Partie 1

Approche théorique

Les trois chapitres de cette première partie précisent les analyses qui sous-tendent les situations d'enseignement proposées dans la deuxième partie.

Le premier chapitre explicite les choix que nous avons faits concernant le développement du concept de nombre chez les élèves de Grande Section et de Cours Préparatoire. Comment les élèves peuvent-ils construire du sens pour les nombres qu'ils utilisent? Quels problèmes peuvent-ils résoudre très tôt en utilisant des nombres? Ce chapitre replace également cette problématique dans une perspective historique concernant les premiers apprentissages numériques.

Le deuxième chapitre est davantage centré sur l'apprentissage des noms et des écritures de nombres. Il est destiné à justifier les propositions que nous faisons dans ce domaine pour la Grande Section et le Cours Préparatoire.

Le troisième chapitre vise à éclairer les modalités d'apprentissage retenues pour la Grande Section :

- les principaux objectifs retenus sont commentés;

- nos conceptions concernant la façon dont les jeunes élèves apprennent et les conditions que nous estimons favorables à cet apprentissage sont ensuite développées;

- enfin, sur un plan peut-être plus pratique, quelques indications sont fournies concernant la mise en œuvre dans la classe des situations décrites par la suite.

■ Quelle construction des nombres pour les enfants de 5 à 7 ans ?

Alors que la part des activités numériques à l'école maternelle avait beaucoup diminué dans les années 1970-1980, une réflexion renouvelée sur les premiers apprentissages des nombres et de la numération permet aujourd'hui d'avancer un ensemble de propositions en faveur du développement de certaines activités numériques dès l'école maternelle.

Choisir, construire et mettre en place de telles activités suppose une réflexion organisée autour d'un triple questionnement.

À quels élèves nous adressons-nous?

Que connaissons-nous de leur développement, de leurs capacités cognitives? Que savent-ils déjà des nombres et de leurs utilisations? Quelles représentations, quelles images s'en font-ils? Comment et dans quelles circonstances les utilisent-ils? Avec quelles difficultés?

Comment les élèves apprennent-ils?

À quelles hypothèses concernant l'apprentissage nous référons-nous? Quelle stratégie d'enseignement voulons-nous développer?

Quel(s) point(s) de vue retenons-nous des concepts à enseigner?

Quels aspects des nombres et de leur construction par les élèves souhaitons-nous privilégier dès l'école maternelle?

Rares sont les propositions d'enseignement des nombres qui ont développé une explication des options retenues relativement à ces trois pôles. Il est cependant possible de se faire une idée des points de vue qui ont prévalu au cours des quarante dernières années, notamment à partir de l'examen des textes officiels, d'articles de pédagogie ou de manuels.

C'est ainsi que, pendant longtemps, on s'est peu préoccupé de connaître « l'état de connaissance initial » des élèves et donc de prendre en compte les compétences manifestées avant tout apprentissage scolaire. Ainsi, dans un article publié dans les Cahiers de pédagogie moderne (Éd. Bourrelier, 1958) consacrés au Cours Préparatoire, peut-on lire : « C'est du concept de cet enfant "vierge" que doit normalement partir une réflexion qui veut aboutir à l'élaboration d'une méthode et d'une progression valables pour l'enseignement du calcul au CP. » Il est vrai que ces lignes étaient écrites avant le développement de la scolarité préélémentaire.

Dans le même sens, et plus récemment, certains ont pu être tentés d'interdire aux élèves d'utiliser des nombres avant que « la notion des nombres» ne soit construite : d'où, par exemple, le recours imposé à la correspondance terme à terme pour comparer deux collections de 4 et 6 objets... alors que l'élève sait dénombrer et utiliser le résultat du dénombrement pour comparer !

Concernant le troisième point, les artisans de la réforme de 1970 (dite «des mathématiques modernes ») ont argumenté leurs propositions en privilégiant une réflexion sur le concept de nombre du point de vue des mathématiciens, même si Piaget a été abondamment sollicité pour justifier les choix opérés à l'époque.

Dans ce court chapitre, après avoir analysé succinctement les options retenues au cours des quarante dernières années, nous nous proposons d'éclairer notre conception de la construction des nombres par les élèves de maternelle et du début du Cours Préparatoire. Dans un autre ouvrage consacré au CP, nous aurons l'occasion de revenir sur ces choix pour les expliciter plus en détail, mais il nous paraît indispensable que les activités proposées en Grande Section de maternelle soient replacées dans une réflexion plus large.

