Titre original :
Maths in minutes

Copyright © Quercus Publishing Plc 2012
Texte par Paul Glendinning
© Éditions Contre-Dires pour la traduction française, 2014, 2017

Traduit et adapté de l’anglais par Antonia Leibovici

Éditeur : Guillaume Trédaniel
Maquette Pikaia Imaging
Illustration par Pikaia/Tim Brown et Bill Donohoe

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Tous les efforts sont été faits pour contacter les détenteurs des copyrights. Toute omission accidentelle sera corrigée lors d’une prochaine édition.

ISBN : 978-2-81321-586-4

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Introduction

Les mathématiques ont évolué pendant plus de quatre mille ans. Nous mesurons encore les angles en utilisant le système à 360° conçu par les Babyloniens. La géométrie a atteint sa maturité à l’époque des Grecs anciens, qui comprenaient déjà les nombres irrationnels. La civilisation arabe a développé l’algèbre et popularisé l’idée du zéro en tant que nombre.

Les mathématiques ont à juste titre une riche histoire. Extrêmement utiles – le langage de la science, de la technologie, de l’architecture, du commerce –, elles sont formidablement satisfaisantes sur le plan intellectuel. De plus, les mathématiques continuent à évoluer, tant par la sophistication des approches de domaines établis que par la découverte ou l’invention de nouveaux domaines de recherche. Récemment, les ordinateurs ont offert une façon inédite d’approcher l’inconnu, et même si les démonstrations mathématiques traditionnelles sont le produit final, les simulations numériques suscitent de nouvelles intuitions accélérant le cadrage des conjectures.

Seul un fou prétendrait que l’ensemble des mathématiques peut être présenté en 200 infimes résumés. Ce livre tente de décrire certains des exploits des mathématiques, tant anciens que modernes, et d’expliquer pourquoi ils sont si exaltants. Afin de développer certaines idées plus en détail il a semblé naturel de se concentrer sur les mathématiques basiques. Les innombrables applications de ces idées ne sont que mentionnées.

Les notions des mathématiques reposent l’une sur l’autre. Les sujets de ce livre sont organisés de sorte que les domaines apparentés soient raisonnablement proches, sans oublier pour autant les connexions plus distantes. L’une des caractéristiques étonnantes des mathématiques est que des domaines d’étude en apparence distincts s’avèrent étroitement connectés. Le monstrous moonshine (page 286) en offre un exemple moderne, les équations matricielles (page 260), un lien plus solide.

Ce livre distille, de façon grisante, quatre mille ans d’activité humaine, mais n’est qu’un début. J’espère qu’il sera un tremplin pour d’autres lectures et pour une réflexion approfondie.

Paul Glendinning, Marsden
Octobre 2011.

Nombres

À leur plus élémentaire sens, les nombres sont juste des termes désignant une quantité. On peut dire, par exemple, « trois chaises » ou « deux brebis ». Même dans ce cas, nous savons instinctivement que l’expression « deux chèvres et demie » n’a pas de sens. Les nombres peuvent donc avoir des utilisations et des significations différentes.

Comme les peuples anciens s’en servaient de diverses façons, les nombres ont acquis des significations symboliques, comme le hiéroglyphe égyptien d’un nénuphar, qui désigne le nombre 1 000. Bien qu’esthétiquement agréable, cette approche visuelle ne se prête pas à la manipulation algébrique. À mesure que l’utilisation des nombres s’est propagée, les symboles les représentant se sont simplifiés. Les Romains utilisaient une série réduite de signes basiques pour figurer une immense gamme de nombres. Néanmoins, les calculs comportant des nombres très considérables étaient encore compliqués.

Le système moderne des nombres est hérité des civilisations arabes du premier millénaire. L’utilisation de la base 10 (voir page 18), a facilité de beaucoup les manipulations complexes.

Nombres naturels

Les nombres naturels sont les nombres utilisés pour compter (0, 1, 2, 3, 4, …). À travers le négoce, les techniques et l’écriture, l’art du comptage est étroitement lié au développement des sociétés complexes. Compter exige davantage que des nombres : cela implique l’addition, donc aussi la soustraction.

