JE FAIS DES MATHS
EN LAÇANT
MES CHAUSSURES

Ouvrage publié sous la direction de Natalie Levisalles.

© Les Arènes, Paris, 2018

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Je fais des maths en laçant mes chaussures se prolonge sur www.arenes.fr

L’IDÉE D’UNE SCIENCE EST DÉJÀ UN PAS ; LE SOUVENIR D’UNE CHOSE QUI A ÉTÉ FAITE ENSEIGNE QU’ELLE EST POSSIBLE ET LE COURAGE MULTIPLIE LES EFFORTS LORSQU’IL Y A L’ESPÉRANCE DU SUCCÈS.

Sophie Germain

À Salvador et Ventura, mes fils, parce qu’ils m’aident à comprendre ce qu’est l’infini chaque fois que je les regarde et que je pense à quel point je les aime.

MATHÉMATIQUES MON AMOUR

Je suis mathématicienne. Et ça me plaît. Je sais, il se peut que certains ne voient rien de drôle là-dedans, et pensent que celle qui tape ces lignes est un oiseau rare, asocial, doté d’un esprit qui a le privilège de pouvoir faire du calcul mental tout en roulant les yeux à toute allure pour activer les neurones mettant en marche les algorithmes algébriques. Eh bien non, je ne suis rien de tout cela. Bon, je ne sais pas si je suis un oiseau rare, moi je me trouve relativement normale, très gaussienne1. Désolée, je n’ai pas pu m’empêcher de faire cette blague de mathématicienne, mais c’est que le texte le réclamait à grands cris.

On me demande souvent pourquoi j’ai choisi de faire des études de maths, si j’ai eu un professeur qui m’a particulièrement inspirée pour le faire, si j’étais une enfant prodige qui comptait brillamment, si j’ai toujours voulu être mathématicienne. La réponse à toutes ces questions est non : quand j’étais enfant, je voulais tenir une mercerie et vendre des boutons, beaucoup de boutons, de toutes les tailles et de toutes les couleurs, car j’adorais le bruit qu’ils faisaient quand on les arrachait du carton auquel ils étaient collés, à cette époque. Ça, ou chanteuse, chanteuse de chansons espagnoles. Je me mettais dans les cheveux les fleurs en plastique de tous les vases de la maison pour chanter des coplas, avec beaucoup de sentiment, tout ça très mélodramatique. Adolescente, je voulais être Madonna. C’était mon rêve. Malheureusement (ou par bonheur), la nature ne m’a pas dotée de grandes aptitudes pour la musique, et j’ai dû choisir une autre voie.

Mais pourquoi les mathématiques ? Parce que j’étais, fondamentalement, paresseuse. Je n’aimais pas apprendre les noms que d’autres avaient assignés aux fleuves, aux animaux ou aux plantes, comme ça, selon leur bon plaisir. En revanche, les maths étaient un jeu, il suffisait d’en apprendre les règles et de jouer. Il fallait découvrir ! Ça, c’était émouvant. Je me souviens que la première fois que j’ai résolu une équation linéaire (linéaire du premier ordre, du genre x + 3 = 5 ou quelque chose comme ça), j’ai poussé un cri de joie. J’étais capable de découvrir les secrets des mathématiques ! Tout était logique, les mathématiques sont ce qu’elles doivent être, elles ne dépendent pas du caprice des hommes, elles sont et seront toujours les mêmes. Elles sont éternelles. N’importe quel mouvement politique peut modifier une frontière, le nom d’une ville, mais 7 sera toujours un nombre premier et ça, c’est aussi puissant que merveilleux.

