Mickaël Launay

Le théorème du parapluie

Illustrations de Chloé Bouchaour

Flammarion

© Flammarion, 2019.

ISBN Epub : 9782081430631

ISBN PDF Web : 9782081430648

Le livre a été imprimé sous les références :

ISBN : 9782081427525

Ouvrage composé et converti par Pixellence (59100 Roubaix)

Présentation de l'éditeur

VOUS NE VERREZ PLUS LE MONDE DE LA MÊME MANIÈRE !

Savez-vous que le 34 avril est un jour très utile ? Que certains fleuves coulent de bas en haut ? Que la Lune tourne en ligne droite ? Que la couverture de ce livre est peut-être rouge ? Et que tout en lisant ces quelques lignes vous voyagez à la vitesse de 300 000 kilomètres par seconde ?

Ces affirmations peuvent vous sembler absurdes, et pourtant elles sont vraies !

Notre perception du monde est parfois trompeuse. En science, le réel bouscule nos préjugés et ne cesse de remettre en cause nos plus intimes convictions. Il ne s’agit pas toujours d’être plus intelligent pour répondre aux grandes questions : il faut avant tout être astucieux. Un simple changement de point de vue suffit parfois à éclairer les phénomènes les plus complexes. Les mathématiques en particulier nous offrent un outil puissant pour comprendre les rouages de l’Univers. Elles nous apprennent à penser plus large pour comprendre plus loin.

C’est ce que nous montre ici Mickaël Launay, à travers un voyage passionnant qui commence dans les allées des supermarchés et s’achève dans les profondeurs vertigineuses des trous noirs.

Ah, et il reste une dernière question : quel est le rapport entre tout cela et un parapluie ?

MICKAËL LAUNAY est mathématicien. Après des études à l’École normale supérieure, il s’est spécialisé dans la vulgarisation scientifique, notamment à travers sa chaîne YouTube Micmaths (420 000 abonnés). Il est l’auteur du Grand roman des maths (Flammarion, 2016) qui a obtenu de nombreux prix et a été traduit en 15 langues.

Du même auteur

52 semaines de défis mathématiques, coécrit avec D. Souder, Éditions Pole & CRDP, collection « À vous de jouer », 2002.

L’Affaire Olympia, Éditions Le Pommier, collection « Roman & plus junior », 2013.

Le grand roman des maths, Flammarion, 2016 ; J’ai lu, 2018.

Le théorème du parapluie

Illustrations de Chloé Bouchaour

Introduction

En 1980, des enseignants de l’Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques de Grenoble posent à un groupe d’enfants l’énigme suivante :

Sur un bateau, il y a 26 moutons et 10 chèvres ; quel est l’âge du capitaine ?

La question est étrange. Qu’est-ce que l’âge du capitaine peut bien avoir à faire avec un nombre de moutons et de chèvres ? Sur près de deux cents élèves de sept à huit ans interrogés, ils sont pourtant 75 % à apporter une réponse sans exprimer de doute. Beaucoup font une addition et obtiennent 36. Mais lorsque le même test est proposé à des enfants âgés de neuf à dix ans, la plupart se mettent à protester, voire à refuser de répondre. Seuls 20 % répondent sans réserve. En deux ans, leur esprit critique s’est affiné. Ces enfants ont gagné en perspicacité et ont su prendre du recul sur le sens de ce qu’ils font.

Lorsque j’avais leur âge, je dois avouer que j’éprouvais un certain plaisir aux énigmes à pièges. Celles qui provoquent votre cerveau et qui, dans le fond, sont davantage des blagues que des problèmes de maths. Une de mes préférées était la suivante :

Un orchestre de 50 musiciens joue la Symphonie no 9 de Beethoven en 70 minutes. En combien de temps un orchestre de 100 musiciens jouera-t-il cette même symphonie ?

Bien sûr, la durée d’une symphonie ne dépend pas du nombre de musiciens, 70 minutes restent 70 minutes. J’aimais aussi particulièrement celle-ci : quel est le plus lourd entre un kilo de plumes et un kilo de plomb ? Aucun des deux, bien sûr, puisqu’ils pèsent le même poids : un kilo.

Ce que j’ignorais à l’époque, c’est que ce processus d’apprivoisement du sens des choses pouvait mener bien plus loin que ce que j’imaginais. Plus j’avançais, plus je découvrais de subtilités sur le sens des mots et de failles dans ma compréhension du monde. Bien sûr, adulte on ne tombe plus dans les mêmes pièges que les enfants. Mais ce serait une erreur de croire que nous sommes à l’abri de tous les autres biais qui nous guettent. Nos intuitions peuvent nous tromper et nos évidences sont parfois fausses. Je crois pouvoir dire à 35 ans que, depuis mon cours élémentaire, il ne s’est pas passé une année de ma vie sans que je réalise que je pensais de travers des choses que je croyais bien savoir.

À vouloir comprendre le monde, à être curieux de l’univers qui nous entoure, on s’expose à être bousculés. Dans le fond, les grands savants de notre histoire n’ont rien fait d’autre que ce qu’ont fait ces enfants ayant appris à refuser de donner l’âge du capitaine. Ils ont douté de ce qu’ils avaient sous leurs yeux et ont cherché à voir plus loin. Ils se sont révoltés contre l’ordre établi. La science est un merveilleux terrain de remise en question et les mathématiques en sont l’un des plus puissants outils.

Faire des mathématiques, c’est entrer dans les coulisses du monde. C’est se glisser dans l’arrière-scène pour observer les gigantesques rouages qui font tourner notre univers. Le spectacle en est éblouissant, mais il est perturbant. Le réel défie nos sens et notre intuition. Il n’est pas celui que nous croyions. Il renverse nos a priori et balaye nos plus intimes évidences. Les détails les plus anodins peuvent cacher de grands mystères et les énigmes pour enfants peuvent parfois se révéler bien plus profondes qu’il n’y paraît.

Tenez, une autre :

Si quatre poules pondent quatre œufs en quatre jours, combien d’œufs pondront huit poules en huit jours ?

Je vous laisse y réfléchir, nous y reviendrons. Tout ce que je peux vous dire, c’est que lorsque je découvrais pour la première fois cette énigme à dix ans, j’étais bien loin d’imaginer qu’elle m’aiderait un jour à comprendre la plus célèbre formule de tous les temps.

Alors, si vous voulez bien me suivre un instant, je vous propose de partir à l’aventure. Il se peut qu’il y ait quelques moments difficiles, on ne change pas sa façon de penser en un claquement de doigts. Il y aura des doutes à surmonter et des pensées à laisser mûrir. Mais tenez bon, le plaisir de comprendre récompense mille fois l’effort qu’on y consent. Derrière cette page débute notre voyage en mathématiques, à la découverte de quelques-uns des plus beaux mécanismes cachés de notre monde. Levez un instant les yeux et observez le décor qui vous entoure : il se peut qu’après notre excursion, vous ne voyiez plus l’univers, votre univers, de la même manière.

Partie I

La loi des supermarchés

La loi des supermarchés

Les voyages en mathématiques commencent parfois dans les endroits les plus anodins.

Pour notre départ, je vous propose de nous retrouver au supermarché du coin. Vous en avez un pas loin de chez vous. Celui dans lequel vous avez vos habitudes fera l’affaire. Que ce soit un gigantesque centre commercial ou une supérette de village, peu importe ; pourvu qu’on y trouve raisonnablement la variété des produits élémentaires dont on a besoin au quotidien.

L’ambiance est routinière. Vous êtes déjà venu ici des centaines, peut-être des milliers de fois. Les rayons parallèles, les étagères métalliques, le rythme régulier des codes-barres bipés en caisse et les clients qui déambulent en attrapant machinalement une bouteille de lait ou quelques boîtes de conserve. Mais aujourd’hui, pas de courses pour nous. Nous sommes en mission d’observation.

Dans cet endroit se cache l’une des pépites mathématiques les plus intrigantes qui soit. Elle est là, sous vos yeux, depuis toutes ces années. Pas même dissimulée, vous la voyez à cet instant précis. Une petite anormalité. Un de ces détails de rien du tout qui vous passent sous le nez, l’air de rien, mais qui peuvent pourtant éveiller la suspicion d’observateurs aux aguets. Sortez un carnet ou votre smartphone pour prendre quelques notes et commençons notre enquête.

Regardez les prix qui s’alignent les uns derrière les autres, à pleine étendue d’étagères. 2,30 euro… 1,08 euro… 12,49 euro… 3,53 euro… Tous ces nombres semblent parfaitement aléatoires quand on les lit rapidement les uns après les autres. 1,81 euro… 22,90 euro… 0,64 euro… La gamme des prix va de quelques centimes à quelques dizaines d’euros. Mais nous n’allons pas nous focaliser sur les détails. Oubliez les virgules et les petits chiffres. Pour chaque prix, regardez uniquement le premier chiffre, le plus important, celui qui donne une idée approximative.

