Élaborés pour les étudiants du premier cycle universitaire, les ouvrages de la collection « L’ atelier philosophique » s’adressent également à un large public d’enseignants comme à tous ceux qui s’intéressent à la philosophie. Alliant exigence, rigueur proprement philosophique et souci de grande clarté, leurs auteurs se donnent pour ambition d’offrir les repères indispensables pour s’orienter dans les nombreux domaines de la philosophie. Philosophes majeurs ou questions primordiales de la philosophie sont abordés sous des angles innovants et actuels qui font de ces ouvrages autant d’impulsions philosophiques. Ils offrent au lecteur des outils pour continuer, par lui-même, sa découverte des concepts et de la pensée philosophique.

Collection dirigée par Daniel Giovannangeli et Sébastien Laoureux

Laurence BOUQUIAUX, Bruno LECLERCQ, Logique formelle et argumentation, 3e éd.

Édouard DELRUELLE, De l’homme et du citoyen. Une introduction à la philosophie politique

Sophie KLIMIS, L’énigme de l’humain et l’invention de la politique. Les racines grecques de la philosophie moderne et contemporaine

Sophie KLIMIS, Penser, délibérer, juger : pour une philosophie de la justice en acte(s)

L’ATELIER D’ESTHÉTIQUE, Esthétique et philosophie de l’art. Repères historiques et thématiques

Bruno LECLERCQ, Introduction à la philosophie analytique. La logique comme méthode, 2e éd.

Juliette SIMONT, Jean-Paul Sartre. Un demi-siècle de liberté

À Paul Gochet,
mon maître en philosophie analytique

Chapitre 1

Gottlob Frege

1. LA RÉFORME DE LA LOGIQUE

Dans son Idéographie (1879), le mathématicien allemand Gottlob Frege s’efforce de réactualiser le projet leibnizien de l’édification d’un langage universel et parfaitement rigoureux qui soit capable de refléter et d’incarner le Logos – la pensée et le discours rationnels – avec plus de fidélité et plus de précision que les langues naturelles. En exprimant avec exactitude les propositions de la science, un tel langage idéal permettrait de dépasser les particularités purement linguistiques (sprachlich) que chaque langue naturelle hérite de son évolution contingente, pour coller étroitement aux caractères de la pensée elle-même. Bien plus, comme le disait déjà Leibniz, ce langage des caractères de la pensée (lingua caracteristica) mettrait très clairement à jour les rapports logiques – rapports de conséquence, de contradiction, etc. – qu’entretiennent entre elles les propositions exprimées et, par là même, permettrait d’ « examiner de la manière la plus sûre la force concluante d’une chaîne de déductions et dénoncer chaque hypothèse qui veut s’insinuer de façon inaperçue, afin que finalement sa provenance puisse être recherchée »1. Grâce à l’expression rigoureuse, on pourrait, comme dans une démonstration mathématique, vérifier, étape par étape, que le passage d’une proposition à une autre est bien conforme aux règles d’inférence logiques – elles aussi très rigoureusement exprimées – et que la conclusion peut donc être strictement déduite des prémisses ou qu’elle ne peut l’être que moyennant l’explicitation de telle ou telle prémisse cachée. Plus rien dans les raisonnements scientifiques ne serait alors laissé au sentiment d’évidence ; formulés dans le langage idéal, ces raisonnements deviendraient tellement exacts et systématiques qu’ils s’apparenteraient à de purs calculs (calculus ratiocinator).

Or, ce projet d’un langage idéal suppose, d’une part, une parfaite univocité des signes ; et, d’autre part, la formalisation de la construction syntaxique de manière telle que les déductions opèrent exclusivement sur la forme des énoncés, et ce par des procédures algorithmiques qui ne laissent aucune place à l’« intuition »2. Le modèle d’une telle idéographie, pour Frege comme pour Leibniz, c’est l’arithmétique avec son langage symbolique et ses déductions algébriques : « Le langage par formules de l’arithmétique est une idéographie puisqu’il exprime immédiatement la chose sans passer par les sons. [...] La déduction a, en arithmétique, un cours remarquablement uniforme, et repose presque toujours sur ce principe que les mêmes transformations opérées sur les mêmes nombres donnent les mêmes résultats »3. Le projet leibnizien tel que le reprend Frege, c’est donc celui d’une algèbre universelle, c’est-à-dire d’un langage des « caractères » de toute la pensée scientifique et pas seulement arithmétique. L’idéographie serait alors au service d’une sorte de rationalité « mathématique » étendue, qui ne porterait plus seulement sur les théorèmes et les démonstrations arithmétiques, mais sur toutes les propositions et tous les raisonnements scientifiques, raison pour laquelle Leibniz, après Descartes, parle de « mathesis universalis ». Cette entreprise d’algébrisation de la logique suppose bien sûr aussi que les règles d’inférence reconnues comme légitimes soient précisément recensées et qu’elles soient elles-mêmes formalisées pour pouvoir être appliquées mécaniquement.

Ce type de démarche d’inspiration leibnizienne avait, on le sait, déjà été tenté par George Boole un quart de siècle avant l’Idéographie de Frege. Dans Les lois de la pensée (1854), le logicien et mathématicien anglais s’était en effet assigné la tâche d’exprimer les « lois fondamentales du raisonnement dans le langage symbolique d’un calcul »4 de manière à ce que « les procédures formelles de résolution ou de démonstration soient constamment menées en conformité avec les lois ainsi déterminées, sans tenir compte de la question de l’interprétabilité des résultats partiels obtenus »5. Une telle algèbre devait alors permettre de formaliser toute une série de raisonnements pour lesquels il n’existe pas de méthode générale de résolution. Et Boole avait effectivement construit un calcul permettant de fonder différentes théories logiques de la déduction, en particulier la syllogistique d’Aristote et la théorie des probabilités. C’est pourquoi Boole affirmait que les principes qui régissent son algèbre sont plus fondamentaux que ceux de ces différentes théories et qu’ils constituent donc les « vrais éléments d’une méthode en logique »6.

Bien plus, Boole disait constater une « équivalence exacte »7 entre ces lois les plus fondamentales de la logique et les lois de l’arithmétique. On semble ici aussi proche que possible de ce qui sera la thèse logiciste de Frege. Cependant, si Frege reconnaît inscrire ses recherches dans une tradition qui passe par Leibniz et par Boole, il ne peut se satisfaire de l’algèbre mise en avant par ce dernier. Il entend en effet se fixer des « exigences plus élevées » que celles qui président au système booléen. Plutôt que de trouver un algorithme qui puisse servir tant aux déductions logiques qu’aux déductions arithmétiques, moyennant des interprétations différentes des mêmes symboles, Frege veut développer un symbolisme « à partir de la nature propre de la logique » pour ensuite mettre cette idéographie au service d’autres sciences dont les développements « prennent les formes d’une suite inférentielle rigoureuse », l’arithmétique étant l’une d’entre elles8. Pour Frege comme pour Leibniz, la logique n’est pas seulement un outil déductif capable de « résoudre ses problèmes de façon courte et pratique », mais d’abord et avant tout une langue, qui sert à exprimer un sens préalable : « [Mon idéographie] doit être capable d’exprimer non seulement la forme logique, comme le symbolisme de Boole, mais encore un contenu »9.

Or, cela implique pour Frege que les principes directeurs de l’idéographie ne peuvent être choisis arbitrairement et en fonction de leur utilité opératoire, mais, nous y reviendrons, qu’ils doivent refléter les lois mêmes de la rationalité. Et cela vaut tant pour les règles de déduction d’une forme d’énoncé à une autre que pour les règles mêmes de construction syntaxique des énoncés de l’idéographie. Sur ces deux points, Frege condamne le caractère artificiel des principes de l’algèbre booléenne et affirme l’incontestable supériorité de sa propre idéographie. Du point de vue déductif, le système frégéen se distingue en effet par sa « simplicité » logique et sa grande sobriété : plutôt qu’une multitude d’expédients techniques, Frege veut une véritable théorie axiomatique s’appuyant exclusivement sur des vérités fondamentales de la raison et respectant en outre le « principe de la plus grande limitation possible du nombre de lois primitives »10. Et, du point de vue syntaxique, l’idéographie frégéenne a, comme nous allons le voir, le grand avantage d’élucider les liens « organiques »11 entre la logique aristotélicienne des prédicats et la logique stoïcienne des propositions et de les exprimer conjointement au sein d’un même langage formulaire, là où Boole était obligé de les dissocier et de les voir comme deux interprétations distinctes de son algèbre. C’est d’ailleurs la réflexion très profonde de Frege sur les structures fondamentales de la pensée – et, corrélativement, sur les structures syntaxiques fondamentales du langage de la pensée – qui lui permet de développer une véritable théorie de la quantification, ce que Boole ne fournissait pas plus qu’Aristote.

La force de Frege, c’est en effet d’attaquer de front l’analyse traditionnelle – aristotélicienne – du jugement en termes de sujet et de prédicat, mais aussi d’autres distinctions classiques comme celles des jugements affirmatifs et négatifs, des jugements universels, particuliers et singuliers ou encore des jugements catégoriques, hypothétiques et disjonctifs. Pour Frege, ces analyses et distinctions n’ont de signification que linguistique (sprachlich) et non proprement logique12. Sans trop nous y attarder, disons donc quelques mots de la syntaxe logique mise en évidence par Frege avec toute l’influence que l’on verra sur la philosophie analytique.

Tout d’abord, Frege conteste l’opposition qui est classiquement faite en logique entre des jugements affirmatifs et des jugements négatifs. Il convient pour lui de distinguer soigneusement l’assertion – ou le jugement – du contenu asserté et jugé (Gedanke), contenu qui en tant que tel est seulement proposé à la pensée. Ainsi, ce n’est pas, pour Frege, le « est » de l’énoncé « Socrate est mortel » qui, du point de vue logique, porte l’affirmation, mais c’est l’assertion elle-même, le fait d’énoncer cette phrase en la tenant pour vraie, en la reconnaissant comme vraie ; le « est » n’est quant à lui qu’un élément du contenu jugé. Il n’y a d’ailleurs, pour Frege, qu’une seule forme de jugement, l’assertion affirmative, que l’idéographie exprime par le trait vertical de jugement I (Urteilsstrich) ; la négation ne peut quant à elle apparaître que dans le contenu jugé, qui est pour sa part introduit par le trait horizontal de contenu Illustration(Inhaltsstrich)13. Ainsi, lorsque je juge que « Socrate n’est pas coupable d’hérésie », j’affirme positivement (I) un contenu propositionnel (Illustration) ; et c’est à ce contenu lui-même qu’appartient la négation. Celle-ci modifie le contenu jugé (le trait de négation module le trait de contenu : Illustration), mais, contrairement à ce que soutient Locke, elle ne défait pas pour autant le jugement.