Et donc, lorsque vint l’heure de choisir ce que j’allais étudier à l’université, presque tout était clair pour moi. Pendant quelques mois, j’hésitai entre les mathématiques et la philosophie, les deux me tentaient autant, les deux me donnaient à réfléchir. C’est mon professeur de philosophie, Antonio Hurtado, qui m’aida à me décider : « Étudie les mathématiques à l’université et lis des livres de philosophie pendant ton temps libre. Il va falloir que tu manges. » Malheureusement, mon professeur avait raison car à l’époque (et aujourd’hui plus encore), la philosophie était une discipline qui n’avait pas un grand avenir professionnel. De plus, ce conseil d’Antonio est un des meilleurs qu’on m’ait donnés de toute ma vie, non seulement parce que je travaille depuis la fin de mes études ou presque, mais aussi parce que les mathématiques ont modelé ma vie, qui s’en est assez bien trouvée. Les mathématiques m’ont rendue et me rendent heureuse.

J’ai commencé mes études de mathématiques à l’université de Séville et j’ai découvert ce que signifiait vraiment ce mot : mathématiques. Je suis tombée éperdument amoureuse de cette branche de la connaissance et, non sans effort, je suis allée au bout de mes études. C’est que si les mathématiques ne sont pas faciles, elles sont en revanche très émouvantes, il n’y a rien de plus fascinant. À la fin de mes études, j’ai commencé ma thèse de doctorat en géométrie computationnelle, sous la direction d’Alberto Márquez, et dès lors, oui, j’ai donné mon cœur et tout mon amour à cette façon de voir la vie, à travers les mathématiques.

J’ai commencé à travailler comme professeure au département de mathématiques appliquées de l’université de Séville, par un merveilleux jour ensoleillé de novembre 1995. J’ai très vite découvert que la satisfaction de faire de la recherche n’est comparable qu’à celle de raconter et d’enseigner ce qu’on a découvert. Durant plus de dix ans, cela s’est limité au cadre de mes cours à l’université et à des communications dans des congrès. Avec l’arrivée de mes enfants, je me suis retrouvée face au défi de raconter tout ça hors de la salle de cours, sur le tapis du salon.

Mon plus jeune fils, Ventura, qui avait six ans à cette époque, me demanda un jour ce que j’avais sur mon t-shirt.

« Maman, c’est une table, ou des buts de foot ?

– C’est un nombre, Ventura, et il s’appelle π (pi). »

Il me regarda, l’air tout étonné, sceptique, comme le sont et doivent l’être les enfants.

« C’est un nombre qui se trouve entre le 3 et le 4, ajoutai-je.

– Maman, il n’y a pas de nombre entre le 3 et le 4. Il y a le 3, et après, le 4.

– Eh bien, en fait, il y a des nombres entre le 3 et le 4, une quantité infinie.

– Il y en a combien d’infinis, maman ? » Mon fils de huit ans s’était joint à la fête.

Comme je pense n’avoir jamais peur de rien, et que j’avais adoré leurs questions, j’ai essayé de leur expliquer ces concepts comme j’ai pu, en inventant des histoires, en expliquant que le nombre π servait à mesurer les cercles, que sans lui on ne pourrait pas mesurer les circonférences. Et que l’infini, c’était quelque chose qui n’était que dans notre tête et que nous ne pourrions jamais atteindre, aussi longtemps que nous comptions. Pour résumer, ils en conclurent deux choses :

« Ah, oui ! C’est pour ça que les pizzas s’appellent pi-zzas, parce qu’elles sont rondes. »

« L’infini est une invention des mathématiciens pour pouvoir se reposer. »

Ce fut le big bang de ma carrière de vulgarisatrice. Avec l’aide du pinceau et des aquarelles de Raquel Gu (illustratrice de ce livre), nous avons commencé notre blog, Mati et ses mathaventures2, plein d’histoires bourrées de mathématiques ou de mathématiques déguisées en histoires.

Aujourd’hui encore, nous nous étonnons que ce blog, qui s’adresse en principe aux familles, ait été bien reçu par les enseignants du primaire et du secondaire. Et non seulement des enseignants, mais des gens qui croyaient ne pas aimer les maths et qui nous écrivaient pour nous dire que, vues comme ça, les mathématiques étaient belles.

