Sommaire

Présentation de l'ouvrage

Informations éditoriales

Introduction

Partie 1 - Éléments théoriques

Que doit-on savoir pour enseigner les mathématiques au cycle 1 ?

Les différentes façons d'apprendre

Les choix de cet ouvrage

Des travaux de référence

L'organisation des situations

Vers le cycle 2

Partie 2 - Nombre et calcul

Définitions et progressivité des apprentissages

Apprendre en résolvant des problèmes

Apprendre en jouant

Apprendre en jouant

Apprendre en s'exerçant et en mémorisant

Partie 3 - Formes, grandeurs et repérage dans le temps et l'espace

Continuité des apprentissages

Apprendre en résolvant des problèmes

Apprendre en jouant

Apprendre en s'exerçant et en mémorisant

Présentation de l'ouvrage

Que doit savoir un enseignant pour enseigner les mathématiques à l'école maternelle ? Des connaissances de haut niveau sur des concepts mathématiques ? Une bonne culture des mathématiques, au même titre qu'une culture littéraire ou artistique ? Comment faire les meilleurs choix pour organiser les apprentissages ? Comment recueillir, analyser et comprendre les difficultés des élèves dans le but d'y remédier ?

Outil pratique, cet ouvrage accompagne l'enseignant dans l'élaboration de son enseignement tout au long de l'année et lui apporte :

Un socle théorique synthétisant des résultats de recherche bien stabilisés, en didactique, en psychologie, en sociologie ou encore en neurosciences ;

Des situations d'apprentissage testées en classe, mises en perspective sur l'ensemble du cycle 1 ;

Le détail des grands champs des mathématiques travaillés à l'école maternelle :

« Construire les premiers outils pour structurer sa pensée »,

« Découvrir les nombres et leurs utilisations, explorer des formes, des grandeurs, des suites organisées »,

« Explorer le monde » et « Se repérer dans le temps et l'espace » ;

Une déclinaison des mises en oeuvre selon les quatre modalités d'apprentissage  : en jouant, en réfléchissant et en résolvant des problèmes, en s'exerçant, en se remémorant et en mémorisant ;

Un lien avec l'usage des outils numériques ou des aspects transdisciplinaires comme l'utilisation des albums, l'EPS, les projets.

Cet ouvrage est destiné aux enseignants de cycle 1 et aux futurs enseignants en formation.

Frédéric Castel, Fabienne Emprin-Charotte et Fabien Emprin, enseignants et formateurs, sont auteurs de plusieurs ouvrages sur la didactique des mathématiques.

Page de titre

Enseigner les mathématiques en maternelle

Construire des outils pour structurer sa pensée

Mathématiques

cycle 1

Frédéric Castel

Formateur d'enseignants en mathématiques

Fabienne Emprin-Charotte

Professeure des écoles maître formatrice

Fabien Emprin

Enseignant chercheur en didactique des mathématiques

Informations éditoriales

Directeur de publication

Jean-Marie Panazol

Directrice de l'édition transmédia

Stéphanie Laforge

Direction artistique

Samuel Baluret, Gaëlle Huber

Coordination éditoriale

Séverine Aubrée

Mise en pages

Ludovic Bal, Christophe Malric, Ludovic Oger

Conception graphique

DES SIGNES studio Muchir et Desclouds

Couverture

© Réseau Canopé

Crédits photographiques

Fabienne Emprin-Charotte, Cécile Hennequière, Sabine Noirel, Fabien Emprin, sauf mention contraire

Développement ePub

Ludovic Bal, Ludovic Oger

Remerciements

Nous remercions Camille Dalongeville pour ses relectures attentives et les enseignants qui ont accepté de participer aux expérimentations : Mélanie Boullier, Délia Gobert, Cécile Hennequière, Kaoutar El Kaaoui, Sabine Noirel.

