■ Introduction

Cet ouvrage est le résultat des travaux de recherche conduits, pendant plusieurs années, au cycle 3 par l'équipe ERMEL, équipe de recherche en didactique des mathématiques (INRP), associant des formateurs en IUFM et des enseignants de l'école élémentaire.

Les interrogations à l'origine de cette recherche portent sur plusieurs points relatifs à la nature des savoirs géométriques enseignés au cycle 3 : relèvent-ils, par exemple, de constats perceptifs ou s'appuient-ils sur des raisonnements géométriques ? Pour chaque concept (objet ou relation), quels aspects peuvent être abordés et quelles propriétés peuvent être institutionnalisées sur chacun des niveaux du cycle ? Mais aussi, face au constat d'une géométrie enseignée souvent réduite au vocabulaire et aux tracés, quelle place donner à la résolution de problème dans ces apprentissages ? Quand recourir à tel ou tel vocabulaire géométrique ? Comment introduire l'usage d'un instrument ?

Notre questionnement initial portait aussi sur les connaissances réellement mobilisables par les élèves à l'entrée du cycle 3 : comment, en particulier, prendre en compte les compétences spatiales développées par les élèves à l'école dans les cycles antérieurs ou dans leurs milieux de vie ?

Nous avons cherché à expliciter les rapports entre ces différentes connaissances et à déterminer les problèmes que ces connaissances permettent de résoudre. Notre recherche nous a amenés également à identifier les caractéristiques des différents espaces dans lesquels ces problèmes sont posés ou résolus de manière à enrichir et à diversifier les supports de travail à proposer aux élèves en géométrie. La question du langage géométrique utilisable s'est également imposée à nous, tant pour mieux comprendre les difficultés des élèves que pour éviter la réduction de la géométrie à son vocabulaire. De même, nous avons été conduits à étudier le rôle des représentations et des instruments, à en préciser éventuellement l'emploi ou à en inventer de nouveaux, et à analyser les procédures de résolution et de validation auxquelles les élèves peuvent recourir pour un problème géométrique.

Une première partie de l'ouvrage explicite les buts et les composantes communes aux apprentissages géométriques (savoirs, langage, représentations, instruments, validation). Pour chacune de ces rubriques, nous présentons d'abord les principales problématiques, une analyse des connaissances initiales des élèves, et ensuite, nos propres choix didactiques relatifs à son enseignement.

Dans une seconde partie, les progressions et les situations d'apprentissages sont structurées en sept thèmes portant sur les relations et les objets. Les aspects mathématiques et didactiques propres à l'étude de chacun d'eux sont exposés en premier lieu, puis les progressions et les situations sont décrites et commentées, à partir des expérimentations conduites dans des classes pendant plusieurs années.

Partie I

Nos conceptions de l'apprentissage et de l'enseignement

■ Chapitre 1

Quelle géométrie pour le cycle 3 ?

Il est difficile de penser un enseignement de la géométrie à l'école primaire sans avoir tenté auparavant d'apporter des réponses à quelques questions :

- Qu'est-ce que la géométrie ?

- Quels buts peut-on assigner à l'enseignement de la géométrie ? De quelles connaissances doit disposer un élève à l'issue de la scolarité obligatoire ?

- Quelle contribution l'école primaire peut-elle apporter à la construction de ces connaissances ?

- Quelle est l'évolution de l'enseignement de la géométrie à l'école primaire ?

Qu'est-ce que la géométrie ?

Longtemps définie, avec Euclide, comme la science des figures dans le plan et des volumes dans l'espace, la géométrie recouvre aujourd'hui un domaine beaucoup plus large et aux frontières moins bien définies (on peut développer des géométries à propos d'espaces très abstraits).

Communément, la géométrie reste cependant considérée comme science de l'espace, c'est-à-dire comme partie des mathématiques qui a pour objet l'étude de situations, d'organisations et de relations de notre espace sensible. Colette Laborde précise le propos : « La géométrie s'est constituée en partie comme modélisation de cet espace physique »¹, ce que traduit également Yves Chevallard lorsqu'il écrit : « Nous dirions aujourd'hui que la géométrie part du monde sensible pour le constituer en monde géométrique, celui des points, des droites, des cercles, des sphères, des courbes, des surfaces et des volumes, etc., de la même façon que, plus largement, la physique part du monde sensible pour le constituer en monde physique »². La géométrie se situe donc, épistémologiquement, du côté de la théorie. Elle permet de traiter des problèmes pratiques posés dans l'espace sensible mais, comme toute théorie mathématique, elle se nourrit aussi des problèmes qui sont posés « en son sein ». Ces développements ont abouti à ce que la géométrie, au sens d'Euclide, n'existe plus en tant que branche autonome des mathématiques. Ainsi, dans un texte appelé « Programme d'Erlangen » datant de 1872, Félix Klein³ propose de définir la géométrie comme étant la donnée d'un groupe de transformations opérant sur un espace, ce point de vue permettant de rassembler conceptuellement les « différentes géométries ».

Il reste que la géométrie enseignée au cours de la scolarité obligatoire entretient des rapports étroits avec l'espace sensible dans lequel vit l'enfant et qui constitue donc son premier champ d'expériences, avant qu'elle ne devienne, par le biais d'un apprentissage, un modèle de cet espace physique. Des problèmes théoriques sont abordés, mais ils seront développés au collège, tels les problèmes de construction ou de constructibilité (par exemple, construction d'une perpendiculaire avec seulement la règle et le compas)...

Quels buts pour l'enseignement de la géométrie à l'école primaire et au collège ?

Pour préciser ces buts, nous nous appuierons sur le rapport récent de la CREM (Commission de Réflexion sur l'enseignement des mathématiques, dite aussi Commission Kahane⁴ qui propose diverses orientations :

- développer la « vision dans l'espace » en fournissant une « connaissance familière de l'espace » : comment se diriger, se déplacer dans un espace connu ou inconnu ? comment utiliser ou produire un plan pour repérer une position ou prévoir un trajet ? comment représenter ce que nous voyons autour de nous (schéma, plan, vue en perspective...) ? comment décrire ou représenter les solides et les figures planes élémentaires ?

- apprendre à raisonner, ce qui ne se réduit pas à l'apprentissage formel de la démonstration et ce qui implique la nécessité d'articuler (et donc de développer) observation, intuition, appel à des connaissances et rigueur ;

- initier aux aspects culturels et esthétiques de la géométrie : urbanisme, architecture, arts visuels... ;

- connaître quelques utilisations courantes et professionnelles de la géométrie ou son utilisation dans d'autres disciplines : lecture de plans ou de cartes, interprétation de représentations statistiques (histogrammes, camemberts...), logiciels de géométrie dynamique, astronomie...

