Préambule

Les activités mathématiques plaisent et réussissent aux élèves les plus jeunes ; ils en acceptent volontiers le doute et l’incertitude lorsqu’il s’agit par exemple de résoudre un problème ou de se confronter à une énigme. C’est pour eux, parfois un défi, parfois un simple jeu de l’esprit qui s’accompagne toujours d’une dimension perceptive : les yeux et les mains sont aussi au travail !

En revanche, ces mêmes activités de résolution de problèmes rebutent une part non négligeable d’adultes, à moins de les proposer sous une autre dénomination : casse-têtes, défis, énigmes (si l’on en juge par leur succès en librairie). Les problèmes mathématiques sont certes des questions de nombres, de mesures ou de calculs, mais ils restent avant tout des problèmes, au sens ordinaire de la vie quotidienne. Leur dimension expérimentale, notamment en rapport avec les sens de la vue et du toucher, a disparu au fil d’une scolarité ayant progressivement éloigné les objets mathématiques de la réalité.

Dans cet ouvrage, je propose de reconsidérer la dimension expérimentale des mathématiques afin de tenter une réconciliation avec l’expérience réelle, notamment en situation de classe. Cette dimension perceptive, nécessaire à tous les élèves, me semble en effet particulièrement adaptée aux apprentissages de ceux qui sont en difficulté ou qui ont des besoins spécifiques. Elle peut constituer un levier de développement personnel pour les élèves, et professionnel pour les enseignants.

Expérimenter et manipuler, c’est en quelque sorte entretenir des relations avec des phénomènes et des faits appartenant à la réalité objective. Faire des paquets, remplir des récipients, construire des cubes, reproduire des figures, classer des objets selon leur forme sont autant de situations faisant appel à des connaissances mathématiques abstraites, dans un contexte bien réel.

Après quelques années d’enseignement dans des quartiers difficiles de la région lyonnaise1, je me suis rendu compte que la discipline que j’affectionnais particulièrement était finalement plus difficile à enseigner qu’à apprendre. Je rencontrais de nombreux élèves étiquetés « en difficulté scolaire » qui appréciaient pourtant cette discipline : ils aimaient faire des maths. En revanche, je me trouvais régulièrement dans l’impossibilité de comprendre les causes de leurs difficultés. Il me fallait alors chercher des détours, des méthodes ou des stratégies me permettant de mener à bien la mission qui m’était confiée : enseigner à tous et faire réussir tous les élèves. Je constatai qu’en adaptant les situations la plupart de mes élèves s’avéraient en mesure de dépasser leurs difficultés. Il s’agissait donc pour moi de trouver des situations adaptées, de réaménager parfois la programmation des contenus, de proposer des problèmes ayant du sens, des outils à leur mesure, des temps de travail variés, des dispositifs sociaux pertinents, du matériel ou des représentations à leur portée. Ces détours et ces adaptations avaient en commun un élément : leur ancrage didactique.

Quand je parle de didactique, je fais référence à l’étude des rapports entre l’enseignement et l’apprentissage dans la construction des connaissances. Ce domaine scientifique n’a rien de purement théorique : il est au service de la compréhension des phénomènes d’enseignement. Il est passionnant et incontournable pour tout professeur, qu’il exerce à l’école ordinaire ou dans l’enseignement spécialisé. L’un des objets de son étude est, par exemple, de comprendre et d’expliquer ce qui peut faire résistance à l’apprentissage d’une discipline. La didactique des mathématiques est complémentaire des autres approches incontournables que sont la psychologie, la pédagogie, les sciences du langage ou, plus récemment, les neurosciences. Toutes ces dimensions scientifiques permettent de lever le voile sur d’autres enjeux, inhérents à tout apprentissage. Elles utilisent toutefois des outils d’analyse différents, des cadres théoriques complémentaires et d’autres expérimentations. La didactique des mathématiques s’en inspire d’ailleurs bien souvent comme ne s’en cachent pas les auteurs des théories parmi les plus célèbres en ce domaine : Michèle Artigue, Guy Brousseau, Yves Chevallard, Gérard Vergnaud2.

Le processus enseigner/apprendre comporte des dimensions relationnelles, institutionnelles, affectives et sociales. La spécificité de la didactique des mathématiques est de rechercher constamment à outiller les enseignants de tous niveaux scolaires, à mieux comprendre comment les connaissances relatives à cette discipline peuvent être transmises aux élèves et comment ceux-ci se les approprient. Mon propos sera donc avant tout ancré dans cette science qui m’aura tant apporté comme enseignant, puis comme formateur et désormais comme professeur, notamment dans le cadre de l’analyse des difficultés d’apprentissage.