ISSN : 2425-9861

ISBN : 978-2-240-04723-6

Réf.  : W0090016

© Réseau Canopé, 2018

(établissement public à caractère administratif)

Téléport 1 – Bât. @ 4

1, avenue du Futuroscope

CS 80158

86961 Futuroscope Cedex

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Cette représentation ou reproduction par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l'éditeur ou du Centre français de l'exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris) constitueraient donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

Introduction

Il existe, pour l'école maternelle, un corpus de situations issu de diverses sources : les pairs (ce qui inclut les blogs et sites internet de partage, les réseaux sociaux…) et les associations professionnelles (comme l'Ageem), les revues professionnelles, les éditeurs publics (Réseau Canopé en particulier) ou privés, les éditeurs de jeux pédagogiques, les revues de vulgarisation issues de la recherche (Grand N de l'IREM de Grenoble par exemple). Par ailleurs nous considérons que les enseignants sont des spécialistes de l'enseignement avec des connaissances à la fois générales sur le développement cognitif de l'enfant, sur l'organisation des situations de classe, sur les processus d'apprentissage dans toutes les disciplines scolaires et à la fois qu'ils ont l'expertise pour adapter ces situations aux élèves qui leur sont confiés. C'est pourquoi l'objectif de cette ressource est de leur donner les clefs pour faire des choix, organiser les apprentissages, recueillir, analyser et comprendre les difficultés des élèves et y remédier.

Nous nous appuyons sur un ensemble de recherches en didactique, en psychologie cognitive, en sociologie… bien stabilisées depuis les années 1980 notamment en ce qui concerne le nombre et le calcul, mais aussi sur notre expérience de formateurs d'enseignants ainsi que sur les expérimentations que nous avons pu mener en classe.

Fournir les situations d'apprentissages les plus adaptées aux élèves n'est pas tout, notre objectif est de donner aux enseignants toutes les informations leur permettant de les mettre en œuvre pour leurs élèves.

C'est pourquoi cet ouvrage est structuré en trois grandes parties : la première propose des éléments de connaissances « théoriques » sur lesquels nous nous appuyons, les deux suivantes correspondent aux trois grands champs des mathématiques travaillés à l'école maternelle pour la partie 4 des programmes ¹ « construire les premiers outils pour structurer sa pensée » : « Découvrir les nombres et leurs utilisations, explorer des formes, des grandeurs, des suites organisées » et dans la partie 5 « explorer le monde » : « Se repérer dans le temps et l'espace » (ces deux champs étant regroupés).

Dans chacune de ces parties, nous commençons en mettant en perspective les apprentissages sur l'ensemble du cycle puis nous déclinons les situations d'apprentissage en fonction de quatre grandes façons d'apprendre mises en avant dans la partie 2 des programmes : « Une école qui organise des modalités spécifiques d'apprentissage » :

2.1. Apprendre en jouant.

2.2. Apprendre en réfléchissant et en résolvant des problèmes.

2.3. Apprendre en s'exerçant.

2.4. Apprendre en se remémorant et en mémorisant.

Ces deux derniers aspects : mémoriser et s'exercer étant très proches, nous avons fait le choix de les regrouper en une seule partie.

Chaque description de situation débute par un court éclairage puis sera détaillé le déroulement pour un niveau donné. Les connaissances plus générales sur l'enseignement sont également précisées en faisant le lien, soit avec l'usage des outils numériques, soit avec des aspects transdisciplinaires comme l'usage des albums, l'EPS, les projets.

1. Référence pour l'ensemble de l'ouvrage : programme d'enseignement de l'école maternelle publié par l'arrêté du 18-2-2015 - J.O. du 12-3-2015.

Partie 1

Partie 1 - Éléments théoriques

Que doit-on savoir pour enseigner les mathématiques au cycle 1 ?