Il n’y a aucun mérite à ça, les mathématiques sont belles parce qu’elles sont belles. Tout ce que nous avons fait, c’est de le montrer en contexte, avec des histoires. Aujourd’hui encore, bien des gens associent les mathématiques à l’idée de compter, de faire des divisions ou d’extraire des racines carrées, mais ça, ce ne sont pas des mathématiques. Les mathématiques, comme je l’ai dit, sont un jeu, un jeu merveilleux et puissant : elles sont ce qu’elles doivent être. Elles sont le langage qui décrit notre monde, elles sont une façon de raisonner avec logique et élégance. Elles sont la façon de comprendre notre univers.

Depuis le 14 mai 2011, je consacre une partie de mon temps à leur vulgarisation, pour les enfants de 9 à 99 ans, consciente que tout le monde aime les mathématiques, mais que certains ne le savent pas encore.

C’est ce que prétend démontrer le livre que vous avez en main : que vous aimez les maths. Si vous le saviez déjà, je souhaite que vous profitiez de cette promenade à travers votre vie quotidienne pour les rencontrer dans tout ce que vous faites, depuis le laçage de vos chaussures jusqu’à ce selfie où vous êtes si réussi, en passant par les enchères, les machines à coudre, Game of Thrones ou Google. Si vous êtes de ceux qui pensent qu’ils n’aiment pas les maths, laissez-moi vous convaincre du contraire : tout ce que vous faites en est rempli et elles sont passionnantes. Et si je réussis à vous convaincre, je ne vous demande en échange qu’un petit service : allez dans la rue et criez que vous aimez les maths. Aussi fort que vous pourrez. Par malheur, même au XXIe siècle, au milieu de tant de technologie, il y a des gens (leur téléphone portable en main) pour affirmer le contraire, pour assurer que les maths ne servent à rien. Et ce sentiment qui flotte dans l’atmosphère est un frein aux roues de l’avenir de n’importe quel pays, parce que le futur s’écrit avec le M de mathématiques. Le mathématicien Edward Frenkel a une phrase aussi courte qu’éloquente pour l’expliquer : « Il y a une petite élite qui détient le pouvoir. Et si elle le détient, c’est parce qu’elle connaît les maths, et vous non. » Faisons en sorte, comme dit cet autre mathématicien, Cédric Villani, que connaître et comprendre les mathématiques soit une priorité nationale.

Mettez-vous à l’aise, relaxez-vous et suivez-nous dans cette promenade à travers votre quotidien. Vous ne voulez pas tomber du côté obscur, n’est-ce pas ? Que les maths soient avec vous !

1 - En français dans le texte. En statistique, la loi normale est l'une des lois de probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels et est également appelée loi gaussienne. (N. d. T.)

2 - Mati y sus mateaventuras.

On ne devrait jamais (ou presque) se fier aux tendances – politiques ou autres – qui semblent majoritaires dans notre environnement de réseaux sociaux. À côté d’un tas d’avantages et d’applications, les réseaux sociaux ont certaines propriétés qui peuvent nous amener à nous laisser berner, ou qui vont contre ce que nous appelons l’intuition.

Examinons l’un de ces comportements – disons étranges – des réseaux : le paradoxe bien connu de l’amitié, qui assure que vos amis ont en moyenne plus d’amis que vous. Bien qu’à première vue cela ait tout à fait l’air d’un paradoxe, une petite analyse permet de comprendre pourquoi cela se produit : il suffit qu’un de vos amis soit « très populaire », qu’il ait un nombre très élevé d’amis, pour que la moyenne des amis de ses amis monte en flèche et que, par comparaison, vous vous sentiez comme un pauvre moins que rien. Du calme, ne stressez pas : l’usage des moyennes dans ce type d’expériences sociales n’ est ni juste ni objectif, pas plus qu’  il ne l’ est si nous utilisons cette même mesure, la moyenne, pour évaluer les salaires d’un ensemble de personnes parmi lesquelles se trouvent par exemple Amancio Ortega, fondateur de Zara et première fortune d’Europe, et plusieurs étudiants boursiers. Le problème, dans ce cas, est qu’on fonctionne avec des moyennes, et sans réfléchir.

