).

Fig. 1.33. Volume de contrôle pour établir l’équation de d’Alembert

Cette élévation n de la masse d’eau ρ⋅n(x)⋅Δx, par unité de traverse en x, y, produit une variation de pression g⋅ρ⋅n. La somme des forces agissant est égale à l’accélération de masse d’eau comprise dans le volume S⋅Δx, d’où le fluide est poussé avec la force ρ ⋅g⋅n⋅S en x et x+Δx, à vitesse constante.

L’équation d’onde ou équation d’Alembert s’écrit :

∂n2∂t2=C02∂n2∂x2 avec C=g⋅h0 [1.137]

Une bonne approximation pratique donne (fig. 1.34) :

la longueur de l’onde (m) :

λ=1,56T2 donc T (en s) =λ1,56 [1.138]

la vitesse de phase en termes de longueur d’onde ou célérité de propagation :

C=±gλ2πtanh(2πHλ)=±gλ2π en limite de H [1.139]

et u=g⋅nC0

en profondeur infinie : C=1,56T ;

en faible profondeur : C=g⋅H=1,56T2

Fig. 1.34. Déferlement frontal de vagues

Les particules de fluide tournent dans le sens des aiguilles d’une montre, le long d’une petite ellipse, avec la période de l’onde. Au fur et à mesure qu’on approche du fond (fig. 1.34), la trajectoire devient de plus en plus plate.

La fréquence angulaire a pour expression :

ω=2πT [1.140]

où T est la période de la houle (temps séparant le passage de deux crêtes).

Le nombre d’onde est exprimé sous la forme :

k=2πλ [1.141]

L’énergie potentielle vaut :

Ep=ρ ⋅g⋅n22 [1.142]

L’énergie cinétique d’une tranche de longueur λ vaut :

Ec=ρ ⋅g⋅n024 [1.143]

Le déferlement de vague sur la côte (plage) se définit par le paramètre dit de « surf » :

ζ=tan gβλH [1.144]

où β est la pente de la plage.

Exemple

Pour une longueur d’onde λ=100 m et une amplitude a = 1 m, avec C = 12,5 m/s et T = 8 s, le flux d’énergie par mètre linéique de côte est de 32 kW/m.

(1) On appelle « volume de contrôle » l’élément de fluide (matériel, géométrique et arbitraire) qu’on isole dans la pensée, délimité par une surface matérielle.

(2) Désignation française ou anglo-saxonne.

(3) Voir Annexe A1 Unités de base appliquées à l’hydraulique.

(4) Coefficient dont les valeurs courantes sont données en Annexes A3.

(5) Voir § 12.1.2.1 Pertes de charge linéaires.

(6) Voir § 6.4.4.3 Célérité à l’embouchure des fleuves et § 6.4.9.3. Propagation d’une onde de crue en rivière