Cela nous mène à l’analyse frégéenne de la structure du contenu propositionnel. Selon Frege, c’est la proposition qui est l’unité élémentaire de la pensée rationnelle, et ce parce que c’est à son niveau que se pose la question fondamentale de la raison, celle de la valeur de vérité, c’est-à-dire du vrai et du faux14. D’un concept, on ne peut pas se demander s’il est vrai ou faux, mais seulement de quels objets il est vrai et de quels objets il est faux, c’est-à-dire quelles sont les propositions dans lesquelles ce concept intervient qui sont vraies et quelles sont celles qui sont fausses. Dès lors, la proposition a une priorité logique sur les concepts15 ; il ne faut pas penser la proposition à partir des concepts, mais plutôt les concepts à partir de la proposition. La signification de la proposition n’est pas obtenue par composition de celle de ses éléments conceptuels ; les concepts sont des composantes fonctionnelles de propositions, c’est-à-dire que leur signification est directement liée au rôle qu’ils occupent dans la valeur de vérité des propositions au sein desquelles ils interviennent. Cette conviction, déjà partiellement acquise au paragraphe 9 de l’Idéographie, trouvera sa formulation canonique dans des articles du début des années 1890, qui bénéficieront de la réflexion sur la notion d’existence opérée dans les Fondements de l’arithmétique de 1894, réflexion toutefois elle-même directement issue des acquis propres de l’Idéographie.

Dès 1879, en effet, la structure sujet-prédicat, qui guide l’analyse logique traditionnelle, est dénoncée comme purement linguistique et non logique. Que cette analyse logique ne soit pas pertinente, c’est, pour Frege, ce qu’indique notamment l’équivalence logique d’une proposition énoncée à la voix active et de la même proposition énoncée à la voix passive, mais aussi le fait que la décomposition en sujet et prédicat ne peut, sans violence, être appliquée à toute une série d’énoncés, notamment mathématiques. Mais l’analyse logique en termes de sujet et de prédicat a aussi et surtout le grand défaut de masquer des différences logiques fondamentales comme celle qui existe entre propositions singulières et propositions universelles. Pour Frege, en effet, les jugements universels – « L’homme est mortel » ou « Tous les hommes sont mortels » – d’Aristote n’ont, malgré une structure linguistique semblable, pas du tout la même structure logique que les énoncés singuliers – « Socrate est mortel ». Si les énoncés singuliers constituent d’authentiques prédications attributives d’une propriété M à un objet-sujet a – on écrira « Ma » pour « a est M » –, les énoncés universels et particuliers ont une structure bien plus complexe, qui fait intervenir plusieurs prédications attributives puisqu’il y a plusieurs prédicats, à savoir « Homme » et « Mortel ».

Ainsi, l’énoncé universel « L’homme est mortel », loin d’être l’attribution d’une propriété à un objet, est en fait la subordination d’une propriété à une autre, c’est-à-dire que tous les objets auxquels la première propriété peut être attribuée sont aussi des objets auxquels la seconde propriété peut être attribuée. La forme logique de cet énoncé universel est donc la suivante : être homme implique être mortel, c’est-à-dire « quel que soit x, si x est Homme, alors x est Mortel ». Dans le symbolisme de l’Idéographie, on notera :

où Illustration  symbolise l’implication « matérielle » entre deux propositions.

Et on voit ici qu’il y a une relation générale d’implication qui vaut pour une multitude de couples de propositions prédicatives singulières portant sur un même objet-sujet : si Socrate est un homme, alors Socrate est mortel ; si Platon est un homme, alors Platon est mortel ; etc. Notons au passage que cette implication généralisée, que Russell appellera « implication formelle », illustre parfaitement l’articulation de la logique aristotélicienne des prédicats et de la logique stoïcienne des propositions dans l’idéographie frégéenne, articulation que l’écriture en deux dimensions de l’idéographie exprime de manière particulièrement claire puisque l’axe vertical traduit les compositions – par les connecteurs propositionnels – des propositions simples présentées sur l’axe horizontal.

La formalisation de la généralité (quel que soit x), qui deviendra théorie de la quantification dans les Fondements de l’arithmétique grâce à une réflexion sur les notions d’existence et de nombre, est un apport majeur de la logique frégéenne. Dès l’Idéographie, Frege maîtrise d’ailleurs parfaitement la notion de portée d’un quantificateur :

Illustration Ma

(où « a » est une constante latine, remplaçant le nom propre « Socrate ») exprime la proposition (prédicative) singulière « Socrate est mortel »,

Illustration Ma (a)

(où « a » est une variable gothique) traduit la proposition (complexe) universelle « Quel que soit a, a est mortel », c’est-à-dire « Tout est mortel ».

Le quantificateur fait partie du contenu jugé et il peut d’ailleurs y prendre plusieurs places différentes. En effet, une formule telle que Illustration Mx serait ambiguë : Entend-on que « quel que soit x, x n’est pas M » ou que « pas tous les x sont M » ? L’usage du quantificateur et des variables gothiques permet de lever l’ambiguïté entre ces deux propositions complexes : Illustration exprime la première, tandis que Illustration exprime la seconde16.

Une fois formalisés le jugement universel et sa négation, le jugement particulier « Quelques hommes sont aveugles » peut, conformément au carré logique, être analysé comme le contradictoire de l’universel négatif « Aucun homme n’est aveugle (c’est-à-dire quel que soit x, si x est un Homme, x n’est pas Aveugle) ». La forme générale de « Quelques hommes sont aveugles » est donc « non (pour tout x, si x est un Homme, x n’est pas Aveugle) » ou :

Comme le jugement général, le jugement particulier n’est pas une prédication simple, mais une proposition complexe énonçant des rapports de « conditionnalité » entre une multitude de couples de propositions ayant un objet-sujet en commun.

L’analyse du jugement particulier – « Quelques hommes sont aveugles » ou « Il y a des hommes aveugles » – mène à celle du cas plus simple où le jugement d’existence porte sur un seul concept, comme dans « Il y a des hommes ». L’analyse logique de ce jugement d’existence sera véritablement la clé de l’ouvrage de 1884 et de sa théorie du nombre, mais aussi, d’une manière plus générale, la clé du passage de la première à la seconde idéographie avec sa compréhension du concept comme fonction. La proposition « Il y a des hommes » doit en effet, pour Frege, être analysée comme « non (tous sont des non-hommes) » ou encore « non (pour tout x, x n’est pas un homme) », qui s’écrit : Illustration. Cela veut dire qu’il n’est pas vrai que, quel que soit l’objet qui prenne la place de x dans « x n’est pas un homme », on obtienne une proposition vraie ou encore qu’il n’est pas vrai que, quel que soit l’objet qui prenne la place de x dans « x est un homme », on obtienne une proposition fausse. On peut donc trouver au moins un objet qui, mis à la place de x, rend vraie une proposition de la forme « x est un homme ». Bref, la propriété « homme » est satisfaite par au moins un objet. À l’inverse, dire qu’« Il n’y a pas de créature vivante extra-terrestre », c’est dire que la propriété « créature vivante extra-terrestre » n’est satisfaite par aucun objet.

2. LA SECONDE IDÉOGRAPHIE

On a là l’origine de la compréhension frégéenne de la notion logique d’« extension » d’un concept ; l’extension d’un concept, c’est la bipartition que ce concept suscite dans le domaine des objets du monde entre ceux avec lesquels il constitue des propositions vraies et ceux avec lesquels il constitue des propositions fausses. C’est ainsi que, dans la seconde idéographie, les concepts seront envisagés comme des fonctions. Dire qu’un concept est vrai de certains objets, faux de certains autres, c’est dire en effet que, rapporté à certains objets, il produit des propositions vraies et, rapporté à d’autres, il produit des propositions fausses. Ainsi, le concept « planète » est une fonction qui, pour toute proposition de la forme « x est une planète », renvoie à vrai ou faux selon la valeur que prend la variable x. D’où la notion de « parcours de valeurs » (Werthverlauf) d’une fonction, c’est-à-dire la série des couples « argument-valeur » qui caractérise cette fonction : « Mars-vrai, Saturne-vrai, Georges Bush-faux, La Terre-vrai, Londres-faux, etc. » pour le concept « planète »17. Dérivée du parcours de valeurs, l’extension d’un concept désigne quant à elle la série des arguments auxquels cette fonction associe la valeur « vrai » (« Mars », « Saturne », « La Terre », etc.). Insistons avec Frege sur le fait que, même conçue de la sorte, l’extension d’un concept est un objet logique complexe qui ne se résume jamais à un agrégat d’objets purs et simples. À cet égard, Frege condamne fermement les confusions qu’entraîne le fait de traiter les termes conceptuels comme des « noms communs », qui ne différeraient des noms propres que par le nombre d’objets qu’ils désignent18.

La caractérisation frégéenne du concept comme fonction est cruciale ; elle détermine toute une nouvelle analyse de la syntaxe logique. Contrairement aux objets, les concepts sont fondamentalement « insaturés »19 : pour prétendre à une valeur de vérité, le concept « planète » doit attendre qu’un argument lui soit joint de manière à composer avec lui une proposition vraie (« Mars est une planète ») ou fausse (« Georges Bush est une planète »). L’attribution d’une propriété à un objet, ou plutôt la subsomption d’un objet sous un concept, est ce qui constitue le propre de la prédication dans son sens proprement logique. Objet et concept, tels sont donc les deux éléments logiques fondamentaux au sein du contenu jugeable. Il convient, pour Frege, de bien les distinguer de ces éléments linguistiques que sont le sujet et le prédicat et dont la scolastique faisait les pivots de la logique des prédicats. Contrairement à l’idée que le terme « homme » pouvait être parfois sujet – comme dans « L’homme est mortel » –, parfois prédicat – comme dans « Socrate est un homme » –, Frege soutient avec la plus grande vigueur que ce qui est objet ne peut jamais être concept et que ce qui est concept ne peut jamais être objet20. Dans « L’homme est mortel », le sujet linguistique « homme » est un concept et il n’est dès lors en aucun cas l’objet-sujet d’une quelconque prédication au sens proprement logique.

Il importe au plus haut point de bien distinguer objet et concept, et ce même là où il n’y a qu’un individu qui tombe sous un concept. Ainsi, le concept « satellite naturel de la Terre » ne s’identifie pas à l’objet Lune et le concept « actuel Président des États-Unis » ne s’identifie pas à l’objet George Walker Bush. Quant aux concepts vides, c’est-à-dire les concepts sous lesquels ne tombe aucun objet, ils ne s’identifient en aucun cas à des « non-objets » ou à des objets imaginaires : « licorne » et « montagne d’or » sont des concepts parfaitement pourvus de sens même s’ils ne sont satisfaits par aucun objet du monde réel. Pour le dire autrement : un énoncé dont le sujet linguistique est un nom propre sans référent objectif (« Blublu est chauve ») est dénué de sens, mais il n’en va pas de même d’un énoncé dont le sujet linguistique est un terme conceptuel vide (« Les hommes bicentenaires sont chauves »). Même les énoncés dont le sujet linguistique est un terme conceptuel vide par principe – en vertu de l’incompatibilité des caractères définitoires de ce concept – ne sont pas dénués de sens (« Un carré rond est un polygone régulier »).