Cette approche des finalités de la géométrie, à laquelle nous souscrivons, nous semble avoir le mérite de n'être pas réductrice et de rappeler le bien-fondé d'un enseignement de la géométrie dans une optique à la fois scientifique, technique et culturelle. Ce que le rapport de la CREM appelle le fait de « penser géométriquement » dépasse donc la théorisation de l'espace physique évoquée au départ pour avoir une vision globale du problème. Il évoque aussi la perspective « face à une situation qui n'est pas a priori géométrique d'être capable de faire un dessin ».

Quelle contribution de l'école primaire à l'enseignement de la géométrie ?

En choisissant d'intituler « Espace et géométrie » l'apprentissage de la géométrie à l'école primaire, le programme de 2002 définit une double orientation :

- rendre les élèves capables d'organiser et de contrôler leurs rapports usuels avec l'espace par le développement de ce qu'on appelle des « connaissances spatiales » leur permettant de se repérer, de se déplacer, de communiquer des informations dans l'espace ordinaire, de reconnaître et de construire des objets, de maîtriser quelques modes de représentation (plans, cartes, dessins d'assemblages...) ;

- aider les élèves à s'approprier les premiers éléments d'un « savoir géométrique » ; ce savoir sera ensuite développé au collège dans deux directions: d'une part outiller l'élève pour penser et traiter géométriquement des problèmes de l'espace physique, d'autre part l'initier au raisonnement déductif et à la démonstration.

Le jeune enfant élabore, par les expériences auxquelles il est confronté dans son milieu de vie et par les situations que lui propose l'école (en maternelle et au cycle 2), des connaissances spatiales pour lesquelles la perception joue un rôle important : une forme est « carrée » parce qu'elle est perçue comme telle. Au collège, il devra justifier ce qu'il annonce comme vrai, en utilisant des propriétés connues et en les articulant à l'aide d'un raisonnement déductif : une figure (qui est un objet théorique qu'une forme dessinée ne fait qu'évoquer) est un carré si certaines propriétés caractéristiques peuvent être déduites des données initialement fournies. À quel moment la forme dessinée (objet de la réalité) devient-elle l'évocation d'une figure (objet de la pensée) ? Comment aide-t-on l'élève à la fois à associer l'une à l'autre et à les distinguer l'une de l'autre ?

La fin de l'école primaire (cycle 3) et le début du collège pourraient avoir comme visée de dégager les propriétés qui permettent de penser certaines relations entre objets dits « géométriques ». Les instruments jouent ici un rôle essentiel : on pourra décider qu'un dessin représente un carré parce qu'il est possible d'en contrôler certaines propriétés à l'aide d'un instrument ou bien de le prouver grâce à des raisonnements utilisant des propriétés.

Notre travail de recherche, mené depuis 1997, est en accord de principe avec les programmes actuels qui nous semblent poser clairement le type de travail possible et souhaitable au cycle 3, sans sacrifier les compétences spatiales et sans renoncer à une première initiation à la géométrie.

L'apprentissage de la géométrie, au cycle 3 et au début du collège, vise un passage progressif entre une approche perceptive des objets de l'espace et une approche théorique dans laquelle les propriétés ne sont plus contrôlées que par le raisonnement et par des théorèmes, le recours aux instruments permettant d'objectiver ces propriétés.

La difficulté, spécifique du domaine géométrique, est qu'à chaque étape le travail s'appuie sur les mêmes dessins, les mêmes formes qui doivent être interprétés différemment et faire l'objet de traitements eux aussi différents.

Pour illustrer les difficultés conceptuelles auxquelles peut se trouver confronté un élève de cycle 3, on peut rapporter ces deux réactions d'élèves de CM1.

La première réaction est celle d'un élève confronté à la question suivante, concernant ce dessin reproduit au tableau : « Ces deux droites sont-elles perpendiculaires ? »

Comme la plupart de ses camarades, il a répondu négativement « car elles ne se coupent pas en faisant un angle droit ». Avec quelques élèves, l'enseignant argumente que les droites se coupent bien puisqu'on peut prolonger « aussi loin qu'on veut » les traits qui les représentent.

La plupart des élèves expriment leur scepticisme : « Si on prolonge, c'est oui, mais si on ne prolonge pas, c'est quand même non ! », l'élève concerné ajoutant : « De toute façon, tu ne peux pas prolonger aussi loin que tu veux, car tu seras arrêté par le sol de la classe... ».

On perçoit le quiproquo entre l'enseignant qui évoque un objet purement théorique (la droite) et l'élève qui ne s'intéresse qu'à l'objet physique (le trait dessiné à l'aide de la craie), qu'il accepte éventuellement de prolonger... mais pas au-delà du matériellement possible !

La seconde réaction est celle d'un élève à qui on demande de compléter, sur sa feuille, le dessin suivant « pour que celui-ci représente les rails d'une voie ferrée sur une portion bien droite, le deuxième rail étant fixé au point A ».

Cet élève intervient pour dire que ce trait ne peut pas être le dessin d'un rail, car « un rail c'est plus épais que ça ».

Il y a ici un quiproquo d'une autre nature. Pour l'enseignant, le rail est assimilable à une droite représentée par un trait, alors que pour l'élève la schématisation devrait faire apparaître d'autres propriétés de l'objet représenté, en particulier son épaisseur.

Cette question, cruciale en géométrie, de trois types d'objets (le dessin obtenu à la règle et au crayon, la droite idéale et un objet usuel de l'espace) mis en relation assez naturellement par un adulte instruit, pose de redoutables difficultés à certains élèves. Elle est analysée et développée plus en détail dans les paragraphes qui suivent. Un dessin peut être à la fois une représentation d'un objet théorique et/ou une représentation d'un objet de l'espace sensible : un trait rectiligne peut ainsi évoquer un segment, une droite (référence au théorique) ou un rail (référence à l'espace sensible).

Quelle évolution de l'enseignement de la géométrie à l'école primaire ?

La place de la géométrie a beaucoup varié dans les programmes successifs, en particulier de 1923 à 1977. Ceux de 1923 distinguent « calcul numérique » et « géométrie alors que ceux de 1945 incluent les notions géométriques sous la rubrique « Calcul ». Le programme de 1970 distingue curieusement pour les niveaux CE et CM une rubrique « Éléments de mathématiques » limitée aux apprentissages numériques accompagnée d'une autre rubrique intitulée « Exercices d'observation et travaux sur des objets géométriques ». À partir de cette date, ce qui relève de la géométrie est séparé de ce qui relève de la mesure. En 1977, la géométrie apparaît plus nettement comme partie de l'enseignement mathématique, mais sous des intitulés divers : « Activités géométriques » en 1977, « Géométrie » en 1985 et en 1995, « Espace et géométrie » en 2002.