Voici une conserve de 530 grammes de choux de Bruxelles à 1,54 euro. Sur votre carnet, vous notez 1. Un peu plus loin, un déodorant efficacité 24 heures à 3,53 euro. Vous notez 3. Un camembert de 250 grammes à 1,81 euro. Vous notez à nouveau 1. Une poêle antiadhésive à 45,90 euro, cette fois, on a dépassé la dizaine, mais peu importe, nous nous concentrons uniquement sur le premier chiffre. Vous notez 4. Un paquet de cacahuètes grillées à 0,74 euro. Cette fois le premier chiffre significatif est 7.

Nous déambulons quelques minutes au hasard et les chiffres s’accumulent. 1 3 1 4 7 9 2 2 1 7 9 8 1 1 3 1 1 1 8 1 1 2 1 2 1 1 9 1 4 7 1 6 1 5 9 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 6… Mais à mesure que vous notez, un léger doute s’installe. Ne trouvez-vous pas qu’il y a quelque chose qui cloche dans cette guirlande de chiffres ? Il y a comme un déséquilibre. Elle est majoritairement composée de 1 et de 2 parsemés de quelques 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 par-ci par-là. Comme si, sans nous en rendre compte, notre attention était naturellement attirée par les prix les plus bas. Il y a un problème.

Alors comportons-nous en statisticiens consciencieux. Prenons désormais garde à nos propres biais et optons pour une méthode systématique. Nous allons choisir plusieurs rayons au hasard et pour chacun d’entre eux, nous relèverons les prix de tous les produits, sans exception. C’est du boulot, mais il faut en avoir le cœur net.

Une heure plus tard, votre carnet est recouvert de chiffres en farandole qui défilent sur plusieurs pages. Il est temps de faire le bilan. Après comptage, le verdict est sans appel et la tendance s’est confirmée. Vous avez listé les prix de plus de mille produits et près d’un tiers d’entre eux commence par un 1 ! Plus d’un quart commence par un 2 et plus le chiffre est grand, moins il est représenté.

Après compilation, voici la répartition à laquelle nous arrivons11.

Cette fois, plus question de croire à un simple effet du hasard ou à un choix biaisé des produits. Il faut nous rendre à l’évidence, c’est un fait : les premiers chiffres des prix d’un supermarché ne sont pas équitablement distribués. Les petits chiffres ont un avantage franc et massif.

D’où vient ce déséquilibre ? Voilà la question que je voulais vous poser. À quelle loi des supermarchés, du commerce ou de l’économie, ces étiquettes obéissent-elles pour aboutir à cet étrange résultat ? Pourquoi les premiers chiffres de ces prix ne se répartissent-ils pas équitablement ? Les mathématiques ne sont-elles pas censées donner des importances égales à tous les chiffres ? Elles devraient être sans biais, sans préférences, sans favoris. Et pourtant, les faits sont là et affirment catégoriquement le contraire. Au supermarché, les maths ont leurs chouchous et ils se nomment 1 et 2.

Nous avons observé. Nous avons constaté. Maintenant il va nous falloir réfléchir, analyser et décortiquer. Nous avons nos faits, à nous de mener l’enquête et de rendre nos conclusions.

En mars 1938, l’ingénieur et physicien états-unien Frank Benford publia The Law of Anomalous Numbers (La Loi des nombres anormaux), un article dans lequel il analyse des données numériques issues de plus de vingt mille observations d’origines variées. Dans ses tableaux, on trouve une liste de longueurs de fleuves du monde, les populations de différentes villes américaines, les mesures de la masse des atomes connus, des nombres trouvés au hasard dans les pages de journaux d’information ou encore des constantes mathématiques. Et sur toutes ces données, Benford fait à chaque fois la même observation que nous : les premiers chiffres ne sont pas répartis équitablement. Environ 30 % de ces nombres commencent par un 1. Ils sont 18 % à commencer par un 2. Et le pourcentage s’en va décroissant jusqu’au chiffre 9 qui ne débute qu’à peine 5 % de ces valeurs.

Benford n’a pas eu l’idée d’aller vérifier ses statistiques sur les prix de son supermarché. Mais vous avouerez que ses résultats ressemblent très étrangement aux nôtres. Bien sûr, il y a quelques variations dans les pourcentages mais, dans les grandes lignes, la comparaison est frappante.

L’étude de Benford montre que les données que nous avons recueillies ne sont pas isolées. Elles ne sont pas spécifiques au fonctionnement des supermarchés, mais s’inscrivent dans une tendance bien plus vaste. Après 1938, la même répartition fut observée par de nombreux scientifiques dans des situations de plus en plus extrêmes et diverses.

En démographie, par exemple. Parmi les 203 pays que compte la planète Terre, 62 d’entre eux, soit 30,5 %, ont une population dont le premier chiffre est un 1. À commencer par le plus peuplé : la Chine, avec 1,4 milliard d’habitants. Dans les 62, on trouve également le Mexique, 122 millions d’habitants, le Sénégal, 13 millions ou encore l’archipel du Tuvalu, 10 800. Il n’y a en revanche que 14 pays dont la population commence par un 9, soit 6,9 %.

Vous préférez l’astronomie ? Des huit planètes qui gravitent autour du Soleil, quatre ont un diamètre équatorial commençant par un 1. Jupiter 142 984 km. Saturne 120 536. La Terre 12 756. Vénus 12 104. Le Soleil lui-même a un diamètre de 1 392 000 km. Et si un échantillon de neuf astres n’est pas assez complet pour avoir une tendance fiable, ajoutez les planètes naines, les satellites, les astéroïdes ainsi que les comètes, et vous ferez toujours la même constatation : le chiffre 1 l’emporte.

Dès que l’on commence à y prêter attention, les exemples se mettent à pleuvoir. Prenez une liste de nombres issue de n’importe quel contexte, analysez ses premiers chiffres et ça ne manque pas : la répartition de Benford revient, encore et toujours. Loin d’être une exception, cette loi statistique semble parfaitement naturelle et omniprésente. Et paradoxalement, la répartition équitable qui aurait pu nous paraître plus intuitive semble complètement absente du monde.

À cette échelle, il n’est plus question de parler de curiosité de supermarché. Ce que nous venons de mettre au jour est une véritable loi qui règle non seulement de nombreux domaines des activités humaines, mais aussi la nature elle-même, dans son organisation la plus intime. La comprendre, c’est comprendre quelque chose de profond sur notre monde et son fonctionnement.

Son influence est si puissante que nous la reproduisons sans même en avoir conscience. Les êtres humains qui fixent les prix des supermarchés ne se concertent pas entre eux, et n’ont pour la plupart jamais entendu parler de Frank Benford. Et pourtant, sans le savoir, comme manipulés par une force qui les dépasse, ils se soumettent à sa loi. Comme le font le nombre d’habitants des pays, la longueur des fleuves et le diamètre des planètes.

En 1938, Frank Benford appela cette répartition la « loi des nombres anormaux ». Pourtant, cette loi est si omniprésente que ce nom semble inadapté. L’anormalité n’est que subjective, elle n’existe que pour les humains qui s’en étonnent. La nature au contraire semble trouver cette loi parfaitement commune. La loi n’est anormale que tant que nous ne l’avons pas comprise. Et nous avons bien l’intention de la comprendre.

Alors dans quelle direction partir ? Par quel trajet entraîner nos pensées pour lever le voile sur l’anormalité et changer le mystère en évidence ?

La loi de Benford n’est pas compliquée à comprendre, mais son explication ne tient pas en quelques lignes pour autant. Les mathématiques qui se cachent derrière sont simples, mais profondes. Nous ne sommes pas en face d’une énigme à laquelle on apporte une solution que l’on comprend après un déclic et qui nous fait nous exclamer : « Ah ! Ça y est, je l’ai ! » C’est notre compréhension même des nombres et notre façon de compter qu’il va falloir révolutionner. Si la loi de Benford ne nous apparaît pas évidente, c’est parce que nous pensons mal. Nous allons devoir apprendre à regarder différemment ce que nous croyons déjà bien connaître. Nous allons devoir nous remettre en question.

On ne sort pas indemne d’une excursion dans le monde que Frank Benford vient d’ouvrir devant nous. Sa loi vous change. Et lorsque vous l’aurez comprise, vous ne penserez plus de la même manière.

La pensée multiplicative

De nombreuses situations de la vie de tous les jours nous murmurent discrètement que nous nous débrouillons mal avec les nombres. Qu’il y a quelque chose qui cloche.

À ce propos, j’ai une petite anecdote.

Il y a quelques années, lors d’une soirée jeux entre amis, l’un d’entre eux avait eu l’idée de nous concocter un quiz de culture scientifique. Deux équipes s’étaient formées et nous devions répondre à une série de questions sur des thèmes allant des mathématiques à la géologie, en passant par la biologie ou l’informatique. À chaque question, l’équipe devait faire une proposition et la plus proche de la bonne réponse remportait le point. La règle semblait simple et sans ambiguïté. Et pourtant, après quelques tours de jeu, une question d’astronomie créa une polémique inattendue.

On nous demandait quelle était la distance entre la Terre et la Lune.