Que doit savoir un enseignant pour enseigner les mathématiques à l'école maternelle ? Cette question, sous son apparence anodine, est d'une grande complexité et n'a pas de réponse évidente. Pourtant, il existe des formations d'enseignants et des ouvrages scientifiques ou de vulgarisation, mais sur quoi s'appuient-ils pour définir leurs contenus ? Est-ce qu'il suffit de fournir à l'enseignant des situations d'enseignement-apprentissage ? Est-ce qu'il suffit qu'il ait des connaissances de haut niveau sur des concepts mathématiques ? Est-ce que ce que l'on pourrait appeler une culture des mathématiques est important au même titre qu'une culture littéraire ou artistique ?

Le référentiel de compétences des enseignants apporte un éclairage ² institutionnel :

Chapitre « Compétences communes à tous les professeurs et personnels d'éducation »

Les professeurs et les personnels d'éducation, pédagogues et éducateurs au service de la réussite de tous les élèves.

Connaître les élèves et les processus d'apprentissage.

Chapitre « Compétences communes à tous les professeurs »

Les professeurs, professionnels porteurs de savoirs et d'une culture commune.

Maîtriser les savoirs disciplinaires et leur didactique.

Les professeurs, praticiens experts des apprentissages.

Construire, mettre en œuvre et animer des situations d'enseignement et d'apprentissage prenant en compte la diversité des élèves.

Organiser et assurer un mode de fonctionnement du groupe favorisant l'apprentissage et la socialisation des élèves.

Évaluer les progrès et les acquisitions des élèves.

Il est donc attendu que les enseignants aient des connaissances que l'on peut analyser comme relevant de plusieurs champs : pédagogie (animer des situations d'enseignement, organiser et assurer un mode de fonctionnement…), psychologie et développement de l'enfant (connaître les élèves et les processus d'apprentissage), mathématiques (savoirs disciplinaires), didactique des mathématiques (construire […] des situations d'enseignement, prendre en compte la diversité, évaluer les progrès et les acquisitions…). La nature des connaissances est définie par l'institution, mais cela ne renseigne pas sur leurs contenus ; pour cela, la recherche, dont le rôle est de produire des savoirs, apporte plusieurs éclaircissements.

Créer un éventail de gestes pédagogiques

Les connaissances qualifiées de « pédagogiques » dans les parties « mises en œuvre » des situations d'apprentissages sont abordées dans chacun des chapitres. Chaque proposition de dispositif est accompagnée d'une explicitation des « gestes professionnels », au sens de Dominique Bucheton ³. Être capable d'identifier l'impact de ses choix de gestes sur l'activité de l'élève permet à l'enseignant d'avoir un éventail de possibles lors de la préparation de classe, mais aussi lors de ses réponses, en cours d'activité, aux réactions des élèves. Par exemple, pour introduire une situation de classe, obtenir l'attention des élèves, mais aussi les impliquer dans la tâche (ce qu'en didactique on peut qualifier d'enrôlement) l'enseignant peut choisir de la présenter comme un défi, de la contextualiser en racontant une histoire que justifie l'activité ou au contraire de la décontextualiser pour que les élèves se focalisent sur la tâche. Pour s'assurer de la compréhension de celle-ci par tous, il peut la reformuler, la faire reformuler par un élève, faire un premier exemple devant la classe ou faire jouer un premier exemple, laisser les élèves essayer et faire une première mise en commun intermédiaire pour s'assurer que tout le monde a bien compris la tâche. Tous ces choix constituent un répertoire d'actions dont les enseignants disposent sans toujours en être pleinement conscients. Ils les utilisent par expérience à bon escient. Le fait d'en prendre conscience et de les analyser permettrait sans doute de gagner en efficacité en pouvant analyser a priori, à chaud et a posteriori les choix. Le dernier intérêt d'identifier ces connaissances est de pouvoir plus facilement les transmettre aux collègues en formation notamment.

Ce premier aspect amène donc à proposer, dans le descriptif des situations, des éclairages sur les gestes pédagogiques en jeu grâce à des transcriptions de séances notamment.