La nouvelle analyse logique a, on l’a compris, un modèle mathématique. L’expression « x est une planète » doit être envisagée de manière similaire à l’équation irrésolue « x² = 4 ». Cette dernière n’est pas une proposition, puisqu’elle n’a pas de valeur de vérité ; elle n’en acquiert qu’une fois saturée par un nombre (« 2² = 4 » est vrai, « 6² = 4 » est faux, etc.). Le parcours de valeurs de cette équation est : « 1-faux, 2-vrai, 3-faux, -2-vrai, etc. » Au sens dérivé, son extension est l’objet logique : « 2, -2 ». Quant à l’équation à deux inconnues « x + y = 9 », elle est doublement insaturée et a pour parcours de valeurs une série des triplets (argument1-argument2-valeur de vérité) : « 1-1-faux, 3-6-vrai, 2-7-vrai, 9-12-faux, etc. ». C’est alors la série des couples qui rendent vraie cette équation – « 3-6, 2-7, etc. » – qui constitue son extension au sens dérivé, extension dont on sait, par l’Analyse, qu’elle trouve sa représentation géométrique dans une droite. De même, il y a, en dehors des mathématiques, des concepts doublement insaturés tels que « père », dont la forme est « x est le père de y », qui sont satisfaits par des couples d’individus. Cette idée d’insaturation multiple est à la base de la théorie logique des relations, à laquelle Russell donnera ses lettres de noblesse.

Notons que la distinction fondamentale entre argument et fonction apparaissait déjà au paragraphe 9 de l’Idéographie, mais qu’elle y était envisagée comme un trait lié à la systématicité de la langue permettant la construction d’une multitude d’énoncés par substitution de valeurs différentes à une même composante, considérée comme variable : « Socrate est mortel », « Platon est mortel », « Aristote est mortel », etc. Dans « Fonction et concept », la distinction entre argument et fonction est désormais conçue comme une distinction essentielle, qui fonde la structure logique de la prédication entendue comme saturation des concepts par les objets21.

Cette structure logique fondamentale semble cependant mise à mal par une série d’énoncés où des objets sont manifestement rapportés à des objets – « Zorro est Don Diego de la Vega » – mais aussi par des énoncés où des concepts sont manifestement rapportés à des concepts – « L’homme est mortel ». Nous traiterons des premiers lorsque nous envisagerons les jugements d’identité. Quant aux seconds, nous avons vu le traitement que Frege leur réservait dès l’Idéographie. Dans la nouvelle terminologie, l’énoncé universel « L’homme est mortel » est en fait la subordination d’un concept à un autre, c’est-à-dire que l’ensemble des arguments qui renvoient à la valeur « vrai » selon la fonction « x est un homme » renvoient aussi à la valeur « vrai » selon la fonction « x est mortel » ; ou encore l’ensemble des objets de l’extension de « homme » appartiennent aussi à l’extension de « mortel ». Quant à l’énoncé particulier, c’est une proposition complexe énonçant des rapports de conditionnalité entre des fonctions et donc entre leurs parcours de valeurs : il n’est pas vrai que tous les arguments qui renvoient à vrai selon la fonction H ne renvoient pas à vrai selon la fonction M ; ou encore : il n’est pas vrai que tous les objets inclus dans l’extension de H sont exclus de l’extension de M. Enfin, l’énoncé d’existence « Il y a des hommes » affirme que l’on peut trouver au moins un argument qui renvoie à vrai pour la fonction « x est un homme » ; bref, que l’extension de ce concept n’est pas vide.

Comme le fait voir cette analyse logique, le jugement d’existence dit quelque chose de l’extension d’un concept. Dire qu’« Il y a des hommes », c’est dire que des objets du monde satisfont le concept « homme ». En fait, comme l’explique Frege dans les Fondements de l’arithmétique, c’est autour du concept et non des objets eux-mêmes que se pose la question de l’existence. Cela n’a, pour Frege, pas de sens de se demander s’il y a ou non Jules César ; par contre, cela a du sens de se demander s’il y a un « général romain qui a conquis la Gaule et qui est devenu seul consul après avoir vaincu les armées de Pompée ». Jules César est en fait l’objet qui satisfait ce concept et permet d’attribuer à ce concept cette « propriété de second degré » qu’est l’existence. Certes, on peut être tenté de dire que tel ou tel objet existe, que Jules César ou Leo Sachse existe, mais en fait c’est déjà là quelque chose que l’on présupposait du fait même d’en faire les référents de noms propres et les sujets possibles de jugements prédicatifs. Pour Frege, l’utilisation de noms propres comporte une présupposition de référence ; si le nom propre ne désigne pas un objet – s’il est donc un pseudo-nom propre –, la proposition dans laquelle il est inséré n’a pas de valeur de vérité22. Dire que Leo Sachse existe en ce sens, ce n’est rien d’autre que dire que l’expression « Leo Sachse » désigne bien un objet qui satisfait aux conditions logiques minimales qui caractérisent tout objet, comme être identique à soi-même23. Par contre, parler d’« enseignants de l’Université de Iena » n’implique encore aucun engagement ontologique, raison pour laquelle, d’ailleurs, cela a du sens de se demander s’il existe ou non de tels enseignants, c’est-à-dire si le concept « enseignants de l’Université de Iena » est ou non satisfait par au moins un objet.

Cette analyse a une importance considérable sur la manière de poser les questions d’existence dans les sciences ou en philosophie. Ainsi, la condition pour pouvoir se demander si Dieu existe, c’est de reconnaître d’abord que le terme « Dieu » n’est pas un nom propre, qu’il ne désigne pas directement un objet – sans quoi la question serait absurde –, mais que c’est un terme conceptuel ; ensuite, il faut s’efforcer de préciser ce concept en identifiant ses caractères définitoires (Merkmale), de manière à pouvoir entreprendre la recherche d’objets du monde susceptibles de satisfaire ce concept et, par là, répondre à la question de la vacuité ou non de son extension. Et c’est ainsi qu’en définitive l’intuition kantienne selon laquelle l’existence n’est pas un prédicat réel trouve, dans l’analyse frégéenne, un fondement logique. Dans les termes de Frege, l’existence est une propriété de second degré24 ; elle porte sur des concepts définis par des caractères, mais l’existence n’est pas elle-même un de ces caractères.

De même, dit Frege dans les paragraphes 46 et suivants des Fondements de l’arithmétique, le nombre est une propriété de second degré ; il porte sur un concept et non sur des objets. Ce n’est pas des objets Mercure, Venus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Neptune et Uranus que l’on dit qu’ils sont huit, mais bien du concept « planète du système solaire » que l’on dit qu’il y en a huit, c’est-à-dire que huit objets le satisfont ou encore que son extension comporte huit objets.

On voit ici comment cette réflexion sur l’existence et le nombre dans les Fondements de l’arithmétique annonce les idées de parcours de valeurs et d’extension et finalement toute la théorie de la quantification de la seconde idéographie, qui ne sera parfaitement explicitée que dans les textes du début des années 1890. Or, les Fondements comportent également une réflexion profonde sur la notion logique d’identité, qui est à l’origine d’un autre apport majeur de la seconde idéographie.

Les énoncés qui rapportent un objet à un autre objet – « Zorro est Don Diego de la Vega » – semblent en effet, nous l’avons dit, échapper à la structure logique fondamentale de la saturation du concept par l’objet puisqu’ils mettent directement en relation deux objets. Dès le paragraphe 8 l’Idéographie, Frege interprétait les jugements d’identité comme l’affirmation – « synthétique » – que deux signes ont pour « contenu » la même chose, quoique déterminée de deux manières différentes, et qu’ils peuvent donc être utilisés à la place l’un de l’autre25. Par la suite, insistant sur le caractère proprement informatif de certains jugements d’identité tels que « Jean-Paul II est Karol Wojtyla », « Zorro est Don Diego de la Vega », « Phosphorus (l’astre brillant du matin) est Vesperus (l’astre brillant du soir) », il sera amené, dans « Sens et signification » (1891), à proposer une théorie générale de l’identité : deux noms propres peuvent avoir le même objet pour signification (Bedeutung)26 et néanmoins exprimer des sens différents. L’identification, c’est donc cette reconnaissance d’un même objet sous des sens (Sinn) différents. Ici encore, la réflexion de 1884 fut cruciale. En effet, comme l’indiquent déjà les paragraphes 57 et 63 à 67 des Fondements de l’arithmétique, le modèle de la proposition d’identité, c’est l’égalité arithmétique : 2 + 2 = 3 + 1. Or, pour Frege, de part et d’autre d’une égalité arithmétique, c’est un seul et même objet – tel ou tel nombre – qui est signifié (bedeutet), même s’il est visé (gemeint) selon deux sens différents27.

Pour Frege, qui subira sur ce point les critiques de Russell et Wittgenstein, cette distinction de la signification (Bedeutung) et du sens (Sinn), qui vaut pour les noms propres, doit être étendue aux autres expressions linguistiques. Ainsi, selon « Sens et signification », les énoncés propositionnels ont, d’une part, un sens, à savoir la « pensée » (Gedanke) – le contenu propositionnel – qu’ils expriment, et, d’autre part, une signification, c’est-à-dire qu’ils renvoient à un « objet », à savoir leur valeur de vérité28. La conception même des concepts comme fonctions imposait en effet de considérer les valeurs de vérité – le vrai et le faux – comme des objets pouvant constituer la valeur de telle ou telle fonction pour tel ou tel argument. Comme le nombre, la valeur de vérité est donc un objet, mais un objet logique assez complexe29. Conséquence de cette extension de la problématique du sens et de la signification aux énoncés propositionnels, il faut considérer qu’il y a identité de tous les énoncés qui ont même valeur de vérité. Ainsi, « 2 + 2 = 3 + 1 », « 4 > 2 » et « La Lune est un satellite de la Terre » ont le même objet – le vrai – pour signification ; dès lors, « 2 + 2 = 3 + 1 » = « 4 > 2 » = « La Lune est un satellite de la Terre ».

Quant aux termes conceptuels, ils doivent aussi, selon Frege, voir distinguer leur sens de leur signification. L’analyse traditionnelle conçoit les termes conceptuels comme des noms communs qui renvoient à plusieurs objets ; le nom commun « chat » désignerait l’ensemble de tous les chats comme le nom propre « Félix » désigne un chat particulier. Or, pour Frege, un terme conceptuel ne renvoie que très indirectement à des objets ; il renvoie d’abord à un concept – c’est-à-dire une fonction – qui définit ensuite un parcours de valeurs et une extension où interviennent des objets30.

Reste cependant que, ainsi analysé, le jugement d’identité semble encore rapporter directement un objet à un autre objet sans passer par la structure logique de la saturation des concepts par les objets. Et pourtant, c’est bien ici, une fois encore, cette structure logique de la saturation qui est première. En effet, le critère d’identité de « deux » objets désignés sous des signes différents et visés sous des sens différents, c’est pour Frege le principe leibnizien de substituabilité (dans les contextes extensionnels) : deux objets a et b sont identiques s’ils sont indiscernables, c’est-à-dire s’ils ont les mêmes propriétés :

a = b si et seulement si pour toute fonction F, Fa renvoie à la même valeur de vérité que Fb.

C’est donc, une fois encore, dans la mesure où ils peuvent saturer des concepts dans des propositions équivalentes que les objets a et b peuvent être identifiés. Le jugement d’identité présuppose la structure logique de la saturation. Bien plus, dans la mesure où l’identité entre propositions n’est rien d’autre que l’équivalence logique, le signe d’identité ou d’égalité ne doit plus être considéré comme un signe primitif ; il peut être défini à partir du biconditionnel31.