Dès qu’on commence à compter, les opérations avec les nombres deviennent un élément du vocabulaire – les nombres ne sont plus de simples descripteurs, mais des objets capables de se transformer réciproquement. Une fois qu’on a compris l’addition, la multiplication suit, manière de considérer les sommes de sommes – combien d’objets y a-t-il dans cinq groupes de six ? –, alors que la division offre une façon de décrire l’opération inverse – si trente objets sont divisés en cinq groupes égaux, combien d’objets y a-t-il dans chaque groupe ?

Mais des problèmes apparaissent aussi. Que signifie diviser 31 en 5 groupes égaux ? Que signifie 1 élevé à la puissance 10 ? Pour comprendre ces questions, on doit aller au-delà des nombres naturels.

Un

De concert avec le zéro, le nombre 1 est au centre de l’arithmétique. Un est l’adjectif pour un objet unique : en l’additionnant à lui-même ou en le soustrayant maintes fois de lui-même, on génère tous les nombres entiers positifs et négatifs. Le marquage à encoches, probablement le système le plus ancien de comptage, dont les origines remontent à la préhistoire, reposait là-dessus. Le nombre 1 a aussi un rôle particulier dans la multiplication : multiplier tout nombre donné par 1 aboutit au nombre original, propriété que son nom exprime parfaitement : identité multiplicative.

Le nombre 1 a des propriétés uniques signifiant qu’il se comporte de manière insolite – le 1 est un facteur de tous les autres nombres entiers, le premier nombre différent de zéro et le premier nombre impair. Il offre aussi un standard de comparaison utile pour les mesures, de sorte que dans les mathématiques et les sciences de nombreux calculs sont normalisés pour donner les réponses entre 0 et 1.

Zéro

Le zéro est une idée complexe. Pendant très longtemps, la répugnance philosophique à le reconnaître et à le nommer a été considérable. Les plus anciens symboles du zéro n’apparaissent qu’entre d’autres chiffres, signalant en fait une absence. Le système numérique babylonien, par exemple, laissait un espace vide le désignant quand le zéro se trouvait entre d’autres chiffres, mais pas après le chiffre final. La plus ancienne utilisation claire du zéro en tant que nombre pareil aux autres est due aux mathématiciens indiens du IXe siècle.

Outre les problèmes philosophiques, les mathématiciens anciens répugnaient à utiliser le zéro en raison de son comportement différent de celui des autres nombres. Par exemple, la division par zéro n’a pas de sens, et multiplier tout nombre par zéro aboutit à zéro. Toutefois, le zéro joue le même rôle pour l’addition que le 1 pour la multiplication. C’est l’élément neutre de l’addition, car tout nombre donné plus zéro aboutit au nombre original.

Infini

L’infini (représenté mathématiquement parle symbole ∞) est le concept d’illimité : un objet infini est un objet qui n’a pas de limites. Difficile de faire des mathématiques sans rencontrer l’infini sous une forme ou une autre. Beaucoup de raisonnements et de techniques mathématiques impliquent soit de choisir quelque chose d’une liste infinie, soit de regarder ce qui se passe si on laisse un processus tendre vers l’infini, continuer sans fin.

Les collections infinies de nombres ou d’autres objets, appelées ensembles infinis (voir page 48), sont un élément clé des mathématiques. La description mathématique de tels ensembles conduit à la conclusion qu’il y a davantage qu’un seul type d’ensemble infini, et par conséquent qu’il y a plusieurs types différents d’infini.

En fait, il y a infiniment de types, de plus en plus grands, d’ensemble infini ; même si cela semble contraire à l’intuition, ce fait suit la logique des définitions mathématiques.

Systèmes numériques

Un système numérique est une manière d’écrire les nombres. Dans le système décimal, les nombres sont représentés sous la forme 434,15, par exemple. Les chiffres indiquant les unités, les dizaines, les centaines, les milliers, etc., sont les coefficients. Donc 434,15 = (4 × 100) + (3 × 10) + (4 × 1) +  + , simple description abrégée d’une somme de puissance dix (voir page 28). Tout nombre réel (voir page 22) peut être écrit ainsi.