Prendre du recul et analyser grâce aux résultats issus de la psychologie, des neurosciences…

Les travaux de psychologie concernant les apprentissages mathématiques sont nombreux et assez bien stabilisés concernant le nombre mais moins nombreux en ce qui concerne les apprentissages spatiaux et la géométrie. Ces dernières années, des résultats de neurosciences, permis par l'accès à de nouvelles technologies comme les scanners, les IRM, l'enregistrement de l'activité électrique du cerveau sont venus s'ajouter aux travaux de psychologie cognitive existants. Tous ces travaux donnent une compréhension fine du fonctionnement du cerveau de l'enfant et peuvent donc être des informations précieuses. Il faut néanmoins, comme tous résultats de recherche « fondamentale » qui concernent l'humain, les prendre avec précaution. En effet, même avec des méthodologies telles que l'imagerie médicale, tous les résultats obtenus ne font pas l'unanimité dans la communauté scientifique et comme les autres travaux de psychologies, des débats et des controverses peuvent persister. De plus, les neurosciences, la psychologie comme la didactique des mathématiques sont des sciences à part entière aux enjeux spécifiques de production de connaissances. La psychologie « vise la connaissance des activités mentales et des comportements en fonction des conditions de l'environnement » ; les neurosciences « étudient le système nerveux » ; la didactique a « pour objet les méthodes d'enseignement ⁴ ». Ainsi les travaux de neurosciences ne visent pas à proposer des démarches d'enseignement comme le souligne le chercheur Stanislas Dehaene : « La recherche en neurosciences ne permet pas de recommander telle ou telle méthode d'apprentissage, mais permet de dégager des principes généraux. » (p. 242) ⁵. La transposition de résultats obtenus en études cliniques ou en laboratoire à des pratiques pédagogiques reste très complexe. Prenons l'exemple des travaux de Daphné Bavelier ⁶ (directrice du laboratoire de neuroscience cognitive, cerveau et apprentissages de l'université de Genève) qui mettent en évidence que les personnes qui jouent au moins cinq heures par semaine à des jeux vidéo d'action augmentent leur capacité attentionnelle visio-spatiale et leur plasticité cérébrale ⁷. Pour autant, faut-il conseiller aux enfants de jouer à des jeux vidéo d'action ? Bien d'autres paramètres entrent alors en compte comme le temps passé à jouer, les risques de désocialisation et le fait que l'augmentation de la capacité d'attention mesurée en laboratoire n'est pas exactement celle dont l'enfant aura besoin en classe font que ce résultat quoiqu'intéressant et ouvrant des perspectives de réflexion ne peut pas être transposé tel quel dans les pratiques scolaires ou sociales. Certains résultats de neurosciences peuvent donc fournir à l'enseignant des connaissances comme l'existence d'une capacité des êtres humains, dès leur plus jeune âge à percevoir les quantités d'un bloc jusqu'à trois. Cette capacité des élèves nommée le subitizing ou quantification peut être ensuite travaillée jusqu'à six au moins. Le fait qu'elle donne accès aux premiers nombres, sans avoir recours au comptage un à un des objets, peut être exploitée pédagogiquement pour donner accès aux nombres comme concept permettant de désigner une propriété d'une collection : le cardinal, c'est-à-dire comme représentant une quantité. Enfin ces travaux permettent de questionner certaines croyances encore appelées des neuromythes comme le fait que l'on apprenne en dormant, qu'il y ait un cerveau droit et un cerveau gauche, que les hommes soient mono-tâches et les femmes multitâches… Ces débats sont de la compétence des neuroscientifiques ou des psychologues, mais ils permettent toutefois de prendre du recul vis-à-vis d'idées préconçues sur l'apprentissage et des dispositifs d'enseignement pour mieux les analyser et les comprendre.

Ainsi, les situations proposées s'appuient sur les résultats de psychologie et de neurosciences tant dans leur conception, leur organisation que dans l'analyse des expérimentations qui ont permis de le produire. Ces connaissances sont exposées dans la suite de cette partie théorique ou dans l'analyse des situations.