Notons encore qu’il n’y a pas à proprement parler d’identité des termes conceptuels – dans la mesure où ceux-ci n’ont pas directement des objets pour signification –, mais il y a quelque chose de similaire et qui est en quelque sorte l’inverse de l’identité leibnizienne des objets : deux termes conceptuels sont substituables l’un à l’autre s’ils ont pour signification des fonctions indiscernables, c’est-à-dire des fonctions qui ont même parcours de valeurs, qui renvoient aux mêmes valeurs de vérité pour les mêmes arguments32. Ainsi, la fonction « x² = 1 » est équivalente à la fonction « (x + 1)² = 2 (x + 1) ». Ce principe, qui constituera la loi V des Lois fondamentales de l’arithmétique, permet de passer de l’identité des fonctions à l’identité des parcours de valeurs – considérés comme objets – et notamment d’identifier entre elles des fonctions de degrés de complexité différents par passage à leurs parcours de valeurs. Dès « Fonction et concept », Frege considère ce principe comme une loi aussi fondamentale qu’indémontrable ; dans l’introduction des Lois fondamentales, il reconnaît que cette loi pourrait être contestée, mais affirme que lui-même la tient pour « purement logique ». C’est cependant en elle que, dans sa correspondance avec Russell et dans la postface au tome II des Lois fondamentales, il verra plus tard la source des paradoxes logiques. Il faut dire qu’à partir du moment où les parcours de valeurs sont eux-mêmes considérés comme des objets (logiques complexes), ils entrent dans le domaine des arguments de n’importe quelle fonction. Et on voit immédiatement poindre la circularité vicieuse : une fonction définit un parcours de valeurs, mais, pour établir celui-ci, on doit notamment se demander si cette fonction renvoie à vrai ou à faux pour ce parcours de valeurs lui-même, parcours de valeurs qui n’est cependant pas encore complètement défini…

3. LE RÉALISME PLATONICIEN

Revenons cependant au projet général de l’idéographie. Contre Boole, avons-nous dit, Frege entend développer son système à partir de la « nature propre de la logique ». Or, cela n’implique pas seulement que la syntaxe logique corresponde aux structures fondamentales de la rationalité par delà leur expression grammaticale contingente, mais aussi que les axiomes du système logique s’imposent comme énonçant des vérités rationnelles incontestables, et que les règles de déduction s’imposent comme traduisant des principes rationnels fondamentaux33 (comme le Modus Ponens), de manière telle que la vérité nécessaire des prémisses se communique aux conclusions. C’est en quelque sorte « sous la dictée du Logos » que Frege prétend écrire l’Idéographie ; si la notation est bien sûr en partie arbitraire, les principes énoncés constituent pour Frege le seul et unique système formel possible pour la logique.

Se dessine alors chez Frege un incontestable absolutisme logique, qui, nous allons le voir, affirme, à la manière de Platon, l’existence autonome d’un monde du Logos qui a ses propres entités et ses propres lois. Ce « platonisme » est cependant moins, chez Frege, une position métaphysique de principe que le revers d’une position logique radicalement antipsychologiste. Dans presque chacun de ses textes et plus longuement encore dans la préface des Lois fondamentales de l’arithmétique, Frege se livre en effet à une attaque en règle contre « l’invasion pernicieuse de la psychologie dans la logique »34. La condamnation frégéenne du psychologisme est sans ambiguïté : « La logique n’est, pas plus que la géométrie ou la physique, l’endroit approprié pour mener des investigations psychologiques. Expliquer le cours de l’activité de pensée et de jugement, c’est certainement un objectif réalisable, mais pas un objectif logique »35. La logique repose sur les lois nécessaires de la rationalité et n’est en aucun cas science des « lois de la pensée » entendues comme lois de la nature conformément auxquelles la pensée effective procède et au moyen desquelles on pourrait expliquer le processus de pensée singulier d’une personne déterminée « un peu comme on s’explique le mouvement d’une planète par la loi de la gravitation »36. Ainsi, le principe logique d’identité « Tout objet est identique à lui-même » est un principe de la raison ; ce n’est pas une simple loi psychologique qui constate qu’« Il est impossible aux hommes de 1893 de reconnaître un objet comme différent de lui-même »37.

Que les lois normatives de la logique ne puissent s’identifier aux lois descriptives et explicatives de la psychologie, c’est, dit Frege, ce que montre le fait qu’il est effectivement possible de violer par la pensée les lois logiques : « Les lois de l’inférence effective ne sont pas toutes des lois de l’inférence valide, sans quoi les inférences fautives seraient impossibles »38. Les lois logiques entendent précisément faire le tri, parmi les processus de pensée réels qu’étudie la psychologie, entre ceux qui sont légitimes et ceux qui ne le sont pas. Purement descriptive et explicative, la psychologie ne peut opérer elle-même ce tri, mais doit rendre compte indifféremment de tous les processus de pensée réels : l’opinion fausse et l’opinion vraie, souligne Frege, « adviennent l’une comme l’autre selon des lois psychologiques »39. Les processus psychologiques réels « peuvent conduire aussi bien à l’erreur qu’à la vérité » ; ils « n’ont absolument pas de relation interne à la vérité » et « se comportent indifféremment à l’égard de l’opposition du vrai et du faux »40. À l’inverse, les lois logiques impliquent des « prescriptions pour l’opinion, la pensée, le jugement, le raisonnement »41.

L’antipsychologisme de Frege ne se réduit cependant pas à cette affirmation de la normativité de la logique, qu’avait déjà énoncée Kant. À cette objection kantienne au psychologisme, s’ajoute en effet une argumentation nettement plus bolzanienne. Sans s’y référer explicitement, Frege réitère en effet la distinction fondamentale entre « sens objectif » et « représentation subjective » formulée par Bernard Bolzano cinquante ans plus tôt. En confondant les idées comme états d’esprit et leurs contenus objectifs, et en tâchant de rendre compte de ces contenus par leur genèse psychologique, le psychologisme moderne42 a engendré un relativisme sceptique : les significations que comportent les connaissances humaines apparaissent désormais comme de simples produits d’actes psychiques de sujets humains connaissants. L’idée de blancheur, par exemple est supposée issue d’un acte d’abstraction à partir de l’impression de tel ou tel objet blanc ; l’idée de licorne est dite résulter de l’association de l’idée d’un corps de cheval avec celui d’un buste d’homme etc. Pour Frege, par contre, les significations sont objectives, partageables et préexistantes à leur saisie par tel ou tel sujet concret. Ainsi, le contenu de l’égalité 2 + 3 = 5 « n’est ni le résultat d’un processus interne, ni le produit d’une activité mentale de l’homme, mais quelque chose d’objectif, autrement dit quelque chose qui, pour tous les êtres rationnels, pour tous ceux qui peuvent le saisir, est exactement le même, tout comme, par exemple, le soleil est quelque chose d’objectif »43. Il y a, dit Frege, une sorte de « patrimoine commun »44 de pensées (Gedanken) auxquelles tous les sujets peuvent avoir accès à un moment ou un autre. La pensée, au sens de contenu propositionnel, « se tient en face de tous ceux qui la conçoivent, toujours de la même manière et identique à elle-même »45.

C’est dès lors une sorte de platonisme de la signification qui se dessine, Frege évoquant même explicitement l’existence d’un « troisième domaine »46, le domaine des significations, irréductible tant au domaine des objets sensibles qu’au domaine des représentations subjectives. Comme les corps physiques et contrairement aux représentations, les pensées sont objectives, mais, contrairement aux corps, les pensées n’existent nulle part, et en cela elles sont plus proches des représentations subjectives :

« À l’inverse des représentations, les pensées n’appartiennent pas à l’esprit individuel (elles ne sont pas subjectives), mais elles sont au contraire indépendantes de l’activité de pensée, et se tiennent de la même manière (objectivement) en face de chacun ; elles ne sont pas produites par l’activité de pensée, mais seulement saisies par elle. En ce sens, elles sont semblables aux corps physiques. Elles s’en distinguent en ce qu’elles sont non spatiales et, pour l’essentiel, intemporelles, on pourrait peut-être dire aussi non effectives, au moins pour autant que leur être propre n’est susceptible d’être affecté par aucune altération. Par cette absence de spatialité, elles ressemblent aux représentations »47.

Parce qu’ils sont incapables de reconnaître la possibilité d’un domaine qui soit objectif, bien que non réel ou « non effectif » (nichtwirklich), les logiciens psychologistes « tiennent sans plus le non effectif pour subjectif »48 ; ils prennent les concepts pour des représentations et « les affectent ainsi à la psychologie ». Or, pour Frege, ni le sujet ni le prédicat d’un jugement logique ne sont des représentations au sens psychologique. Ce sont des contenus objectifs, bien que non effectifs, qui existent avant qu’un esprit les saisisse et indépendamment de cette activité. Ne pas reconnaître cette « autonomie » des contenus de la pensée entraîne les logiciens psychologistes à des théories extrêmement confuses qui portent sur les mécanismes de la représentation plutôt que sur des distinctions proprement logiques comme celles que Frege, quant à lui, opère entre argument et fonction ou entre fonction de premier et de deuxième niveau : « Et c’est ainsi que se font nos gros livres de logique, boursouflés d’une graisse psychologique mauvaise pour la santé, et qui cache toutes les formes plus délicates »49.

Dans cette perspective antipsychologiste bolzanienne, la logique n’entend pas énoncer les lois causales de la représentation ou de la pensée en tant qu’actes psychiques, mais bien les lois de dépendance et de contradiction qui existent entre les contenus objectifs eux-mêmes. Et ces lois sont des « lois de l’être », des lois descriptives, bien qu’elles ne soient pas des lois naturelles puisqu’elles ne dépendent de rien de réel, contrairement aux lois physiques et psychologiques. C’est alors en définitive cet absolutisme logique bolzanien, et non plus l’argument kantien de la normativité, qui constitue le motif principal de l’antipsychologisme frégéen : pour Frege, les « lois » logiques ne sont en fait pas exclusivement normatives comme les « lois » morales ou politiques ; ce sont d’abord et avant tout des lois théoriques, les lois du monde de la raison, « les lois les plus générales de l’être-vrai »50 : « J’entends par lois de la logique, écrit Frege dans la préface aux Lois fondamentales, non pas les lois psychologiques de ce qui est tenu pour vrai, mais les lois de ce qui est vrai »51. Et c’est de la logique en ce sens absolu que découle, dans un second temps, la normativité logique : on peut bien, écrit Frege dans la même préface, imaginer des êtres « qui pourraient effectuer des jugements contredisant nos lois de la logique », mais précisément la logique nous impose de considérer que de tels êtres n’ont pas raison, qu’ils n’ont pas « le droit » de penser comme ils le font, qu’ils ne sont pas dans le vrai.

