Paul Lockhart

Libérez les mathématiques !

Traduit de l’anglais
par Frederic Bourgeois et Bertrand Delvaux

Préface de Mickaël Launay

Titre original : A Mathematician’s Lament

Éditeur original : Bellevue Literary Press
© Paul Lockhart, 2009
Illustrations de Jérôme Poloczek.
Titre original de la version française :
Lamentation d’un mathématicien.
© L’arbre de Diane Éditions, pour la version française.
© Flammarion, 2020, pour l’édition en « Champs ».

ISBN Epub : 9782080207579

ISBN PDF Web : 9782080207593

Le livre a été imprimé sous les références :

ISBN : 9782081510968

Ouvrage composé et converti par Pixellence (59100 Roubaix)

Présentation de l'éditeur

« Rien ne relève plus du rêve et de la poésie, rien n’est aussi radical, subversif et psychédélique que la mathématique… »

Dans cet essai engagé, aussi drôle qu’instructif, Paul Lockhart se désole de la manière dont les mathématiques sont enseignées aux élèves et perçues par le grand public. Tout en dénonçant avec vigueur les manquements de l’école, cet amoureux des maths partage sa vision passionnée de cette « aventure de l’imagination ». Un livre savoureux qui nous fait (re)découvrir cette discipline joyeuse, exaltante et accessible à tous !

Paul Lockhart a enseigné les mathématiques aux universités Brown et UC Santa Cruz avant de revenir à sa première passion : enseigner aux enfants. Depuis vingt ans, il est instituteur à la Saint Ann’s School à Brooklyn.

« Ce texte porte un vent frais et plein d’espoir à tous ceux qui ont un jour désespéré des mathématiques. Oui, il nous libère. » Mickaël Launay, auteur du Grand Roman des maths (2016) et du Théorème du parapluie (2019).

Dans la même collection

Alex Bellos, Alex au pays des chiffres ; Alex et la magie des nombres.

Conversation sur les mathématiques, avec Pierre Cartier, Jean Dhombres, Gerhard Heinzmann et Cédric Villani.

Neil deGrasse Tyson, L’Univers expliqué aux gens pressés.

Masha Gessen, La Légende Grigori Perelman.

Brian Greene, La Réalité cachée.

Stephen Hawking, Une belle histoire du temps.

Stephen Hawking, Une brève histoire du temps.

Stephen Hawking, Commencement du temps et fin de la physique.

Stephen Hawking, Petite histoire de l’Univers.

Étienne Klein, Discours sur l’origine de l’Univers.

Étienne Klein, Matière à contredire.

Étienne Klein, Petit voyage dans le monde des quanta.

Étienne Klein, Les Tactiques de Chronos.

Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde.

Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde.

Ian Stewart, La Chasse aux trésors mathématiques.

Ian Stewart, Dieu joue-t-il aux dés ?

Ian Stewart, Les Mathématiques du vivant.

Ian Stewart, Mon cabinet de curiosités mathématiques.

Cédric Villani, Les Mathématiques sont la poésie des sciences.

Libérez les mathématiques !

Pour Stanley, qui m’a demandé d’écrire ce livre.

Si tu veux construire un bateau, ne rassemble pas tes hommes et femmes pour leur donner des ordres, pour expliquer chaque détail, pour leur dire où trouver chaque chose. Si tu veux construire un bateau, fais naître dans le cœur de tes hommes et femmes le désir de la mer.

ANTOINE DE SAINT-EXUPÉRY

Préface

Je dois vous faire un aveu : moi non plus, je n’aime pas les mathématiques. C’est une révélation tardive, ça faisait plus de trente ans que je pensais les adorer. Il aura pourtant suffi d’un déclic, la lecture du texte de Paul Lockhart que vous tenez entre les mains, pour me faire prendre conscience de cette évidence : je les détestais sans le savoir.

C’est qu’il y a quelque chose qui cloche avec l’enseignement des maths. On le sait assez, on le répète d’année en année à grand coup d’études internationales déplorant le niveau et l’implication des élèves. Le fameux « Oh, moi, j’étais nul en maths ! » est sans doute la phrase que les matheux entendent le plus souvent quand on en vient à discuter de leur domaine de prédilection. Et qui de faire la grimace ou de mimer le dégoût, comme devant la plus répugnante des choses, au simple souvenir qu’il a fallu un jour s’adonner à cette immonde pratique : faire des maths.