Deux périodes des premiers enseignements des nombres

Des quarante dernières années se dégagent deux périodes dont la charnière est marquée par la réforme de 1970. Notre propos n'est pas ici d'en faire une analyse fine, mais plutôt d'en dégager les tendances majeures de manière à mieux situer les propositions d'apprentissage faites dans cet ouvrage.

1. 1945-1970 : APPRENDRE LES NOMBRES

Au CP

Citons in extenso le programme de CP de 1945 :

« Étude concrète des nombres de 1 à 5, puis de 5 à 10, puis de 10 à 20. Formation, décomposition, nom et écriture. Usage des pièces et billets de 1, 2, 5, 10 francs, du décimètre et du double-décimètre gradués en centimètres.

Les nombres de 1 à 100. Dizaines et demi-dizaines. Compter par 2, par 10, par 5. Usage du damier de 100 cases et du mètre à ruban.

Exercices et problèmes concrets d'addition, de comparaison et de soustraction (nombre d'un chiffre, puis de deux chiffres), de multiplication et de division par 2 et 5. »

Et quelques extraits des instructions qui accompagnent ce programme :

« Dans l'enseignement au CP, l'apprentissage des nombres doit se faire par l'observation de collections d'objets simples ou usuels, maniés ou dessinés.

(...) Pour avoir véritablement la notion d'un nombre, il faut pouvoir le reconnaître sous ses aspects divers; connaître son nom, sa figure, sa constitution. »

Et à l'école maternelle?

Si l'on en juge par quelques textes (notamment repris dans une brochure de 1954) ou par les manuels de cette époque, la Grande Section de maternelle n'est souvent qu'une « avant-première » du CP (même si on limite à 50 les nombres à étudier). Ni les perspectives, ni les méthodes, ni les contenus ne paraissent très différents.

Dans la pratique, chaque nombre est présenté aux élèves selon le même scénario : présentation du nouveau nombre en relation avec le précédent (à l'aide de collections d'objets, en particulier sous forme de constellations), écriture du nombre et recherche de ses décompositions. L'élève, tour à tour, observe, imite, reproduit et répète.

Le nombre est souvent confondu avec la collection : c'est à la fois un mot, un signe, une collection, une constellation. Cette confusion va conduire ensuite à distinguer « nombre concret » (5 cubes) de « nombre abstrait» (5), sans que cette distinction soit justifiée au plan mathématique.

Ajoutons que la numération (système de désignation des nombres) n'est pas étudiée dans ses principes, mais simplement évoquée à propos de l'étude de chaque nombre : ainsi on parle de la dizaine à l'occasion de la leçon sur le nombre dix.

2. À PARTIR DE 1970 : ACCÉDER AU CONCEPT DE NOMBRE

Là encore, on peut partir du programme de CP de 1970¹ :

«Activités de classement et de rangement.

Notion de nombre naturel.

Nommer et écrire des nombres.

Comparer deux nombres

Somme de deux nombres. »

Et des commentaires qui l'accompagnent :

« C'est par des manipulations nombreuses d'objets que les enfants élaborent peu à peu la notion de nombre naturel. Il est nécessaire de bien comprendre que le nombre naturel n'est ni un objet, ni une propriété attachée à des objets, mais une propriété attachée à des ensembles.

(...) La notion de nombre naturel comme propriété d'un ensemble apparaîtra dans la mesure où l'on pourra établir une mise en correspondance terme à terme entre ensembles.

(...) L'emploi systématique de la correspondance terme à terme permet de classer des ensembles et d'attribuer à chaque classe un nombre : ainsi la classe de tous les ensembles qui ont autant d'objets que l'on a de doigts dans une main définit le nombre naturel « cinq ».

(...) On insistera sur le sens des expressions autant que, plus que, moins que. »

Plusieurs éléments de ces commentaires font allusion à l'école maternelle :

« De telles activités de classement (il est précisé par ailleurs qu'elles doivent porter sur des objets variés de forme, de couleur, de matière, de taille...) pratiquées dès l'école maternelle devront être reprises dans les premières semaines du CP (les propriétés étant ou non d'ordre sensoriel).