Dans notre équipe, personne ne connaissait la réponse exacte, mais après concertation, nous nous étions mis d’accord pour répondre 800 000 km. Dans l’équipe adverse, les négociations avaient eu l’air plus tendues, mais au bout d’un moment, ils avaient annoncé leur réponse : 10 km !

Visiblement, ceux-là s’y connaissaient encore moins que nous en astronomie. Le plus haut sommet du globe, l’Everest, culmine à près de 9 km. Si la Lune n’était qu’à 10 km, il suffirait de le gravir pour quasiment pouvoir toucher notre satellite. Cette réponse était absurde. Le point pour notre équipe me semblait dans la poche.

Pourtant, la vérification s’avéra pour le moins déconcertante. La Lune se situe en réalité à 384 000 km de la Terre. Une simple soustraction nous indiqua donc que nous nous étions trompés de 416 000 km, tandis que l’équipe adverse ne s’était trompée que de 383 990 km.

Je clignais des yeux et refaisais le calcul de tête une seconde fois. Pas d’erreur. J’admets avoir même griffonné un petit schéma sur une serviette en papier pour achever de me convaincre.

Il n’y avait pas de doute : leur réponse était plus proche de la réalité que la nôtre. Ils avaient gagné. Pendant plusieurs minutes, je ne pus m’empêcher de tourner et retourner le calcul dans ma tête, mais rien à dire. Les mathématiques étaient formelles.

Pourtant, ne trouvez-vous pas qu’il y a quelque chose d’injuste dans cette situation ? Tant pis si je passe pour un mauvais joueur, mais n’avez-vous pas l’impression que, malgré le verdict de la soustraction, notre réponse était plus judicieuse, plus réfléchie et, d’une certaine façon, moins fausse que celle de l’autre équipe ?

Mais pourquoi, dans ce cas, les mathématiques semblent-elles nous dire le contraire ? Pourquoi les calculs tranchent-ils en faveur de la réponse qui est manifestement la moins pertinente ?

Ou peut-être serait-il plus humble de reposer la question différemment : avons-nous bien compris les mathématiques que nous utilisons ? Les mathématiques ne se trompent pas, mais les humains qui s’en servent peuvent parfois les utiliser de manière inappropriée.

Si on prend la peine de creuser un peu, il est possible d’imaginer de nombreuses situations similaires. Un chat mesure en moyenne 25 cm et un labrador moyen 60 cm. Certaines bactéries mesurent un millième de millimètre. Il est donc possible d’affirmer qu’en taille, un chat est plus proche d’une bactérie que d’un labrador. Il y a environ 25 cm d’écart entre le chat et la bactérie, alors qu’il y a 35 cm entre le chat et le chien.

Mais encore une fois, ce verdict des nombres est contraire à notre perception naturelle de la réalité. Le chat et le chien appartiennent au même monde. Ils peuvent jouer ensemble, ou du moins interagir. Ils se voient, ils se sentent, ils savent mutuellement qu’ils existent. Au contraire, les chats, quand ils n’ont pas étudié la science, n’ont aucune idée de l’existence des bactéries. Ces dernières ne font pas partie de leur monde, elles sont si petites qu’elles ne leur sont ni visibles ni concevables.

Par des raisonnements similaires, il est possible de multiplier les exemples, tous aberrants à l’intuition, mais pourtant exacts mathématiquement. La température à la surface du Soleil est plus proche de 5 °C que de 15 000 °C. La population de Paris est plus proche de celle d’un village de 12 habitants que de celle de New York. Si vous pesez la planète Mars, vous trouverez que sa masse est plus proche de celle d’une balle de ping-pong que de celle de la planète Terre.

Comme pour la loi de Benford, si ces situations heurtent notre compréhension, c’est parce que nous pensons de travers. Parce que nous utilisons des outils mathématiques que nous ne comprenons pas bien dans un contexte où ils ne sont pas appropriés.

Comment, alors, mettre ces réflexions intuitives en mathématiques ? La réponse se trouve dans la notion subtile d’ordre de grandeur.

L’idée de base est simple, mais redoutablement puissante. Réfléchir en ordre de grandeur, c’est réfléchir avec des multiplications plutôt qu’avec des additions.

Si vous voulez comparer les nombres 2 et 10, vous pouvez le faire de deux façons différentes. Additivement : combien faut-il ajouter à 2 pour obtenir 10 ? Alors la réponse est 8. Multiplicativement : par combien faut-il multiplier 2 pour obtenir 10 ? Alors la réponse est 5. L’écart additif entre deux nombres s’obtient par soustraction : 10 – 2 = 8. L’écart multiplicatif s’obtient par division : 10 ÷ 2 = 5.

Dire que deux quantités sont du même ordre de grandeur, c’est dire qu’elles sont proches d’un point de vue multiplicatif.

Même si l’idée peut sembler farfelue au premier abord, quiconque commence à réfléchir de façon multiplicative se rend rapidement compte à quel point cette approche adhère bien mieux à notre intuition dans un grand nombre de situations ordinaires.

Revenons à notre quiz scientifique. Voilà comment j’aurais pu contester le gain du point, à l’époque, si j’avais eu les idées claires. La Lune se trouve à 384 000 kilomètres de la Terre et notre équipe avait répondu 800 000, c’est-à-dire environ deux fois trop. Si on fait la division, on trouve précisément que notre réponse était 2,08 fois trop grande. Nos adversaires, eux, avaient répondu 10 km, c’est-à-dire 38 400 fois moins que la bonne réponse ! En adoptant ce point de vue, c’est bien nous qui avions gagné, et de loin. Ce résultat est bien plus conforme à notre perception spontanée de la question.

Il en va de même pour tous les exemples précédents. Multiplicativement, la taille du chat est plus proche de celle du chien que de celle de la bactérie, la masse de Mars plus proche de celle de la Terre que de celle d’une balle de ping-pong, la population de Paris plus proche de celle de New York que celle d’un petit village, et ainsi de suite.

Lorsque nous comparons deux nombres, quel que soit le contexte dans lequel cette comparaison survient, c’est la plupart du temps multiplicativement que nous allons réfléchir spontanément. Si votre supermarché augmente de 8 euro un produit qui coûte 200 euro, sans doute la hausse vous contrariera-t-elle, mais bien moins que si ces mêmes 8 euro sont ajoutés à un produit de 2 euro. Dans ce second cas, le prix passe à 10 euro, se retrouvant multiplié par 5 ! Ce n’est plus une contrariété, c’est une escroquerie. Pourtant, l’augmentation est la même.

Ce mode de comparaison n’est pas qu’intellectuel. Il n’est pas propre à la pensée, il s’approprie notre corps et modèle la plupart des interactions que nous pouvons avoir avec le monde. Les sens par lesquels nous percevons notre environnement semblent eux aussi réglés multiplicativement.

Si je vous bande les yeux et que je vous mets dans une main un objet de 10 g et dans l’autre un objet de 20 g, vous saurez immédiatement dire lequel des deux est le plus lourd. Si en revanche vous devez soulever une masse de 10 kg et une masse de 10 kg et 10 g, il vous sera bien plus difficile de distinguer les deux. Pourtant, l’écart est le même : 10 g de différence. Ou plus précisément, l’écart additif est le même, car d’un point de vue multiplicatif, la variation est flagrante : de 10 à 20 g, on passe du simple au double. Tandis que dans le deuxième cas, il n’y a que 0,1 % d’écart entre les deux masses.

Il en va de même avec votre vue. Avez-vous déjà essayé d’allumer la lumière en plein jour ? Si le soleil baigne déjà les lieux de ses rayons, ça ne change quasiment rien. La luminosité semble identique que l’ampoule brille ou non. En revanche, si vous allumez la même lumière de nuit, cette fois elle perce l’obscurité et semble remplir toute la pièce. Elle nous fait voir clairement ce qui, un instant auparavant, se tenait invisible dans la pénombre.

Pourtant, l’ampoule du plafond ne produit pas moins de lumière le jour que la nuit. Elle émet autant de rayons lumineux dans les deux cas. C’est-à-dire que d’un point de vue additif, l’écart de luminosité est le même dans les deux situations. Mais ce n’est pas l’écart additif que nos yeux perçoivent. C’est l’écart relatif, c’est-à-dire multiplicatif. En plein jour, la luminosité de l’ampoule est minuscule comparée à celle du Soleil. De nuit, c’est elle qui prend les rênes, elle qui devient majoritaire.

Passez en revue tous vos sens : toucher, vue, goût, ouïe, odorat. Pensez même à votre perception du temps qui passe, des distances que vous parcourez et, de façon plus subjective, à l’intensité des émotions qui vous traversent. Toutes ces perceptions qui vous envahissent s’apprivoisent bien mieux dès que l’on commence à les penser de façon multiplicative plutôt qu’additive.

Notre sens inné des nombres

Pour tester votre intuition des nombres, je vous propose une petite expérience. Regardez cette ligne sur laquelle ont été placés deux nombres : mille et un milliard.

Maintenant, tentez de répondre le plus spontanément possible à la question suivante : sur cette échelle, où placez-vous un million ? N’ayez pas peur de vous tromper, il n’y a pas de mauvaise réponse, l’important est de voir ce que dit votre instinct des grands nombres.