Ce système à « base 10 » n’a rien de spécial. Le même nombre peut être écrit dans toute base n positive en utilisant des coefficients allant de 0 à n – 1. Par exemple, en base deux (binaire), le nombre 8 peut être écrit sous la forme 1000,0101. Les coefficients à gauche de la virgule montrent les unités, les deux, les quatre et les huit – puissances de 2. Ceux à droite, les demis, les quarts, les huitièmes et les seizièmes. La plupart des ordinateurs utilisent le système binaire, car pour l’électronique il est plus facile de travailler avec seulement deux coefficients (0 et 1).

Droite des nombres

La droite des nombres est un concept facilitant l’appréhension de la signification des opérations mathématiques. Il s’agit d’une ligne horizontale, où les principales divisions sont marquées par les nombres entiers positifs et négatifs s’étendant dans les deux directions.

L’addition d’un nombre positif correspond au déplacement vers la droite sur la droite des nombres d’un intervalle équivalent au nombre respectif. La soustraction d’un nombre positif correspond au déplacement vers la gauche de cette distance. Ainsi, 1 moins 10 signifie un déplacement de 10 unités vers la gauche du 1, aboutissant à -9. Entre les nombres entiers montrés il y a d’autres nombres, comme les demis, les tiers et les quarts, formés en divisant tout nombre entier par un nombre entier différent de zéro. De concert avec les nombres naturels – zéro et les nombres entiers positifs, qui sont en réalité des ratios divisés par 1 –, ils forment les nombres rationnels. Ceux-ci sont marqués par des subdivisions de plus en plus infimes de la droite des nombres.

Les nombres rationnels complètent-ils la droite des nombres ? Il s’avère que pratiquement aucun nombre entre 0 et 1 ne peut être écrit sous forme de ratios.

Ceux-ci sont des nombres irrationnels, nombres dont les représentations décimales vont à l’infini sans se répéter. Ensemble, les nombres rationnels et irrationnels sont des nombres réels.

Familles de nombres

Les nombres peuvent être classés de diverses façons en familles partageant certaines propriétés. En fait, juste comme il y a une infinité de nombres, il y a une variété sans fin de manières de les subdiviser et de les distinguer les uns des autres. Par exemple, les nombres naturels, nombres entiers utilisés pour compter les objets du monde réel, sont juste une telle famille, tout comme les nombres entiers – incluant ceux plus petits que zéro. Les nombres rationnels, autre famille, aident à définir une famille encore plus grande, les nombres irrationnels. Les nombres algébriques et transcendants (voir page 38) sont des familles définies par d’autres propriétés. Les membres de toutes ces différentes familles sont aussi des nombres réels, définis par opposition aux nombres imaginaires (voir page 46).

Dire qu’un nombre appartient à une certaine famille est une façon abrégée de décrire ses diverses propriétés, donc de préciser les questions mathématiques utiles qu’on peut poser à son sujet. Souvent, les familles sont formées par la création de fonctions décrivant la manière de construire une suite de nombres. On peut également élaborer une fonction ou une règle afin de décrire des familles identifiées intuitivement.

Par exemple, on identifie instinctivement les nombres pairs, mais que sont-ils ? Mathématiquement, on les définit comme tout nombre naturel de forme 2 × n où n est un nombre naturel. Similairement, les nombres impairs sont des nombres naturels de forme 2n + 1, alors que les nombres premiers sont des nombres plus grands que 1, dont les seuls diviseurs sont 1 et eux-mêmes.

Une famille émerge naturellement dans les mathématiques – par exemple, dans la suite de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …) chaque nombre est la somme des deux nombres le précédant. Ce modèle émerge tout aussi naturellement dans la biologie (voir page 86). La suite de Fibonacci est aussi étroitement liée au nombre d’or (voir page 37).

D’autres exemples incluent les tables de multiplication, formées en multipliant des nombres entiers positifs par un nombre donné, et les carrés, où chaque nombre est le produit de la multiplication d’un nombre naturel par lui-même : n fois n, ou n², ou n au carré.

