© Albin Michel, 2022

ISBN : 9782226477897

« L’imagination est plus importante que le savoir.

Le savoir est limité alors que l’imagination englobe le monde entier1. »

Albert Einstein

Note

1. Interviewé par George Sylvester Viereck, « What Life Means to Einstein », The Saturday Evening Post, 26 octobre 1929, p. 117.

Préface

21 lapins depuis 21 chapeaux

S’il est bien un numéro vedette des spectacles de magie, et alors que tant d’ébahissements, d’émerveillements ont déjà produit ces questions entêtantes sur ce qu’on a bien vu disparaître, apparaître, s’éparpiller en pièces puis se reconstituer, c’est incontestablement cet adorable lapin délicatement extrait d’un chapeau, sous lequel n’était, à l’instant, que la tête du magicien.

Une fois que l’émotion produite par son apparition en fourrure, oreilles, moustaches, chair et os s’est un peu dissipée, on se demande, bien sûr, comment tel événement a pu advenir. Et tout naturellement, le pouvoir qu’a de son existence de défier la raison, d’interroger, d’émouvoir, et de divertir n’est porté qu’au crédit du magicien.

Mais qu’en est-il du lapin ? Depuis qu’il en fut un qui entraîna Alice dans tant d’aventures merveilleuses, nous savons qu’il peut parfaitement s’exprimer. Alors pourquoi ne partage-t-il pas une gloire qui ne serait rien sans lui ? Qui s’est jamais enquis de ce qu’il ressentait ? De ce qu’il approuvait ou désapprouvait ? Des gens qu’il avait rencontrés, de ceux qui l’avaient nourri, qui lui avaient parlé, de ce qu’ils pensaient, et de ce qui leur importait, à part, hop !, de le montrer ?

Par chance 21 lapins en quête de justice ont trouvé deux auteurs qui, démarche rare, à peine le rideau tombé, passant derrière le miroir, les ont écoutés, chouchoutés, bichonnés. Une fois cette démarche jugée par eux primordiale, sont ainsi survenues révélations, discussions, disputations, toutes choses qui pour notre plus grand plaisir nous sont rapportées ici.

Vous découvrirez ainsi ce qu’en matière d’énigme l’ingéniosité humaine a pu parfois mobiliser comme artifice, astuce, contrainte, dissimulation, duperie, entrave, fausseté, feinte, habileté, illusion, leurre, mirage, stratagème, tricherie… Non, ne partez pas ! Parce que vous ne rencontrerez ces dispositions qu’accompagnées de leurs contraires : par exemple dissimulation et vérité (5)1, duperie et justice (1), entrave et liberté (15), illusion et rationalité (5) ; et bien que leur soit dédiée une énigme dans son entièreté (11), régnant sur toutes, fausseté et vérité. C’est ainsi que les mathématiques auront leurs mots à dire, et de ce fait vous éclaireront sur votre façon de voir et de penser, déjouant les implicites ou les pièges qu’elles se sont parfois elles-mêmes chargées d’apporter2.

Ces énigmes sont 21. Pourquoi ? Et nos 21 lapins de s’amuser, de trouver à cette énigme supplémentaire un délicieux goût de carottes confites. Si vous êtes curieux de la raison de leur enjouement, vous saurez comment (20), il y a environ mille ans, fut créée à partir de 1 couple de lapins, une dynastie, susceptible de peupler la planète ; mais pas par n’importe qui, et pas n’importe comment. C’est une loi simple qui permet d’obtenir les nombres successifs de couples de lapins, et parmi eux, entre 13 et 34, vous remarquerez 21. Ces nombres qui forment une suite aux propriétés surprenantes sont dits « de Fibonacci », du nom de leur créateur. Est-il pour quelque chose dans le nombre d’énigmes donné en titre ? Nos auteurs n’en ayant rien dit, on n’en sait rien. Mais, nous, ça nous arrange, 21 étant très bien vu chez les lapins.

Suivons à présent le premier qui nous amène en plein désert3. Bien des voyageurs s’y sont déjà trouvés, auxquels fut racontée une histoire, qu’ils raconteront à leur tour. Moi je la connaissais, proposée et « romancée » par un prestigieux mathématicien anglais, Ian Stewart4.