C’est bon, vous avez placé le doigt sur le point de l’axe qui vous semble représenter le million ? Alors voyons à présent ce que l’on peut en dire.

Il est probable qu’après la lecture de la question, votre pensée ait traversé plusieurs états. À l’instant même où vous l’avez lue, sans doute une intuition est-elle née dans votre cerveau. Une idée brute et sans analyse. Et puis peu à peu, votre réflexion s’est affinée. Vous avez rappelé à votre mémoire ce que vous savez des nombres mille, un million et un milliard, et alors le curseur a sans doute bougé un peu. Ou peut-être beaucoup ? Vers la gauche ou vers la droite ? Peut-être même avez-vous tenu compte de ce que nous avons dit précédemment. Peut-être vous êtes-vous dit que la question n’était pas très précise, qu’il devait y avoir une entourloupe. Avez-vous pensé d’un point de vue additif ou multiplicatif ? Est-ce que cela change quelque chose dans ce cas de figure ?

Chacun peut avoir son propre parcours de pensée sur cette question, mais l’une des réactions les plus fréquentes est de commencer à visualiser le million à peu près à mi-chemin entre mille et un milliard. Ou alors un peu à gauche du milieu, car il est possible de se rendre compte rapidement qu’un million est plus proche de mille que d’un milliard. Et puis, plus la réflexion avance, plus le curseur se déplace vers la gauche, sur une position assez proche de mille.

Alors qu’en est-il en réalité ? La réponse peut paraître surprenante, mais un million est tout accolé à mille. À cette échelle, ils sont même quasiment indiscernables à l’œil nu, et les deux nombres sont également confondus avec le zéro si on le rajoute sur la gauche.

Bien sûr, dans l’absolu, un million est un grand nombre, mais il faut se dire que un milliard est encore mille fois plus grand ! Même un million paraît petit à cette échelle. Si vous vous placiez au point zéro et qu’un milliard se trouvait à un kilomètre de vous, alors un million ne serait qu’à un mètre de distance et mille ne serait qu’à un millimètre. Vu de loin, zéro, mille et un million paraissent donc tous agglutinés les uns aux autres.

Pourtant, comme pour la distance de la Lune, ce verdict des mathématiques traditionnelles hérisse l’intuition. Remarquez que si l’on écrit les nombres en chiffres, le million semble bien se caler à mi-chemin entre mille et un milliard :

Mille : 1 000

Un million : 1 000 000

Un milliard : 1 000 000 000

Un million a trois zéros de plus que mille et trois de moins que un milliard. Visuellement, si l’on ne s’attache pas à sa valeur, mais à la longueur de son écriture, on est franchement tenté de placer le million au milieu. La nature même de notre système de numération tend à nous faire réfléchir en mode multiplicatif. L’impression visuelle ne serait pas du tout la même si ces nombres devaient être écrits en chiffres romains ou simplement si l’on alignait des petits bâtons les uns derrière les autres. Avec notre système d’unités, dizaines, centaines, etc., un ajout de zéro provoque la multiplication par dix du nombre représenté, créant une confusion entre addition et multiplication.

Ainsi, si nous nous autorisons à représenter les nombres sur un axe qui fonctionne selon un mode multiplicatif, le million se situe parfaitement au milieu. À gauche, comme à droite, l’écart multiplicatif est égal à mille.

Il est étrange de constater que ce phénomène des grands nombres n’est pas perceptible sur des quantités plus communes. Si je vous avais demandé de placer 50 sur un axe de 1 à 100, vous l’auriez placé au milieu sans la moindre hésitation.

Il faut dire que les mots mêmes que nous utilisons en langue française trahissent le conflit entre additif et multiplicatif. Les premières dizaines ont chacune un mot qui leur est propre : vingt, trente, quarante… Entre chaque nouveau mot, l’écart est donc additif. On fait + 10 à chaque pas.

Jusqu’à 100, la langue est additive.

En revanche, une fois passé 100, nous basculons dans le monde de la multiplication. Il n’y a pas de mots spécifiques pour désigner 200 ou 300. Nous disons simplement « deux cents » ou « trois cents ». Un peu comme si nous avions dit « deux-dix » et « trois-dix » à la place de « vingt » et « trente ». Les nouveaux mots se mettent alors à apparaître à un rythme multiplicatif : mille, million, milliard, billion, billiard… Chacun de ces termes est mille fois plus grand que le précédent.

Si on plaçait ces nombres sur un axe classique additif, tous seraient agglutinés au zéro et paraîtraient minuscules comparés au dernier. Le milliard est infime face au billion qui lui-même est ridiculement petit face au billiard et ainsi de suite.

Cette transition dans le vocabulaire de comptage passe quasiment inaperçue lorsqu’on apprend les nombres à l’école. Pourtant, elle marque profondément notre façon de penser. Notre perception des quantités n’est ni innée, ni objective. Elle est puissamment attachée à la façon dont nous avons appris les mathématiques.

Alors est-il possible d’oublier quelques instants nos connaissances et nos biais culturels pour remonter à nos perceptions premières des nombres ? Comment penserions-nous si nous n’avions pas été confrontés dès notre enfance aux constructions numériques préfabriquées ?

Pour le savoir, il serait intéressant de poser la question à des personnes ayant été préservées de ces apprentissages. Nous pourrions interroger des enfants suffisamment jeunes pour n’être pas encore entrés en profondeur dans l’étude des nombres. Nous pourrions également demander leur point de vue à des peuples autochtones et isolés dont le rapport aux nombres est suffisamment éloigné du nôtre pour ne pas avoir nos conditionnements et nos a priori.

Dans les années 2000, diverses expériences ont été menées par des équipes de recherche afin de répondre à ces questions. Des tests assez similaires à celui du million auquel je vous ai soumis ont ainsi été proposés à de jeunes enfants états-uniens ainsi qu’à des individus du peuple Munduruku vivant dans la forêt amazonienne au nord du Brésil. La langue de ces derniers ne possède pas de mots pour désigner les nombres au-delà de cinq, rendant leur perception des quantités radicalement différente de la nôtre.

Les individus testés furent placés face à un axe dont les extrémités correspondaient à deux nombres. Et à chaque fois, il leur était demandé de placer d’autres nombres sur cet axe. Bien entendu, les nombres devaient être représentés sous une forme compréhensible à des personnes n’ayant jamais étudié les mathématiques. Plusieurs méthodes furent testées, par exemple de façon visuelle avec des images contenant plusieurs points ou bien de façon sonore avec une série de bips. Une fois les règles du jeu comprises, le test pouvait commencer.

Les résultats furent concordants et sans appel : les nombres des enfants et des Mundurukus sont intuitivement perçus de façon bien plus multiplicative qu’additive. Voici par exemple la façon dont les Mundurukus placent les nombres sur un axe de 1 à 10.

Bien sûr, ce n’est pas parfait. Le test est très instinctif et il n’est pas facile de bien évaluer à vue d’œil un nombre de points. On voit qu’en moyenne, lors de ce test, le 5 a été placé un peu après le 6 ! Mais cette erreur n’est pas importante. Il est en revanche significatif de voir comme les petits nombres s’étendent largement au début, tandis que les plus grands s’entassent à la fin. Comme si les petits nombres tels que le 1 et le 2 avaient plus d’importance que les grands comme le 8 et le 9. Les petits prennent de la place, tandis que les grands doivent se serrer.

Ne trouvez-vous pas d’ailleurs que cette représentation a un air de famille avec la loi de Benford ? Serait-ce une simple coïncidence ou serions-nous sur le point de comprendre quelque chose ? Pour l’instant, le lien entre les deux n’apparaît pas évident, mais gardons cette idée en tête, nous aurons bientôt l’occasion d’y revenir.

Cette tendance se confirme sur toutes les variantes du test qui furent menées. Y compris pour des nombres plus grands allant jusqu’à 100 et avec des enfants. Par exemple, il est fréquent qu’un enfant ayant à situer le nombre 10 sur un axe de 1 à 100 le place à peu près au milieu. Ce résultat est assez troublant lorsque l’on pense que 10 est effectivement au milieu de 1 et 100 si l’on réfléchit multiplicativement.

Et si nous allions encore plus loin ?

Au cours du XXe siècle, plusieurs expériences ont montré qu’il était possible de faire remonter cette perception des nombres au-delà de l’humanité. De la traquer dans les cerveaux d’autres espèces que les Homo sapiens.

De nombreux animaux ont un sens naturel des quantités. Ne serait-ce que pour évaluer le stock de nourriture qu’ils doivent accumuler, ou le nombre de prédateurs qu’ils doivent éviter pour survivre. Ce sens reste approximatif et limité en comparaison de celui que peuvent avoir les humains, mais il n’en demeure pas moins surprenant.