Combiner les nombres

Il y a diverses manières de combiner deux nombres donnés. On peut les additionner pour obtenir leur somme, les soustraire pour obtenir leur différence, les multiplier pour obtenir leur produit et les diviser, à condition que le diviseur soit différent de zéro, pour obtenir leur rapport. En fait, si on pense à a – b comme à a + (-b) et à comme à a × , les seules opérations réellement impliquées sont l’addition et la multiplication, ainsi que l’inverse pour calculer .

L’addition et la multiplication sont commutatives, autrement dit, l’ordre des nombres impliqués n’a pas d’importance ; pour des suites plus compliquées, l’ordre de réalisation des opérations compte, si bien que certaines conventions ont été développées pour ces cas afin de rendre les choses plus claires. Plus important, les opérations qui doivent être effectuées en premier sont écrites entre parenthèses. La multiplication et l’addition vérifient aussi quelques autres règles générales de réinterprétation des parenthèses, l’associativité et la distributivité, démontrées ci-contre.

Nombres rationnels

Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être exprimés en divisant un nombre entier par un autre, différent de zéro. Ainsi, tous les nombres rationnels prennent la forme de fractions (quotients). Celles-ci sont écrites sous la forme d’un nombre, le numérateur, divisé par un second, le dénominateur.

Exprimés sous forme décimale, les nombres rationnels soit arrivent à une fin après plusieurs chiffres, soit un chiffre ou plusieurs sont répétés indéfiniment. Par exemple, 0,333… est un nombre rationnel exprimé sous forme décimale. Sous la forme d’une fraction, le même nombre est . On peut aussi dire que tout nombre décimal arrivant à sa fin ou se répétant doit être un nombre rationnel, exprimable sous forme de fraction.

En présence d’une multitude sans fin de nombres entiers, il est peu surprenant qu’il y ait une multitude sans fin de manières de diviser un nombre par un autre, ce qui ne signifie pas qu’il y a infiniment plus de nombres rationnels que de nombres entiers.

Carrés, racines carrées et puissances

Le carré de tout nombre x est le produit du nombre multiplié par lui-même, noté x². Le terme a pour origine le fait que l’aire d’un carré (qui a des côtés égaux) est la longueur d’un côté multipliée par elle-même. Le carré de tout nombre différent de zéro est positif, car le produit de deux nombres négatifs est positif et le carré de zéro est zéro. Inversement, tout nombre positif doit être le carré de deux nombres, x et -x, ses racines carrées.

Plus généralement, multiplier n fois un nombre x par lui-même donne x à la puissance n, écrit xn. Les puissances ont leurs propres règles de combinaison, découlant de leur signification :

xn × xm = xn + m, (xn)m = xnm, x⁰ = 1, x¹ = x, et x⁻¹ = .

De la formule (xn)m = xnm il s’ensuit que la racine carrée d’un nombre peut être tenue pour un nombre élevé à la puissance 0,5, c’est-à-dire .

Nombres premiers

Les nombres premiers sont des nombres entiers positifs divisibles seulement par eux-mêmes et par 1. Les nombres premiers débutent par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, mais il y en a infiniment plus. Par convention, 1 n’est pas tenu pour un nombre premier, alors que 2 est le seul nombre premier pair. Un nombre qui n’est ni 1 ni premier est un nombre composé.

Chaque nombre composé peut être écrit uniquement comme un produit de la multiplication des facteurs premiers : par exemple, 12 = 2² × 3, 21 = 3 × 7 et 270 = 2 × 3³ × 5. Puisque les nombres premiers ne peuvent pas être factorisés, on peut les tenir pour les composantes fondamentales des nombres entiers positifs. Toutefois, il peut s’avérer extrêmement difficile de déterminer si un nombre est premier, et de trouver les facteurs premiers s’il ne l’est pas. Ce processus est donc une base idéale pour les systèmes de cryptage.

Les nombres premiers présentent plusieurs modèles complexes. L’une des plus notables hypothèses mathématiques, l’hypothèse de Riemann (voir page 396), concerne leur distribution.