Avoir une connaissance fine et approfondie des concepts mathématiques en jeu

La chercheuse de Liping MA ⁸ a réalisé une comparaison entre l'enseignement mathématique en primaire en Chine et aux États-Unis et a mis en évidence que le système chinois était plus efficace avec des enseignants ayant un niveau de mathématiques moins élevé. En analysant plus finement les différences entre les deux pays, elle a mis en évidence que si les enseignants américains avaient des connaissances « de haut niveau » en mathématiques, c'est-à-dire sur des objets mathématiques complexes comme les fonctions, les dérivées, les intégrales… les enseignants chinois avaient, eux, ce que l'auteure qualifie de : Profound Understanding of Fundamental Mathematics que l'on peut traduire par une compréhension approfondie des concepts mathématiques fondamentaux. Il est clair qu'il faut que les enseignants du primaire aient une connaissance d'objets mathématiques qui aille bien au-delà de ceux qui sont enseignés, mais, ce que cette recherche pointe, c'est qu'il faut également qu'ils aient des connaissances spécifiques sur les concepts de base. Connaître des mathématiques est une condition sine qua non pour les enseigner. En ce qui concerne les mathématiques de l'école maternelle, le fait qu'elles semblent tellement évidentes, naturelles rend justement plus important le fait de les comprendre en profondeur, dans leur épistémologie c'est-à-dire, d'une certaine manière, l'étude de la façon dont elles se sont construites, leur logique, mais aussi leur validité.

C'est cette compréhension profonde des concepts mathématiques enseignés à l'école maternelle qui sera visée dans les parties théoriques de cet ouvrage.

S'appuyer sur les recherches en didactique

Selon Régine Douady, « la didactique des mathématiques est l'étude de processus de transmission et d'acquisition des différents contenus de cette science, et qui propose de décrire et d'expliquer les phénomènes relatifs aux rapports entre son enseignement et son apprentissage. Elle ne se réduit pas à chercher une bonne manière d'enseigner une notion fixée ⁹ ».

Les recherches en didactique des mathématiques se fondent sur des méthodes scientifiques de sciences humaines pour produire ces résultats. Il peut s'agir, par exemple, de démarche d'ingénierie didactique. Michèle Artigue, décrit les fondements de cette démarche :

« Il s'agissait [au début des années 1980] d'étiqueter par ce terme une forme de travail didactique : celle comparable au travail de l'ingénieur qui, pour réaliser un projet précis, s'appuie sur les connaissances scientifiques de son domaine, accepte de se soumettre à un contrôle de type scientifique, mais, dans le même temps, se trouve obligé de travailler sur des objets beaucoup plus complexes que les objets épurés de la science et donc s'attaquer pratiquement, avec tous les moyens dont il dispose, à des problèmes que la science ne veut pas ou ne peut pas encore prendre en charge ¹⁰. »

L'ingénierie didactique consiste donc à s'appuyer sur des résultats scientifiques existants, dans le champ de la didactique ou d'autres sciences (psychologie…), à émettre des hypothèses que l'on appellera a priori, de les implémenter dans un processus expérimental et de vérifier a posteriori leur validité. D'autres approches, non développées ici, peuvent également être exploitées ¹¹.

Comme dans toute science, il existe des controverses et des débats. La complexité de la situation d'enseignement mise en évidence dans la citation de Michèle Artigue et le fait que l'on travaille avec des êtres humains qui ont, certes, des caractéristiques communes, mais également des singularités laissent la place à des interprétations différentes.

Différencier ce qui relève d'avis, d'opinions ou d'expériences individuelles et les travaux de recherche s'appuyant sur des méthodes clairement exposées, mettant en évidence leur portée et le niveau de généralité des résultats, permet à l'enseignant de faire des choix.

L'enseignant doit donc être un professionnel capable de faire ces choix et surtout de mesurer leurs effets sur sa classe en particulier, de façon la plus objective possible et si nécessaire de faire des modifications ou des adaptations.

Pour cela, les méthodes de la didactique des mathématiques sont autant d'outils à disposition de l'enseignant pour comprendre les phénomènes auxquels il va être confronté.