Avec les animaux, la mise en place d’un protocole expérimental ainsi que l’interprétation des résultats obtenus sont bien plus subtiles et doivent être étudiées avec précaution. Impossible de communiquer explicitement avec des chevaux, des oiseaux ou des chimpanzés, de leur expliquer en détail les règles de l’expérimentation, ni de leur faire comprendre l’objectif de ce qu’ils accomplissent. Pourtant, certains faits sont saisissants, et il semblerait bien, encore une fois, que certains animaux perçoivent les nombres multiplicativement.

Voici par exemple une expérience qui a pu être menée avec des rats. Plusieurs spécimens furent placés dans des cages à l’intérieur desquelles se trouvaient deux leviers. Les chercheurs leur faisaient alors entendre régulièrement une série de plusieurs bips. Parfois deux et parfois huit. Lorsqu’il n’y avait que deux bips, les rats recevaient de la nourriture à condition d’appuyer sur le premier levier. Lorsqu’il y en avait huit, c’est le deuxième levier qui fournissait la récompense. Après un certain temps d’apprentissage, les rongeurs finissaient par comprendre le principe et apprenaient à actionner le bon levier en fonction du nombre de bips.

Une fois les rats instruits du fonctionnement des leviers, l’expérience à proprement parler pouvait commencer. Que se passe-t-il si nous leur faisons entendre un nombre de bips différent de deux ou huit ? Avec trois bips, après une très courte hésitation, les rats vont vers le premier levier, comme pour deux. Avec cinq, six ou sept bips, ils vont davantage vers le deuxième, comme pour huit. En revanche, avec quatre bips, les voilà complètement perdus ! La moitié des rats testés se rend hésitante au premier levier et l’autre moitié au second. Comme si, pour eux, le nombre quatre se trouvait à mi-chemin entre deux et huit, rendant leur choix parfaitement aléatoire.

Sans doute pressentez-vous déjà la conclusion qui arrive : c’est multiplicativement que 4 se trouve au milieu de 2 et 8. Si les rats avaient raisonné additivement, le nombre 5 aurait dû être la frontière de leurs hésitations. Et pourtant, c’est bien 4 qui les trouble.

Ces mêmes expériences furent menées avec d’autres nombres que 2 et 8, et avec d’autres animaux que les rats. Alors bien sûr, il est difficile de savoir ce qu’il se passe précisément dans la tête de ces petites bêtes et les résultats laissent parfois une marge d’erreur importante. Mais ce qui est certain, c’est qu’à chaque fois, leur hésitation survient davantage aux alentours du milieu multiplicatif que de l’additif.

Aussi loin que nous remontions les origines de la notion de nombre au cœur de nos cerveaux, nous tombons irrémédiablement sur ce même résultat : notre sens premier des quantités semble fondamentalement et naturellement multiplicatif.

Pourtant, il paraît évident qu’aucun cerveau, qu’il soit humain ou animal, ne sait faire les calculs exacts permettant de répondre à ces questions sans apprentissage. La réflexion multiplicative n’est ni consciente, ni précise. Ces résultats sont spontanés et intuitifs, un peu comme l’était votre premier instinct lorsque vous avez placé un million entre mille et un milliard. Ils n’attestent pas d’une connaissance mathématique, mais révèlent simplement un mécanisme cérébral, apparemment inné, dont nous sommes tous munis au début de notre vie, et qui nous fournit une première intuition approximativement multiplicative des nombres.

Des tests similaires furent réalisés avec des adultes états-uniens et permirent de constater clairement que l’intuition multiplicative s’efface peu à peu à mesure que les connaissances scolaires en mathématiques augmentent. Pour les nombres de 1 à 10, les adultes respectent parfaitement une échelle additive. L’instinct multiplicatif n’a cependant pas totalement disparu puisqu’il refait progressivement surface pour les grands nombres avec lesquels nous sommes moins familiers.

Le comptage additif n’est donc pas si spontané que ça. Il ne s’agit finalement que d’une habitude prise au cours de l’enfance. Dans son article de 1938, Frank Benford écrit ceci : « Nous sommes si habitués à numéroter les choses 1, 2, 3, 4,… et à dire alors qu’elles sont arrangées dans un ordre naturel, que l’idée que 1, 2, 4, 8,… puisse être un arrangement plus naturel n’est pas facilement acceptée. »

Vous-même, qui lisez ces lignes, avez-vous peut-être encore du mal à l’admettre. Il est difficile de se détacher de l’échelle additive après tant d’années à s’y façonner l’esprit. Si c’est le cas, ne vous en faites pas, lisez encore quelques pages, lâchez prise sans crainte et laissez-vous porter. Vous verrez comme il est exaltant de découvrir – ou redécouvrir – une nouvelle façon de penser.

Une question se pose toutefois. Si notre intuition première est multiplicative et si celle-ci est plus adaptée pour penser le monde qui nous entoure, pourquoi s’évertue-t-on à la chasser de nos esprits ? Pourquoi y faire rentrer de force une pensée additive moins conforme au réel ? Les mathématiques scolaires nous ont-elles éloignés d’un pertinent bon sens pour le remplacer par une pensée artificielle et inadaptée ?

Faut-il renoncer à l’addition ?

La réponse est non. La pensée additive, pour elle-même, n’est pas à jeter. Elle est même franchement utile en de nombreuses situations. La prochaine fois que vous passerez à la caisse de votre supermarché, vous serez certainement heureux que l’addition qui vous sera présentée ne soit pas une multiplication. Il est d’ailleurs probablement inutile de vous convaincre que, malgré tout ce que nous venons de voir, les additions et les soustractions restent, elles aussi, bien présentes dans notre quotidien. Moins que vous ne le pensiez, mais tout de même beaucoup.

D’ailleurs, la multiplication elle-même a besoin de l’addition. Car notre intuition a beau être grossièrement multiplicative, cela ne signifie pas que les mathématiques de la multiplication sont plus simples à comprendre. Sans éducation mathématique, impossible de faire épanouir cette pensée première pour qu’elle atteigne son plein potentiel. Et pour cela, il est fondamental d’avoir bien assimilé la notion d’addition pour pouvoir aborder en profondeur celle de multiplication.

Alors finalement, quelle est la meilleure façon de comparer deux nombres ?

Cette question n’a pas de réponse absolue et définitive. Seul le contexte permet de trancher. Et parfois, le choix reste difficile à faire. Il existe des situations ambiguës et intermédiaires, sans meilleur choix. Addition et multiplication offrent simplement deux points de vue différents, mais complémentaires, sur les nombres.

Cette constatation pourrait passer pour un échec. Après tout, les mathématiques ne sont-elles pas censées apporter des réponses précises et définitives ? Comment une science exacte peut-elle répondre « ça dépend » ? Sous cet apparent paradoxe se cache toute l’ambiguïté créatrice des mathématiques. Les « ça dépend » y foisonnent à l’infini. Et ce sont eux qui en font un formidable territoire de liberté et d’inventivité. Les mathématiques sont plurielles, multicolores, relatives, et c’est tant mieux.

Accepter cette relativité et apprendre à jouer avec est une source inépuisable et jubilatoire de découvertes et d’innovations. Les mathématiques offrent mille outils différents pour aborder une même question. Et ces outils sont comme les touches d’un piano. Les connaître est un solfège, savoir les jouer est un art. Demander s’il vaut mieux comparer deux nombres par une addition ou une multiplication, c’est comme demander s’il vaut mieux composer en sol majeur ou en la mineur. Faites vos choix. Ce ne seront peut-être pas toujours les meilleurs, mais peu importe.

On peut aimer jouer du piano sans être Mozart. On peut aimer jouer des mathématiques sans être Einstein. N’ayez pas peur. Plus vous jouerez, plus vous affinerez vos propres goûts. Et plus la musique des nombres enchantera votre esprit.

Les scribes sans zéro ni virgules

Nous voici au stade de notre enquête où il devient nécessaire d’aller fouiller un peu dans le passé de nos suspects. Pour saisir ce qui se joue dans la rivalité complémentaire de l’addition et de la multiplication, il nous faut remonter à la source même des mathématiques. D’où viennent les opérations ? Quelle est leur histoire et comment sont-elles devenues ce qu’elles sont aujourd’hui ?

Fermez les yeux quelques instants, prenez une grande inspiration et envolons-nous. Nous prenons la direction du Moyen-Orient, dans la région de l’actuel Iraq. Là, nous allons plonger vers un passé confus et profond qui garde précieusement quelques secrets inavouables sur les nombres et les opérations.

Nous voilà revenus quatre millénaires en arrière.

Dans les plaines fertiles de Babylonie, l’une des premières civilisations est en plein essor. Cela fait maintenant quelques siècles que de belles et riches cités, rouges et ocres de l’argile qui les façonne, fleurissent sur les rives du Tigre et de l’Euphrate. Les plus grandes d’entre elles fourmillent déjà de plusieurs dizaines de milliers d’habitants. On y parle principalement l’akkadien, mais plusieurs autres langues s’y mélangent. L’écriture a été inventée il y a déjà plus de mille ans et les savoirs se sont transmis et accrus de génération en génération. Des administrations complexes s’y sont formées. Le commerce se développe à grande vitesse.