Un autre de ces comportements des réseaux sociaux que nous pouvons qualifier d’ « étranges » a été récemment étudié par des chercheurs de l’université de Californie du Sud (ou USC) : l’illusion de la majorité. Dans un certain sens, comme nous allons le voir, cela a assez à voir avec le paradoxe de l’amitié mais, avant tout, essayons de l’expliquer.

QU’EST-CE QUE L’ILLUSION DE LA MAJORITÉ ?

En quelques mots, il s’agit d’un phénomène qui a pour effet qu’un environnement social perçoive comme courant un comportement étrange. Pour illustrer ce phénomène, Kristina Lerman et ses collègues de l’USC ont conçu un exemple assez simple mais très illustratif à partir d’un réseau social de 14 utilisateurs. Sur la figure à gauche, on a un graphe sur lequel chaque point représente un utilisateur d’un réseau social déterminé, par exemple Facebook, et on a réuni par des lignes ceux qui sont amis dans ce réseau. Parmi tous ces amis, trois seulement ont été colorés en rouge.

Si la couleur rouge de ces trois sommets du graphe indique un comportement déterminé des utilisateurs en question, il ne serait pas logique de dire qu’il s’agit d’un comportement habituel sur le réseau, étant donné que seuls 3 membres sur 14 l’auraient, soit moins de 22  % de la population. Vous êtes d’accord ? Mais attention, si nous demandons à n’importe lequel des utilisateurs ce qu’il observe sur son réseau, nous trouverons ceci :

L’utilisateur que nous avons coloré en bleu sur la figure précédente observe que 100  % de ses amis sont en rouge, ce dont il peut déduire que la norme est d’être rouge. Et en général, si nous interrogeons n’importe lequel des 11 utilisateurs en blanc, il nous dira que plus de 50  % de ses amis sur le réseau social sont rouges. Si nous choisissons un autre point bleu (comme sur la figure ci-contre), il nous dira que 75  % de ses amis sont rouges.

C’est-à-dire que plus de 78  % de la population (11 utilisateurs sur 14) nous diront que ce qui est normal, c’est d’être rouge dans une situation où sont rouges moins de 22  % des utilisateurs. C’est ce que Lerman et ses collègues ont appelé l’illusion de la majorité. Cela expliquerait, par exemple, qu’on accepte comme normaux (dans certains environnements) des comportements de type xénophobe, machiste, homophobe… parce que certains des membres du réseau, moins de 22  %, le sont. Mais cela se produit-il toujours ? C’est-à-dire, est-ce que ce serait la même chose si nous teintions en rouge trois autres utilisateurs différents du réseau ? La réponse est non, ce qui dans le travail de Lerman est illustré de la manière suivante :

Dans ce deuxième exemple, les utilisateurs blancs voient que ce qui est normal, c’est d’être blanc, car c’est ce qui s’ajuste le plus à la réalité. C’est-à-dire que ce défaut de l’illusion de la majorité ne se produit pas. Pourquoi ? Eh bien, en un certain sens, pour la même raison que dans le cas du paradoxe de l’amitié : parce que l’effet étrange est provoqué par les utilisateurs qui ont beaucoup d’amis ou de followers : dans le premier exemple de Lerman, les trois utilisateurs rouges choisis étaient des utilisateurs très populaires tandis que dans le deuxième, ce n’ est pas le cas.

Ce phénomène expliquerait aussi le fait que certains contenus se propagent de façon virale sur les réseaux et que d’autres, possiblement plus intéressants et plus déterminants pour la population, s’y perdent sans atteindre ni visibilité ni gloire. Il suffit que les premiers soient publiés par des utilisateurs pourvus de nombreux followers pour que cela provoque cette illusion de majorité.