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Tableau des nombres de 1 à 100 où les nombres premiers sont encerclés

Diviseurs et restes

Un nombre est un diviseur d’un autre nombre s’il se divise exactement ce nombre-là. Donc, 4 est un diviseur de 12, car il le divise exactement trois fois. Dans ce genre d’opération, le nombre divisé, 12, est le dividende.

Qu’en est-il du 13 divisé par 4 ? Dans ce cas, 4 n’est pas un diviseur de 13, car il le divise trois fois, mais en laissant de plus 1. Une manière d’exprimer le résultat est : trois, reste un. C’est une autre façon de dire que 12, qui est 3 × 4, est le plus grand nombre entier divisible par quatre inférieur au dividende (13), et que 13 = 12 + 1. Lorsque le reste 1 est ensuite divisé par quatre, le résultat est la fraction , donc la réponse à la question originale est 3.

3 et 4 sont tous deux diviseurs de 12 (tout comme 1, 2, 6 et 12). Si nous divisions un nombre naturel p par un autre, q, qui n’est pas un diviseur de p, il y aura toujours un reste, r, inférieur à q. Cela signifie qu’en général p = kq + r, où k est un nombre naturel et r un nombre naturel plus petit que q.

Pour deux nombres p et q, le plus grand commun diviseur (PGCD) est le plus grand nombre qui est un diviseur de p et de q. Puisque 1 est manifestement un diviseur des deux nombres, le PGCD est toujours plus grand que 1 ou égal à 1. Si le PGCD est 1, les nombres sont copremiers – ils n’ont en commun aucun diviseur positif, à l’exception de 1.

Les diviseurs donnent naissance à une famille intéressante, les nombres parfaits. Ce sont des nombres dont la somme de leurs diviseurs positifs, à l’exclusion d’eux-mêmes, est égale au nombre même. Le premier et le plus simple nombre parfait est 6, qui est égal à la somme de ses diviseurs, 1, 2 et 3. Le second nombre parfait est 28, qui est égal à

1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Le troisième est bien loin : 496, qui est égal à

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Les nombres parfaits sont rares et difficiles à trouver. Les mathématiciens n’ont pas encore découvert des réponses probantes à certaines questions importantes du genre y a-t-il un nombre infini de nombres parfaits, ou tous les nombres parfaits sont-ils pairs.

Algorithme d’Euclide

Un algorithme est une méthode de résolution d’un problème en suivant un ensemble de règles. L’algorithme d’Euclide a été formulé vers 300 av. J.-C. en vue de trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres. Les algorithmes sont essentiels pour l’informatique, et la plupart des appareils électroniques s’en servent.

La plus simple variante de l’algorithme d’Euclide utilise le fait que le PGCD de deux nombres est le même que le PGCD du plus petit des deux et la différence entre eux. Cela permet d’écarter maintes fois le plus grand des deux nombres impliqués, les réduisant jusqu’à ce que l’un d’entre eux devienne nul. Le dernier nombre différent de zéro est alors le PGCD des deux nombres initiaux.

Pour arriver à la réponse, cette méthode impose de nombreuses répétitions. Une méthode plus efficace, l’algorithme standard, remplace le nombre le plus grand par le reste obtenu en divisant le nombre le plus petit jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de reste.

TROUVER LE PGCD DE 585 ET 442

Variante simple de l’algorithme d’Euclide : 15 étapes

585 – 442 = 143, considérons 442 et 143

442 – 143 = 299, considérons 299 et 143

299 – 143 = 156, considérons 156 et 143

156 – 143 = 13, considérons 143 et 13

143 – 13 = 130, considérons 130 et 13

(à cette étape, la réponse est évidente, mais soustraire 13 neuf autres fois conduit à…)

13 — 13 = 0, donc le PGCD est 13.

Variante standard de l’algorithme d’Euclide : 3 étapes

 = 1 (reste 143)

 = 3 (reste 13)

 = 11 (aucun reste)

donc le processus s’arrête, et 13 est le PGCD.

