LES DIAGONALES DE L'INFINI

Michel Willem

Les diagonales de l'infini

Académie royale de Belgique

rue Ducale, 1 - 1000 Bruxelles, Belgique

www.academieroyale.be

Informations concernant la version numérique

ISBN : 978-2-8031-0671-4

© 2019, Académie royale de Belgique

Collection L’Académie en poche

Sous la responsabilité académique de Didier Viviers

Volume 120

Diffusion

Académie royale de Belgique

www.academie-editions.be

Crédits

Conception et réalisation : Laurent Hansen, Académie royale de Belgique

Illustration de couverture : © Renee Jorgensen Bolinger, Logic and Computability, Huile sur toile, 2013, 28 × 35,6cm.

Publié en collaboration avec

Introduction

Ne pas se contredire, ne pas contredire l’expérience sont les règles fondamentales de la méthode scientifique. Encore les mathématiciens ne retiennent-ils que le premier précepte. La plus ancienne des sciences pose des questions fondamentales. Ni langage, ni outil, les mathématiques sont un discours logique dont les principes sont inventés par les mathématiciens qui en démontrent les conséquences après les avoir découvertes. Comme les êtres mathématiques sont des libres créations des mathématiciens, leur existence ne peut être constatée par l’expérience et doit être démontrée par une construction effective ou par une déduction logique. Les théories mathématiques sont aussi des créations inscrites dans un devenir, mais dont la vérité et la beauté demeurent. Après Euclide, comme après Phidias, on a fait autre chose, on n’a pas fait mieux. Les Éléments d’Euclide offrent encore le modèle de la méthode axiomatique. Ils doivent leur harmonie à l’austérité de leur style abstrait, déductif et lapidaire. Enfin, leur moindre attrait n’est pas de contrevenir à tous les dogmes des pédagogues. Nous illustrerons les idées précédentes en explorant les liens entre les notions de diagonale et d’infini.

Le premier chapitre est consacré à la forme la plus simple d’infini mathématique, la répétition indéfinie. Nous y démontrons le principe d’incertitude de Pythagore : il est impossible de mesurer de manière exacte, avec la même unité, le côté et la diagonale d’un carré. Dans le deuxième chapitre, après avoir observé que le côté et la diagonale d’un carré comptent le même nombre de points, nous définissons la notion d’ensemble infini. Dans le troisième chapitre, nous construisons un ensemble dont les éléments sont si nombreux qu’ils ne peuvent être numérotés par la suite infinie des nombres naturels :

1, 2, 3, 4, 5,…

Le quatrième chapitre est consacré à la notion de théorie axiomatique, dont la géométrie euclidienne et l’arithmétique sont des exemples. Enfin, dans le dernier chapitre, nous décrivons de manière informelle le théorème d’incomplétude de Gödel, qui affirme que toute théorie qui contient l’arithmétique est soit incomplète, soit incohérente.

Les quelques démonstrations qui agrémentent le texte sont encadrées par des astérisques et peuvent être omises en première lecture. Nous utilisons les symboles

>,<,≥,≤

qui signifient respectivement « strictement plus grand », « strictement plus petit », « plus grand ou égal », « plus petit ou égal ». Ils relient deux segments de droites ou deux nombres naturels.

J’ai le grand plaisir de remercier Cathy Brichard qui, avec soin et compétence, a dactylographié le manuscrit.

chapitre 1

La diagonale de Pythagore

La logique peut être patiente, car elle est éternelle.

Pierre Duhem

Une mesure géométrique commence physiquement. Elle ne s’achève que métaphysiquement.

Henri Lebesgue

Au commencement étaient les naturels. À chaque nombre naturel n ajoutons 1. Nous obtenons ainsi un nouveau naturel n + 1 :

2 = 1 + 1

3 = 2 + 1

4 = 3 + 1

…

La suite 1, 2, 3, 4,… peut être indéfiniment poursuivie. Il n’y a pas de plus grand naturel. En effet, pour tout naturel n, le naturel n + 1 est strictement plus grand que n.

Considérons avec le philosophe Zénon d’Élée un segment de droite. Divisons-le en deux segments égaux. Divisons encore le nouveau segment en deux segments égaux. Comme dans le cas précédent, cette opération peut être indéfiniment poursuivie. Il n’y a pas de plus petit segment. En effet, tout segment peut être divisé en deux segments égaux.

Aristote remarque, dans la Physique, que la descente infinie

a > b > c > d > …

licite pour les grandeurs est impossible pour les nombres naturels. En effet, il n’existe pas de suite infinie strictement décroissante de nombres naturels.

Examinons une descente infinie qui nous conduira à l’une des plus surprenantes découvertes mathématiques de la Grèce antique et même de l’humanité. Dans le Ménon, Socrate demande à un jeune esclave de construire un carré dont l’aire soit le double de l’aire d’un carré de côté b. Par symétrie, la solution est donnée par le carré dont le côté est égal à la diagonale du carré de...