De la même façon, cette illusion, comme nous l’avons dit, peut nous amener à proposer des conclusions erronées sur certaines tendances ou à accepter comme normaux des comportements qui ne le sont pas, loin de là. Ce serait le mauvais côté, bien entendu. Le bon, c’est qu’en identifiant les utilisateurs les plus connectés, on pourrait répandre des contenus positifs.

Par conséquent, ne faites pas toujours confiance aux influenceurs de votre réseau. Et, s’il vous plaît, au cas où vous seriez l’un d’eux, soyez responsable et ne diffusez pas des messages susceptibles d’être dangereux pour la communauté.

À la question de savoir ce que Picasso, les voitures et les mathématiques ont de commun, la réponse raisonnable pourrait être : « Rien.  » Il existe pourtant entre les trois une relation assez curieuse, qui est liée à une phrase qu’on assène souvent quand on prétend dénier tout mérite à la peinture de Picasso : « N’importe qui peut en faire autant, même un enfant. » Amenez un enfant, comme dirait Groucho Marx.

Ce n’est pas ici le lieu pour réfuter pareille niaiserie. J’irai même encore un peu plus loin : certains dessins de Picasso sont si simples que même un mathématicien pourrait les faire. Et toc. Effectivement, une grande partie des dessins de l’illustre enfant de Málaga peuvent être reproduits en n’utilisant que des courbes de Bézier, qui sont un objet mathématique qu’à coup sûr vous avez déjà vu et utilisé, même si vous n’en êtes pas conscient.

Les courbes de Bézier ont été développées par l’ingénieur français Pierre Bézier, qui travaillait pour Renault. Au début des années 1960, il développa cet outil et s’en servit à profusion dans le dessin de pièces d’automobiles. Par la suite, elles ont été aussi adoptées par l’industrie aéronautique et, de nos jours, tout programme informatique ou presque ayant à voir avec des graphiques les a à sa disposition. Nous voulons parler de cet outil pour le dessin qui sert à tracer des courbes et qui ne nous les dessine jamais comme nous le voudrions. Bon, le premier et le dernier point, si, mais la zone intermédiaire nous surprend toujours, et parfois même nous énerve.

Nous allons tenter de voir comment fonctionnent et comment sont tracées les courbes de Bézier, pour qu’elles ne nous prennent pas au dépourvu la prochaine fois. Une courbe de Bézier dépend toujours de trois points ou plus, appelés points de contrôle. Nous devons les imaginer comme le chemin décrit par un objet qui va du premier point au dernier, mais qui se sent « attiré » par les points intermédiaires.

Bien que, dans la plupart des applications, on utilise quatre points de contrôle, je crois que nous devrions commencer par les courbes qui n’en utilisent que trois. Ouvrons notre application de dessin préférée, sélectionnons l’outil qui trace des courbes (de Bézier), marquons avec la souris un point, tirons jusqu’au suivant et relâchons : nous venons de créer notre deuxième point de contrôle. Allons maintenant vers un troisième point sur lequel nous ferons un double-clic pour terminer de tracer la courbe. Nos trois points sont :

Contre toute attente, le programme nous trace cette courbe :

Mais pourquoi ? Pour le comprendre, procédons ainsi : joignons par une ligne le premier point rouge (celui qui est le plus à gauche) au point intermédiaire (bleu), et celui-ci au dernier (rouge) :

Imaginons maintenant qu’un point bleu clair se met en marche en partant du premier point rouge jusqu’au point intermédiaire et qu’un autre part en même temps du point bleu et va jusqu’au dernier point rouge, les deux points bleu clair ne se déplaçant toutefois pas à la même vitesse, mais réglant leurs vitesses de façon à arriver en même temps à leurs destinations respectives :

Joignons maintenant les deux points bleu clair avec un élastique (avec un élastique parce que la distance entre eux varie selon l’allure à laquelle ils se déplacent). Sur cet élastique voyage un point rose qui va du point bleu clair à l’autre point bleu clair, et qui règle lui aussi sa vitesse de façon à commencer son parcours et à le terminer en même temps que les deux bleu clair :

Eh bien, si nous dessinons le parcours suivi par le point rose, nous obtenons exactement la courbe de Bézier définie par les points rouges et le point bleu.