L'enseignant d'école maternelle est donc un professionnel des apprentissages qui doit posséder des connaissances sur les résultats des recherches afin d'effectuer des choix en fonction des besoins de ses élèves et du contexte de sa classe.

2. Bulletin officiel du 25 juillet 2013.

3. Bucheton Dominique, Dezutter Olivier, Le Développement des gestes professionnels dans l'enseignement du français. Un défi pour la recherche et la formation, De Boeck Supérieur, « Perspectives en éducation et formation », 2008.

4. Définitions extraites du dictionnaire Larousse.

5. Dehaene Stanislas, « 15. Que nous apprennent les neurosciences sur les meilleures pratiques pédagogiques ? », Regards croisés sur l'économie n° 12, 2012, 231-244. doi :10.3917/rce.012.0231.

6. Conférence disponible sur le site du collège de France : www.college-de-france.fr/site/stanislas-dehaene/symposium-2014-11-13-15h00.htm

7. Achtman R. L., Green C. S., Bavelier Daphne, « Video games as a tool to train visual skills », Restorative neurology and neuroscience, 26, 2008 (4, 5), 435-446.

8. Liping Ma, Knowing and Teaching Elementary Mathematics, New York, Routledge, 2010, p. 104.

9. Douady Régine, Jeux de cadres et dialectique outil-objet dans l'enseignement des mathématiques, thèse d'État, Université Paris ; 7. Dreyfus T., Eisenberg T., On the dep structure of functions: Procedings of PME 1, vol.1, Montréal, 1987, p. 190-196.

10. Artigue Michèle, « Ingénierie didactique », Recherches en didactique des mathématiques, 9/3, 1989, p. 281-308.

11. Pour aller plus loin sur ce sujet : méthodes de recherche en didactiques dirigées par Marie-Jeanne Perrin-Glorian et Yves Reuter.

Partie 2

Partie 2 - Nombre et calcul

Définitions et progressivité des apprentissages

Partie 3

Partie 3 - Formes, grandeurs et repérage dans le temps et l'espace

Progressivité

À propos des formes et du vocabulaire

À l'école maternelle, comme vu dans la partie théorique (p. 28) le travail se place dans le spatial (ou la GI) c'est-à-dire dans la résolution de problèmes qui ont une matérialité et dont la réussite (ou la validation) se fait par la pratique, le concret. La particularité des objets étudiés c'est que se mêlent des formes manipulables (les solides) avec des formes représentées (les surfaces planes : carré, rectangle, « rond »). Faire que, pour l'élève ces deux types d'objets renvoient au même concept au sens de Vergnaud (p. 23) est un enjeu important dans lequel le langage tient une place.

L'exemple du mot « rond »

Les programmes de 2015 préconisent de désormais préférer les termes de « cercle » ou de « disque » à la place de « rond ». Cela conduit à rappeler cette précision mathématique : le cercle, c'est l'ensemble des points à égale distance du centre, alors que le disque, c'est « l'intérieur du cercle », c'est-à-dire les points situés à une distance inférieure ou égale à une longueur donnée (le rayon).

Différence cercle / disque

Aussi, par ce simple remplacement d'un mot en deux autres, on ajoute une modification de concept qu'il faudrait gérer avec les élèves.

Le terme « rond », le plus souvent, était utilisé par les enseignants comme un mot-valise pratique, et désignait alors toute forme (le plus souvent pleine) liée au cercle, fusse-t-elle un disque.

Cette distinction sera d'autant plus délicate qu'elle n'existe pas pour les autres formes : le carré pourra être aussi bien l'ensemble des points situés sur les quatre côtés que l'intérieur de la forme ainsi délimitée.

Les objets 3D ou 2D ?