Dans la version classique qui est proposée ici, il s’agit donc des dernières volontés d’un « vieil éleveur » de chameaux. Il en a 17, et veut qu’après sa mort ils soient répartis entre ses trois fils, de telle façon que l’aîné en ait la moitié, le second le tiers, le troisième le neuvième. Or obtenir moitié, tiers et neuvième de 17 chameaux sont choses impossibles dans la vraie vie, des chameaux découpés en tranches ne pouvant guère remplir leur office de chameau. Et pourtant, vous est-il dit, une « solution existe », suggérée par un « voisin chamelier ». On vous demande alors, « quelle est-elle » ?

Alors là, de deux choses l’une : ou vous la connaissez, et vous la donnez bien volontiers ; ou vous ne la connaissez pas, et on voit mal comment vous pourriez l’« inventer ». Alors tournez la page, et consultez-la5. Elle ne fait que cinq lignes, et m’évite de spoiler le conte ou le compte en révélant comment on parvint, sans penser les spolier, à mettre d’accord les trois héritiers. Il est clair qu’ici n’est pas vraiment en question la question que l’on vous pose, mais la « solution » qu’on vous propose. Solution à partir de laquelle, il y a très longtemps de cela, quelqu’un s’amusa à fabriquer un énoncé de problème.

Je me souviens du léger malaise que j’éprouvai en lisant l’exposé de cette « solution ». Un sentiment d’insatisfaction, comme on peut parfois l’éprouver à la faveur d’une démonstration par l’absurde. Vous savez, quand partant du vrai supposé faux on arrive en toute légitimité logique à de l’avéré faux, ce qui fait qu’est faux le supposé faux sur lequel on s’est fondé, et que de ce fait il est donc vrai. Et puis aussi des questions absolument futiles me paraissaient s’imposer. Et si le chameau étranger s’était si bien trouvé avec un de ses semblables, qu’il ne voulait plus le quitter ? Ou bien… Mais on me dira qu’il y a mieux à faire, au moins de deux façons. Celle de nos deux auteurs, qui me fit comprendre mon insatisfaction, et celle de Ian Stewart.

Commençons par celle-ci : dans ce récit, le vieil homme est nommé Mustapha, il a 39 chameaux, et trois fils. Il est sur son lit de mort, et demande qu’on appelle son ami Ali, barbier, « occupé à tailler les barbes des Bédouins qui ne se la taillent pas eux-mêmes6 ». Toujours est-il que Ali est savant, et que le problème d’héritage que lui pose son vieil ami le fait penser à l’histoire du dix-huitième chameau. Il la raconte, et à peine Mustapha en est-il instruit que toujours mourant, mais enchanté par le problème qu’elle pose et par sa solution, il veut procéder de façon analogue pour ses trois fils.

En regardant de plus près les trois parties obtenues par la répartition souhaitée, on voit en effet que remises ensemble elles ne constituent que les 17/18 du troupeau initial. C’est bien pourquoi 1 chameau, ajouté aux 17 autres, donnera bien un nombre divisible par 2, 3, et 9. Alors pourquoi ne pas rechercher tous les cas semblables à celui-ci ? D’où entre Mustapha et Ali un dialogue qui devient vite palpitant sur les nombres qui veulent bien, augmentés de 1, se laisser diviser par trois nombres donnés.

C’est ainsi que partageant une curiosité mathématique légitime, et grâce au prodigieux pouvoir des lettres tel que l’entérina Descartes (10), le problème consistant à trouver tous les nombres n éligibles au titre de « il me manque 1 pour satisfaire au problème des trois parts », Mustapha et Ali seront naturellement amenés à poser une équation : en désignant par 1/a,1/b, 1/c les trois parts, les quatre nombres à trouver, a, b, c, et n pourront joliment être solutions de .

Ce qui amène donc à résoudre ou à suivre la résolution d’un problème diophantien7 exprimé en fractions égyptiennes8.

Ah là là… Je suis bien consciente qu’il est temps que cela s’arrête9, parce que ce mode de « traitement » de l’énigme est précisément ce que n’ont pas souhaité proposer ici nos deux auteurs ; ne trouvant pas « nécessaire de se confronter à de pleines pages noircies d’équations pour se poser des questions mathématiques ». Les mathématiques, ils les veulent « en toutes lettres ». Pas seulement celles qui désignent connues et inconnues.

Et ils y parviennent.