Et ce constat malheureux est universel : un peu partout dans le monde, un nombre faramineux de jeunes humains sort chaque année du système scolaire avec une image catastrophique des mathématiques. En France, le jour des résultats du bac, on voit depuis quelques années fleurir sur les réseaux sociaux une multitude de messages de joie comme : « J’ai mon bac ! Je ne ferai plus jamais de maths de ma vie ! » Ces jeunes viennent tout juste d’obtenir le diplôme pour lequel ils travaillent depuis des années, mais l’une des premières perspectives heureuses que cela leur ouvre est d’être débarrassé de cette matière maléfique… Un symptôme parmi tant d’autres.

Bien sûr, il y a des exceptions. Certains élèves aiment les maths, ou au moins s’en sortent sans traumatisme. Mais qu’il est difficile de se réjouir de ces quelques cas encourageants au milieu de tous les autres ! S’en consoler serait indécent.

En face, il n’est pas rare que ceux qui aiment les maths (ou le prétendent) adoptent une attitude paternaliste et, disons-le, assez condescendante. Les pauvres enfants, ils ne savent pas ce qu’ils disent. On suppose qu’ils n’ont pas assez travaillé ou pas assez sérieusement, qu’ils manquent de recul, voire qu’ils le font un peu exprès. Les plus magnanimes des pédagogues trouveront encore le courage d’essayer de les ramener dans le droit chemin, de leur expliquer à quel point ils passent à côté de l’essentiel. Mais au fond, n’est-ce pas, si la situation des mathématiques est si mauvaise, c’est quand même un peu de la faute des élèves qui n’y mettent pas du leur.

Seulement, écoute-t-on réellement ce que nous dit leur malaise ? Et si, dans le fond, ces élèves avaient raison ? Et si les mathématiques étaient réellement une matière détestable ? Si encore elles étaient utiles ! Mais comment peuvent-ils croire qu’elles soient indispensables à leur avenir, lorsqu’il leur suffit d’observer au quotidien tous les adultes qui parviennent parfaitement à s’en passer ? En 2014, un article du journal satirique en ligne Le Gorafi titrait : « À 35 ans, il parvient enfin à utiliser le théorème de Pythagore dans sa vie professionnelle ». La blague n’en est pas vraiment une : pour une majorité de gens, la plupart des mathématiques enseignées à partir du collège n’auront jamais la moindre utilité directe une fois sorti du système scolaire. S’intéresser aux mathématiques ne semble pertinent qu’à une minorité se destinant à des métiers bien spécifiques, ingénieurs, chercheurs… ou profs de maths.

Cet état de fait, Paul Lockhart le prend de front. Il n’essaye pas de sauver les meubles et ne se perd pas en excuses ou en justifications. Il acquiesce au constat du désastre. C’est vrai, ce que vous appelez mathématiques – ou plutôt : ce que l’on vous a fait appeler mathématiques le temps de votre scolarité – est d’un ennui absolu et d’une absurdité profonde. Vous n’aimez pas les mathématiques ? Eh bien lui non plus, il n’aime pas ça.

Lorsqu’en 2002 il écrit une tribune d’une vingtaine de pages intitulé A Mathematician’s Lament (« La lamentation d’un mathématicien »), qui sera publié dans les colonnes du webzine de la MAA (l’Association Mathématique Américaine), son texte fait rapidement le tour de la communauté mathématique auprès de laquelle il a un grand succès. De ce texte en naîtra en 2009 un plus long, celui que vous trouverez dans les pages qui suivent. Paul Lockhart y met les mots sur ce que beaucoup d’amateurs ou de professionnels des maths ressentent sans forcément en avoir conscience ni savoir le formuler clairement. Les mathématiques proposées par le système scolaire sont diamétralement opposées aux mathématiques que nous aimons pratiquer. Ses mots vont droit au but, ses exemples sont frappants. La métaphore initiale qui ouvre le livre, décrivant le cauchemar d’un musicien ayant vu sa discipline réduite à un enseignement mécanique et dénué de sens, est particulièrement parlante et sera souvent reprise pour dénoncer la situation dans laquelle se trouve l’enseignement des mathématiques.