4. LE LOGICISME

Dans la mesure où il y a une seule rationalité, l’entreprise frégéenne impose en outre de s’interroger sur la possibilité de réduire tout ou partie des mathématiques à la logique ; c’est là le programme du logicisme. Dès l’avant-propos de l’Idéographie (1879), Frege formule en effet le projet de fonder intégralement l’arithmétique sur la logique. Et, dans la dernière partie de cet ouvrage, il pose déjà les premiers « jalons » de cette entreprise en proposant « quelques éléments d’une théorie générale des suites » qui permettent notamment une construction logique de la notion de « propriété héréditaire » sur laquelle repose l’induction de Bernouilli. Précisé dans les Fondements de l’arithmétique (1884) puis réalisé par des démonstrations formelles rigoureuses dans les Lois fondamentales de l’arithmétique (1893), le programme logiciste suppose la redéfinition des notions arithmétiques fondamentales – nombre, égalité, suite, etc. – en notions logiques et la traduction des axiomes et règles d’inférence mathématiques en axiomes et règles d’inférence logiques. De cette manière, il semble possible de réduire entièrement la rationalité arithmétique à la rationalité logique et d’imposer à cette discipline mathématique la même rigueur déductive qu’à la logique :

« L’idéal d’une méthode rigoureusement scientifique en mathématiques, que je me suis efforcé de réaliser ici, et que l’on pourrait bien appeler euclidien, je souhaiterais le décrire ainsi. On ne peut certainement pas exiger que tout soit démontré, parce que c’est impossible ; mais on peut demander que toutes les propositions qu’on utilise sans les démontrer soient énoncées expressément comme telles, afin qu’on reconnaisse distinctement sur quoi la construction complète repose. On doit ainsi s’efforcer de réduire le plus possible le nombre de ces lois primitives, en démontrant tout ce qui est démontrable. De plus, et en cela je vais plus loin qu’Euclide, je demande que tous les modes d’inférence utilisés soient énumérés auparavant. [...] Ce n’est que quand ces transitions sont décomposées en étapes logiques simples qu’on peut se convaincre que rien d’autre que la logique ne sert de base »52.

Outre l’intérêt épistémologique intrinsèque de ce programme, il y a là un enjeu fondamental pour la théorie de la connaissance. En effet, si les principes fondamentaux de l’arithmétique sont des lois logiques et s’il n’y a entre ces axiomes et les théorèmes arithmétiques que des inférences purement logiques, cela voudrait dire que cette discipline mathématique – que le XIXe siècle avait montré être la plus fondamentale de toutes – serait de part en part analytique et déductive et non pas, comme le prétendait Kant, synthétique a priori et fondée sur des intuitions pures53. Que l’arithmétique puisse ainsi être tirée tout entière de la logique, voilà ce qui, selon Frege, contredirait définitivement la fable kantienne de la « stérilité de la logique pure »54.

Comme pour la logique, l’axiomatisation de l’arithmétique s’accompagne chez Frege d’un certain « platonisme » ou « pythagorisme »55 : les axiomes ne font que traduire des vérités nécessaires de la raison ; les règles de déduction sont celles qu’impose la rationalité logique ; et, dès lors, les théorèmes que ces axiomes et ces règles permettent d’obtenir sont tout simplement l’expression de vérités fondamentales sur les êtres de raison que sont les nombres. Pas plus que le géographe, le mathématicien ne peut créer son objet d’étude ; il doit découvrir (entdecken) et reconnaître (erkennen) le « royaume des nombres » tel qu’il est. Bien sûr, les nombres n’existent pas à la manière des objets qui se présentent dans l’expérience sensible, mais, comme d’ailleurs les droites et les points, ce sont des objets « effectifs » (wirklich), qui se donnent immédiatement à la raison. « 2 » et « 3 », mais aussi d’autres expressions arithmétiques telles que « sin 1 », « 1 », « log1 », sont des noms propres, qui ont pour signification (Bedeutung) des nombres, dont l’existence et les propriétés sont présupposées par les démonstrations arithmétiques. Les objets mathématiques, pense Frege, existent dans le troisième monde, non pas certes à la manière des êtres réels, mais à la manière des êtres possibles : le nombre 156.428.753.147.156.268 est un possible, comme l’est la droite parallèle à telle droite donnée et passant par tel point donné.

Les signes logiques et mathématiques renvoient à des êtres qui leur préexistent. Et de la même manière que le géomètre se sert de figures dessinées pour démontrer les propriétés des cercles et des carrés auxquels ces figures renvoient, l’arithméticien utilise des symboles pour représenter les nombres en soi. Si donc le calcul se caractérise par des opérations purement formelles et quasi-mécaniques qui laissent à l’écart la signification des symboles utilisés, il faut se rappeler que la syntaxe elle-même est tout entière construite à partir de la sémantique, que le calcul est d’abord langue et que le sens est en principe toujours restituable. À cet égard, Frege critique sévèrement la conception nominaliste-formaliste qui fait des nombres de simples signes et qui se permet donc d’introduire régulièrement de nouveaux signes dans le calcul sans montrer qu’à ces signes correspondent bien d’authentiques objets mathématiques. C’est le cas de mathématiciens comme Hankel56, mais aussi de logiciens disciples de Boole comme Schröder57. Cette « incapacité à distinguer entre un signe et ce qu’il désigne » entraîne d’ailleurs de graves incompréhensions de l’égalité arithmétique, laquelle, nous l’avons vu, n’est pour Frege rien d’autre que l’identité : c’est le même nombre, bien que désigné de deux manières différentes, qui apparaît des deux côtés d’une égalité arithmétique.

Mais, une fois encore, c’est surtout contre le psychologisme que Frege défend son platonisme mathématique. L’antipsychologisme de Frege en mathématiques est par ailleurs plus exacerbé encore que son antipsychologisme en logique : « Il peut être utile d’examiner les représentations qui accompagnent la pensée mathématique et leur déroulement ; mais que la psychologie ne s’imagine pas concourir en quoi que ce soit au fondement de l’arithmétique »58. Frege traque les tendances psychologisantes dans les conceptions que ses contemporains se font du nombre, au point que presque pas un n’échappe à ses critiques. Ainsi, il démonte évidemment la théorie de Mill selon laquelle le nombre 3 serait défini à partir d’observations sensibles comme celles qu’un groupe de 3 choses peut être séparé en un groupe de 2 choses et un groupe de 1 chose59. Cette conception selon laquelle « le nombre est quelque chose comme un tas, un essaim où les choses figurent en chair et en os », Frege la qualifie de « la plus naïve »60. D’une manière plus générale, il conteste qu’un nombre cardinal soit quelque chose comme « un ensemble, une multiplicité ou une pluralité » d’éléments homogènes juxtaposés61 et combat ainsi longuement les théories de Biermann62, de Weierstrass63 et de Thomae, contre lequel il souligne que le temps n’est, pas plus que l’espace, le principe de la distinction des unités d’un nombre64. Mais Frege nie également que ce soit par des processus d’abstraction qu’on puisse obtenir le concept d’unité ou celui de nombre cardinal. Sur ce point, il fait, non sans sarcasmes, la leçon à Cantor65 et bien sûr à Husserl dans son célèbre compte-rendu de la Philosophie de l’arithmétique.

Contre toutes ces tentatives de fonder les concepts d’unité et de nombre sur les propriétés sensibles des objets physiques ou sur les capacités psychologiques de l’esprit, Frege insiste quant à lui sur le caractère purement « intelligible » de ces concepts. Par ailleurs, à toutes ces théories – pourtant très différentes les unes des autres66 – qui interprètent peu ou prou les nombres comme des ensembles d’objets – objets éventuellement abstraits au point de devenir de pures unités –, Frege adresse un même ensemble de reproches. Tout d’abord, il indique une confusion généralisée entre la signification du signe arithmétique « + » et celle du « et » du discours quotidien, c’est-à-dire entre les concepts d’addition et de simple liaison conjonctive. Ensuite, il met en évidence trois écueils contre lesquels ces théories ne peuvent manquer d’échouer, trois éléments fondamentaux dont elles ne peuvent rendre compte sans artifice : « Le premier est de savoir comment l’identité des unités est compatible avec leur discernabilité ; le second est constitué par les nombres zéro et un ; le troisième par les grands nombres »67.

Pour Frege, les nombres ne sont pas des agrégats ou des ensembles d’objets, mais des objets logiques d’un niveau supérieur obtenus par des opérations de mise en « corrélation biunivoque » d’ensembles d’objets, ou plutôt d’extensions de concepts. Pour Frege, en effet, nous l’avons vu, un énoncé de nombre, comme d’ailleurs un énoncé d’existence, n’attribue pas une propriété particulière – l’existence ou une quantité déterminée – à un objet ou à un groupe d’objets, mais porte toujours sur un concept, dont il signale que l’extension – c’est-à-dire l’ensemble des objets qui satisfont les caractères propres à ce concept – est vide ou comporte au contraire plus ou moins d’éléments. Et chaque nombre est donc défini comme un ensemble d’extensions de concepts qui peuvent être corrélés par une bijection, de même qu’une « direction » de droite peut être définie par un ensemble de droites parallèles les unes aux autres.

Grâce à cette analyse, accomplie dans les paragraphes 45 à 53 des Fondements de l’arithmétique, Frege parvient à surmonter toutes les difficultés théoriques sur lesquels ses contemporains butent en raison de leurs théories « naïves »68 du nombre. Le problème de l’unité et de la discernabilité est résolu au paragraphe 54 : bien que distincts les uns des autres, des objets (Mars, la Terre, Jupiter, etc.) sont identiques en tant qu’ils tombent d’une seule et même façon sous un concept (« planète du système solaire »). Le nombre 0 est traité aux paragraphes 74 et 75 et le nombre 1 au paragraphe 77 ; le premier est tout simplement défini par les extensions de concepts qu’aucun objet ne satisfait, le second par l’extension du concept « identique à 0 », concept que l’objet 0 et lui seul satisfait. Enfin, Frege indique dans les paragraphes 79 à 86 que sa théorie du nombre cardinal vaut aussi pour les grands nombres et même pour les nombres infinis introduits par Cantor dans son « ouvrage remarquable ».

5. LA TROISIÈME IDÉOGRAPHIE

À propos de l’Idéographie, nous avions traité des distinctions malheureuses – parce que superficielles et seulement linguistiques – faites par la tradition entre jugements affirmatifs et jugements négatifs, ainsi qu’entre jugements universels, particuliers et singuliers. Le texte de 1879 contenait également une critique sévère de la distinction classique des jugements catégoriques, hypothétiques et disjonctifs. Tout d’abord, en effet, le conditionnel et la disjonction relèvent, comme la négation, du contenu propositionnel – de la simple « pensée » – et non du type d’assertion ou de jugement, de sorte que les énoncés catégoriques, hypothétiques et disjonctifs ne constituent en aucun cas des types de jugements différents. Un énoncé hypothétique, par exemple, est le contenu propositionnel complexe d’un jugement et non un complexe de jugements. Lorsque j’affirme « Si par un point de l’espace on peut mener plusieurs parallèles à une droite donnée (axiome de Lobachevsky), alors la somme des angles d’un triangle est inférieure à 180° (un des théorèmes de Lobachevsky) », je juge vrai le tout de la proposition hypothétique et ne me prononce pas séparément sur son antécédent et son conséquent.