Suivons, avec eux et derrière le miroir, notre lapin blanc, presque rose à s’être roulé dans le sable du désert. Tout le monde est content ? Non, pas lui, et puisqu’il a enfin la parole il annonce que le magicien a triché ; d’accord, « avec élégance », mais triché quand même. Ce qu’il désapprouve, secondé en ceci par de grands personnages – Guillaume d’Ockham, un pape, Bertrand Russell – et des objets – un rasoir, une théière –, c’est l’évidence même, qui nous avait simplement échappé : « l’invitation d’un 18e chameau, qui ajoute sans raison une hypothèse supplémentaire, ne doit pas nous leurrer sur la résolution d’un problème insoluble ».

Grâce à nos deux auteurs vous saurez donc comment et pourquoi nous nous laissons si aisément berner, par un amour inconditionnel des nombres entiers et « le pouvoir pris par les chiffres dans nos sociétés ».

C’était la première « énigme », numérotée 1. Filons à la dernière. Et là, stupeur et tremblements ! Pas de 21e lapin ! Un problème sans solution ! Que devient le titre de cette préface ? Comment renoncer à Fibonacci ? À moins qu’un « problème sans solution » puisse être considéré comme un problème ayant pour solution « 0 solution », parce qu’on l’aura prouvé. Si cette zéro-solution convient, à quoi ou à qui ressemble zéro lapin pour être quand même le 21e ? Peut-être au chat du Chester ? Ou à celui de Schrödinger dont, justement, il nous est offert à partir de deux simples axes de coordonnées de pouvoir imaginer qu’il peut être dans deux états à la fois10 ?

C’est comme le vrai et le faux. Se réjouiront ceux qui comme moi pourront mettre un nom sur des logiques de tiers états, état du « ni vrai ni faux » – logiques « partielles » – ou du « à la fois vrai et faux » – logiques « paraconsistantes » –, lesquelles faisant « éclater le principe de non-contradiction » rendent paradoxalement son tranchant aimable, parce que reconnu comme ne pouvant être que consenti en mathématiques, sans être une contrainte “naturelle” comme il est trop souvent dit à de jeunes élèves.

Entre les énigmes 1 et 21, il en est 19 autres. La drôle d’idée de proposer des énigmes « pour (enfin !) comprendre les mathématiques » s’avère aussi porteuse de moyens de comprendre par les mathématiques – et on peut aussi dire enfin ! – des comportements individuels ou collectifs qui semblent hors de portée de quelque relation que ce soit avec équations et calculs. Car pratiquement toutes les énigmes illustrent le fait qu’il y a toujours quelqu’un à côté, devant ou derrière soi ; et comme c’est vrai aussi pour le quelqu’un, autrui au sens large est à peu près présent partout, réhabilitant la foule comme « l’essence de la démocratie ». Ce qui me paraît proposer un sujet de réflexion particulièrement appréciable.

Comprendre avec des mots comment les mathématiques peuvent intervenir avec pertinence dans toutes sortes de situations, c’est – enfin ! – les comprendre aussi. C’est ce qui vous attend depuis ce que ces 21 énigmes proposent de politique, ou d’éthique, de liberté de penser ou d’empathie, de raison ou de sentiments, de mesure et de décision, de validation ou de réfutation de la scientificité de certaines théories ; toutes choses à la fois éclairantes, enrichissantes et… divertissantes, comme se doivent de l’être les énigmes depuis la nuit des temps.

Stella Baruk

Notes

1. Les chiffres entre parenthèses renvoient au numéro de l’énigme.

2. Par exemple, avez-vous remarqué la contrainte – hors mathématiques – utilisée dans l’évocation des diverses astuces, artifices, etc. Voir aussi (7).

3. Les bosses des maths, p. 13.

4. Ian Stewart (né en 1945) – désormais I. S. – est un mathématicien et écrivain anglais, professeur de mathématiques à l’université de Warwick au Royaume-Uni. L’article en question est « The riddle of the vanishing Camel », in Scientific American, juin 1992, sa version française « Le chameau manquant », a été publiée dans Pour la Science, n° 178, août 1992.

5. Elle se trouve page 14.

6. Clin d’œil de Ian Stewart à Bertrand Russell (1872-1970) mathématicien, logicien, philosophe, qui inventa ces barbes et barbier. On le rencontre ici à partir du paradoxe qui porte son nom. Voir l’énigme 19, « La logique donne des ailes », p. 225.