Avec un peu de recul, je repense à toutes les fois où j’ai tenté de convaincre un auditoire de l’intérêt de cette discipline que j’aimais tant. Face à l’attitude dubitative et aux questionnements légitimes de certains, je devais souvent contourner le problème, répondre un peu à côté des objections qui m’étaient faites. Je faisais l’hypocrite. Car ce que désignait, de leur point de vue, le mot « mathématique », je ne l’aimais pas non plus. Alors je répondais en leur parlant d’autre chose qui, pour eux, n’avait jamais pris le nom de mathématique. Et chacun finissait par repartir insatisfait d’un quiproquo mal identifié et qui n’avait pas su éclater.

Ainsi, Libérez les mathématiques ! a une double vertu : non seulement il ouvre de nouveaux horizons à ceux et celles qui ne connaissaient de cette matière que ce qu’ils en ont vu à l’école, mais dans le même temps, il fait comprendre à celles et ceux qui les aiment qu’eux aussi les détesteraient si elles étaient réellement ce que l’on fait croire qu’elles sont à tout un tas de gens. Entre ceux qui les aiment et ceux qui ne les aiment pas, il n’y a aucun désaccord. Ils ne parlent tout simplement pas de la même chose.

Lorsqu’il s’agit de décrire ce que l’on apprend aux élèves sous le titre de mathématiques, le moins que l’on puisse dire, c’est que Paul Lockhart n’y va pas avec le dos de la cuillère. Et bien qu’il parle de la situation aux États-Unis, qu’il connaît bien, son diagnostic est, à quelques variations près, quasi universel. On peut lire ce texte en France sans avoir à y changer grand-chose. Les exemples qu’il donne sont nombreux et accablants. Il ne s’agit pas simplement d’adapter quelques points de programme ou certaines pratiques pédagogiques pour sauver la situation. Il faut tout brûler et reprendre de zéro !

Alors seulement, sur cette page blanche, une nouvelle discipline pourra être envisagée, une matière subtile et délicieuse, que nous pourrons à nouveau appeler sans honte : mathématiques.

Car malgré la tristesse de son point de départ, n’allez pas croire que ce livre soit pessimiste. Dans la seconde partie, Lockhart, libéré de tout ce qu’il avait sur le cœur, peut enfin nous conter ses mathématiques, celles pour lesquelles il se lève avec joie le matin, celles qui le font frémir et jubiler. Elles ne sont pas faites de règles arbitraires que l’on apprend sans comprendre, mais plutôt de création de nouvelles idées, de recherche d’élégance et de satisfaction intellectuelle face à un bel argument construit pas à pas. De nouvelles valeurs telles que l’initiative personnelle, le droit à l’égarement et le partage des idées y prennent une place prépondérante. Comprendre : quelle chose merveilleuse !

Pas avare d’exemples, Lockhart montre qu’il est possible de rendre tout ceci accessible aux élèves, dès un très jeune âge. Les belles mathématiques n’appartiennent pas à une élite. Chacun peut s’en emparer pourvu qu’on ne les lui cache pas.

Ce texte porte un vent frais et plein d’espoir à tous ceux qui ont un jour désespéré des mathématiques. Oui, il nous libère. Paul Lockhart m’a fait comprendre que je détestais ce que je croyais aimer. Maintenant, nous voilà libres d’aimer vraiment. Les mathématiques sont mortes, vivent les mathématiques !

Mickaël Launay

Note des traducteurs

Le présent ouvrage est issu d’un document dactylographié de vingt-cinq pages circulant dans les milieux de l’éducation mathématique aux États-Unis depuis 2002. En 2007, le texte original arrive dans les mains de Keith Devlin, mathématicien britannique et auteur scientifique de l’université Stanford, aux États-Unis, qui le publie immédiatement en intégralité, et par épisodes, dans Devlin’s Angle, billet mensuel qu’il signe sur le webzine MAA Online de la Mathematical Association of America (http://www.maa.org). Le succès est immédiat et Paul Lockhart s’attache alors à en publier une version longue et susceptible d’atteindre un plus grand public.

Pour cette traduction, les traducteurs ont choisi de rendre compte du terme Mathematics, en dehors des expressions figées (« faire des mathématiques »), en parlant de « la mathématique » ou « des mathématiques », selon le contexte dans lequel il apparaissait, s’agissant de l’art tel que l’auteur l’entend, ou de la discipline issue de la somme de ses différentes matières.