Par ailleurs, les propositions hypothétiques et disjonctives – il s’agit ici de la disjonction exclusive de la dialectique – sont des compositions de pensées catégoriques. Comme la négation, le conditionnel (de la proposition hypothétique) et la disjonction exclusive sont des opérations qui permettent de construire des propositions complexes à partir de propositions simples. Et, à cet égard, les propositions hypothétiques ou disjonctives ne sont en rien particulières par rapport à d’autres compositions de pensées comme celles qui résultent de la conjonction, de la disjonction non-exclusive ou du biconditionnel. Frege montre d’ailleurs dans le paragraphe 7 de l’Idéographie qu’on peut retrouver toutes ces compositions de pensées à partir de l’implication et de la négation, c’est-à-dire qu’avec deux opérations on peut construire toutes les autres69.

Pour le Frege de l’Idéographie, tous ces connecteurs logiques participent au contenu de la pensée composée. Ainsi, le signe Illustration A a-t-il le sens de la négation. De même, le signe Illustration a-t-il le sens de la conditionnalité du conséquent A vis-à-vis de l’antécédent B. A « dépend de » B. C’est d’ailleurs ce sens que Frege décelait dans les jugements universels ; « Tous les hommes sont bipèdes » exprime la généralité d’une conditionnalité. Cependant, en définissant rigoureusement ce conditionnel comme « B ne peut être vrai et A faux », l’Idéographie n’exprimait qu’un sens appauvri de la conditionnalité du langage quotidien et même du langage scientifique, qui exige généralement que soient précisés les rapports de sens entre A et B qui justifient cette conditionnalité. Illustration n’est donc pas toute la conditionnalité, mais seulement ce que Russell allait appeler « implication matérielle » ; son sens se réduit à une certaine fonction de vérité de la proposition complexe vis-à-vis de la vérité des propositions simples qui la composent, raison pour laquelle est vrai :

Or, un pas de plus vers le vérifonctionnalisme est franchi lorsque Frege affirme dans ses textes sur l’identité (seconde idéographie) que les pensées de même valeur de vérité sont substituables quel que soit leur sens. Les connecteurs de la logique des propositions deviennent alors de pures opérations extensionnelles sur les valeurs de vérité, c’est-à-dire qu’ils servent à construire de nouvelles valeurs de vérité à partir d’autres valeurs de vérité70. Ainsi, la négation est l’opération d’inversion de valeur de vérité ; quant au conditionnel, il produit le vrai dans tous les cas, sauf quand son antécédent est le vrai et son conséquent le faux71.

Dans les Recherches logiques (postérieures aux entretiens avec Wittgenstein), ces opérations seront d’ailleurs exclusivement définies par leurs conditions extensionnelles de vérité – « tables de vérité » – et elles impliqueront chacune des règles d’inférence propre – sortes de règles de déduction naturelle à la Gentzen –, là où, on s’en souvient, l’Idéographie n’avait retenu que l’inférence unique du Modus Ponens. En définitive, ces opérations que sont les compositions de pensée sont donc interprétées comme de pures fonctions de vérité, c’est-à-dire des fonctions qui renvoient de valeurs de vérité-arguments à des valeurs de vérité-valeurs. Ainsi, la négation, dit Frege dans la deuxième Recherche logique, est insaturée ; mais, une fois saturée par une valeur de vérité, elle donne lieu à une valeur de vérité. Les connecteurs binaires comme le conditionnel, dit la troisième Recherche, sont quant à eux doublement insaturés : ils donnent une valeur de vérité lorsqu’ils sont saturés de part et d’autre par des valeurs de vérité.

Or, ceci nous ramène aux rapports du contenu propositionnel et de l’assertion de sa vérité. En effet, lorsque, dans « Fonction et concept » puis dans les Lois fondamentales, Illustration A et Illustration sont définis comme des fonctions de vérité, une troisième fonction de vérité fondamentale leur est adjointe, à savoir Illustration A, fonction dont la valeur (de vérité) est vrai quand A a pour signification (Bedeutung) le vrai. Donc, dès la seconde idéographie, le trait horizontal (Illustration) ne renvoie plus tant au contenu propositionnel en tant que sens, mais plutôt désormais en tant que valeur de vérité72.

Quant au trait vertical (I), Frege le conserve dans sa seconde idéographie pour exprimer l’assertion du contenu, c’est-à-dire l’affirmation de sa vérité. De l’assertion, cependant, se distingue désormais le jugement proprement dit, qui est le passage du sens à la signification, c’est-à-dire à la valeur de vérité de l’énoncé propositionnel. Le jugement, dit Frege, intervient avec l’intérêt de connaissance, lorsque la préoccupation pour le sens fait place à la préoccupation pour la valeur de vérité. Dans la deuxième idéographie, on a donc le trio : pensée-jugement-assertion, le trait vertical exprimant l’assertion et le trait horizontal exprimant le contenu, c’est-à-dire le sens et sa valeur de vérité, le jugement étant justement le passage de l’un à l’autre.

Dans ses réflexions pour une troisième idéographie, Frege en vient à abandonner le trait vertical73. En effet, constate-t-il, l’assertion – le jugement au sens de l’Idéographie, c’est-à-dire la reconnaissance de vérité, le « tenir pour vrai »74 – ne relève pas proprement de la logique, mais davantage de la psychologie75 ; elle n’a donc rien à faire dans le symbolisme. Bien plus, si la logique exprime dans son langage symbolique les rapports de vérité entre propositions, il ne lui appartient pas de dire que telle ou telle proposition est vraie. Le fait qu’une proposition est vraie ne change rien à son sens et ne peut donc faire partie du contenu représenté. C’est pourquoi l’attribut « vrai » n’a pas de sens et n’est donc pas un prédicat pour les propositions, même pas un prédicat de second degré. Dans le paragraphe 3 de l’Idéographie, Frege affirmait par contre explicitement que « est vrai » ou « est un fait » (I) est une sorte de prédicat pour les énoncés propositionnels.

Ceci nous amène en définitive à la notion de « fait ». Dans les Recherches logiques, Frege utilise timidement mais explicitement la notion de « fait » et la définit comme une pensée vraie76. C’est donc désormais le fait et non plus la valeur de vérité qu’un énoncé propositionnel a pour signification. Frege semble donc se convertir sur le tard à une ontologie des faits du type de celle que défend son disciple Wittgenstein. Notons à cet égard que Frege conteste cependant qu’il y ait des faits positifs et des faits négatifs. Dans la seconde Recherche logique, Frege affirme en effet qu’un seul et même fait peut être exprimé dans un énoncé affirmatif ou dans un énoncé négatif, comme « Jean est célibataire » et « Jean n’est pas marié ». Il en concluait qu’il n’y a pas de pensées, donc pas de faits, qui soient par nature positives ou négatives, mais que deux pensées peuvent seulement être la négation l’une de l’autre77.

RÉSUMÉ

Comme Leibniz en avait déjà formulé le projet, Gottlob Frege entend doter la pensée scientifique d’une idéo-graphie, c’est-à-dire d’un langage rationnel qui pourrait tout à la fois mettre en évidence, par son lexique, les concepts de la science et leurs traits définitoires (une lingua caracteristica) et refléter, dans ses articulations syntaxiques, les articulations logiques des énoncés sur lesquels opèrent les raisonnements scientifiques (un calculus ratiocinator). La mise au point d’un tel langage suppose cependant une réforme de la logique héritée de la tradition et notamment une analyse dépassant la structure sujet-prédicat, qui est seulement linguistique et non proprement logique.

La formalisation des jugements universels et particuliers d’Aristote mène rapidement Frege à la structure qui sera au fondement de sa seconde idéographie, à savoir celle de la saturation des concepts – envisagés comme fonctions – par des objets individuels, qui constituent les arguments de ces fonctions et renvoient, à travers elles, à des valeurs de vérité (le vrai et le faux). Chaque concept devient alors un principe classificatoire qui sépare les objets du monde entre ceux qui satisfont ce concept et ceux qui ne le satisfont pas. Une fois le parcours de valeurs d’un concept ainsi déterminé, on peut alors se poser des questions telles que celles de l’existence ou du nombre d’objets qui satisfont ce concept ; l’existence et le nombre sont donc toujours des propriétés de second degré, puisqu’elles ne s’attribuent pas directement à des objets, mais bien à des ensembles d’objets regroupés par une propriété commune, c’est-à-dire à des extensions de concepts.

D’emblée, la distinction entre objets individuels et principes classificatoires a une portée nominaliste. Frege, cependant, défend lui-même un certain réalisme platonicien, c’est-à-dire qu’il considère que concepts et propositions ont eux-mêmes, en tant que significations partageables par tous, une certaine objectivité, quoique bien sûr différente de celle des réalités sensibles. Par antipsychologisme, Frege se refuse d’identifier les significations des termes conceptuels ou énoncés propositionnels à des représentations ou idées qui seraient dans la tête des sujets qui les pensent. Et c’est pourquoi, comme Platon, il fait l’hypothèse d’une sorte de monde des entités idéales, où trouvent également leur place les valeurs de vérité, les parcours de valeurs ou encore les nombres.

Un apport majeur du travail de Frege consiste d’ailleurs dans une définition des nombres comme ensembles d’extensions de concepts qui peuvent être mises en corrélation biunivoque les unes avec les autres. Plus généralement, la caractérisation en termes purement logiques des notions arithmétiques fondamentales – telles que la relation de « succession » – lui permet de ramener les principes de l’arithmétique à des lois logiques, dont les théorèmes arithmétiques peuvent en outre être tirés par des règles d’inférence qui sont elles aussi intégralement logiques. Tel est l’objectif affirmé du logicisme frégéen que de réduire l’arithmétique à la logique et d’y remplacer ainsi l’intuition mathématique et ses jugements synthétiques a priori par la déduction logique et ses jugements purement analytiques.

Prolongeant sans cesse son interrogation sur la réalisabilité de cette ambition logiciste, mais aussi sur l’analyse logique qui doit la rendre possible et qui doit plus généralement permettre l’expression rigoureuse de la pensée scientifique, Frege proposera encore une troisième version de son idéographie, dont les aménagements – tels que l’interprétation purement vérifonctionnelle des connecteurs logiques ou l’abandon du trait de jugement – vont dans le sens des évolutions que certains de ses héritiers impriment également à sa pensée.

Quelles sont toutes les conséquences logiques du remplacement de l’analyse en termes de sujet et de prédicat par celle en termes de fonctions et d’arguments ? Et quelles sont ses conséquences ontologiques ? Le nominalisme qui se dégage de cette analyse n’entre- t-il pas en tension avec les exigences réalistes de l’anti-psychologisme ? Enfin, quelles sont la valeur et la portée du projet logiciste ? Toutes ces questions qui ont préoccupé Frege du début à la fin de son œuvre sont aussi celles qui vont guider la réflexion de Bertrand Russell.

QUELQUES OUVRAGES DE RÉFÉRENCE EN FRANÇAIS

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Notes

1. G. FREGE, Idéographie (1879), Paris, Vrin, 1999, préface, p. 6. Frege compare l’apport de son idéographie à celui d’un microscope par rapport à l’œil nu.

2. C’est là un des principes les plus fondamentaux de la doctrine frégéenne : « On ne doit tirer de l’intuition aucune raison démonstrative » (« La logique calculatoire de Boole et l’idéographie » (1880-1881), in Écrits posthumes, Nîmes, Jacqueline Chambon, 1994, p. 42).

3. G. FREGE, « La science justifie le recours à une idéographie » (1882), in Écrits logiques et philosophiques, Paris, Le Seuil, 1994, p. 68.