7. C’est-à-dire résolu à partir d’équations dont les solutions doivent être des nombres entiers ; l’adjectif se réfère à Diophante d’Alexandrie, (IIe, IIIe siècle) mathématicien de langue grecque, surnommé « le père de l’Algèbre ».

8. Ce sont des inverses d’entiers – sauf zéro –, c’est-à-dire des fractions qui ont pour numérateur 1.

9. I. S. donne « toutes » les solutions possibles – il y en a exactement quatorze. Pour Mustapha, étant donné ses 39 chameaux, il y aura deux conditions à remplir : il doit d’urgence acheter 2 chameaux pour en avoir 41, qui est, avec 1 de plus, partageable en 2, 3, mais ensuite 7 et non pas 9. Ce dont il ne se plaindra pas, car on lui annonce la naissance d’un quatrième fils !

10. « mort ou vivant », voir En vérité, je vous le dis…, p. 247.

Introduction

Les mathématiciens parlent souvent entre eux une drôle de langue. Si le collège, puis le lycée, nous ont familiarisés avec les concepts usuels de l’analyse et de la géométrie, reconnaissons que des idiomes ou expressions tels que tétrakihexaèdre, mantisse, algébroïde transcendante multiforme ou valeur absolue p-adique ont de quoi décourager certains de pénétrer plus avant dans l’univers mathématique. Aussi, à toutes celles et ceux qui ignorent ce qu’est une numération positionnelle ou une équation polynomiale, nous voudrions annoncer une bonne nouvelle : il est tout à fait possible d’appréhender la complexité des mathématiques avec des mots de tous les jours !

Et il n’est pas non plus nécessaire de se confronter à de pleines pages noircies d’équations pour se poser des questions mathématiques puisque, nous allons le voir ensemble, celles-ci se cachent parfois dans des expressions comme « mets-toi un peu à ma place », « que le monde est petit ! » ou « l’union fait la force » ; de la même manière, si vous vous interrogez sur le sens de la danse des abeilles ou si vous cherchez un signe céleste derrière une coïncidence, vous serez très vite amenés à raisonner en tant que mathématiciens. Car des questions relatives à la logique, à la géométrie, aux probabilités et même à l’infini se glissent plus souvent qu’on ne le pense dans le domaine de la psychologie, de la sociologie, de la philosophie ou, tout simplement, dans notre vie quotidienne.

Faire des maths, c’est par exemple examiner les mécanismes de notre cerveau lorsqu’il procède à des calculs intuitifs, c’est aussi se pencher sur l’origine des mots qui désignent certains concepts algébriques ; faire des maths, c’est aussi s’intéresser à la morale lorsqu’il sera question de savoir si une vie en vaut une autre ; faire des maths, c’est enfin explorer des questions que l’on dit philosophiques, en se demandant avec Kant s’il faut sortir l’humain de la quantification ou encore avec Bentham si chacune de nos actions doit être guidée par la recherche du bonheur pour le plus grand nombre d’individus.

Si donc nous avons souhaité œuvrer à un rapprochement entre différents pôles de la pensée, c’est pour montrer que le champ mathématique est bien plus vaste qu’il n’y paraît, et que les manières de l’explorer sont variées. Pour cela, nous nous sommes penchés sur toutes sortes d’énigmes, très anciennes ou inédites, les unes plutôt faciles à résoudre, les autres beaucoup plus complexes. Toutes cependant ont un point commun : leur solution, énoncée en toutes lettres, renvoie pareillement à des notions clés des mathématiques.

Ces énigmes joueront alors le rôle de miroirs : miroirs de notre âme tout d’abord, car elles permettent de réfléchir, au sens où, quand nous découvrons la solution, la lumière de celle-ci réfléchit en nous pour mieux nous éclairer ; mais miroirs du monde également, car ces énigmes proposent un regard surprenant sur l’univers qui nous entoure, un peu à la manière d’une glace déformante à laquelle notre œil ne serait pas habitué, et qui nous permettra de voir la réalité sous un jour nouveau. Enfin, ce miroir, c’est également celui imaginé par Lewis Carroll – un pseudonyme derrière lequel se cache le mathématicien Charles Dodgson – pour inviter Alice à le traverser afin de pénétrer dans un monde nouveau où, rappelons-le, de simple pion du jeu d’échecs, la petite héroïne deviendra reine.