Nombres irrationnels

Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être exprimés en divisant un nombre naturel par un autre, en tant que ratio entre deux nombres entiers ou sous une forme décimale qui soit arrive à une fin, soit passe à un modèle régulier de chiffres répétés. Les développements décimaux des nombres irrationnels se poursuivent à perpétuité sans répétition périodique.

Comme les nombres naturels et rationnels, les nombres irrationnels vont à l’infini. Mais alors que les nombres rationnels et entiers sont des ensembles finis (cardinalité) (voir page 56), les nombres irrationnels sont bien plus nombreux. En fait, leur nature les rend non seulement infinis, mais indénombrables (voir page 64).

Certains des nombres les plus importants sont irrationnels : π, le rapport constant de la circonférence d’un cercle et de son diamètre, la constante d’Euler e, le nombre d’or et √2, la racine carrée de 2.

Le nombre d’or est le rapport entre le plus grand des deux nombres et le plus petit, égal au rapport entre la somme des deux et le plus grand. C’est un nombre irrationnel et une constante émergeant naturellement dans beaucoup de situations. Il régit les proportions en peinture et en architecture.

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Nombres algébriques et transcendants

Un nombre algébrique est un nombre complexe qui est la racine d’un polynôme (équation impliquant des puissances de la variable x) (voir page 184) à coefficients rationnels. Un nombre transcendant n’est pas algébrique. Les coefficients de telles équations sont les nombres qui multiplient chacune des variables. Par exemple, √2 est irrationnel, car il ne peut pas être écrit en tant que rapport de deux nombres entiers. Mais il est aussi algébrique, car il est la solution de l’équation x 2 –  2 = 0, qui a des coefficients rationnels (1 et 2). Tous les nombres rationnels sont algébriques, car tout rapport donné peut être une solution de qx – p = 0.

On s’attendrait à ce que les nombr_es transcendants soient rares, alors que c’est le contraire. √2 est exceptionnel ; presque tous les nombres irrationnels sont aussi transcendants. Très difficile à prouver, un nombre choisi au hasard entre 0 et 1 sera presque assurément transcendant. Cela soulève la question : pourquoi les mathématiciens ont-ils passé autant de temps à résoudre les équations algébriques, ignorant la vaste majorité des nombres ?

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Ce diagramme gigogne montre les principaux types de nombres réels, dont quelques exemples importants.

π

π, nombre transcendant, est l’une des constantes mathématiques fondamentales. Représenté par la lettre grecque π, il apparaît dans une diversité de situations inattendues. Il est si important que des mathématiciens et des informaticiens ont consacré énormément de temps et d’efforts à le calculer avec toujours plus de précision. En 2010, le nombre de décimales, calculé bien entendu par ordinateur, dépassait les 5 trillions !

En pratique, une telle précision est inutile, et π peut être représenté par les nombres rationnels et , ou en notation décimale, par 3,14159265358979323846264338. Il a été découvert grâce à la géométrie, probablement quelque deux millénaires avant notre ère en Égypte et en Mésopotamie. Il est d’habitude désigné comme étant le rapport de la circonférence d’un cercle et de son diamètre. Archimède utilisait la géométrie pour trouver des limites supérieures et inférieures pour cette valeur (voir page 92). Depuis lors, il a servi dans des domaines aussi différents que la probabilité et la relativité.

3,14159265358979323846264338327950288419716
9399375105820974944592307816406286208998628
034825342117067982148086513282306647093844
6095505822317253594081284811174502841027019
385211055596446229489549303819644288109756
6593344612847564823378678316527120190914564
856692346034861045432664821339360726024914
1273724587006606315588174881520920962829254
091715364367892590360011330530548820466521
3841469519415116094330572703657595919530921
8611738193261179310511854807446237996274956
7351885752724891227938183011949129833673362
4406566430860213949463952247371907021798609
4370277053921717629317675238467481846766940
5132000568127145263560827785771342757789609
1736371787214684409012249534301465495853710
5079227968925892354201995611212902196086403
4418159813629774771309960518707211349999998
37297804995105973173281609631859502445955...

e

e est un nombre transcendant et l’une des constantes fondamentales des mathématiques.