Et si nous avons quatre points de contrôle ? Le processus est semblable : nous commençons sur un point, tirons jusqu’au suivant, nous nous déplaçons jusqu’au dernier et continuons pour créer le handle (deuxième point intermédiaire). Les quatre points sont :

Et le résultat est ce « petit visage triste » :

Comment y arrive-t-on ? Par un procédé similaire à celui qui a été décrit ci-avant : nous joignons le premier point au deuxième, celui-ci au suivant et le troisième au dernier :

Et maintenant, trois points bleu clair se mettent en marche sur chacun des trois segments, de façon à partir et à arriver ensemble. Entre le premier et le deuxième point bleu clair se trouve un élastique le long duquel se déplace un point rose. Procédons de même entre le deuxième et le troisième, puis mettons un autre élastique entre les deux points roses, sur lequel se déplace un carré bleu, lequel tracera la courbe :

Et voilà. Bon, pas tout à fait, on peut continuer à ajouter des points de contrôle et obtenir d’autres courbes de Bézier.

La prochaine fois que vous essaierez d’utiliser une courbe de Bézier sur votre ordinateur et que vous n’obtiendrez pas le dessin espéré, dites-vous que les dessins de Picasso ne sont peut-être pas aussi simples que certains le pensent.

La revue Math Horizons, de la Mathematical Association of America, a publié il y a quelque temps un article intitulé « Network of Thrones » (« Réseau de trônes »), d’Andrew Beveridge et Jie Shan, respectivement professeur et ancien étudiant au Macalester College (Minnesota). Dans cet article, les auteurs ont utilisé des techniques mathématiques de réseaux et la théorie des graphes – avec un petit emprunt à l’algorithme de Google – pour essayer de décider quels étaient les véritables protagonistes de Game of Thrones.

Avant d’expliquer comment ont procédé Beveridge et Shan, laissez-moi vous avouer que nous avons un peu exagéré dans le titre. S’il est vrai que Daenerys Targaryen n’apparaît pas comme personnage principal dans l’article cité, il est tout aussi vrai que les auteurs se sont servis pour leur base de données du troisième des livres de George R. R. Martin, A Storm of Swords, dans lequel notre « Khaleesi » ne s’est pas encore tout à fait mise dans la mouise.

Et maintenant, voyons comment ils ont procédé. Les auteurs ont construit un graphe avec les personnages de la série et leurs relations. Un graphe peut être compris comme un ensemble de points que nous appelons sommets, et de lignes qui relient certains de ces points, de deux en deux, et que nous appelons arêtes. Un exemple de graphe simple et bien connu est, par exemple, Facebook : les sommets sont les utilisateurs de ce réseau social et deux d’entre eux sont réunis par une arête s’ils sont amis sur ce réseau.

Revenons aux trônes. Dans le graphe de Beveridge et Shan, les sommets sont les personnages qui apparaissent dans le livre : un petit point pour chacun d’eux, avec un total de 107 sommets ou personnages. Ces points sont réunis entre eux, par des arêtes, si (a) il existe entre eux des liens familiaux ou amicaux, (b) ils sont mentionnés ensemble ou (c) leurs noms apparaissent dans le texte à moins de 15 mots de distance.

Avec ces trois règles ont été créés 353 liens (arêtes) entre des points. Précision : tous ces liens ont une mesure assignée, un poids en fonction du nombre de fois que ces personnages apparaissent ensemble, de l’étroitesse de leurs liens familiaux… Nous pouvons interpréter ce poids en disant que certaines de ces arêtes (lignes qui unissent les sommets) sont plus épaisses que d’autres parce qu’elles sont plus souvent mentionnées dans le texte.