(...) Il convient de souligner l'importance, pour l'élaboration de la notion de nombre naturel, des activités de classement, de rangement, de mise en correspondance terme à terme réalisées à l'école maternelle.

Un travail (...) peut déjà être fait avec profit en dernière année d'école maternelle, mais il serait prématuré, à ce niveau, de se fixer pour but, de manière systématique et générale, l'apprentissage des nombres naturels. »

C'est dans cette période qu'on assiste, à l'école maternelle, à un recul très net des activités utilisant les nombres et, simultanément, à un développement des activités souvent qualifiées de prénumériques. Le texte d'orientation pour l'école maternelle (comme divers ouvrages) évoque prudemment une « approche » de la notion de nombre naturel, en limitant cette approche à l'établissement de «correspondances entre les éléments de deux collections après avoir bien défini ces dernières ». En revanche, il accorde une large place aux activités de désignations (cf. «L'enfant apprend à désigner des objets, des ensembles »), de classement, de rangement et de schématisation (cf. « L'enfant forme sa pensée logique et relationnelle »).

L'école maternelle se voit ainsi confier la tâche de donner aux élèves les prérequis à l'étude de la notion de nombre qui sera conduite au CP.

Les conceptions d'apprentissage qui ont influencé la mise en place de cette réforme sont largement inspirées des idées structuralistes, et invoquent abondamment les travaux de Piaget. Le rôle de l'action dans les processus d'apprentissage est largement souligné : c'est à partir de son action sur le réel que l'élève peut abstraire les notions, mettre en évidence les structures. Ce réel peut d'ailleurs prendre la forme d'un matériel structuré dans lequel l'élève pourra découvrir (lire?) la structure sous-jacente.

C'est la notion de nombre qu'il s'agit d'enseigner. En effet, la réforme de 1970 s'est d'abord voulue une réforme des contenus. C'est donc une nouvelle conception du nombre qui est proposée. Cette conception du nombre comme «cardinal d'ensembles finis» se veut une transposition très directe pour les élèves de l'école élémentaire de la « définition » des nombres naturels par les mathématiciens dans le cadre de la théorie des ensembles. Les mots « ensemble », «nombre naturel » apparaissent d'ailleurs comme des termes nouveaux.

En résumé, l'opposition entre les deux périodes peut être énoncée de la manière suivante. Avant 1970, les nombres sont étudiés les uns après les autres et, à l'occasion de l'étude de chaque nombre, sont précisés les règles d'écriture et les conventions et résultats relatifs aux opérations (sommes, différences, décompositions, certains produits) : c'est donc l'ordre des nombres qui détermine largement la progression. Au contraire, après 1970, ce sont les notions qui vont servir de trame à la progression : étude des notions dites prénumériques (classement, rangement, désignation), puis de la notion de nombres puis (souvent simultanément) de la numération et de l'addition.

Poser le problème autrement

Notre propos n'est pas de tirer un trait sur le passé, de nier ou de renier les efforts de réflexion et de proposition des chercheurs et des enseignants. Simplement, il nous paraît possible aujourd'hui de tirer quelques leçons de l'expérience de ces dernières années et de prendre en compte les apports de travaux récents d'origine psychologique ou didactique. Ces différents éléments nous conduisent à réexaminer les conditions d'appropriation des nombres par les jeunes enfants.

Les objectifs que nous proposons pour la Grande Section de l'école maternelle concernant les apprentissages numériques, les hypothèses d'apprentissage auxquelles nous nous référons et les principes didactiques que nous souhaitons mettre en œuvre font l'objet d'une explicitation dans d'autres chapitres. Ici, sont davantage examinés les aspects relatifs au contenu: quels aspects des nombres, quelles pratiques numériques convient-il de développer avec les élèves de maternelle et de CP pour que ceux-ci «donnent du sens» aux nombres et à leurs désignations? Comment prendre en compte les savoir-faire initiaux des élèves, en particulier comment peut-on les amener à utiliser et à enrichir leurs pratiques du dénombrement?