À travers mes différentes expériences, j’ai peu à peu découvert qu’il existait de nombreuses ressources pour affronter les problèmes professionnels qui se posent à celles et ceux qui souhaitent transmettre des connaissances mathématiques. Je me suis également souvent rendu compte que la difficulté ne devait pas se décréter trop vite, tant la diversité des chemins et des détours peut permettre de faire vivre le principe d’éducabilité, dans les cas parfois les plus « désespérés ». Loin de moi l’idée de nier le fait que les capacités des élèves varient, que tous ne sont pas égaux face aux apprentissages. Ce livre ne tente pas d’apporter la preuve que tout est possible avec tout élève dans n’importe quelle situation, il veut simplement permettre à ses lecteurs d’envisager toutes les ressources didactiques possibles pour aider les élèves à dépasser les difficultés qu’ils rencontrent. La complexité d’enseigner les mathématiques est passionnante, car c’est justement la diversité des découvertes didactiques, la surprise et l’inattendu dans les apprentissages des élèves qui forgent le bien-être professionnel d’un enseignant.

◗ Difficile de faire des mathématiques ?

À tort ou à raison, de nombreuses personnes pensent être en difficulté face aux mathématiques3. Une difficulté pouvant se traduire par une remarque telle que « je n’aime pas les maths ! » ou par une affirmation sans concession : « Les maths et moi, ça fait deux ! » Ce divorce peut concerner des publics très divers, qu’il s’agisse d’adultes, d’adolescents, d’élèves, et parfois même d’enseignants. L’aspect abstrait des contenus de la discipline, son éloignement des objets du monde réel, son langage formel si particulier, les raisonnements complexes qu’elle nécessite sont souvent cités comme des causes majeures de ces troubles. Il est souvent évoqué aussi « la faute à un professeur considéré comme particulièrement incompréhensif, rigide et formel » ne sachant pas répondre au besoin exprimé à la fin d’une leçon : « Je ne comprends rien, pouvez-vous encore m’expliquer ? »

De même, il n’est pas rare d’entendre dire que des élèves sont en difficulté en mathématiques (ils sont relativement nombreux si l’on se réfère à certaines études statistiques comme l’évaluation internationale PISA4). Au point que l’on en vienne à faire l’hypothèse que cela puisse relever d’une pathologie neurologiquement diagnostiquable. Des centres hospitaliers spécialisés proposent même aux parents de certains de ces jeunes enfants de tester leur potentiel à assimiler les connaissances mathématiques nécessaires à une scolarité normale. Et les listes d’attente sont longues… Ainsi, entend-on désormais régulièrement parler de dyscalculie, pathologie dont la définition reste relativement peu précise5 mais qui semble s’étendre quand même très rapidement au sein des communautés médicales, psychologiques et scolaires.

Il est également très complexe d’évaluer les connaissances mathématiques réelles des élèves, tant les procédés d’évaluation sont eux-mêmes soumis à de nombreuses variables et contraintes. Il est donc très difficile de savoir ce qu’un élève sait par la simple observation de ses performances. Il est encore plus incertain de savoir ce qu’il pourra vraisemblablement apprendre en le soumettant à des batteries de tests à des moments donnés précis mais limités dans le temps.

Ce sont ces raisons qui me poussent à appuyer le propos de ce livre sur quatre principes qui me sont chers. Je souhaite les présenter et les expliquer, avant d’engager la réflexion sur les difficultés que l’on rencontre tant dans l’enseignement que dans l’apprentissage en mathématiques. Les quatre maximes qui suivent se sont forgées au fil de mes expériences d’enseignant, de professeur pour les futurs enseignants et de formateur d’enseignants déjà en poste. Elles se veulent surtout « positives » dans leur statut afin de témoigner de mon espérance en la faculté de trouver des solutions à la délicate question des dysfonctionnements dans les processus d’enseignement et d’apprentissage en mathématiques. Et je ne dis volontairement pas « apprentissage des mathématiques », tant je suis de ceux qui prennent des précautions avant d’affirmer qu’il est possible de savoir si un élève est en train ou non de faire des mathématiques.

Principe 1 : Tous les élèves ont un potentiel pour apprendre en mathématiques.

Ce premier principe est directement inspiré de celui d’éducabilité cher à Philippe Meirieu. Il s’agit selon moi d’un postulat6 qui pourrait relever de l’éthique professionnelle d’un enseignant. Je ne me retiens donc pas de le citer : « L’affirmation de l’éducabilité de l’autre est aussi, paradoxalement, un signe de modestie : elle interdit d’obturer définitivement son avenir en le condamnant à n’en faire qu’une duplication de son passé ; elle laisse ouverte la possibilité d’un changement, d’une réussite, d’une rédemption, dont nous savons bien, dans le registre de l’humain, qu’ils peuvent toujours advenir » (Meirieu).