C’est ici, au sein de ces villes antiques, que sont apparues les premières écoles de scribes, destinées à l’apprentissage des savoirs les plus pointus. Jusque-là, la plupart des connaissances se transmettaient sur le tas, en pratiquant son métier. Des parents à leurs enfants, des commerçants à leurs apprentis, ou simplement entre artisans du même domaine. Certes, quelques écoles avaient déjà vu le jour dans les siècles précédents, mais le phénomène était resté marginal et peu organisé. À la fin du IIIe millénaire avant notre ère, le système éducatif se structure et les edubbas, ou maisons des tablettes, se mettent à fleurir dans toutes les grandes cités de la région.

C’est dans l’une de ces edubbas que nous nous rendons.

Nous voici sur les rives de l’Euphrate, aux portes de Nippur. La ville s’étend sur plus de 1 kilomètre carré. En son cœur s’élève l’Ekur, la « maison-montagne », qui domine la ville de ses hauteurs et subjugue les voyageurs de passage. En la contournant par l’ouest, nous longeons le temple d’Inanna, déesse de l’amour et de la guerre. Le canal coule le long de ses murs tandis que les clameurs des marchands et des bateliers qui s’affairent sur les quais emplissent les rues alentour de leurs échos.

Nous longeons la rive sur deux cents mètres, puis nous tournons sur la gauche. C’est ici que se trouve le quartier des scribes. Sur cette petite butte, un peu à l’écart du centre, s’agglutinent quelques dizaines d’habitations basses donnant sur autant de cours à ciel ouvert. Dans quarante siècles, plusieurs milliers de plaques d’argile recouvertes de l’écriture fine et serrée des écoliers y seront retrouvées, et les archéologues la surnommeront la colline aux tablettes.

Les edubbas de Nippur sont connues dans toute la Mésopotamie. C’est ici que se concentrent les écoles les plus actives et les plus influentes. Dans chacune de ces petites cours, quelques étudiants s’appliquent à aligner sur leurs tablettes en argile les symboles précis et saccadés de l’écriture cunéiforme. Pour eux, les maîtres ont inventé les premiers programmes scolaires de l’histoire, et dans toutes les écoles de Mésopotamie, on suit les mêmes enseignements qu’à Nippur. Niveau après niveau, les étudiants y sont initiés à tout ce qu’un honnête scribe se doit de connaître. On y apprend le sumérien, la langue savante, et on y fait de la copie, des exercices d’écriture ou des compositions. On y apprend également les sciences les plus avancées de l’époque. Et bien évidemment, les mathématiques.

Les mathématiques des scribes ne sont pas celles de la rue. Tout comme le sumérien est la langue des érudits et n’est plus communément parlée, les savants ont leur propre système de numération. Un système différent de ceux utilisés par les marchands ou les bergers dans leurs transactions quotidiennes. Et c’est avec ce système que les Mésopotamiens devinrent les premiers humains à goûter, sans vraiment l’avoir fait exprès, aux délices de la pensée multiplicative.

Entrons quelques instants dans l’une de ces edubbas. Les étudiants sont dans la cour. Ils sont une dizaine sous le soleil de plomb, assis à même le sol, en train de travailler leurs opérations. De leur main droite, ils tiennent fermement leur calame, un morceau de roseau biseauté dont ils font courir la pointe sur la surface tendre et fraîche de l’argile. Parfois l’un d’eux se lève et se rend au puits d’où il prélève un peu d’eau pour rafraîchir la surface de sa tablette ou effacer une erreur.

Leur écriture a beau ne pas être la même que la nôtre, leur système numérique est étonnamment moderne et proche de celui que nous utilisons de nos jours. C’est un système par position. Un système dans lequel la valeur d’un chiffre dépend de l’emplacement qu’il occupe dans l’écriture du nombre.

Lorsque vous écrivez 123 par exemple, vous savez qu’il y a trois unités, deux dizaines et une centaine. Chaque position vaut dix fois plus que celle qui se trouve à sa droite. La numération mésopotamienne fonctionne sur le même principe, à un détail près : chaque position vaut soixante fois plus que celle qui se trouve à sa droite. On l’appelle numération en base soixante, ou numération sexagésimale.

En jetant un œil sur la tablette d’un des étudiants, vous repérez qu’il vient d’y inscrire 123. Ou plus précisément en écriture cunéiforme. Ce nombre est donc composé de trois unités, deux soixantaines et une soixantaine de soixantaine (c’est-à-dire une trois-mille-six-centaine). L’écriture désigne donc le nombre que dans notre système décimal nous notons 3 723 (1 × 3 600 + 2 × 60 + 3 × 1).

La numération en base soixante a été utilisée pendant près de deux millénaires, jusqu’au déclin de la civilisation mésopotamienne. Pourtant, malgré sa formidable efficacité et son étonnante modernité, cette numération devait s’accommoder de deux défauts. Les savants de Nippur n’avaient pas eu l’idée d’inventer ni le zéro, ni la virgule.

Sans doute n’êtes-vous pas encore très familier avec le cunéiforme et la notation sexagésimale, alors pour bien saisir les conséquences de ces deux lacunes, imaginez ce qui se produirait si nous les transposions dans notre système décimal. Comment ferions-nous, si nous devions nous passer du zéro et de la virgule ? Regardez par exemple les nombres suivants :

12 120 1 200 12 000 1,2 0,0012

Retirez-leur maintenant, leurs zéros et leurs virgules :

12 12 12 12 12 12

Nous voilà dans la confusion la plus complète !

Ces nombres sont indiscernables les uns des autres. Les nombres 12, 120 et 1,2 s’écrivent de la même manière. Tout comme les nombres 540, 5 400 et 0,54 ou les nombres 9 900 et 990 et 9,9. Faute d’avoir eu l’idée du zéro et de la virgule, ou de toute autre notation assurant les mêmes fonctions, les scribes mésopotamiens devaient faire avec ce grave problème : dans leur système, des nombres différents pouvaient partager la même écriture !

Certes, on leur pardonne aisément cette maladresse lorsque l’on sait les prodiges de sciences qu’ils sont pourtant parvenus à accomplir avec ces nombres : une administration redoutablement efficace ; des données architecturales et des relevés topographiques d’une remarquable précision ; des mesures astronomiques et des descriptions de phénomènes célestes maîtrisées avec une justesse impressionnante ; des connaissances mathématiques abstraites qui disparaîtront avec leur civilisation et ne seront redécouvertes que plus de mille ans après. Autant dire que l’absence de zéro et de virgule ne les a pas vraiment arrêtés.

Pourtant le problème est sérieux. Comment ont-ils fait ? Comment effectuer des calculs avec des nombres lorsque l’on ne sait pas de quels nombres on parle ?

Les scribes mésopotamiens sont parvenus à retomber sur leurs pattes avec une finesse remarquable. Car non seulement leur problème ne les a pas arrêtés, mais ils sont parvenus à en faire une force ! Par une idée aussi simple que géniale, l’ambiguïté de leur numération leur a permis d’exploiter les propriétés de la multiplication.

Jugez par vous-même. Mettez-vous quelques instants dans la peau d’un élève scribe. Saisissez une plaque d’argile fraîche et un calame, puis venez vous asseoir au milieu des autres étudiants. Comme exercice de la séance, il vous est demandé d’effectuer la multiplication suivante : 12 × 8. Vous inscrivez le calcul en cunéiforme sur votre tablette22, puis vous commencez à réfléchir. Comment faire ? Pour effectuer l’opération, pas de problème, vous avez à votre disposition des tablettes listant les tables de multiplication et vous maîtrisez parfaitement la méthode que vous a enseignée votre maître. Mais avant de se lancer dans le calcul, il faut savoir quel calcul faire ! Avec l’ambiguïté de votre numération, vous ne savez pas vraiment ce que valent 12 et 8. Peut-être 12 est-il en réalité 120. Ou 1 200. Ou peut-être même 0,12. Et 8, quant à lui, peut bien valoir 8, 80 ou 0,8… En ajoutant une virgule ou des zéros imaginaires, il existe une infinité de façons d’interpréter cette multiplication. Et vous, on vous demande de trouver le résultat !

La tâche semble impossible à réaliser dans ces conditions. Et pourtant, un miracle mathématique se produit. Observez plutôt ce que nous obtenons, lorsque nous testons quelques-unes des interprétations possibles de cette opération.

12 × 8 = 96

120 × 8 = 960

1 200 × 8 = 9 600

1,2 × 80 = 96

0,12 × 0,8 = 0,096

Les résultats de ces multiplications sont 96, 960, 9 600 et 0,096. Et sans zéros et sans virgules, tous ces nombres s’écrivent 96 ! Impossible de se tromper. La réponse est 96, quoi que ce 96 veuille bien dire.

C’est une des vertus à la fois dérangeantes et pénétrantes des mathématiques : il est parfois possible de dire des choses justes, sans savoir de quoi on parle. Les scribes multipliaient ainsi des nombres sans zéros ni virgules et obtenaient des nombres sans zéros ni virgules. Ils ne savaient pas de quels nombres ils parlaient, et pourtant, leurs résultats étaient toujours corrects !