De manière schématique, on peut résumer les principales évolutions sur deux points, celui concernant les connaissances spatiales et celui concernant les connaissances géométriques.

1. ÉVOLUTION DES CONNAISSANCES SPATIALES

Jusqu'en 1977, les connaissances spatiales ne sont pas évoquées dans les programmes relatifs aux mathématiques pour le CP, le CE ou le CM, à l'exception des « notions élémentaires sur la représentation sur les plans et cartes à une échelle donnée » dans le seul programme de CM de 1923.

En 1977, puis en 1985, référence est faite dans le programme de CP à des notions relatives au repérage et au déplacement dans l'espace. Ces indications ne sont pas reprises au CE et au CM à l'exception du repérage sur quadrillage dans le programme de CM en 1985. En 1995, dans la rubrique « Géométrie », ces mêmes notions sont évoquées pour le cycle 2, mais au cycle 3 elles sont prolongées au repérage dans le plan. La place des connaissances spatiales se trouve confortée dans les programmes de 2002 par l'intitulé commun aux cycles 2 et 3, « Espace et géométrie ».

2. ÉVOLUTION DES CONNAISSANCES GÉOMÉTRIQUES

L'évolution des programmes de CE et de CM, puis du cycle 3, peut être décrite en trois grandes étapes.

De 1923 à 1977, les programmes mettent l'accent sur les objets étudiés (figures planes et solides) et sur les instruments de tracé. Jusqu'en 1970, cette étude semble principalement destinée d'une part à la maîtrise de techniques de tracé, d'autre part à soutenir le travail sur la mesure d'aires et de volumes.

À partir de 1977, l'accent est mis sur les activités ou les problèmes qui permettent l'étude des objets géométriques (reproduire, décrire, représenter, construire) ; il apparaît une référence aux transformations géométriques qui occupent une place particulièrement importante dans les programmes de 1985 (translation, rotation, symétrie), leur place étant atténuée dans ceux de 1995 où seule la symétrie axiale est mentionnée.

Les programmes de 2002 ne remettent pas en cause ce qui a constitué un axe fort de tous les programmes (étude des figures planes et des solides), mais ils mettent davantage en évidence les connaissances relatives aux relations et propriétés (alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale).

1 LABORDE COLETTE, « L'enseignement de la géométrie », Recherches en didactique des mathématiques, vol. 9/3, La Pensée Sauvage, Grenoble, 1990.

2 CHEVALLARD YVES, « Autour de l'enseignement de la géométrie au collège », Petit x, n° 27, IREM de Grenoble, 1991.

3 KLEIN FÉLIX, « Le programme d'Erlangen », Gauthiers-Villars, 1969.

4 CREM, Enseignement des sciences mathématiques : Rapport au ministre de l'éducation nationale (sous la direction de KAHANE JEAN-PIERRE), Odile Jacob-Centre National de Documentation Pédagogique, Paris, 2002.

■ Chapitre 2

Repères sur les savoirs en géométrie

Dans une première partie, nous analyserons les savoirs géométriques en jeu au cycle 3 en précisant les relations entre connaissances spatiales et connaissances géométriques, et les différents types de géométrie accessibles. Dans une seconde partie, nous présenterons nos choix d'enseignement.

Les composantes des savoirs géométriques au cycle 3

1. CONNAISSANCES SPATIALES ET CONNAISSANCES GÉOMÉTRIQUES

Les connaissances spatiales permettent à l'enfant de maîtriser ses rapports usuels avec l'espace sensible, rapports qui sont contrôlés par la perception ; elles concernent le repérage, les positions relatives d'objets, les parcours... Elles sont liées à l'expérience motrice et sensible, elles s'acquièrent à l'école depuis la maternelle mais aussi en dehors de tout enseignement.

Les connaissances géométriques portent sur des objets idéaux mais ayant des représentations dans l'environnement familier des élèves. La géométrie entretient donc des liens complexes avec l'espace physique qui nous entoure : en tant que théorie mathématique, la géométrie se compose d'un ensemble d'énoncés relatifs à des objets (points, droites, polygones...), à des relations (parallélisme...) compatibles avec la logique mathématique ; mais la géométrie vise aussi à rendre intelligible l'espace sensible et se présente comme un modèle de celui-ci. Ce double aspect est présent dans la géométrie enseignée au cycle 3 ; les élèves élaborent ou utilisent des modélisations de situations spatiales à l'aide de dessins ou de tracés, cette modélisation pouvant ou non s'appuyer sur des relations géométriques. Pour résoudre des problèmes géométriques, les élèves anticipent l'effet d'actions sur les objets, critiquent des productions au moyen de raisonnements et de propriétés reconnues, sollicitent des images mentales ou des évidences associées à des expériences spatiales, établissent des constats à l'aide d'instruments.

Si la géométrie permet donc une modélisation de l'espace, les raisonnements géométriques s'appuient simultanément sur des représentations figurales et sur un discours exprimé dans un langage naturel. La géométrie à l'école élémentaire ne peut être une théorie mathématique de l'espace. Ce n'est qu'au collège que les élèves seront confrontés à une présentation progressive de la géométrie recourant à des raisonnements démonstratifs comme moyen exclusif de prouver des théorèmes et fondée sur des axiomes.

2. LES DIFFÉRENTES GÉOMÉTRIES RENCONTRÉES DANS L'ENSEIGNEMENT

L'enseignement de la géométrie, du primaire au supérieur, repose sur des conceptions successives différentes. En nous appuyant sur des travaux récents¹, nous pouvons distinguer :

• Une approche concrète de l'espace, où les tâches sont résolues directement par l'action sur des objets physiques et, en général, n'impliquent pas une anticipation ; les ajustements peuvent s'effectuer en cours d'action et la validation est pratique. Les formes sont vues globalement sans être nécessairement décomposées en éléments plus simples.

• Une géométrie s'appuyant sur des situations concrètes modélisées par des représentations des objets (dans le domaine spatio-graphique), où les problèmes ne peuvent être résolus simplement par l'action, mais où les procédures supposent une anticipation sur des objets idéalisés. Ces procédures sollicitent en général l'usage des instruments et le recours à des propriétés associées et à des raisonnements. Les formes sont progressivement analysées. Ici encore la validation pratique est possible, mais dans beaucoup de situations, la validation des productions peut privilégier l'analyse de raisonnements.

• Une géométrie théorique traitant d'énoncés mathématiques où la source de validation est la déduction logique. À l'intérieur de ce cadre, plusieurs niveaux peuvent être identifiés :

- les propositions de base sont des définitions, des propriétés reconnues comme vraies ou démontrées. Les seuls raisonnements acceptés sont les raisonnements logiques, valides. Mais l'axiomatique est non explicite ; la géométrie est théorique sans être complètement axiomatisée ;

- les énoncés de base ont explicitement un statut d'axiomes, la géométrie est fondée sur une axiomatique explicite ; les démonstrations sont formalisées.