4. G. BOOLE, Les lois de la pensée (1854), Paris, Vrin, coll. Mathesis, 1992, chap. I, paragraphe 5, p. 25.

5. ibid., chap. V, paragraphe 4, p. 82.

6. ibid., chap. I, paragraphe 9, p. 29.

7. ibid., chap. I, paragraphe 6, p. 25.

8. G. FREGE, « La logique calculatoire de Boole et l’idéographie » (1880-1), op. cit., p. 21.

9. Les fondements de l’arithmétique (1884), Paris, Le Seuil, 1969, paragraphe 91, note 1, p. 215. À cet égard, comme le souligne Joëlle Proust (Questions de forme, Paris, Fayard, 1986, p. 253), Frege rejoint Bernard Bolzano dans l’affirmation que la logique, bien que purement analytique dans ses déductions formelles, n’en a pas moins un contenu propre : « A l’égard de ce qui lui est propre, elle ne se comporte pas formellement ».

10. « La logique calculatoire de Boole et l’idéographie » (1880-1881), op. cit., p. 48.

11. ibid., p. 27.

12. Idéographie (1879), op. cit., paragraphe 4, p. 18. Ces analyses classiques sont également remises en question à la même époque par Franz Brentano. Frege et Brentano proposent cependant des réformes de la logique qui divergent sur presque tous les points majeurs. Or, cela aura des conséquences très importantes sur la réflexion logique et ontologique dans les écoles de pensée dont ils sont l’un et l’autre fondateur. Cf. sur ce point, nos analyses dans « Les présupposés d’existence de l’école de Brentano à l’école de Frege », in Philosophie, 2008, vol. 97, pp. 26-41.

13. À cet égard, Frege définit une position originale dans les débats logiques au XIXe siècle sur le statut de la négation. Cf. sur ce point Denis Seron, « La controverse sur la négation de Bolzano à Windelband », in Philosophie, 2006, vol. 90, pp. 58-78. Cf. aussi les belles pages d’Ali Benmakhlouf dans Frege. Le nécessaire et le superflu, Paris, Vrin, 2002, pp. 101-110.

14. Par Gedanke, Frege entend exclusivement les contenus « jugeables » et susceptibles d’être vrais ou faux, bref les propositions. Que la logique se préoccupe prioritairement des contenus propositionnels, qui sont susceptibles d’une valeur de vérité, c’est ce dont se souviendront tant Carnap qu’Austin.

15. Frege appelle « Begriffsschrift » son langage logique, dans la mesure où il entend exclusivement exprimer le « contenu conceptuel » des énoncés linguistiques, par opposition aux effets communicationnels du langage : voie active/voie passive, figures de style, termes allusifs ou suggestifs (Winke), etc. C’est ce contenu conceptuel qui cristallise la teneur scientifique des énoncés et c’est lui seul qui peut intervenir dans les déductions rationnelles, tandis que beaucoup de sophismes pèchent justement par leur sensibilité aux effets communicationnels du langage. De l’aveu de Frege lui-même, cependant, cette notion de « contenu conceptuel », et l’expression dérivée d’« écriture conceptuelle », est un peu malheureuse puisque, pour lui et contrairement à Aristote ou Boole, c’est le niveau du contenu de pensée susceptible de valeur de vérité (la Gedanke, la « proposition ») qui est l’élément logique de base à partir duquel les autres éléments, dont les concepts, doivent être envisagés.

16. Notons que, dans les deux cas, la négation, qui est, elle aussi, composante du contenu jugé, porte sur la totalité d’une proposition : dans le second cas sur la proposition complexe « Tous les hommes sont mortels », dans le premier sur chacune des propositions prédicatives simples « Socrate est mortel », « Platon est mortel », etc. Cette conception diffère de celle de Boole, qui, suivant une suggestion d’Aristote, tendait à distinguer les deux cas en faisant porter la négation dans le second cas sur la copule du jugement universel (« Tous les hommes ne sont pas mortels ») et dans le premier cas sur le prédicat de ce jugement (« Tous les hommes sont non-mortels (immortels) »). Or, que cette distinction soit artificielle, c’est ce que montre le cas de l’énoncé singulier (seule authentique prédication logique), pour lequel les deux négations (« Socrate n’est pas mortel » et « Socrate est immortel ») s’identifient.

17. « Fonction et concept » (1891), in Écrits logiques et philosophiques, op. cit., p. 90 ; lettre à Russell du 3/8/1902, in Gottlob Frege-Bertrand Russell correspondance, Paris, E.P.E.L., 1994, p. 64.

18. « La logique calculatoire de Boole et l’idéographie » (1880-1881), op. cit., p. 17.

19. Ali Benmakhlouf montre bien le lien que cette notion d’insaturation entretient avec la notion d’« analyse » (BENMAKHLOUF A., Frege. Le nécessaire et le superflu, op. cit., pp. 87-91). Cette insaturation sera d’ailleurs au cœur de la quasi-totalité des développements de notre propre lecture de la philosophie analytique.

20. Cf. le débat avec Benno Kerry : « Concept et objet » (1892), in Écrits logiques et philosophiques, op. cit., mais aussi « Sur le concept de nombre » (1891-1892), in Écrits posthumes, op. cit., pp. 107-138.

21. Sur les notions de « fonction » et de « variable », cf. aussi « Défauts logiques dans les mathématiques » (1898-1899), in Écrits posthumes, op. cit., pp. 187-197 ; « La logique dans les mathématiques » (1914), in Écrits posthumes, op. cit., pp. 279 et sq.

22. « Dialogue avec Pünjer » (avant 1884), in Écrits posthumes, op. cit., p. 74 ; « Sens et signification » (1892), in Écrits logiques et philosophiques, op. cit., p. 109 ; pp 115-117 ; « Concept et objet » (1892), op. cit., p. 139 ; « Logique » (1897), in Écrits posthumes, Nîmes, Jacqueline Chambon, 1994, p. 153. Le présupposé d’existence que Brentano voyait sous le sujet de tout énoncé prédicatif ne vaut, pour Frege, que lorsque le sujet grammatical de l’énoncé prétend désigner un objet. On voit là une réflexion qu’on retrouvera chez Russell dans « On denoting » (1905) où les solutions de type meinongienne, mais aussi la solution artificielle de Frege (« le roi actuel de France » désigne l’objet : classe nulle) seront rejetées.

23. « Dialogue avec Pünjer » (avant 1884), op. cit., pp. 75-78.

24. « Concept et objet » (1892), op. cit., pp. 134-136. Le concept d’existence est la fonction de second degré « a une extension non-vide », qui prend pour argument des concepts et pour valeur des valeurs de vérité.

25. Idéographie (1879), op. cit., paragraphe 8, pp. 28-29.

26. Dans les traductions des textes de Frege, les termes allemands « bedeuten » et « Bedeutung » sont tantôt rendus par « dénoter » et « dénotation », tantôt par « signifier » et « signification ». La première traduction est notamment due à l’usage rétrospectif d’un terme de Russell. Comme la conception frégéenne s’en écarte assez nettement, nous optons pour la seconde (« signification »), même si – en raison de sa quasi-synonymie avec le terme de « sens » en français – elle marque moins la différence avec la notion de « Sinn », à laquelle Frege l’oppose pourtant : pour Frege, le sens d’une expression est l’ensemble de ses traits définitoires, tandis que sa signification est toujours un objet (en un sens large).

27. Pour Wittgenstein, nous le verrons, un langage parfaitement logique devrait pouvoir se passer de l’identité en désignant univoquement chaque objet par un et un seul signe. L’identité serait ainsi exprimée par mais non dite dans le formalisme (Tractatus logico-philosophicus (1921), trad. G.G. Granger, Paris, Gallimard, coll. Tel, 1993, paragraphes 5.53, 5.533, 6.232).

28. Les contextes intensionnels échappent cependant à cette règle, puisque, dans ce cas, c’est la pensée elle-même qui est la signification (Bedeutung) de l’énoncé propositionnel (« Sens et signification » (1892), op. cit., pp. 112 et sq.).

29. « Sens et signification » (1892), op. cit., pp. 110 ; « Fonction et concept » (1891), op. cit., p. 92. Dans les Lois fondamentales de l’arithmétique, Frege s’attachera d’ailleurs à montrer qu’il se définit à partir d’une propriété de second degré des propositions comme le nombre se définit à partir d’une propriété de second degré des concepts (Lois fondamentales de l’arithmétique (1893), paragraphe 10).

30. À cet égard, Frege fait notamment la leçon à Edmund Husserl, qui voit à juste titre que le terme conceptuel a pour signification un concept, mais qui pense que celui-ci renvoie directement aux objets qui le satisfont (Cf. notamment « Compte-rendu de la Philosophie de l’arithmétique d’Edmund Husserl » (1894), in Écrits logiques et philosophiques, op. cit., p. 153 ; Lettre à Husserl du 24/5/1891, in Frege-Husserl correspondance, Mauvezin, TER, 1987, pp. 25-27).

31. G. FREGE, Lois fondamentales de l’arithmétique (1893), préface et introduction traduites dans J. P. BELNA, La notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege, Paris, Vrin, 1996.

32. « Fonction et concept » (1891), op. cit., pp. 85-87 ; « Compte-rendu de la Philosophie de l’arithmétique d’Edmund Husserl » (1894), op. cit., p. 148.

33. Dans ces certains passages des Lois de la pensée, Boole se montrait lui aussi très attentif à cette condition pesant sur une déduction purement formelle : « que les lois selon lesquelles on mène la procédure ne soient fondées que sur le sens ou la signification, préalablement fixés, des symboles employés » (G. BOOLE, Les lois de la pensée (1854), op. cit., chap. I, paragraphe 6, p. 25).

34. G. FREGE, Lois fondamentales de l’arithmétique (1893), op. cit., p. 327.

35. « Logique » (1897), in Écrits posthumes, op. cit., p. 171.

36. « Logique » (entre 1879 et 1891), in Écrits posthumes, op. cit., p. 12.

37. Lois fondamentales de l’arithmétique (1893), op. cit., p. 330.

38. « Logique » (entre 1879 et 1891), op. cit., p. 12.

39. « Recherches logiques » (1918), in Écrits logiques et philosophiques, op. cit., p. 171.

40. « Logique » (entre 1879 et 1891), op. cit., p. 10. Tout comme la connaissance juste, « l’erreur et le préjugé ont leurs causes » (« Recherches logiques » (1918), op. cit., p. 171).

41. « Recherches logiques » (1918), op. cit., p. 170.

42. À cet égard, Frege épingle en particulier « le sensualisme de Locke et l’idéalisme de Berkeley » (« Sur le concept de nombre » (1891-1892), in Écrits posthumes, op. cit., p. 124), mais aussi les confusions qui subsistent dans l’œuvre de Kant du fait de son incapacité à distinguer clairement les deux sens du mot « représentation » (Les fondements de l’arithmétique, op. cit., paragraphe 27, note 2, pp. 155-156).

43. « Logique » (entre 1879 et 1891), in Écrits posthumes, op. cit., p. 16. Nous soulignons.

44. « einen gemeinsamen Schatz ». Claude Imbert traduit plus littéralement « trésor commun » (« Sens et signification » (1892), op. cit., p. 104).