1

Les bosses des maths

Sur le point de quitter ce monde, un vieil éleveur de chameaux réunit ses fils pour leur faire part de ses dernières volontés. « Après ma mort, vous procéderez immédiatement au partage de mes bêtes : l’aîné en recevra la moitié, le cadet le tiers et le benjamin le neuvième. En outre, précise le vieil homme, aucun chameau ne devra être vendu ou donné avant le partage. »

Lorsque leur père s’éteint, les trois enfants héritent de 17 bêtes et sont bien en peine de respecter les termes du testament. Impossible en effet de diviser 17 par 2, ni par 3, et pas davantage d’en déterminer un neuvième.

Un voisin chamelier leur suggère alors une solution qui va leur permettre de tomber rapidement d’accord.

Quelle est-elle ?

Solution

Le voisin va chercher l’un de ses propres chameaux afin de l’ajouter aux autres. Ce qui fait 18 bêtes. L’aîné en reçoit la moitié, soit 9, le cadet un tiers, soit 6, et le benjamin un neuvième, soit 2… soit 17 en tout, et le voisin peut récupérer son chameau qui n’a servi qu’à faire le calcul.

Derrière le miroir…

Tricher avec élégance

La clé de l’énigme relève d’un subterfuge arithmétique. Il aura fallu qu’intervienne une sorte de deus ex machina en la personne du voisin pour résoudre ce casse-tête. Ce qui est intéressant, c’est que ce résultat convient à tout le monde : aucun chameau de l’héritage n’a été vendu ni donné, les fils sont satisfaits, la volonté du père semble avoir été respectée et le voisin a récupéré son bien. Chacun y trouve son compte, y compris celui ou celle qui s’est penché(e) sur cette énigme ! Cependant, une autre solution existait bel et bien : puisque diviser 17 chameaux par 2, par 3 ou par 9 se révèle impossible, les héritiers auraient pu arrondir les résultats à l’unité supérieure (soit la valeur approchée à l’unité par excès). Ainsi (17 divisé par 2 donnant 8,5), l’aîné aurait obtenu 9 chameaux ; le cadet aurait pareillement arrondi les 5,7 bêtes lui revenant à 6, de même que le benjamin qui serait reparti avec 2 chameaux au lieu de 1,9. Certes, en y regardant de plus près, nous constatons que les arrondis ne sont pas de même grandeur : celui passant de 8,5 à 9 gagne 0,5, le second 0,33 et le dernier 0,11. L’aîné gagne donc presque 5 fois plus que le benjamin, ce qui paraît injuste. Toutefois, la méthode proposée par le voisin est tout aussi déséquilibrée.

En effet, lorsque celui-ci ajoute 1 chameau supplémentaire, on divise 18 au lieu de diviser 17, ce qui permet de trouver une solution en apparence satisfaisante car elle « retombe sur ses pieds » :

Cette répartition ne se fait donc pas sur la totalité des bêtes mais sur les dix-sept dix-huitièmes du cheptel, soit 94 %. Ne sachant pas ce qu’il faudrait faire des 6 % restants, nous les attribuons de fait entre les trois frères dans des proportions inégales.

Si le père avait réparti 17 litres d’une précieuse liqueur suivant le partage indiqué, son vœu aurait alors été respecté à la lettre en attribuant 8,5 litres à l’aîné, 5,6 au cadet et 1,8 litre au benjamin, ce qui aurait laissé de côté 1,1 litre. Mais avec des chameaux, deux problèmes se posent : on ne peut pas les couper en morceaux, et, de toute façon, en laisser une partie de côté ne nous conviendrait pas car on a l’impression que le vieux chamelier veut répartir l’ensemble de son bien – ce qui n’est pas le cas puisqu’il en laisse vacant un dix-septième. Ainsi, bien qu’il n’existe aucune solution strictement acceptable à ce problème, nous ressentons spontanément une réelle satisfaction face à celle proposée par l’intervention du voisin, qui est pourtant tout aussi peu satisfaisante que la solution des arrondis.

Comment se fait-il alors que l’on soit davantage convaincu par l’explication consistant à ajouter un chameau fictif que par la solution évoquant des nombres à virgule ? La réponse tient dans le pouvoir que revêtent à nos yeux les nombres entiers. Ils nous donnent ici l’illusion d’une parfaite équité puisque nous n’avons pas à les arrondir en faveur de tel ou tel frère. Ils génèrent en nous un sentiment d’impartialité qui nous affranchit de surcroît de tout choix à faire : le calcul semble décider du résultat sans que nous puissions le truquer.