Les critères permettant de distinguer ces géométries sont multiples : ils portent notamment sur la nature des objets (spatiaux, spatio-graphiques, théoriques), la nature des tâches du sujet (action, anticipation, déduction) et la nature des méthodes de validation (validation pratique, recours à la mesure, recours exclusif aux raisonnements) ainsi que sur le statut scientifique des énoncés.

3. LES NIVEAUX D'ANALYSE DES ESPACES

3.1 Les différents types d'espaces du domaine sensible

Nous avons précédemment précisé la distinction entre deux champs de connaissances : les connaissances spatiales et les connaissances géométriques. Cette distinction a été formulée par Guy Brousseau et développée notamment par René Berthelot et Marie-Hélène Salin², tout comme celle des trois types d'espaces sensibles dans lesquels la situation didactique peut être placée :

- le micro-espace : il s'agit de l'espace proche dans lequel l'élève peut déplacer l'objet, le voir sous toutes ses dimensions. Le sujet se situe à l'extérieur de cet espace, dont il a une vue d'ensemble et dans lequel une manipulation est possible ;

- le méso-espace : il s'agit de l'« espace des déplacements du sujet dans un domaine contrôlé par la vue, les objets sont fixes et mesurent entre 0,5 et 50 fois la taille du sujet »³. Dans le méso-espace, les objets fixes sont des points de référence pour le sujet (par exemple, les portes dans une pièce ou un couloir), qui s'oriente suivant son repère corporel. L'école et ses différents lieux (préau, cour, salle de classe) sont un bon exemple de méso-espace ;

- le macro-espace : il s'agit de l'espace éloigné (espace de la ville visible depuis la cour de récréation) qui n'est accessible à l'élève que par une vision locale (les immeubles éloignés ne sont vus que sur une face). Le sujet doit se décentrer pour intégrer et coordonner des représentations fragmentaires. L'orientation dans cet espace doit être coordonnée à un système de repères extérieur au sujet lui-même.

Ce cadre théorique est pour nous un outil d'analyse et de construction des situations didactiques.

3.2 Le domaine spatio-graphique

Quand des objets théoriques sont représentés par l'élève sur sa feuille de papier, ou quand il schématise des objets du monde sensible, l'élève travaille dans un domaine bien particulier, que nous appelons le domaine spatio-graphique. Il s'agit d'un espace que l'élève contrôle, en partie du moins, par la perception et qui est constitué à la fois :

- d'un ensemble d'objets spatiaux ;

- d'un ensemble de représentations d'objets de l'espace sensible ;

- d'un ensemble de représentations des objets théoriques.

Le domaine spatio-graphique peut être celui qu'on appelle « papier-crayon », et c'est le plus souvent le cas à l'école. Ce peut être aussi le domaine créé à l'écran d'un ordinateur par un logiciel de géométrie dynamique comme Cabri®⁴. Chacun d'eux a des contraintes et des représentations spécifiques.

Dans les activités que nous proposons, nous utiliserons le domaine spatio-graphique à la fois comme domaine de représentation d'objets théoriques (sans pour autant vouloir dire que les élèves sont dans la théorie !), et comme un domaine de représentation d'objets spatiaux usuels. Dans certains cas, pour l'alignement par exemple, le domaine spatio-graphique pourra être alternativement le « papier-crayon » et l'écran de l'ordinateur. Ces distinctions sont importantes pour analyser les difficultés éventuelles dans l'apprentissage de la géométrie et nous ont donc amenés à identifier les connaissances des élèves du cycle 3.

4. LES CONSTITUANTS DES SAVOIRS GÉOMÉTRIQUES

4.1 Les objets

Les « objets » cités dans les textes officiels (un point, un segment, une droite, un rectangle, un pavé...) sont des objets de la géométrie. Ces termes peuvent désigner aussi bien des objets théoriques que des objets matériels existant dans l'espace sensible (rectangle), ou ces termes peuvent au contraire être spécifiques de la théorie (segment) ou de l'espace (trait, bord). Par ailleurs, certains objets (droite) n'ont d'existence que dans la théorie.

Les « objets » rencontrés dans les apprentissages à l'école élémentaire sont nombreux :

- point, milieu ;

- droite, segment, plan, droite perpendiculaire, droite parallèle ;

- cercle, disque, centre, rayon ;

- triangle, triangle particulier (isocèle, rectangle, équilatéral) ;

- polygone, quadrilatère, quadrilatère particulier (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze), sommet, côté ;

- polyèdres, polyèdres particuliers (cube, pavé, prisme, pyramide...), sommet, arête, face ;

- angle, angle droit, angle plat...

4.2 Les relations

Le terme « relations » est pris dans son sens habituel en mathématiques et désigne des liens de la théorie pouvant exister entre les objets. Comme les objets, les relations peuvent aussi être des modélisations de relations qui existent entre les objets dans l'espace sensible, par exemple :

- l'appartenance d'un point à un segment ;

- les relations existant entre deux bords d'une règle, soit l'égalité de longueurs et le parallélisme de segments.

Les relations habituellement rencontrées sont essentiellement, dans le plan :

- les relations d'appartenance (le terme mathématique d'incidence est aussi utilisé) et l'alignement⁵ ;

- le parallélisme ;

- la perpendicularité ;

- l'égalité de longueurs (à travers la notion de « milieu » par exemple) ;

- le repérage ;

- l'isométrie, la similitude d'objets (la superposabilité avec ou sans retournement, l'agrandissement ou la réduction).

4.3 Les propriétés

Les énoncés⁶ permettent de décrire les liens attachant objets et relations (telle droite est parallèle à telle autre...).

Nous identifions ci-dessous quelques types d'énoncés en fonction, d'une part, de leur mobilisation occasionnelle par les élèves, d'autre part, de leur pertinence pour la mise en place ultérieure de la géométrie au collège.

Certains énoncés expriment des propriétés d'objets, qui peuvent être des éléments d'une définition (« un cube a huit sommets » ; « un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles » ou « un parallélogramme est un polygone qui a quatre côtés parallèles deux à deux » si on veut un exemple de définition⁷ ou des théorèmes (« si deux droites sont parallèles, une droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre », « si deux droites sont parallèles, une parallèle à l'une est parallèle à l'autre », « si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles »).