Ainsi, dire que tous les élèves ont des aptitudes et un potentiel à comprendre et apprendre les mathématiques est une forme d’affirmation a priori de l’éducabilité. Ce positionnement permet avant tout de se tenir à l’écart d’une trop hâtive assertion de difficulté. À la lumière de mes expériences d’enseignant, ceci me paraît important pour une saine relation pédagogique avec tous les élèves.

« Le regard porté sur celui qui apprend comme sur celui qui n’y parvient pas se doit d’être le même, toujours confiant dans la réussite. »

La potentialité de tout élève à apprendre les mathématiques peut et doit s’entretenir à l’école. Ce sont notamment mes expériences menées et observées pendant une dizaine d’années dans l’enseignement spécialisé qui ont construit peu à peu mais solidement ce principe. À plusieurs reprises, des enseignants m’ont, par exemple, rapporté leur surprise face aux découvertes de leurs élèves, leur étonnement face à l’engagement des enfants dans la résolution de certains problèmes. Mais d’où venaient ces soudaines réussites ? Parfois de quelques adaptations simples mais judicieuses dans les situations proposées : l’ajout d’un élément matériel, la modification d’une consigne, la stimulation par un défi.

On peut donc penser que les aptitudes des élèves sont parfois sous-estimées, en « dormance » dans l’attente d’un révélateur. Elles ne s’expriment qu’au détour d’un chemin, de façon parfois non prévisible. Il est primordial de faire le pari de cette potentialité chez tous les élèves.

Mais la potentialité n’est rendue visible que par son expression, sa preuve en quelque sorte : il faut que les élèves fassent des mathématiques pour prouver qu’ils savent en faire. Ici réside l’un des problèmes de l’enseignement spécialisé ou plus globalement de l’enseignement avec des élèves ayant des besoins spécifiques. On peut en effet se demander si ces élèves ont réellement et suffisamment l’occasion de faire preuve de leurs aptitudes dans un contexte où leurs connaissances sont en quelque sorte niées. La tentation est grande de diminuer ses exigences en termes de contenus7 pour un enseignant qui exerce son métier avec des élèves qui ne sont pas à même de montrer ce qu’ils savent ou pour le moins ce qu’ils sont capables d’apprendre.

Principe 2 : Les mathématiques sont une science expérimentale.

Souvent exclues de la catégorie des sciences expérimentales que sont la physique et la biologie, les mathématiques sont parfois présentées comme une science abstraite. Un domaine ayant un langage très formel traitant d’objets n’ayant aucun lien avec la réalité. La possibilité de faire des expériences serait donc réservée à des activités scientifiques proches de la nature, donc éloignées des mathématiques. Pourtant, dès l’école maternelle, on peut présenter aux élèves cette discipline comme une science d’observation, de manipulation avant même d’en faire une science plus abstraite de réflexion. On peut faire observer l’ajout ou le retrait d’éléments d’une collection, trier des objets selon leur forme, se déplacer dans l’espace environnant selon un plan, écrire des nombres en utilisant un boulier, classer des objets selon leur grandeur, utiliser des instruments pour vérifier ses hypothèses. Autant d’activités utilisant des connaissances mathématiques (des savoirs, des savoir-faire et des savoir-être) qui comportent une dimension expérimentale indiscutable. Au-delà même de la simple manipulation, ces actions possibles sur les objets de savoir peuvent également permettre des mises en question, des hypothèses et leurs vérifications, des preuves par l’expérience.

En mathématiques, on peut faire des découvertes par l’expérience à l’école : l’expérience des choses, des expériences sur les choses ou des expériences de pensée. C’est une discipline dans laquelle il n’est pas interdit de remettre en question des vérités et des certitudes. « Deux et deux font quatre » entend-on chanter. Mais deux et deux font-ils toujours et irrémédiablement quatre ? Pas si sûr ! Le résultat de l’opération qui consiste à réunir deux collections de deux objets peut effectivement nous conduire à écrire le symbole 4. Mais cela correspond à un choix relatif à la base dix dans laquelle nous nous exprimons le plus souvent. En changeant par exemple ce choix et en utilisant la base trois (c’est-à-dire que chaque fois que nous avons 3 objets nous faisons un paquet) le résultat de l’addition s’écrit 11 qu’il faut prononcer autrement que onze8.