Mais la justice qui découle de l’intervention du voisin est parfaitement illusoire. Ce partage est en réalité aussi inéquitable que la méthode des arrondis. L’aîné y est tout autant avantagé et le benjamin tout autant lésé. En ajoutant un dix-huitième chameau, nous avons simplement créé une fiction qui nous donne l’impression d’avoir résolu le problème avec justesse et justice. Cependant, nous n’avons fait que le couvrir d’un voile afin de masquer l’iniquité que les arrondis laissent clairement apparaître. L’apparition providentielle de nombres entiers est tellement séduisante qu’elle masque aussitôt la duperie.

Pour résoudre cette énigme, nous avons donc astucieusement manipulé la réalité. Ce sont donc moins les mathématiques qui nous sont venues en aide (comme cela s’est fait durant des millénaires lorsqu’il s’agissait par exemple de mesurer la superficie d’un champ) que nous, au contraire, qui nous sommes efforcés de venir en aide à un calcul qui se révélait impossible.

En cela, cette petite énigme n’est pas innocente. Elle est emblématique du pouvoir pris par les chiffres dans nos sociétés. Les indicateurs économiques par exemple (tels que le chiffre du chômage, celui du pouvoir d’achat ou de la croissance) ont été créés pour nous aider à appréhender le réel. Toutefois, les politiques ont très vite manipulé la réalité afin d’obtenir des chiffres satisfaisants. C’est la conclusion à laquelle est arrivé en 1975 l’économiste anglais Charles Goodhart dont on résume souvent la pensée par cet aphorisme : « Lorsqu’une mesure devient un objectif, elle cesse d’être une bonne mesure1. » Cet énoncé, aujourd’hui désigné comme la loi de Goodhart, a alerté les esprits sur le fait que ce n’est plus le chiffre qui reflète la réalité mais la réalité qui se plie au diktat du chiffre.

Simplifions-nous la vie !

Le philosophe anglais Guillaume d’Ockham (1285-1347) eut un impact profond sur la philosophie médiévale et au-delà, notamment à travers sa défense du nominalisme. Pour appréhender cette doctrine en termes simples, il faut se pencher sur les universaux, à savoir des propriétés qui se rapportent à des objets différents, comme la couleur noire lorsqu’elle désigne un « tableau noir », une « voiture noire » ou encore une « colère noire ». À la suite de Platon et d’Aristote, la question que se pose Guillaume d’Ockham est la suivante : le noir a-t-il une existence propre ou bien n’est-il qu’une caractéristique qui n’existerait pas si n’existaient ni « tableaux noirs », ni « voitures noires » ni « colères noires » ? Là où Platon répondrait par l’affirmative (dans le monde des idées la couleur noire existe en tant qu’objet réel), Aristote et Ockham répondent par la négative : le mot « noir » ne renvoie pas à un objet réel indépendant, ce n’est qu’un nom (d’où le « nominalisme »).

Ce débat peut sembler futile ; pourtant, il fut astucieusement utilisé par ce même Guillaume d’Ockham lorsque le pape entreprit de faire main basse sur la fortune des Franciscains, un ordre mendiant qui avait fini par s’enrichir et auquel appartenait le philosophe. Ockham argua alors du fait que « l’ordre des Franciscains » n’existait pas, au sens où seuls existent différents frères franciscains. Ainsi, spolier ou condamner cet « ordre » reviendrait à attribuer une existence propre à un mot sans réalité. Si le pape en venait à commettre un tel acte, il créerait artificiellement un être, chose que Dieu seul pourrait se permettre de faire. Afin de ne pas être accusé de se prendre pour Dieu, le pape renonça à son projet !