L'analyse et les propositions présentées s'organisent principalement autour de deux idées-force :

- les connaissances mathématiques prennent d'abord du sens dans les problèmes qu'elles permettent de résoudre efficacement;

- le « nouveau » se construit à partir de « l'ancien », en l'améliorant ou en le rejetant (comme insuffisant ou inapproprié), et il convient donc, dans tout processus d'apprentissage, de prendre en compte les connaissances initiales des élèves, en les considérant soit comme des points d'appui, soit comme des lieux de difficultés possibles que l'élève devra affronter pour construire de nouvelles connaissances.

1. BREF RETOUR SUR LES CHOIX ANTÉRIEURS

Il a déjà été souligné qu'aussi bien avant qu'après 1970 les compétences initiales des élèves n'étaient pas prises en compte : on partait de zéro (ou de un !) dans la première période, et dans la seconde on considérait que la notion de nombre était entièrement à construire. Même si après 1970 on a davantage insisté sur le rôle de l'action de l'enfant sur le réel, sur l'importance du processus de mathématisation dans lequel l'élève a une part essentielle, il reste que les connaissances ne sont véritablement utilisées pour résoudre des problèmes qu'après avoir été étudiées pour elles-mêmes.

Des choix et des pratiques issus de la période la plus récente, donc de la réforme dite des mathématiques modernes qui influence encore très largement l'enseignement aujourd'hui, quatre points nous paraissent particulièrement à analyser.

1.1 Le nombre cardinal

Le schéma de construction de la notion de nombre comme « cardinal d'une classe d'ensembles équipotents» apparaît comme une belle construction, satisfaisante pour un esprit mathématique. Mais n'y a-t-il pas un écart important entre ce que l'enseignant croit que l'élève a construit et ce que l'élève a réellement fait, autrement dit, n'est-on pas victime de ce que Guy Brousseau appelle « l'effet Jourdain », c'est-à-dire le fait que l'enseignant reconnaît un savoir savant là où l'élève n'a manipulé que des significations banales? Et que de temps passé (à colorier, à tracer des flèches...) avant d'entrer dans le vif du sujet, c'est-à-dire avant que l'enfant n'en arrive à travailler avec les nombres! Très tôt ce schéma a d'ailleurs été contesté ou précisé.

Citons comme exemple la critique de Freudenthal dans Mathematics as an educational task (1973), citée dans une brochure de l'IREM (Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques) de Nantes (« Nombres entiers naturels ») :

« Dans la genèse du concept de nombre, le nombre "pour compter" joue le premier rôle important (...) »

Et, plus loin, il précise :

« (...) En aucune façon l'enfant ne constitue le nombre comme classe d'ensembles équivalents, même inconsciemment. Le fait d'insister sur cette invariance par bijection est une attitude de mathématicien adulte qui ne peut pas oublier sa propre théorie des nombres naturels. Or les enfants apprennent cette invariance dans un contexte beaucoup plus vaste; ils réalisent que s'ils comptent encore demain ils trouveront à nouveau 5 doigts à leur main, que tous les hommes ont le même nombre de certaines choses et que le nombre de billes dans le mouchoir ne change pas si l'on dit "abracadabra". L'invariance par bijection est un point chaud dans ce contexte, un hobby d'adultes qui le vendent comme aspect cardinal (...). »

Dans sa conclusion à Décrire, agir, compter, C. Meljac (PUF, 1979) ne remet pas explicitement en cause ce type d'approche; elle note toutefois :

« L'enfant n'attend pas d'avoir construit entièrement le nombre - sur la base d'opérations de sériations et de classifications qui fusionnent en une synthèse originale - pour s'en servir de lui-même à différentes occasions. Nous admettons, bien sûr, que seul l'accès à l'opérativité garantit le plein usage de ce nombre et qu'auparavant on ne peut parler que d'un concept « partiel », dont l'existence même s'évanouit hors du contexte qui le suggère électivement; cependant il nous paraîtrait mal fondé de sous-estimer l'importance de ces premières mises à l'épreuve, qui constituent la trame même des futures expériences fécondes de l'enfant. »

1.2 Le nombre ordinal

L'aspect cardinal du nombre est largement privilégié au détriment de l'aspect ordinal, en référence souvent aux travaux de Piaget (qui pourtant affirme que le nombre se construit comme synthèse de ses approches cardinale et ordinale) et en négligeant le rôle des pratiques de comptage dans cet apprentissage. Cependant les pratiques « ordinales » sont souvent plus efficaces, en particulier pour le calcul mental ·