Outre l’épaisseur ou le poids des arêtes, les sommets et les étiquettes qu’ils portent seront de tailles différentes en fonction de leur importance. Pour définir la taille du sommet (du point), les auteurs suivent la méthode dont se sert PageRank, l’algorithme utilisé par Google pour classer ses pages par ordre d’importance. Oui, chers élèves d’algèbre linéaire, avec les autovecteurs et tout ça, vous voyez ? Pour la taille de l’étiquette du sommet, ils se fondent sur une autre mesure, celle de la centralité du sommet, calculée en fonction du nombre de sommets reliés à lui et du poids desdites relations. Avec toutes ces règles, l’algorithme donne ce graphe (ou réseau) de la structure de A Storm of Swords.

Comme on peut le deviner à partir de l’illustration précédente, l’algorithme utilisé par ces deux auteurs pour construire le graphe de Game of Thrones donne un graphe dont les sommets sont regroupés en 7 communautés – ou sous-réseaux – très connectées (sur l’image précédente, chaque communauté a un pictogramme distinct pour ses sommets), ce qui coïncide avec le fil narratif du livre.

Nous observons aussi que tout s’organise autour de quelques personnages hautement connectés : Tyrion, Jon, Robert, Daenerys…

Ces faits (le regroupement par communautés et la grande influence de quelques sommets, peu nombreux) s’observent sur presque n’importe quel réseau social. De fait, comme nous l’avons déjà vu, ce sont ces personnages très connectés qui donnent lieu à l’illusion de la majorité.

Eh bien, selon l’algorithme de Beveridge et Shan, le véritable protagoniste est Tyrion. Il est suivi de Jon Snow – en vertu du fait qu’il occupe une position unique dans le réseau, étant connecté avec les seigneurs de haut lignage, avec la Garde de Nuit et avec les Sauvages au nord du Mur –, et de Sansa Stark – à cause de son pouvoir potentiel comme héritière et de son rôle de pion dans les jeux de pouvoir.

Ce n’est pas le cas, comme nous le disions, de Daenerys Targaryen, mais c’est parce que nous n’ en sommes encore qu’au troisième livre, ne nous énervons pas. En fait, je vous encourage à faire ce graphe pour les livres suivants et vous verrez que vous aurez un sommet de la « Khaleesi » épais à souhait. Bon, finalement, entre les fanatiques de la série et ces travaux, je vais finir par me laisser convaincre de regarder quelques épisodes.

La revue Nature ne dit peut-être pas grand-chose à ceux qui n’appartiennent pas au monde de la recherche scientifique, mais pour ceux qui comme moi en font partie, réussir à publier un article dans cette revue peut être la garantie d’obtenir un grand prestige (et quelques points pour continuer à grimper dans la carrière académique, le cas échéant).

Mais nous autres mathématiciens avons un problème : les publications de notre discipline acceptées par le comité éditorial sont fort peu nombreuses, ce qui fait qu’en réalité nous n’envoyons presque jamais nos travaux à Nature. Par exemple, les deux résultats mathématiques qui ont eu la plus grande répercussion dans la presse mondiale – la démonstration par Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat et celle de la conjecture de Poincaré par Grigori Perelman – ont été exclusivement présentés sur des forums de mathématiques.

En fait, pour Perelman, ce fut comme si on l’avait fait manger à l’office (pour ne pas dire comme si on lui avait donné deux claques, ce qui n’est pas très joli) : il ne parvint à publier sa démonstration complète dans aucune revue spécialisée et ne put la rendre disponible que sur internet. Ce qui fut mis à profit par deux mathématiciens chinois, qui la publièrent en disant que Perelman n’avait fait connaître que les résultats préliminaires et les idées et qu’eux les avaient développés. Bien entendu, la communauté internationale n’accorda aucune valeur aux arguments avancés par les deux professeurs chinois, et Perelman poursuivit son show : il renonça au plus important des prix décernés aux mathématiciens, la médaille Fields, et à celui décerné par l’institut Clay à qui démontrerait l’un des problèmes du millénaire, doté d’un million de dollars. Bref.