Comme j’essaie de le montrer depuis plusieurs années, les mathématiques ont une dimension expérimentale qu’il est bénéfique d’utiliser pour les enseigner. Puisqu’expérimenter nécessite des idées, des questions, des objets, des instruments et des connaissances, il paraît évident que tous ces éléments nous rapprochent de la démarche scientifique. Une méthode notamment développée et expliquée par le projet « La main à la pâte ». Cette démarche, plus connue aujourd’hui sous le terme de démarche d’investigation, est très largement promue par de nombreuses institutions scolaires dans le monde. Les attitudes et les savoir-faire qu’elle permet de favoriser chez les élèves sont particulièrement adaptés aux mathématiques : observer et questionner, décrire et comprendre, valider et prouver. L’enjeu est de taille : en inscrivant les mathématiques dans les sciences expérimentales, on peut montrer leur utilité à décrire et comprendre le monde qui nous entoure !

Principe 3 : Faire des mathématiques, c’est aussi agir, discuter, penser.

Bien souvent, l’activité mathématique est présentée et représentée par une série de caricatures ou d’images fortes : compter, calculer, démontrer. On y associe très régulièrement des représentations négatives :

dire très rapidement des choses incompréhensibles à cause des signes utilisés et de leur grammaire obscure ;

faire des calculs inutiles, longs et rébarbatifs ;

procéder à de longues réflexions qui ne servent à rien dans la vie de tous les jours.

Mais faire des mathématiques c’est également parler, décrire, désigner, formuler, échanger, convaincre, ce qui va au-delà de la pratique d’un langage savant, consistant à connaître et utiliser des signes abstraits. À l’école, on apprend à faire des mathématiques en en faisant. C’est une formation d’apprentis : les élèves doivent apprendre à utiliser des outils pour bâtir, pour construire ou résoudre des problèmes sous un œil expert. L’œil expert, c’est celui du professeur. Mais l’élaboration laborieuse se fait également en situation de classe avec d’autres apprentis qui sont susceptibles de comparer et de confronter leurs propres travaux. De ce fait, les pratiques mathématiques de l’élève ne se résument ni ne se mesurent au nombre d’opérations posées, ni à la quantité de lignes d’écritures comportant des signes et autres symboles liés au langage de la discipline.

Dire de quelqu’un qu’il ou elle fait des mathématiques est d’ailleurs toujours un peu un pari ! En effet, faire des mathématiques consiste essentiellement pour un individu à pratiquer une activité de pensée très internalisée. Réfléchir, mémoriser, mettre en lien, raisonner. De ces pensées animées de l’élève, un observateur extérieur n’aura que quelques traces : des écrits et des mots prononcés qui ne témoignent que partiellement de sa pratique mathématique.

Principe 4 : Il est plus difficile d’enseigner les mathématiques
que de les apprendre.

C’est à l’issue de mes expériences professionnelles que j’ai peu à peu construit ce positionnement didactique. Les difficultés rencontrées dans le processus enseigner/apprendre (que l’on retrouve exacerbées dans l’éducation dite spécialisée) peuvent très souvent renvoyer à des problèmes d’enseignement. Finalement, les mathématiques sont peut-être plus difficiles « à faire apprendre » qu’à apprendre.

Prenons par exemple une relation géométrique assez élémentaire comme la symétrie. On peut être rapidement convaincu que des enfants, dès leur plus jeune âge, sont susceptibles d’en appliquer les propriétés en jouant devant un miroir, par exemple. Pour autant, cette relation pose un très grand nombre de questions à qui veut l’enseigner :

À partir de quel âge peut-on faire découvrir la symétrie ?

Doit-on faire réaliser des expériences avec un miroir avant de demander aux enfants d’exécuter des exercices de tracé ?

Doit-on proposer des exercices avec des axes de symétrie qui ne sont pas verticaux et pourquoi ?

Faut-il traiter la symétrie axiale avant la symétrie centrale ? Quelle(s) différence(s) épistémologique(s) existe-t-il entre ces deux transformations ?

À partir de quel moment peut-on nommer les propriétés de cette relation ?

Faut-il enseigner la notion de perpendicularité avant celle de la symétrie ? Etc.

Comme on le voit dans cet exemple sur la symétrie, il existe beaucoup plus de difficultés préalables à l’enseignement d’une notion qu’à son apprentissage en mathématiques. Dans cette discipline, le point le plus délicat n’est pas la quantité de connaissances (il n’y en a pas plus en mathématiques qu’en histoire par exemple). La problématique consiste plutôt à être capable de les mettre en lien, de les utiliser à bon escient, de les exhiber au moment voulu. On voit que la réussite dépend très largement de la qualité de son enseignement.