Certains de ces énoncés sont implicitement contenus dans les méthodes de construction. À l'école élémentaire, nous chercherons ainsi à faire apparaître ces propriétés d'abord comme outils implicites de solutions à des problèmes, par exemple dans le problème : « Est-il possible de construire un triangle ayant deux angles droits ? »

Ces propriétés constituent aussi des outils pour valider une solution. Elles sont donc nécessaires pour des problèmes dans lesquels la perception ne permet pas de prendre une décision ou, au contraire, amènerait à une décision en faveur d'un résultat faux. En revanche, toutes ces propriétés ne sont pas des objets d'étude, il n'est pas question pour nous d'en faire une étude exhaustive, d'expliciter leur statut théorique, ni d'en viser une forme d'institutionnalisation.

5. L'IDENTIFICATION DES CONNAISSANCES DES ÉLÈVES

5.1 Les élèves ont des connaissances implicites sur des notions géométriques

L'élève met en œuvre des actions dans l'espace sensible qui s'appuient sur des connaissances spatiales, construites antérieurement dans l'enseignement ou par son expérience personnelle, que nous pouvons mettre en relation avec des connaissances géométriques.

Dans l'exemple ci-dessous, l'élève doit tracer un trait parallèle à la droite d, passant par A. La séquence suivante a été observée fréquemment chez les élèves.

Séquence des actions

L'élève choisit une première règle et la place avec un bord le long de (d) (1).

Il choisit une seconde règle et la place bord à bord avec la première (2), ayant par ailleurs choisi les deux règles pour qu'elles lui permettent de tracer le trait passant par A (3).

Savoirs implicites

1 L'élève utilise le parallélisme des bords opposés des règles.

2 Il « transporte » la direction souhaitée en créant un trait intermédiaire fictif (le second bord de la première règle) parallèle au trait donné, utilisant implicitement le théorème (en acte) : « Si deux droites sont parallèles, une parallèle à l'une est parallèle à l'autre. »

3 Il veille à ce que le second bord coïncide avec le point A.

Les propositions formulées peuvent être des certitudes pour l'élève, mais elles n'acquerront un statut de savoir que si un travail de justification et de critique par des connaissances mathématiques est développé.

Les images mentales remplissent aussi une fonction d'anticipation qui dispense les élèves d'une action réelle sur les objets. Pour savoir si deux figures sont superposables, alors qu'elles apparaissent dans des dispositions spatiales différentes, l'élève va les « faire tourner » ou les « retourner » dans sa tête, donc les détacher mentalement de la globalité perceptive dans laquelle elles apparaissaient. Les images mentales l'aident alors à mieux isoler, à spécifier ou à commencer à analyser des figures.

L'élève dispose aussi de savoir-faire liés notamment à la production d'objets matériels, à la reconnaissance d'objets ou au contrôle de la validité de relations :

• dans l'espace sensible usuel :

- utiliser des pliages;

- contrôler l'alignement de plots...

• dans le domaine spatio-graphique :

- tracer un trait parallèle à un autre avec des instruments ;

- vérifier si un angle est droit avec un gabarit ou un pliage...

L'élève utilise différents types de signifiants pour évoquer les objets ou les relations. Ces signifiants peuvent être personnels :

- gestuels (pour montrer que l'on veut un triangle, que les traits sont parallèles...) ;

- verbaux (par exemple des métaphores-« c'est un mur de maison » - pour caractériser un pentagone...) ;

- graphiques (croquis, schémas...).

5.2 Certaines de ces connaissances sont valides et d'autres erronées

Des élèves de cycle 2 ou de début de cycle 3 sauront dire au sujet de la figure 1ci-dessous que les deux couples de traits sont différents parce que dans le second cas « le trait en pointillé est penché », ce que l'on peut rapprocher d'une certaine connaissance sur l'angle droit ou sur la perpendicularité.

Figure 1

Mais ces mêmes élèves ou d'autres pourront dire au sujet de la figure 2ci-dessous (où la distance réelle du point A à la droite est de 12 cm) que les segments qui se situent dans la zone grisée sont tous des plus courts chemins pour aller de A à d, parce que les mesures entre A et des points de la droite dans cette zone restent voisines à un ou deux millimètres près et donc sont égales pour eux.

Figure 2

Les élèves ont donc, et parfois sur une même notion, des connaissances valides et des connaissances erronées.

Ces connaissances personnelles mobilisées par les élèves, notamment lors de la résolution de problèmes, ainsi que les obstacles auxquels elles peuvent être associées, doivent être repérées au début de tout dispositif d'enseignement. Cela est d'autant plus nécessaire et difficile en géométrie que les travaux scientifiques, en didactique ou en psychologie, permettant de les identifier et de les analyser, sont plus rares que dans le domaine numérique.

Nos choix didactiques

1. NOTRE CONCEPTION DE L'APPRENTISSAGE ET DE L'ENSEIGNEMENT

Nos choix fondamentaux concernant l'apprentissage ont déjà été explicités dans la collection ERMEL, « Apprentissages numériques et résolution de problèmes ». Ils n'ont pas changé et nous nous contentons de les rappeler ici brièvement.

Le rôle de la résolution de problèmes dans la construction des connaissances doit toujours être réaffirmé. En géométrie, comme dans toute activité mathématique, la construction des connaissances se fait le plus souvent à travers des actions mentales finalisées, c'est-à-dire qui permettent de résoudre un problème dans une situation que le sujet a pu s'approprier. Ce sont les actions mentales du sujet dans des situations déterminées qui contribuent à la résolution de problèmes et pour ce faire mobilisent les connaissances qui fonctionnent comme outils adéquats et prennent ainsi du sens, avant d'acquérir un véritable statut et d'être repérées ou nommées puis réinvesties dans d'autres contextes. Ces actions mentales ne doivent pas être confondues avec la simple « manipulation » d'objets concrets, même si elles s'enracinent dans des expériences réelles antérieures, surtout spatiales. Elles doivent permettre de résoudre un problème, et pas seulement de faire des constats empiriques.

L'activité de résolution de problèmes est à la fois le moteur et en bonne partie le lieu de l'apprentissage. Elle détermine un grand nombre d'exigences relatives aux situations à proposer aux élèves.

La prise en compte des connaissances des élèves est, dans cette optique, une nécessité pour l'enseignant. Si la construction des connaissances est au cœur de la résolution de problèmes, cette construction s'opère toujours dans une confrontation, ou une remise en question des connaissances « initiales », qui sont à considérer aussi bien comme des ressources, des points d'appui, que comme des obstacles à surmonter. Nous avons montré précédemment en quoi cette exigence de portée générale était particulièrement importante dans l'enseignement de la géométrie. Il faut éviter de surestimer les connaissances des élèves, en imaginant derrière leurs actions un savoir théorique explicite qui en fait n'est pas présent. Mais, à l'inverse, refuser de prendre en compte leurs expériences spatiales ou leur savoir-faire avec les instruments serait aussi regrettable et risquerait de rendre inefficace l'enseignement proposé.