Mais revenons à Nature. Comme je le disais, les travaux mathématiques qu’elle publie sont très peu nombreux, et la plupart concernent des recherches interdisciplinaires qui ont à voir avec une résolution numérique de systèmes d’équations différentielles. Ces travaux ont le plus souvent aussi un fort impact dans d’autres branches du savoir, comme la physique ou l’ingénierie. C’est pourquoi il est plus qu’ étonnant que Burkard Polster, professeur à l’université de Monash (Australie), ait réussi à publier en 2002 dans Nature un article qui traitait… des mathématiques du laçage de chaussures !

Dans cet article, l’auteur abordait trois questions absolument transcendantales pour l’humanité : combien existe-t-il de façons différentes de passer un lacet dans les œillets d’une chaussure ? Quelle est celle qui nécessite le moins de longueur de lacet ? Et quelle est la plus solide ? La réponse à la première question est : beaucoup. Pensons que si nous avons 12 œillets, nous pouvons commencer par n’importe lequel, continuer par un autre et arriver ainsi jusqu’au dernier, c’est-à-dire 12 ! = 479 001 600 (précision : 12 ! ne veut pas dire 12 en criant, comme le prétendent certains rigolos, mais est la factorielle de 12, c’est-à-dire : 12 ! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2). Mais il se trouve en plus que chacun de ces passages peut être fait dans les deux sens, ce qui donne un total de 1 990 553 600.

Bien entendu, la plupart de ces façons de faire sont absurdes et ce n’est pas en vertu de ce décompte si simple qu’on pourra obtenir d’être publié dans Nature. Polster s’est imposé quelques restrictions logiques, qui allaient de l’obligation de commencer et de finir à une extrémité, au fait que chaque œillet joue un rôle pour tenir bien serrée la chaussure, ou que l’ensemble soit esthétique selon certains paramètres.

Dans ce cas, parvenir à une formule est beaucoup plus compliqué mais, avec celle que Polster a obtenue, nous avons comme résultat que pour la même chaussure il existe 43 200 façons « raisonnables » de la lacer.

Cela dit, laquelle de ces 43 200 façons a besoin de la plus petite longueur de lacet ? C’est là un problème plus compliqué encore, car il ne faut pas oublier que l’une des conditions est que chaque œillet joue un rôle dans la bonne fixation de la chaussure. En utilisant diverses méthodes combinatoires, l’auteur est arrivé à une nouvelle conclusion : la plus efficace en l’occurrence pour utiliser le moins de longueur de lacet est celle qui est connue sous le nom de « nœud papillon » (C).

Il restait enfin la question de savoir lesquelles étaient les plus solides. Pour le savoir, il a dû définir les équations appropriées pour modéliser ce phénomène, à savoir deux des méthodes les plus traditionnelles : la croisée (A) et la droite (B).

Sur cette figure, les configurations A et B sont les plus répandues pour lacer ses chaussures ; ce sont aussi les plus solides. La configuration C fait partie de celles qui utilisent le moins de longueur de lacet.

Dans le même travail est également posée la question de savoir, finalement, comment nouer les lacets pour que le résultat soit le plus solide possible. La plupart d’entre nous font d’abord un nœud avec les deux bouts du lacet, puis deux petites boucles qu’ils nouent de nouveau dans le même sens que le premier nœud. C’est une question d’habitude et de latéralité.

Eh bien, si vous faites le second nœud, celui des petites boucles, dans le sens contraire du premier nœud, personne ne pourra dénouer vos chaussures. Bon, mais n’oubliez pas la sécurité que nous apportait le nœud triple que nous faisaient nos chers grands-parents pour que nous ne tombions pas en marchant sur nos lacets défaits. Et ça, notre mathématicien d’aujourd’hui n’en a pas tenu compte.