Ces questions professionnelles sont particulièrement importantes pour les enseignants qui travaillent avec des élèves ayant des besoins spécifiques. Il est en effet très difficile pour ces enseignants de repérer les connaissances mathématiques acquises par leurs élèves, celles qui ne le sont pas et celles qui pourraient l’être. Ils n’ont accès qu’à ce que les élèves veulent bien montrer par leurs pratiques : ce qu’ils disent, ce qu’ils écrivent en mathématiques. Il en va de l’orientation et plus généralement de la place des enfants dans le système scolaire.

Une difficulté importante concernant l’enseignement des mathématiques tient aussi au choix de la démarche à mettre en œuvre. Si tout le monde s’accorde à dire que la résolution de problèmes est une démarche fondamentale dans l’apprentissage des mathématiques, il faut cependant, pour cela, présenter aux élèves des situations antagonistes (inattendues, contraires à ce que l’on croyait auparavant, non résolubles dans l’instant). Même si la plupart des professeurs sont bien convaincus de l’utilité de cette façon de faire acquérir des savoirs, cette démarche conduit à une sorte de prise de risque qu’il faut assumer. Prise de risque consistant à provoquer des débats dans la classe qu’il faut pouvoir contrôler, à entraîner des déséquilibres cognitifs (voir cette notion avec Jean Piaget ci-après), à accepter l’erreur provisoire (stratégie de l’essai-erreur), à cultiver le doute et l’incertitude, essence même de la résolution de problèmes.

Bien entendu, il existe également de nombreuses difficultés d’apprentissage qu’il ne faut pas dénier. Par exemple, que l’on se réfère à Gaston Bachelard ou à Jean Piaget9, on sait que le processus de construction des connaissances scientifiques passe par une phase de déséquilibre (Piaget), moment pendant lequel l’élève doit en quelque sorte apprendre contre une connaissance antérieure (Bachelard). Il en résulte que certains savoirs mathématiques sont difficiles à appréhender.

« À titre d’exemple, n’apprend-on pas aux élèves pendant de très nombreuses années que le plus petit des nombres est zéro ? Quelle drôle de rencontre font-ils alors lorsqu’il s’agit pour eux d’utiliser des nombres négatifs… »

Il n’y pas lieu de laisser croire qu’il est difficile de faire des mathématiques a priori. Faire des mathématiques n’est pas simple, mais cela consiste à rechercher la simplicité en faisant un certain nombre de découvertes (les résultats des problèmes posés, par exemple). Elles peuvent être jubilatoires, comme on l’entend à l’issue d’une recherche mathématique en classe ou en formation : « Ah mais oui, c’était tout simple finalement ! »

Rechercher l’exhaustivité de la liste des difficultés d’enseignement et d’apprentissage serait un pari impossible pour cet ouvrage. La très grande diversité des contextes scolaires impose la prudence et la retenue face à une trop rapide généralisation. Il n’y a pas d’élève générique, qu’il soit en situation de réussite ou d’échec à l’école. De la même façon, on ne peut pas caractériser tel ou tel contexte d’enseignement sans tenir compte de ses spécificités. Ainsi deux classes de même niveau scolaire ou deux dispositifs identiques de l’enseignement spécialisé peuvent être extraordinairement différents : des variations selon le lieu où ils se trouvent, selon le nombre d’élèves, le vécu de l’enseignant qui en a la responsabilité, etc. J’ai donc choisi de présenter quelques-unes de ces difficultés, celles qui me semblent les plus fréquentes et les plus significatives dans le but d’aider à leur compréhension. Pour les classer, j’ai privilégié ma définition personnelle de l’activité mathématique à l’école : chercher, tracer, dire, raisonner. Ces quatre entrées permettront de présenter quelques détours possibles sous la forme de séquences didactiques ou de simples activités de classe, en regard des difficultés citées.

Partie 1

Chercher en mathématiques

Partie 2

Dessiner et tracer en mathématiques

Partie 3

Dire, écrire et représenter en mathématiques

Partie 4

Raisonner en mathématiques

Épilogue

Le recours à la manipulation, dans la construction des connaissances scientifiques à l’école, n’est pas une idée neuve. Elle a été envisagée à de multiples reprises, notamment par des pédagogues célèbres : Montessori, Freinet, Pestalozzi, etc. Tous avaient déjà insisté pour que les élèves soient mis dans des situations d’apprentissage privilégiant l’action sur les choses du réel, quelle que soit la discipline scientifique concernée. Le choix des outils et du matériel mis à disposition des élèves devenait alors extrêmement important sur le plan pédagogique.

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