Les apprentissages importants se font sur le long terme. Apprendre ne se fait ni rapidement, ni en une seule fois, dès lors qu'il s'agit d'une remise en question et d'une « réélaboration » des connaissances antérieures et non d'une simple information nouvelle. En géométrie, tout particulièrement, les principaux concepts sont à la fois complexes et chargés de multiples significations. Le temps est nécessaire pour maîtriser ces différentes significations, les distinguer et aussi les articuler entre elles. En outre, les différents concepts se superposent partiellement au fil du temps (par exemple, le concept d'alignement requiert dans une phase de sa construction celui de distance, comme on le verra dans la situation « Longueur minimum » du thème 3 (Distance), ce qui allonge encore la durée nécessaire pour les construire). Ainsi se trouve pleinement justifié notre choix de proposer une progression sur l'ensemble du cycle 3, le découpage par année n'étant en général pas suffisant pour faire acquérir de façon solide et organisée l'une ou l'autre des notions géométriques. Il faut non seulement plusieurs situations, mais aussi plusieurs reprises sous des angles différents pour parvenir à construire des notions géométriques non dénuées de sens.

Les interactions entre élèves doivent être favorisées. Notre approche constructiviste de l'apprentissage nécessite de mettre également l'accent sur les relations entre élèves. À cela, plusieurs raisons : d'abord, la confrontation avec d'autres élèves peut favoriser la remise en question des connaissances, mais aussi les interactions sont propices à l'échange et les formulations des élèves sont ainsi encouragées. En résolution de problèmes, les procédures des élèves sont diverses et méritent d'être à la fois exprimées par les élèves, recueillies et éventuellement reformulées par l'enseignant.

Enfin, en faisant appel à des connaissances antérieures stabilisées ou à un maillon de raisonnement pour argumenter en faveur de la vérité d'une production, les élèves en viennent peu à peu à se familiariser avec la rationalité mathématique. Ce travail d'argumentation contribue à les rendre de plus en plus autonomes et à faire évoluer leurs représentations de la géométrie.

2. QUELLE ARTICULATION AVEC LES CONNAISSANCES SPATIALES DE L'ÉLÈVE ?

Les connaissances spatiales des élèves du cycle 3 ne doivent pas être considérées comme achevées et nous consacrons un thème entier (thème 7 : Systèmes de repères) au travail de repérage dans l'espace et à l'élaboration des critères qui y sont utiles ; par exemple, savoir « lire » ou faire un plan est une compétence qui doit être travaillée. Nous essayons souvent d'appuyer, dans un premier temps, les activités géométriques des élèves sur leurs expériences spatiales, soit pour les confirmer, soit pour les infirmer.

Par ailleurs, il nous a semblé important qu'une part des activités consiste en un travail effectif dans l'espace sensible : la conduite d'activités dans le méso-espace et le macro-espace permet de développer des significations importantes des concepts géométriques (par exemple, le contrôle d'un alignement par la visée, ce qui paraît difficile dans le domaine spatio-graphique). En outre, des problèmes posés dans ces espaces peuvent être résolus par une modélisation sur la feuille de papier, que cette modélisation soit à la charge de l'élève ou fournie par le maître. Ainsi les connaissances géométriques sont enrichies en devenant des outils nécessaires à la résolution de problèmes spatiaux et la finalité de ces connaissances ne se trouve pas limitée à la seule cohérence des contenus mathématiques étudiés.

Toutefois, il serait illusoire de penser que les procédures développées dans ces espaces sont toujours transposables au domaine spatio-graphique. Certains obstacles à un tel transfert sont relatifs aux situations vécues dans le méso-espace, comme ceux liés au mouvement (joindre deux points par le chemin le plus court est perçu par les élèves en terme de temps et non de distance) ; le recours au méso-espace pour motiver l'étude d'une notion ne garantit pas toujours la construction du concept visé ou peut générer des procédures qui ne sont pas transférables dans le domaine spatio-graphique. Par conséquent, la modélisation de situations dans le méso-espace ou le macro-espace ne constitue pas pour nous, par principe, un passage obligé: les progressions dans l'étude des connaissances géométriques sont en relation avec les significations des notions étudiées et leur organisation, et pas simplement avec les expériences sensibles potentielles. Par exemple, pour localiser un point comme intersection de lignes (un cercle et une droite) dans l'étude de la conjonction de deux relations, nous choisissons de proposer une situation (« Le trésor » dans le thème 3 : Distance) mise en œuvre dans le micro-espace, puis dans le méso-espace.

Des activités sont néanmoins proposées dans l'espace usuel (de la cour ou de la classe) de façon à confronter les élèves avec les connaissances particulières se rapportant à la maîtrise de ces espaces.

3. QUELS APPRENTISSAGES CONDUIRE SUR LES OBJETS ET LES RELATIONS ?

Les savoirs abordés au cycle 3 concernent des objets et des relations. Deux questions se posent : quels apprentissages conduire sur chacune des notions et comment articuler l'étude de ces notions entre elles ?

3.1 Quels apprentissages conduire sur les objets ?

Selon le point de vue d'une géométrie théorique, les éléments qui interviennent en premier sont ceux qui servent de base à l'axiomatique, par exemple les points ou les droites. D'autres éléments sont définis à partir de ces objets et de relations possibles entre ces objets, comme un trapèze ; nous qualifierons dans ce cas le trapèze d'objet « composé ». Pour nous, à l'école élémentaire, en raison des interférences entre connaissances spatiales et connaissances géométriques, l'étude des objets géométriques ne commence pas avec celle des objets « premiers » ou « de base » d'une théorie. Notre expérience nous a montré que les élèves ne considèrent pas le cercle comme un ensemble de points et que le point reste pour eux un objet physique plutôt qu'un objet mathématique.

De plus, certains objets dits « premiers » ou « de base », au sens d'une théorie mathématique, peuvent aussi être vus comme des objets « composés » : par exemple, un point peut être vu comme l'intersection de deux droites.

Les jeunes élèves (de cycle 2) différencient à la vue un gabarit représentant un carré d'un gabarit représentant un rectangle ou un losange non carrés... De plus, en raison de leur usage social, de tels objets leur apparaissent dans leur globalité, et non comme étant le résultat d'une construction de segments contigus, perpendiculaires et égaux deux à deux, ou d'autres éléments de la même sorte.

La confrontation de l'élève à des problèmes devrait lui permettre en particulier de commencer à comprendre que cet objet est en fait complexe et composé, c'est-à-dire qu'il peut être vu comme constitué par des objets plus élémentaires, qui comportent eux aussi entre eux des relations. Le jeune élève peut donc être confronté immédiatement à divers objets « complexes », « composés » de façon à en percevoir les propriétés (énoncés mettant en jeu objets et relations).