En exploitant cette propriété, les Mésopotamiens avaient mis au jour ce que bien des siècles plus tard, les scientifiques appelleront un invariant. Un invariant, comme on peut s’y attendre, est une chose qui ne change pas, qui reste identique, et ce en dépit des variations que peuvent subir ses conditions d’apparition.

Ici, malgré toutes les interprétations possibles de la multiplication 12 × 8, le résultat sans zéro ni virgule reste invariant : 96. Les invariants surviennent dans de nombreux domaines des sciences. Nous en rencontrerons bien d’autres, au cours de nos explorations mathématiques. Mettre le doigt dessus procure toujours le sentiment exaltant d’avoir déterré quelque chose de profond et précieux. D’avoir levé le voile sur un mystère. Un invariant révèle ce qui rassemble des choses a priori différentes. C’est un point commun, comme un rouage caché en arrière-plan et qui, dès que vous l’avez mis en lumière, vous procure cette satisfaction trépignante et sereine d’avoir compris comment fonctionnent les choses.

Les scribes s’accommodèrent si bien de leur numération invariante qu’ils se passèrent de zéros et de virgules pendant près de deux millénaires. Au IIIe siècle avant notre ère, cependant, certains d’entre eux finissent par inventer un symbole zéro, qu’ils notent . Cette apparition tardive n’aura toutefois que peu de temps pour se développer. La civilisation mésopotamienne, déjà sur le déclin, et l’écriture cunéiforme, avec son système sexagésimal, sont sur le point de disparaître.

Il est temps pour nous de quitter les rives de l’Euphrate pour faire un nouveau bond dans le temps. Dans quelques lignes, Nippur n’existera plus. Ne resteront que quelques ruines au vent du désert et des tablettes enfouies pour les archéologues du futur.

Mais peu importe.

Les véritables héros de cette histoire ne sont pas les humains, ni leurs civilisations. Les bonnes idées ne meurent pas. Tout juste hibernent-elles parfois quelques siècles, à attendre leur heure. Prêtes à refaire surface, le moment venu, dans le cerveau d’un Homo sapiens curieux et inspiré. Le zéro reviendra en Inde, aux alentours de l’an 300, lorsque sera inventé le système décimal dont nous avons hérité.

Quant à l’étonnant invariant des multiplications, il inspirera, bien des siècles plus tard, un étrange savant écossais qui, grâce à lui, donnera un prodigieux coup d’accélérateur au développement de la science moderne. Il donnera aussi à Frank Benford les outils mathématiques pour comprendre sa loi.

Le pont logarithmique

Le quartier résidentiel de Merchiston, au cœur d’Édimbourg, est d’ordinaire plutôt calme. Ses rues paisibles, inlassablement bordées de larges demeures aux jardinets alignés, enclavent une tranquille monotonie à quelques minutes du centre de la capitale. Le choc culturel est plutôt brutal entre les bords brûlants de l’Euphrate et l’ambiance écossaise.

Je ressens toujours une certaine émotion quand, prenant du recul sur le temps, j’entrevois la colossale course de relais que fut l’histoire des sciences et des mathématiques, et comme chaque peuple, à son tour, et malgré tout ce qui pouvait le séparer des autres, y a apporté son effort. Oui, c’est bien ici que l’histoire se poursuit. Ici que les scribes mésopotamiens ont trouvé leur héritier.

À quelques rues de là, notre prochain rendez-vous nous attend.

En marchant au sud, vers Morningside, nous tombons sur l’université Napier où, chaque année, plus de 25 000 étudiants apprennent l’informatique, le théâtre ou la criminologie. Lorsqu’on en fait le tour, les bâtiments du campus sont un peu déprimants dans leur béton XXe siècle à peine agrémenté de quelques façades de verre jetées à la modernité. Pourtant, si vous osez entrer à l’intérieur de son enceinte, l’université vous dévoilera son joyau. Au milieu des immeubles barrés, comme incrustée, presque dévorée par les édifices récents, se dresse la tour Merchiston.

C’est un bâtiment carré, de vieilles pierres tachées de leur âge, et percé irrégulièrement de fenêtres maigres et profondes. Son toit crénelé le couronne et lui donne l’allure fière et noble des murs qui savent que mille fois ils auraient pu s’écrouler. Autrefois, la tour faisait partie d’un petit château.

C’est ici qu’en 1550 est né John Napier de Merchiston, qui donna à l’université son nom et aux mathématiques une opération qui révolutionna la science.

Napier était un étrange personnage. Comme beaucoup de savants de son époque, il se mêle de diverses disciplines, touchant aussi bien à la théologie qu’à l’astronomie ou aux mathématiques. On raconte sur lui une anecdote qui, pour n’avoir rien de mathématique, n’en demeure pas moins instructive sur sa personnalité.

Son voisin, un nommé de Roslin, élevait des pigeons qui venaient manger ses graines sur son terrain. John Napier, agacé, le prévint que s’il ne retenait pas ses volatiles, il les lui confisquerait purement et simplement. Il se fit rire au nez et de Roslin lui lança qu’il pouvait toujours courir pour les attraper. Le lendemain matin, il fut pourtant stupéfait de voir le mathématicien, un grand sac à la main, en train de capturer facilement tous ses pigeons sans que ces derniers ne cherchent à s’enfuir. Napier avait semé la veille sur tout son terrain des graines imbibées de brandy. Au matin, les pigeons étaient saouls, incapables de voler, prêts à être ramassés.

Il est probable que cette histoire ne soit qu’une légende, mais elle nous apprend toutefois une chose : John Napier était expert dans l’art de résoudre des problèmes par des moyens inattendus. Il suffit parfois de changer de point de vue pour trouver une solution. Les situations les plus inextricables peuvent se transformer en jeu d’enfant si vous les regardez sous le bon angle. Si vous ne pouvez pas être plus vif que les pigeons, rendez les pigeons moins vifs que vous. Il ne s’agit pas toujours d’être plus intelligent, plus fort ou plus rapide pour résoudre de grands problèmes. Il faut avant tout être astucieux.

Cet esprit de rupture, Napier va le mettre au service des mathématiques en inventant une opération aussi révolutionnaire qu’ingénieuse. Une opération qui facilitera la vie de générations de scientifiques jusqu’à la fin du XXe siècle. Une opération capable de transformer les multiplications en additions.

Pour cela, il eut l’idée de placer en parallèle un axe multiplicatif et un axe additif. Sur le premier, chaque graduation multiplie par deux la précédente. Sur le second, elle l’augmente de un.

Avec ce parallèle, le mathématicien écossais venait de bâtir un pont entre le monde de l’addition et celui de la multiplication. Grâce à ce simple schéma, il devint d’un coup possible de voyager de l’un à l’autre. D’en ouvrir les frontières. Au 8 du haut correspond le 3 du bas. Au 5 du bas, le 32 du haut et ainsi de suite. Et aux multiplications du haut correspondent les additions du bas.

Pour bien saisir le principe, prenons un exemple. Imaginez que vous souhaitiez réaliser la multiplication 8 × 16. La recette est alors la suivante :

1. Faites passer cette opération dans le monde additif : 8 × 16 devient 3 + 4 ;

2. Calculez : 3 + 4 = 7 ;

3. Repassez votre réponse dans le monde multiplicatif : 7 devient 128.

Vous avez votre résultat : 8 × 16 = 128. Schématiquement, le raisonnement suit le chemin suivant.

Cela ressemble à de la sorcellerie ! Cette correspondance si simple semble trop belle pour être vraie, et pourtant elle fonctionne bien. Vous pouvez faire d’autres essais, il n’y a rien de spécial avec les nombres 8 et 16, la procédure de Napier fonctionne pour toutes les multiplications.

Alors bien sûr, cet exemple reste élémentaire, car les nombres 8 et 16 sont simples. Mais imaginez que vous deviez multiplier des nombres bien plus complexes comme 2,43 et 78,35. Et imaginez aussi que vous ayez à votre disposition, sur votre bureau, un annuaire des correspondances additif/multiplicatif, bien plus complet que les deux axes que nous avons tracés ci-dessus. En cherchant les nombres dans votre annuaire, vous transformez la multiplication 2,43 × 78,35 en l’addition 1,281 + 6,292. Vous calculez la somme en quelques secondes : 7,573. Puis vous repassez ce résultat en multiplicatif : 190,4. Vous venez de réaliser votre multiplication en moins de trente secondes. Il vous aurait probablement fallu plus d’une minute pour poser directement la multiplication sans l’aide de l’annuaire.

John Napier travailla plus de vingt ans à développer cette théorie et à établir l’annuaire addition/multiplication. Sans machine à calculer, bien entendu. Tous ses calculs furent établis à la main. Il publia ses résultats en 1614 dans un article intitulé Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Description des magnifiques tables de logarithmes). Il invente à cette occasion le mot de « logarithme33 », pour désigner le pont entre le monde de la multiplication et celui de l’addition. Plus précisément, le logarithme est le passage de l’axe multiplicatif à l’additif : le logarithme de 8 est 3, celui de 16 est 4 et ainsi de suite.