Si le raisonnement semble tortueux, il n’en fut pas moins efficace. Depuis, refuser de « multiplier les êtres » en ne retenant que ceux auxquels nous pouvons attribuer une réalité est devenu un principe désigné comme le rasoir d’Ockham. En le mettant en lumière, le philosophe anglais reprenait à son compte une idée présente chez Aristote en ces termes : « Il est meilleur de prendre des principes moins nombreux, c’est-à-dire en nombre fini2. »

Il s’agit là d’un principe fondamental de la démarche scientifique : en mathématiques, mieux vaut réduire le nombre d’axiomes pour construire la théorie géométrique ; en physique, mieux vaut ne pas ajouter d’hypothèses fantaisistes lorsque l’on peut expliquer simplement un phénomène. C’est ainsi que le logicien et philosophe Bertrand Russell (1872-1970), Prix Nobel de littérature en 1950, imagina une situation cocasse pour en démontrer la pertinence :

Si je suggérais qu’entre la Terre et Mars se trouve une théière de porcelaine en orbite elliptique autour du Soleil, personne ne serait capable de prouver le contraire pour peu que j’aie pris la précaution de préciser que la théière est trop petite pour être détectée par nos plus puissants télescopes3.

Oui, nous pouvons tout à fait imaginer qu’une théière orbite quelque part entre la Terre et Mars, mais non, nous ne pouvons pas raisonnablement utiliser une telle hypothèse ! Tout comme notre curiosité de découvrir une vie extraterrestre ne peut être considérée comme un argument en faveur de son existence. De la même manière, l’invitation d’un dix-huitième chameau, qui ajoute sans raison une hypothèse supplémentaire, ne doit pas nous leurrer sur la résolution d’un problème insoluble4.

Notes

1. La citation de Goodhart, beaucoup moins relayée car plus complexe, énonce : « Toute régularité statistique observée devient fausse si une pression est exercée sur elle à des fins de contrôle. »

1. La citation de Goodhart, beaucoup moins relayée car plus complexe, énonce : « Toute régularité statistique observée devient fausse si une pression est exercée sur elle à des fins de contrôle. »

2. Aristote, Physique, I, 4, 188a, in Œuvres complètes, dir. Pierre Pellegrin, Paris, Flammarion, 2014, p. 523.

2. Aristote, Physique, I, 4, 188a, in Œuvres complètes, dir. Pierre Pellegrin, Paris, Flammarion, 2014, p. 523.

3. « Is there a God ? », 1952, in John G. Slater, Peter Köllner (éd.), The Collected Papers of Bertrand Russell, vol. 11, Last Philosophical Testament, 1943-1968, Londres et New York, Routledge, 1997, p. 547 (traduction par nos soins).

3. « Is there a God ? », 1952, in John G. Slater, Peter Köllner (éd.), The Collected Papers of Bertrand Russell, vol. 11, Last Philosophical Testament, 1943-1968, Londres et New York, Routledge, 1997, p. 547 (traduction par nos soins).

4. Nous parlerons d’autres types de problèmes insolubles dans le chapitre 21.

4. Nous parlerons d’autres types de problèmes insolubles dans le chapitre 21.

2

Raison et sentiments

Bienvenue dans le jeu des amis qui ne trichent jamais !

Thierry vous lance le défi suivant : il prend un paquet de 52 cartes, vous montre les deux premières puis vous demande de prédire quelle sera la troisième. Si vous parvenez à deviner la carte, il vous offrira 10 €, sinon vous devrez lui donner 1 € pour avoir perdu et 2 centimes de frais de gestion.

Antoine vous propose quant à lui d’acheter un billet de loterie à 1 € vous permettant de choisir 2 nombres de 1 à 100, sachant qu’il y a 100 tickets dans un chapeau, numérotés de 1 à 100. Un seul ticket est ensuite tiré : s’il porte l’un des nombres que vous avez choisis, vous empochez 10 €.

Avec qui avez-vous intérêt à jouer : Thierry ou Antoine ?

Solution

D’un point de vue strictement mathématique, ces deux propositions sont identiques :

–Le premier jeu vous donne 1 chance sur 50 de gagner 10 € et 49 chances sur 50 de perdre 1,02 €.

–Le deuxième jeu vous donne 1 chance sur 50 de gagner 10 € sachant que vous devez de toute façon payer 1 €.

Ainsi, l’espérance mathématique des deux jeux s’écrit :

–Jeu 1 :

–Jeu 2 :

Ce calcul de l’espérance signifie que si vous jouez une infinité de fois, vous pouvez vous attendre à finir par perdre 80 centimes quel que soit le jeu que vous choisirez.