Au cycle 2, les élèves travaillent surtout sur des objets considérés comme des entités globales. Ces connaissances antérieures serviront d'appui à d'autres plus analytiques construites au cycle 3.

3.2 Quels apprentissages conduire sur les relations ?

Pour analyser l'apprentissage d'une relation, il nous paraît utile de préciser ce que nous appellerons les significations de la relation. Pour chaque relation, nous distinguons plusieurs significations qui peuvent faire appel à des propriétés du domaine théorique. Prenons l'exemple du parallélisme. Deux droites distinctes sont parallèles :

- si elles n'ont pas de point commun (incidence) ;

- si leur écart est constant (distance) ;

- si elles ont la même direction ou si elles ont la même orientation par rapport à une droite donnée (angle) ;

- si elles ont une perpendiculaire commune (perpendicularité) ;

- si l'une est l'image de l'autre par une translation ;

- si elles sont les supports de côtés opposés d'un quadrilatère familier.

La signification de la relation renvoie donc aussi à des propriétés des objets composés (ici pour le parallélisme, deux droites qui contiennent les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles).

Concernant toujours le parallélisme, construire une ou plusieurs droites parallèles à une droite donnée ou déterminer si deux droites sont parallèles restent, bien entendu, des problèmes communs à chacune des significations évoquées précédemment. Mais ces problèmes vont être résolus avec des procédures différentes suivant la signification de la relation mise en jeu dans la situation (production d'un réseau de parallèles ou d'une parallèle par glissement, report de l'écart, double perpendicularité...). Chacune de ces significations privilégie une procédure de construction et (ou) de reconnaissance. Par exemple, la signification « deux droites sont parallèles si l'une est l'image de l'autre par une translation » renvoie à la procédure de glissement de la règle pour tracer des droites parallèles et également pour les reconnaître.

Si les relations sont perçues d'abord spatialement, leur apprentissage suppose qu'elles apparaissent comme outils pour résoudre des problèmes. Dans chaque situation didactique, la signification visée va être portée par un contexte ; celui-ci a une double fonction :

- contenir implicitement la relation étudiée, et en particulier permettre une représentation du but à atteindre ;

- constituer des situations de référence pour la relation, auxquelles l'élève peut se reporter lorsqu'il est confronté à d'autres situations où la relation est en jeu.

L'étude d'une relation suppose que chacune des significations à laquelle peuvent accéder les élèves de cycle 3 soit appréhendée dans un ordre qui peut être déterminé par le recours nécessaire à d'autres relations ou dans un ordre qui peut rester plus libre. Par exemple pour le parallélisme, il est possible de proposer en premier soit la construction d'un trapèze, soit la production de lignes droites ayant une direction commune, ce qui renvoie à deux significations pouvant s'appuyer l'une et l'autre sur des procédures de glissement de la règle et un contrôle d'abord perceptif. En revanche, aborder la reconnaissance du parallélisme de deux droites, par l'existence d'une perpendiculaire commune, suppose que d'autres problèmes relatifs à la perpendicularité aient été traités.

Nous ne pensons pas qu'il suffise de résoudre des problèmes relevant de chacune des significations d'une relation pour garantir un apprentissage. C'est pourquoi il nous a fallu compléter ce travail en proposant, essentiellement au CM2, des problèmes de synthèse qui sollicitent plusieurs de ces relations ou qui sont relatifs aux propriétés des objets. Par ailleurs, un apprentissage suppose aussi de découvrir et de stabiliser, au cours de l'étude d'une relation, un vocabulaire spécifique, des propriétés, des techniques instrumentales, qui sont rencontrés ou institutionnalisés selon les situations.

Pour chacune des relations étudiées, l'ensemble des choix qui lui sont spécifiques est explicité dans la partie théorique du thème concerné.

3.3 Une approche par les relations au début du cycle

Notre recherche nous a conduits à faire ce choix pour plusieurs raisons.

• Une simple étude d'un objet spatial ne sera pas très riche si les relations entre les éléments le composant ou entre cet objet et d'autres n'interviennent pas. Par exemple, un cube peut être étudié du point de vue :

- de ses faces, de ses arêtes, de ses sommets, des relations que ces objets entretiennent entre eux dans le cube ;

- de ses relations avec d'autres objets qui ne sont pas des cubes (d'autres polyèdres par rapport à leur nombre de faces), qui ne sont pas des polyèdres, ou qui sont d'autres cubes que le cube étudié (comparaison des faces, des arêtes...). Étudier un objet, c'est étudier les relations qui le constituent ou qui le distinguent d'un autre.

• L'étude des relations va faciliter un passage à une géométrie plus théorique. Dans l'espace sensible ou dans le domaine spatio-graphique, les relations n'ont pas de matérialisation propre : ce sont des liens entre objets que l'élève peut percevoir et identifier perceptivement, mais les relations ne pourront être caractérisées que par le recours au langage, d'abord au moyen d'expressions personnelles, puis au moyen d'expressions institutionnelles qui les fixeront.

Aussi, nous avons fait le choix d'organiser les apprentissages en entrant par les relations, parce que nous estimons que c'est un moyen d'inciter les élèves à passer :

- du global à l'analytique pour la résolution de problèmes, ce que la simple description des objets perçus n'induit généralement pas ;

- du spatio-graphique au « théorique » parce que l'évidence spatiale est moins présente et que les jugements « théoriques » sont nécessaires.

Si l'ensemble des situations d'apprentissage que nous proposons sont organisées autour des relations sur les deux premières années du cycle, cela ne veut pas bien sûr dire que les objets du plan et de l'espace sont oubliés. Les propriétés des objets sont analysées au CE2 et au CM1 dans le cadre du travail sur les relations et ils sont étudiés, pour eux-mêmes, plus systématiquement au CM2. En effet, nous pensons que les différents savoirs concernant les objets et les relations ne peuvent être appris indépendamment les uns des autres. En cela, notre démarche est en convergence avec les Instructions Officielles de 2002 qui insistent sur l'apprentissage des relations, tout en les faisant suivre de précisions concernant les objets essentiels.

3.4 L'organisation autour des relations

Le développement qui vient d'être présenté nous a conduits à faire un inventaire des relations possibles :

- l'alignement, entre les objets que sont point, droite, segment ;

- l'égalité de distances (points à égale distance d'un point donné - cercle -, points à égale distance de deux points donnés - milieu, médiatrice) ;

- le parallélisme ;

- la perpendicularité avec l'angle droit;

- le repérage vu comme la relation existant entre un objet et un repère ;

- les comparaisons : les isométries (symétrie) en tant que relations entre deux objets, avec l'axe de symétrie d'objets et les agrandissements et réductions.