A Mathematician’s Lament présentant des réflexions et critiques à l’égard de la méthode d’enseignement de la mathématique aux États-Unis, il fut également décidé de ne pas traduire les grandes étapes du programme-cadre en un système correspondant (qui par ailleurs n’est pas nécessairement unifié à travers les différents pays de la francophonie). En outre, la traduction littérale des noms des différentes matières au programme est assez éloquente pour ne pas perdre le lecteur.

Enfin, les citations de G.-H. Hardy sont tirées de la traduction que Dominique Jullien et Serge Yoccoz ont faite de son livre A Mathematician’s Apology (Hardy : 1877-1947 : L’apologie d’un mathématicien, parue en 1985 aux éditions Belin), et dont s’est inspiré Paul Lockhart pour le titre du présent ouvrage. La citation de Bertrand Russell est quant à elle tirée de la version française de son Autobiographie (1872-1967), par Antoinette et Michel Berveiller, parue en 2012 aux Belles Lettres.

Partie I

Lamentation

Un musicien se réveille d’un terrible cauchemar. Dans son rêve, l’éducation musicale est devenue obligatoire. « Nous aidons nos élèves à devenir plus compétitifs dans un monde de plus en plus sonore. » Des éducateurs, des pédagogues et même l’État ont pris en charge ce projet vital. Des études sont menées, des comités formés, des décisions prises ; le tout, sans l’avis ni la participation d’un seul musicien professionnel ou d’un compositeur.

Puisque les musiciens transcrivent leurs idées sous forme de partitions, ces curieuses lignes et points noirs doivent constituer le « langage de la musique ». Il est donc impératif que les élèves le maîtrisent pour prétendre atteindre un certain niveau de compétence. Il serait absurde d’attendre d’un enfant qu’il chante une chanson ou joue d’un instrument sans une solide connaissance en théorie et notation musicales. Jouer et écouter de la musique, a fortiori composer une pièce originale, sont des sujets avancés étudiés à l’université, et le plus souvent dans le cadre d’études spécialisées.

À l’école, les élèves sont formés à utiliser ce langage abstrait, à en manipuler les symboles selon un ensemble déterminé de règles : « Pendant le cours, notre professeur écrit des notes au tableau, et nous devons les recopier sur nos papiers à musique, puis les transposer dans une tonalité différente. Il faut s’assurer que les clefs et l’armure soient correctes, et notre professeur insiste pour que nous écrivions correctement nos noires. Une fois, j’ai réussi à résoudre un problème d’échelle chromatique, mais le professeur m’a mis zéro parce que les hampes pointaient dans le mauvais sens. »

Du haut de leur sagesse, les éducateurs se sont vite rendu compte que même les jeunes enfants sont aptes à recevoir cette formation musicale. De nos jours, il est plutôt gênant qu’un enfant de huit ans n’ait pas complètement mémorisé son cycle de quintes. « Je vais devoir trouver un professeur particulier de musique pour mon fils. Il ne fait pas bien ses devoirs, il dit que c’est ennuyeux. Il reste là, assis, à regarder par la fenêtre, à fredonner et inventer des chansons stupides. »

La pression grandit au cours de la scolarité. Après tout, les élèves doivent être préparés pour des tests standardisés qui détermineront leur admission à l’université. Ils doivent suivre des cours spécialisés en gammes, modes, métrique, harmonie et contrepoint. « Il y a beaucoup à apprendre, mais plus tard, quand ils entendront toutes ces notes à l’université, ils seront vraiment contents de les avoir déjà étudiées au lycée. » Bien sûr, peu d’élèves entreprennent des études universitaires en musique, et seul un tout petit nombre entendra les sonorités cachées derrière ces points noirs. Il n’empêche, il est primordial que tout citoyen puisse reconnaître une modulation ou une fugue, indépendamment du fait qu’il y ait peu de chances qu’ils en entendent jamais une. « En toute honnêteté, rares sont les très bons élèves en musique. La plupart s’ennuient en classe, leurs compétences sont épouvantables et leurs devoirs à peine lisibles. Ils se moquent de l’importance de la musique dans le monde d’aujourd’hui. Ils veulent juste réussir le nombre de cours requis et en finir au plus vite. Je me dis que certains ont la bosse de la musique et d’autres pas. Une fois par contre, j’ai eu cette élève, elle était incroyable, mon Dieu ! Ses partitions étaient impeccables : chaque note était au bon endroit, une calligraphie parfaite, dièses, bémols, tout simplement magnifiques. C’est sûr, un jour, elle fera une incroyable musicienne. »