Derrière le miroir…

Logos et affect

Face au choix qui vous est proposé ici, la réponse la plus rationnelle consiste à dire que l’une comme l’autre des propositions vous convient pareillement ; pour une espérance strictement équivalente, toutes deux vous offrent en effet des chances égales de gagner (ou de perdre) une même somme. Cependant, sans doute avez-vous opté pour l’un des deux énoncés. Si ce n’est pas le cas (ce qui signifie que vous êtes un être parfaitement rationnel ou, du moins, que vous savez calculer une espérance mathématique), soumettez ce test à différentes personnes de votre entourage : vous vous apercevrez que la majorité d’entre elles se prononce en faveur de l’une ou l’autre proposition.

Mais quel que soit le choix effectué, il s’avère riche d’enseignements sur la manière dont l’affect téléguide parfois la pensée. Par exemple, les personnes qui font le second choix considèrent généralement que l’échec est plus facile à accepter lorsqu’il se présente sous la forme d’un billet de loterie non gagnant plutôt que sous la forme d’un pari perdu. À sommes équivalentes, les pertes (dans le cas d’un pari perdu) entraînent en effet des sentiments jugés plus négatifs que les coûts (l’achat d’un billet de loterie). On parle bien de gagner au loto mais rarement de perdre au loto. En revanche, on perd bel et bien un pari.

D’autres préféreront la première proposition, associée à l’idée de pari, car celle-ci est chargée d’une connotation romantique ; un pari est en effet lié au risque, voire au panache – des notions jugées plus nobles au regard de l’achat d’un billet de loterie, qui est à la portée du premier venu. Dans le pari proposé par Thierry, le récit insistait sur votre capacité à deviner quelque chose : tel qu’il était présenté, le pari était ainsi associé à une qualité, tandis que la loterie est associée au hasard.

Peut-être enfin aurez-vous été refroidi par les 2 centimes de frais de gestion qui évoquent les pratiques de certaines entreprises peu scrupuleuses. Cette somme servait en réalité à faire en sorte que les deux jeux soient égaux en termes de gain espéré. Pour autant, cette somme symbolique vous aura peut-être mis mal à l’aise, vous suggérant qu’on voulait vous escroquer ; ainsi, elle aura pris dans votre esprit une importance symbolique plus grande que sa réelle valeur (qui est proche de zéro).

Ces questions mettent en lumière une problématique très ancienne qui a vu s’opposer le raisonnement logique (le logos, qui désigne aussi, en grec, le calcul) à l’affect, qui est du ressort du sentiment ou de la disposition de l’âme. Dans ce débat, il a longtemps été admis que, face à une décision, l’affect jouait contre la démarche rationnelle, ou du moins qu’il l’influençait grandement.

Voilà pourquoi, dans plusieurs de ses œuvres telles que Le Prince, mais surtout dans son Discours sur la première décade de Tite-Live, Nicolas Machiavel incite les gouvernants à fonder leurs décisions sur les seuls calculs rationnels. Pour ce penseur de la Renaissance, il s’agit essentiellement d’écarter les sentiments, voire les principes moraux de toute réflexion. Face à un choix stratégique, un chef de guerre sous l’influence d’affects telles la haine qu’il éprouve pour son ennemi ou bien la crainte, pourrait par exemple amputer ses chances de victoires. Pour Machiavel, seul un examen calculatoire des différentes options à sa disposition, associé aux chances de réussite de chacune, doit présider à la prise de décision.

Un demi-millénaire plus tard, la question de la part de l’affect dans la cognition (et par conséquent dans la prise de décision) a joué un rôle majeur dans le développement de l’intelligence artificielle. Ces travaux, basés sur la métaphore d’un cerveau-ordinateur, se sont attachés d’une part à développer une formidable puissance de calcul et, d’autre part, à entériner une cognition froide, dénuée d’affect, considéré comme un parasitage du calcul. De plus en plus, c’est l’intelligence artificielle, libérée de toute émotion, et donc de toute subjectivité, qui assume les tâches de pilotage (aérien, maritime ou terrestre) voire les décisions judiciaires, comme c’est déjà le cas dans de nombreux pays.

Index

A

Aristote 1 2 3 4

B

Bentham, Jeremy 1

C

Carroll, Lewis (Charles Dodgson) 1

D

Descartes, René 1

E

Einstein, Albert 1 2

F

Fibonacci (Léonard de Pise) 1

G

Goodhart, Charles 1 2 3

K

Kant, Emmanuel 1

M

Machiavel, Nicolas 1

O

Ockham, Guillaume d' 1 2 3 4

P

Platon 1

R

Russell, Bertrand 1 2 3 4