Cette organisation fait apparaître des savoirs qui ne figuraient pas jusque-là dans les programmes officiels :

- l'appartenance (rencontrée pratiquement partout de façon implicite dans les activités géométriques, mais à laquelle nous pensons qu'il convient de donner un statut plus officiel...). Elle permet de définir certains concepts : droite définie par deux points, cercle défini par un centre et par un point... ;

- l'alignement et l'égalité de distances qui présentent un intérêt notamment pour des objets théoriques très courants (segment, droite, cercle ou disque).

Les relations géométriques dans le plan, énumérées précédemment, nous ont paru nécessiter des regroupements en quatre thèmes (« Alignement », « Angle, perpendicularité et parallélisme », « Distance » et « Comparaison ») ; l'ordre des thèmes ne signifie pas leur succession chronologique. Nous avons retenu sept thèmes : quatre d'entre eux concernent les relations géométriques dans le plan, un l'étude des objets du plan, un l'étude des relations et des objets dans l'espace et le dernier le repérage dans l'espace.

Thème 1 : Alignement

Thème 2 : Angle, perpendicularité et parallélisme

Thème 3 : Distance

Thème 4 : Comparaison

Thème 5 : Figures du plan (objets 2D)

Thème 6 : Objets de l'espace (objets 3D)

Thème 7 : Systèmes de repères

4. LES PROBLÈMES

Conformément aux conceptions sur l'apprentissage développées ci-dessus, nous avons cherché à placer l'élève dans la position de construire ses connaissances en les faisant d'abord apparaître comme outils de solution de problèmes, et pour cela, nous avons cherché à construire des situations d'apprentissage spécifiques.

Les éléments présentés ci-dessous sont communs à la plupart des situations. Ils ont une incidence directe sur les apprentissages développés - parce qu'ils les organisent-, et sur la structuration des situations mises en place.

4.1 Les différents types de problèmes

Chaque relation apparaît d'abord comme un outil implicite de résolution dans les premiers problèmes rencontrés. Les situations d'apprentissage élaborées se réfèrent à un contexte, mais aussi à un problème géométrique.

- Problème de reconnaissance de relation : par exemple, quelle relation entre les côtés opposés de tel quadrilatère ? Deux droites données sont-elles parallèles ?

- Problème de production d'objet (objet dont l'existence est assurée) : par exemple, produire une perpendiculaire à une droite donnée.

- Problème d'existence d'objet : par exemple, existe-t-il une forme, prise dans un ensemble, superposable à une autre forme donnée ?

- Problème de recherche de toutes les solutions (problèmes de lieux géométriques : exhaustivité ou universalité) : par exemple, trouver les points situés à 3 m de l'arbre et à 5 m du mur, ou encore le trésor est à égale distance de deux points A et de B ; où creuser ? Dans les premières phases des apprentissages (au CE2 et au CM1 notamment), nous aurons recours essentiellement aux problèmes des deux premiers types, car les autres présentent un caractère théorique plus marqué.

4.2 Des problèmes spatiaux à des problèmes plus « théoriques »

Les problèmes que nous venons de décrire du point de vue de leurs caractéristiques mathématiques comportent des données qui sont en partie des objets, en partie des relations.

Face à ces problèmes, l'élève :

- peut anticiper et prévoir le résultat ;

- peut aussi décrire les actions en employant ou produisant des désignations ou des énoncés exprimés sous des formes variées qui évolueront vers une expression plus mathématique.

Par ailleurs, la résolution de ces problèmes peut conduire à des éléments d'institutionnalisation : le « pas de côté » effectué en passant notamment des relations ou des objets eux-mêmes à des évocations, et le recours au langage (institutionnel ou en voie de l'être) facilitent ce passage.

Le changement de domaine des objets peut être effectif au sein d'une même situation. Certaines d'entre elles d'ailleurs comportent consécutivement des problèmes dans les trois domaines.

Les problèmes posés dans l'espace sensible (en début de situation) permettent la dévolution (l'élève s'approprie les objets et les relations de la situation, il prend conscience du but du problème) ainsi que le développement de procédures propres à cet espace.

Les problèmes posés dans le domaine spatio-graphique placent l'élève face à des objets qui ont un double statut :

- d'un côté, ces objets sont des représentations des objets de l'espace sensible. Au sein de la situation, ils évoquent en effet les objets de l'espace sensible dans la situation de départ. De plus, la représentation peut correspondre à des objets très différents ; un point peut figurer une trace d'épingle ou un arbre de la forêt, un trait peut figurer un fil... ;

- d'un autre côté, ces objets sont des objets matériels (donc spatiaux). Par exemple dans la situation « Sur la trace des roues » du thème 2 (Angle, perpendicularité et parallélisme), les traits droits représentent les traces des roues d'une voiture dans le désert ; mais ils sont aussi des traits sur une feuille de papier avec lesquels l'élève va pouvoir prendre des mesures, tracer des perpendiculaires...

Ainsi donc, par le premier statut de ces objets, la dévolution des problèmes dans le domaine spatio-graphique est facilitée et, par le second statut, l'élève va développer des procédures et des connaissances moins directement spatiales et d'un caractère un peu plus « théorique ».

Enfin, les problèmes posés dans le domaine plus « théorique » sont moins fréquents et peuvent se justifier dans le cas d'une généralisation par exemple. Les objets restent des évocations de ceux rencontrés en début de situation, dans l'espace sensible. Mais ils ne sont pas donnés à l'élève sous forme matérielle ; ils sont seulement évoqués par l'énoncé du problème (qui fait référence à la situation de départ bien entendu) : l'élève peut les représenter, à sa façon, de manière à ne pas être tenté de reproduire des réalités spatiales, mais au contraire de manière à s'en dégager et à faire abstraction justement de ces réalités spatiales en réalisant un schéma, par exemple pour répondre à la question : « Peut-on produire un triangle qui a deux angles droits ? »

1 HOUDEMENT CATHERINE et KUZNIAK ALAIN, « Formations des maîtres et paradigmes géométriques », Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 20/1, La Pensée Sauvage, Grenoble, 2000.

2 BERTHELOT RENÉ et SALIN MARIE-HÉLÈNE, « L'enseignement de l'espace et de la géométrie dans la scolarité obligatoire », Thèse d'université, Bordeaux 1, 1992 (cf. aussi Grand N, n° 53, IREM de Grenoble, 1993). Cette caractérisation des trois types d'espaces est développée dans le thème 7 (Systèmes de repères) du présent ouvrage.

3 BROUSSEAU GUY, « Études de questions d'enseignement. Un exemple : la géométrie », Séminaire de didactique des mathématiques et de l'informatique, LSD IMAG, Université J. Fourier, Grenoble, 1983.

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