- par exemple pour « additionner » 5 et 3, l'enfant va « avancer de 3 » en partant de 5 comme il le ferait sur la piste du jeu de l'oie;

- plus tard, utilisation de la droite numérique comme support à certains calculs; par exemple pour 47 + 38, l'élève utilisera une technique qui peut être figurée par :

1.3 Nombre et conservation

L'idée de prérequis à la construction du nombre est discutée. Est-il sûr qu'il faille attendre que la conservation des quantités soit assurée pour que des nombres soient utilisés par l'élève, ou bien, comme semblent le montrer de nombreux travaux, ne faut-il pas plutôt tabler sur un processus dialectique dans lequel l'utilisation de procédures numériques (comptage) et de procédures non numériques (correspondance terme à terme, par exemple) favoriserait la construction par l'enfant de l'idée de conservation des quantités? Autrement dit, l'enfant doit-il construire l'idée de nombre avant de pouvoir utiliser des nombres? Ou bien, ne faut-il pas déjà avoir beaucoup «vécu» avec les nombres, s'en être servi, avoir perçu quelque chose de leur organisation pour pouvoir être en mesure de penser «le nombre»? L'histoire nous amènerait à pencher pour la deuxième hypothèse : il a fallu à l'homme, au mathématicien, une longue pratique des nombres avant de pouvoir en proposer la définition mathématique actuelle (qui date seulement de la fin du XIXe siècle).

Cette remarque ne remet pas en cause l'intérêt des activités de types logique et relationnel (classement et rangement, notamment), mais conduit à les considérer davantage avec leurs finalités propres (développement de la pensée logique) que comme des prérequis à la construction de la notion de nombre.

1.4 Les activités proposées

Dans la pratique, certains exercices proposés dans le cadre de cette réforme (mais pas dans son esprit!) ont un intérêt tout à fait limité. On peut citer là des exercices se limitant à des tâches de coloriage ou d'entourage de lapins ou de canards, d'autres où on demande à l'élève de relier 3 lapins à 5 carottes pour savoir s'il y a autant de lapins que de carottes, alors que la perception visuelle suffit à répondre. Enfin, le schéma d'approche de la notion de nombre a rarement été respecté avec toute sa cohérence. Très souvent, notamment au CP, ont été proposées des activités mélangeant ancien et moderne, où après quelques activités sur les ensembles, les relations «autant que», « plus que» et «moins que »... on en arrivait rapidement à une étude des nombres les uns après les autres (mais pas toujours dans l'ordre naturel, sans qu'on en sache la raison). Bref, des activités banales pour les élèves, souvent bien en deçà de leurs propres compétences numériques.

2. PRENDRE EN COMPTE LES CONNAISSANCES NUMÉRIQUES DES ENFANTS

Notre projet, comme nous l'avons dit plus haut, est, entre autres choses, de prendre en compte les compétences numériques initiales des élèves. Cette position s'appuie sur les apports de plusieurs études françaises ou étrangères, que nos propres investigations ont confirmés. Citons en particulier les travaux de C. Meljac (Décrire, agir, compter), J.-P. Fischer (« Développement et fonction du comptage chez l'enfant de 3 à 6 ans », Recherches en didactique des mathématiques, 1981) et R. Gelman (« Les Bébés et le calcul », La Recherche, 1983).

Nous nous sommes, par exemple, attachés à observer les pratiques numériques des enfants en début de Grande Section grâce à un protocole relatif :

- au savoir compter (réciter la suite des « mots-nombres »);

- au savoir dénombrer;

- au savoir constituer une collection ayant un nombre donné d'objets;

- au savoir lire les nombres;

- ainsi qu'aux capacités à résoudre de « petits » problèmes arithmétiques.

Ces observations montrent une grande hétérogénéité des savoirs enfantins, ainsi que le caractère souvent instable de ces savoirs. Retenons quelques faits importants. Pour un peu plus de 10 % des enfants, les savoirs numériques sont apparemment inexistants. Dans une proportion équivalente, les enfants peuvent énoncer dans l'ordre les quatre ou cinq premiers « mots-nombres » et, parmi ceux-ci, quelques-uns seulement sont capables de dénombrer les éléments de collections numériquement inférieures à cinq.