Le musicien se réveille avec des sueurs froides et se rend compte, soulagé, que tout cela n’était qu’un mauvais rêve. « Évidemment ! se rassure-t-il, aucune société ne réduirait jamais une si belle forme d’art à quelque chose d’aussi bête et trivial ! Qui pourrait être assez cruel pour priver ses enfants d’un mode d’expression aussi naturel et satisfaisant ? Quelle absurdité ! »

Pendant ce temps, de l’autre côté de la ville, un peintre se réveille d’un cauchemar similaire…

… À ma grande surprise, je me suis retrouvé dans une salle de classe sans chevalet ni tube de peinture. « Oh, on ne touche pas à la peinture avant le collège, m’ont dit les élèves. En cinquième, on étudie surtout les couleurs et les différents types de pinceaux. » Ils m’ont montré une feuille de travail : au recto, des échantillons de couleur et des cases vides à côté, où il fallait écrire le nom de la couleur. « J’aime la peinture, m’a confié l’un d’eux, on me dit ce qu’il faut faire et je le fais. C’est facile ! »

Après le cours, j’ai parlé avec l’enseignant :

« Mais en fait, vos élèves ne peignent pas, non ?

Eh bien, me répondit-il, l’année prochaine, ils suivront le cours d’Introduction à la Peinture par numéro. Ça les prépare pour le cours de Peinture par numéro au lycée. Ils devront mettre en pratique ce qu’ils ont appris ici et l’appliquer à des situations picturales de la vraie vie : tremper le pinceau dans la peinture, l’essuyer, des choses comme cela. Bien entendu, nous nous adaptons aux aptitudes de nos élèves. Les peintres vraiment excellents, ceux qui connaissent leurs couleurs et pinceaux sur le bout des doigts, pourront pratiquer la peinture elle-même un petit peu plus tôt. Certains auront même accès à des cours avancés de préparation à l’université. Mais nous voulons avant tout donner aux enfants de bonnes bases en peinture, pour qu’une fois dans la vraie vie, quand ils devront repeindre leur cuisine par exemple, ce ne soit pas le bordel intégral.

Mais, ces cours de lycée que vous avez mentionnés…

Vous voulez dire Peinture par numéro ? Ce cours est de plus en plus populaire. Selon moi, les parents veulent s’assurer que leur enfant entrera dans une bonne université. Il n’y a rien de mieux, sur un bulletin, que de bonnes notes en Peinture par numéro !

Mais pourquoi les universités se soucient-elles de notre aptitude à remplir une case numérotée avec la couleur correspondante ?

– Oh, eh bien, vous savez, ça démontre une pensée logique limpide. Et si un étudiant veut se spécialiser par la suite dans une science visuelle, comme la mode ou la décoration d’intérieur, c’est vraiment bien d’avoir déjà vu tout ça au lycée.

Je vois. Et quand les élèves commencent-ils à peindre librement, sur une toile blanche ?

On dirait mes anciens profs ! Ils nous disaient tout le temps qu’il fallait nous exprimer, extérioriser nos sentiments, des trucs comme ça ; des choses en fait super abstraites. Je suis moi-même diplômé en peinture, mais je n’ai jamais vraiment travaillé sur toile. J’utilise seulement les kits de Peinture par numéro fournis par l’école. »

*

*   *

Malheureusement, le système actuel d’enseignement des mathématiques relève littéralement de ce type de cauchemar. En fait, si je devais concevoir un mécanisme pour détruire délibérément la curiosité naturelle de l’enfant et son attrait pour la réflexion, je ne pourrais pas mieux m’y prendre. Je n’aurais tout simplement pas assez d’imagination pour inventer des règles aussi insensées et aussi dégradantes que celles qu’on retrouve aujourd’hui dans l’enseignement des mathématiques.

Tout le monde sait que quelque chose ne va pas. Les politiciens disent : « Le niveau doit être plus élevé. » Les écoles : « Nous avons besoin de plus d’argent et de matériel. » Les éducateurs disent une chose, et les enseignants une autre. Ils se trompent tous. Les seules personnes à avoir compris le problème sont les moins écoutées, et les plus souvent blâmées : les élèves. Selon eux, « le cours de maths est stupide et ennuyeux », et ils ont raison.