Dans la première moitié de son article, Napier présente la théorie. Il détaille la définition des logarithmes ainsi que leurs propriétés mathématiques. La seconde moitié, quant à elle, est uniquement constituée de tableaux de nombres qui s’étendent sur près de cent pages. Ce sont les tables de logarithmes. L’annuaire dont vous avez besoin pour vos calculs. Dans sa première version, Napier y liste 5 400 nombres. Vous cherchez un logarithme ? Il vous suffit de feuilleter ces pages pour le trouver en quelques secondes.

Pour être honnête, il faut avouer que les résultats obtenus avec les tables de Napier ne sont qu’approximatifs car l’annuaire ne donne les logarithmes qu’avec une précision de trois ou quatre chiffres après la virgule. Cela serait problématique si vous cherchiez un résultat avec une marge d’erreur plus fine. Mais pour la plupart des calculs astronomiques ou architecturaux de l’époque, cette précision est largement suffisante.

Cependant, une autre objection peut apparaître quant au bon fonctionnement de l’annuaire : il existe une infinité de nombres. Or, aussi imposantes soient les tables de Napier, elles ne peuvent pas contenir une infinité de logarithmes. Il faut bien se limiter à un certain nombre de pages et s’arrêter quelque part. Il paraît donc impossible d’englober par cette méthode toutes les multiplications possibles et imaginables.

Eh bien, si ! Car voici le moment où, surgi de la nuit des temps, l’intrigant invariant des scribes mésopotamiens revient sur le devant de la scène. Il n’est pas nécessaire, pour pouvoir faire toutes les multiplications, d’avoir les logarithmes de tous les nombres. Il suffit par exemple d’avoir tous les logarithmes des nombres de 1 à 1 000, puis de faire le calcul en oubliant zéros et virgules.

Imaginez que vous deviez multiplier 1,28 et 2 500. En enlevant les zéros et virgules, ces deux nombres peuvent rentrer dans l’intervalle couvert par vos tables. Ils deviennent 128 et 25. Vous pouvez maintenant utiliser vos tables de logarithmes pour trouver le résultat de la multiplication : 32 (toujours sans zéro ni virgule). Il vous reste maintenant à évaluer l’ordre de grandeur du résultat pour replacer la virgule et les zéros au bon endroit. 1,28 × 2 500 = 3 200. Avec un peu d’entraînement, cette technique vous permettra de faire toutes vos multiplications en quelques instants.

À l’ère des ordinateurs et des calculatrices électroniques, il peut sembler difficile de mesurer l’impact qu’ont pu avoir les logarithmes à l’époque de Napier. Pour nous, ce pont entre addition et multiplication pourrait passer pour une simple curiosité. Une façon de voir les choses, certes amusante, voire instructive, mais sans importance majeure. Pourtant, dans les années qui suivirent leur invention, ils se propagèrent à grande vitesse dans l’ensemble du monde scientifique et devinrent un des outils principaux des savants de tous domaines. Ils furent également adoptés en dehors des cercles scientifiques par de nombreuses professions ayant besoin de faire des calculs à la chaîne, comme des architectes, des comptables ou des administratifs. Jusqu’à la seconde moitié du XXe siècle, la plupart des écoliers se devaient encore d’avoir dans leur cartable leur exemplaire des tables logarithmiques.

Après Napier, plusieurs mathématiciens s’attelèrent à calculer et publier des tables toujours plus précises et plus complètes. Les nouvelles tables de logarithmes établies à la fin du XIXe siècle par Camille Bouvart et Alfred Ratinet connurent plus de soixante-dix éditions et devinrent en moins d’un siècle l’un des best-sellers de l’histoire des mathématiques !

Pour comprendre ce succès, il faut réaliser les montagnes de calculs auxquelles les savants de ces époques devaient faire face. Et je ne parle pas des calculs intelligents auxquels il faut réfléchir longuement et qui demandent une part d’innovation et de recherche. Non, je ne parle que des calculs bêtes et méchants. Les calculs sans enjeux, dont on sait dès le début que l’on sait les faire, mais qui vont malgré tout nous prendre un temps fou. Tous les mathématiciens savent calculer 2,35847 × 78,3564. Il n’y a aucun suspens, mais c’est long. Et lorsque vous faites de l’astronomie, il se peut que vous deviez enchaîner plusieurs dizaines, voire plusieurs centaines, de multiplications du même genre pour aboutir au résultat que vous cherchez.

Aujourd’hui, les ordinateurs se chargent de ces calculs-là. À l’époque de Napier, tout devait se faire à la main ! Au papier et à la plume, parfois aidé d’un boulier ou d’un abaque. Imaginez alors le gain de temps qu’a pu représenter pour tous ces gens l’arrivée des tables de logarithmes. Il devenait possible de réduire une pleine journée de calculs fastidieux à seulement deux ou trois heures de travail ! À la fin du XVIIIe siècle, Pierre-Simon Laplace, qui fut l’un des plus grands mathématiciens de son époque, affirma que les logarithmes avaient, en quelque sorte, doublé la vie des astronomes en leur épargnant les erreurs et les dégoûts inséparables des longs calculs.

À la fin du XXe siècle, les logarithmes ont fini par perdre leur utilité première. Les machines électroniques sont arrivées et aujourd’hui plus personne n’utilise les tables de Napier pour faire de longs calculs. Pourtant, phœnix mathématique, les logarithmes ont su renaître de leurs cendres pour trouver d’autres champs d’application. L’enjeu n’est désormais plus technique, mais de compréhension. Comme nous l’avons vu, l’Univers que nous habitons est principalement organisé de façon multiplicative et la science a encore souvent besoin de passer du monde multiplicatif au monde additif. Chaque fois qu’elle doit le faire, elle reprend alors ce vieux pont logarithmique dressé par Napier il y a plus de quatre siècles et qui n’a rien perdu de sa fréquentation d’autrefois.

Ainsi, il est fréquemment salutaire d’ordonner les choses sur des échelles logarithmiques. L’échelle de Richter, qui mesure l’intensité des tremblements de terre, en est un bon exemple. Une augmentation d’une unité sur cette échelle correspond dans la réalité à la multiplication par dix de l’amplitude du séisme. Ainsi, une secousse de magnitude 7 tremblera dix fois plus qu’une secousse de magnitude 6. Le plus puissant séisme jamais enregistré fut celui du 22 mai 1960, à Valdivia au Chili. Avec une magnitude de 9,5, ce tremblement fut donc un million de fois plus ample que les ordinaires secousses de magnitude 3,5 qui sont à peine ressenties par les humains.

L’utilisation d’une échelle logarithmique permet ainsi une bien meilleure vue d’ensemble de l’intervalle des séismes mesurés. Si ces mêmes secousses devaient être portées sur un axe additif, les amplitudes allant de 1 à 7 se retrouveraient toutes ratatinées en un point et leur lecture en deviendrait bien plus laborieuse.

Sur la longue liste des phénomènes physiques qui se mesurent sur une échelle logarithmique, on trouve des exemples aussi variés que l’intensité des sons en décibels, l’acidité d’une solution via le pH ou encore la magnitude lumineuse des étoiles dans le ciel.

Un autre cas courant est celui des gammes de musique. Une note de musique est caractérisée par la fréquence de vibration de l’air dans lequel elle se propage. Ainsi, les différents la que vous pouvez jouer sur le clavier d’un piano ont des fréquences successives de 55, 110, 220, 440, 880, 1 760 et 3 520 vibrations par seconde. Vous constatez que de deux notes séparées d’une octave, la plus haute a une vibration deux fois plus rapide. Cette répartition multiplicative des notes est particulièrement visible lorsqu’on observe les frettes qui graduent le manche d’une guitare. Ces dernières ne sont pas disposées à intervalles réguliers, mais selon une progression multiplicative, s’espaçant de plus en plus à mesure que l’on se rapproche de la tête.

Si vous jouez deux notes distinctes d’une octave sur la même corde, la plus grave s’obtiendra en pinçant la corde deux fois plus loin du chevalet que la plus aiguë. Ainsi, sur la cinquième corde, le « la 110 vibrations » se trouve à 64 cm du chevalet tandis que le « la 220 » se trouve à 32 cm, la moitié. Pour jouer le « la 440 » sur cette même corde, il faudrait la pincer à 16 cm et le « la 880 » à 8 cm. En théorie en tout cas, car ces mouvements sont compliqués à exécuter et en pratique on joue généralement ces deux la sur une autre corde.

Il est probable que John Napier lui-même, en dépit de toute l’inventivité dont était capable son esprit, était bien loin de se douter, en publiant ses résultats, de l’empire qu’allaient prendre sur le monde ses merveilleux logarithmes.

À ces divers exemples, il faut ajouter qu’avec l’avènement des logarithmes, toutes les pièces mathématiques dont nous avions besoin sont désormais en place pour comprendre la loi de Benford. Ne reste plus qu’à attendre qu’un esprit ingénieux vienne les assembler. Et c’est aux États-Unis que va se jouer le dernier acte de notre enquête.