45. « Logique » (1897), in Écrits posthumes, op. cit., p. 157.

46. « Recherches logiques » (1918), op. cit., p. 184. Notons cependant que ce « platonisme » s’accompagne chez Frege d’un nominalisme du concept – le concept n’est pas un objet, mais une fonction logique –, dont va hériter toute la philosophie analytique et que vont en particulier exploiter des empiristes farouches comme Russell, Carnap ou Quine. Cf. notre article « Les présupposés d’existence de l’école de Brentano à l’école de Frege », dans Philosophie, 2008, vol. 97, pp. 26-41.

47. « Logique » (1897), op. cit., p. 175. Cf. aussi les longs développements sur la « pensée » dans ses « Recherches logiques » (1918), op. cit., pp. 181-195.

48. Lois fondamentales de l’arithmétique (1893), préface, op. cit., p. 331.

49. ibid., p. 339. Le psychologisme, comme le dit Claude Imbert, a effectivement retardé le développement de la logique contemporaine en accordant toute l’attention à l’analyse intensionnelle d’une prédication ou d’une implication plutôt qu’à une analyse extensionnelle. De ce point de vue, la distinction frégéenne de la fonction et de l’argument est un grand pas en avant par rapport à la notion de prédicat entendu comme « concept » avec toutes les ambiguïtés psychologistes pesant sur ce mot (C. IMBERT, Pour une histoire de la logique, Paris, Presses Universitaires de France, 1999, pp. 93-94).

50. « Logique » (1897), op. cit., p. 152.

51. Lois fondamentales de l’arithmétique (1893), préface, op. cit., p. 329.

52. Les lois fondamentales de l’arithmétique (1893), préface, op. cit., p. 318.

53. Les fondements de l’arithmétique (1884), op. cit., paragraphe 87, p. 211. Notons que, lorsqu’il critique le synthétique a priori kantien, Frege fait subir aux notions mêmes de synthéticité et d’aprioricité des modifications semblables à celles que leur avait fait subir Bolzano. Selon Frege, la distinction kantienne de l’analytique et du synthétique ne concerne pas la nature du contenu jugé (les rapports du sujet au prédicat), mais le type de légitimité de l’acte de juger : un jugement est analytique s’il est déduit des lois logiques par les règles logiques et synthétique s’il est légitimé par une intuition (Les fondements de l’arithmétique, op. cit., intro paragraphe 3, chap. I, paragraphes 12-17, chap. V. Cf. déjà Idéographie, op. cit., paragraphe 24, p. 76). À cet égard, Frege renverse le raisonnement kantien. En effet, là où, pour Kant, un jugement synthétique – c’est-à-dire qui contient une information nouvelle – doit être intuitif – puisque l’information nouvelle qu’il contient doit bien provenir de quelque source extérieure à l’entendement –, Frege considère qu’un jugement est synthétique s’il est intuitif. Quant à la distinction de l’a posteriori et de l’a priori, elle ne peut, pour Frege, survivre en logique qu’à condition d’être dépsychologisée et donc rendue indépendante des processus réels de connaissance. C’est pourquoi elle finit par coïncider avec la distinction du synthétique et de l’analytique (Les fondements de l’arithmétique, op. cit., paragraphe 27, note 2, pp. 155-156. Cf. déjà Idéographie (1879), op. cit., p. 5).

54. Les fondements de l’arithmétique (1884), op. cit., paragraphe 17, p. 145.

55. Claude Imbert, dans sa préface à l’ouvrage de J.P. Belna sur La notion de nombre chez Dedekind, Cantor et Frege (op. cit., p. 14) suggère de parler de pythagorisme plutôt que de platonisme, dans la mesure où, lorsque Platon lui-même, évoque, comme dans le Timée, l’existence séparée du monde des nombres, c’est manifestement un thème pythagoricien qu’il met dans la bouche de son personnage. Par ailleurs, certains commentateurs ont à juste titre souligné que ce pythagorisme de Frege était tout entier « négatif », c’est-à-dire adopté par élimination des thèses concurrentes. Dans la mesure où, pour Frege, le nombre n’est ni une représentation subjective, ni un être sensible, ni un dérivé abstrait d’êtres sensibles, ni une création de l’esprit humain, ni un produit du langage symbolique, il doit être un en soi d’un genre particulier qui assure l’objectivité aux vérités mathématiques (J. LARGEAULT, Logique et philosophie chez Frege, Louvain, Nauwelaerts, 1970, p. 58 ; J. P. BELNA, La notion de nombre chez Dedekind, Cantor et Frege, op. cit., pp. 280-281).

56. Les fondements de l’arithmétique (1884), op. cit., paragraphes 94-99, pp. 217-221.

57. ibid., paragraphe 43, pp. 171-172 ; préface et introduction aux Lois fondamentales de l’arithmétique (1893), op. cit., pp. 326-327 ; p. 343.

58. Les fondements de l’arithmétique (1884), op. cit., « Introduction », p. 119.

59. ibid., paragraphes 7-8-9, p. 157. Cf. aussi « Introduction », p. 117 : « Je suis frappé par la grossièreté de la conception qu’on a du nombre lorsqu’on dit de l’acte de compter que c’est une pensée par agrégation, qui procède mécaniquement ».

60. « Compte-rendu de la Philosophie de l’arithmétique d’Edmund Husserl » (1894), op. cit., p. 144.

61. Les fondements de l’arithmétique (1884), op. cit., paragraphe 28, pp. 132-136.

62. « Sur le concept de nombre » (1891-1892), in Écrits posthumes, op. cit., pp. 92 et sq.

63. « La logique dans les mathématiques » (1914), op. cit., pp. 258 et sq.

64. Les fondements de l’arithmétique (1884), op. cit., paragraphe 48, pp. 169-170.

65. « Esquisse pour un commentaire de l’ensemble des traités de Cantor sur la théorie du transfini » (1890-1892), in Écrits posthumes, op. cit., pp. 87-90.

66. Frege se montre d’ailleurs scandalisé de ce que les mathématiciens ne s’entendent pas sur les définitions des notions les plus fondamentales de leurs disciplines, comme celles de nombre ou d’égalité, mais aussi de fonction ou de variable, signe du fait qu’ils se préoccupent très peu des fondements de leur discipline (G. FREGE, « Défauts logiques dans les mathématiques » (1898-1899), in Écrits posthumes, op. cit., pp. 196-197).

67. « Compte-rendu de la Philosophie de l’arithmétique d’Edmund Husserl » (1894), op. cit., pp. 151-152. Ces difficultés, qu’on retrouve dans presque chacune des critiques citées ci-dessus, sont traitées longuement dans Les fondements de l’arithmétique.

68. « J’appelle naïve toute conception pour laquelle le nombre n’est pas un énoncé portant sur un concept ou une extension de concept, alors que toute réflexion sur le nombre aboutit d’emblée et nécessairement à cette conclusion » (« Compte-rendu de la Philosophie de l’arithmétique d’Edmund Husserl » (1894), op. cit., p. 144).

69. Pour Wittgenstein, cette inter-traductibilité des connecteurs logiques sera la preuve qu’il n’y a pas à proprement parler de signes logiques primitifs (Tractatus logico-philosophicus (1921), op. cit., paragraphes 5.42 ; 5.46) et donc pas d’objets logiques (ibid., paragraphes 4.441 ; 5.4).

70. G. FREGE, « Sens et signification » (1892), op. cit., pp 119-121 ; « Recherches logiques » (1918), op. cit., pp. 222, 234.

71. Notons qu’en conséquence de cette évolution vers l’extensionalisme du calcul des propositions, on perd également le lien avec le sens authentique de la conditionnalité entre concepts, puisque les co-extensions « accidentelles » ne sont pas exclues et que les concepts à extension vide « impliquent » tous les concepts quels qu’ils soient. Les réflexions de Frege à cet égard sont nombreuses et se retrouvent notamment dans Frege-Husserl correspondance, op. cit., pp. 45-49 ; pp. 55-57, dans « Justification de mes principes plus rigoureux de définition » ((1897-1898), in Écrits posthumes, op. cit., pp 179-181), dans « Introduction à la logique » ((1906), op. cit., pp. 225-227). Russell s’interrogera lui aussi sur les rapports entre implication matérielle et implication formelle, notamment dans les Principles of mathematics (1903), op. cit., paragraphes 5, 15, 25, 45, chap. III et dans les Principia mathematica (1910), traduction française partielle dans Écrits de logique philosophique, op. cit., introduction, pp. 247-249).

72. « Concept et objet » (1892), op. cit., p. 193. Avant « Sens et signification », ces deux contenus n’étaient pas distingués.

73. C’est le cas dans les « Recherches logiques », mais aussi déjà dans « Logique » (1897), op. cit., pp 149-152, donc avant les réflexions de Russell et Wittgenstein sur l’appartenance de l’assertion à la logique ou à la psychologie.

74. Dans Frege. Le nécessaire et le superflu (op. cit., pp. 193-198), Ali Benmakhlouf maintient pour sa part une distinction utile entre « reconnaissance de la vérité » et « tenir pour vrai ».

75. G. FREGE, « Notes pour Ludwig Darmstaedter » (1919), op. cit., p. 299. À cet égard, les expressions de jugement synthétique ou analytique sont ambiguës puisqu’elles semblent renvoyer au sens psychologique de jugement et au type de raison subjective (de motif) de reconnaissance de la vérité, alors qu’il s’agit en fait des raisons objectives de validation du contenu (jugement au sens logique). Dès lors, l’expression bolzanienne de « vérité synthétique ou analytique » est sans doute préférable (« Recherches logiques » (1918), op. cit., p. 205 note 1). Wittgenstein développera d’ailleurs une théorie bolzanienne – purement sémantique – de l’analytique (en terme de « tautologie » Tractatus logico-philosophicus (1921), op. cit., paragraphes 4.2 et sq.) et de la conséquence (en termes de « raisons de vérité », ibid., paragraphes 5.11 et sq.).

76. « Recherches logiques » (1918), op. cit., p. 191. Pour Wittgenstein, par contre, ce sera précisément cette notion de « fait » qui permettra de dépasser la conception absurde, d’ailleurs déjà rejetée par Russell, selon laquelle les propositions ont pour signification (Bedeutung) leur valeur de vérité. Si une proposition a une signification, dit Wittgenstein, ce ne peut être qu’un fait ou un état de choses. Notons que cette conception donnera en outre un peu plus de plausibilité au principe selon lequel tous les énoncés vrais sont intersubstituables dans la mesure où ils ont la même signification (Bedeutung) ; cette signification commune à toutes les propositions vraies, c’est en effet, pour Wittgenstein, le monde comme totalité des faits (Tractatus logico-philosophicus (1921), op. cit., paragraphe 1.11).

77. « Logique » (1897), op. cit., pp. 175-177. C’est là encore exactement ce qu’affirme Wittgenstein dans le Tractatus : que p et ~p puissent dire la même chose, c’est ce qui prouve que rien dans la réalité ne correspond à ~. Le signe de la négation ne représente rien ; p et ~p renvoient à une même réalité, mais ont des sens opposés. Russell, par contre, dans ses conférences sur l’atomisme logique (1918), affirmera l’existence de faits généraux et de faits négatifs, mais pas de faits disjonctifs.

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