En plus de cette question du nom attaché aux objets, s'ajoute le problème des formes qui sont réellement manipulées : lorsque l'on veut faire travailler les élèves de maternelle sur les objets 2D, deux choix sont possibles : travailler avec des représentations (dessins, ensemble de traits ou aplats de couleurs) ou avec des formes. Par exemple, dans les activités de tri de blocs logiques les objets que les élèves ont en main ne sont pas réellement des carrés ou des disques, mais des pavés ou des cylindres dont l'une des dimensions est très petite (on parlera de l'épaisseur). À partir de quand un élève ou même l'enseignant considère-t-il que les objets manipulés sont 2D ou 3D ?

Contrairement à quelques idées reçues, le travail sur les solides, donc en trois dimensions, est finalement plus évident que l'étude des objets en deux dimensions, non manipulables pour lesquels une confusion lexicale est toujours possible.

Dans la suite du propos sera fait le choix de travailler d'abord avec des solides, puis d'utiliser cette étude pour ensuite travailler sur les surfaces planes 2D et des représentations de surfaces planes : le carré c'est la face du cube, le disque une face du cylindre.

La place du dessin et des représentations

Les représentations des objets de l'espace peuvent être de plusieurs natures : des photographies, des dessins en perspectives (le « s » est volontaire car il existe plusieurs types de perspectives), des dessins techniques qui permettent de comprendre comment l'objet est fait. Par ailleurs, avec les technologies numériques peuvent aussi exister des représentations 3D manipulables « presque » comme des objets de l'espace.

Parmi ces représentations, certaines posent plus de problèmes que d'autres. Apprendre à reconnaître les objets 3D dessinés en perspective nécessite un apprentissage. Le travail de Bernard Parzsyz et François Colmez (1993) sur le « vu » et le « su » montre l'évolution des représentations d'une pyramide par des élèves de CE2 à la seconde. Les difficultés de gestion entre ce que l'élève voit et ce qu'il sait de l'objet sont difficiles à surmonter. Pour des élèves de maternelle, cela invite à mettre à distance les représentations dessinées en perspectives fournies par l'enseignant et, une nouvelle fois, à privilégier les solides réels.

Cela ne veut pas dire pour autant que l'élève ne puisse pas dessiner. Les enfants dessinent pour le plaisir, pour se rappeler, pour communiquer. Dans le cadre de la géométrie, ils pourront transmettre des propriétés d'objet par le dessin.

La principale difficulté vient donc du fait d'imposer des dessins reconnus socialement par les adultes sans que l'élève ait les moyens de se les approprier, d'en comprendre les codes véhiculés. Bien qu'elles semblent proches de ce que ce l'on voit, ces représentations ne présentent pas d'évidence pour les élèves. On évitera donc de proposer des représentations qui ne soient pas elles-mêmes l'enjeu de l'apprentissage ou qui n'aient été travaillées avec les élèves.

Ainsi, des situations proposées se basent sur la perception des solides et de leurs propriétés. L'un des premiers objectifs sera donc de construire la représentation mentale des solides, ce qui passe par des activités de toucher, de communication, afin que les élèves fassent abstraction des autres propriétés des objets : un cube bleu et un cube rouge cela reste un cube, une petite balle ou une grosse balle c'est une balle, etc.

À propos du repérage dans l'espace

En partant des propos de Fabien Emprin (2013), ces procédures seront classées en deux grandes catégories en fonction de la place de l'observateur.

Procédure dépendante de l'observateur :

Centrée sur l'observateur : « devant moi », « à ma gauche ».

Centrée sur un objet non orienté : « derrière l'arbre » ne peut être compris que relativement à l'observateur qui voit l'objet derrière l'arbre.

Procédure indépendante de l'observateur :

Relative à un objet orienté « devant la mairie » dans ce cas, quelle que soit la place de l'observateur la communication est la même mais le mode de repérage reste relatif.

Absolue, fixée par un système de repères. Ce sont bien des systèmes dans la mesure où ils permettent de repérer n'importe quel point de l'espace en utilisant la même méthode. Alors que dire « le ballon est sous le banc rouge » ne permet de repérer que les objets qui sont sous, sur ou à côté d'un objet fixe. Ce système de repère peut être de nature différente.

Système de repérage géométrique : à 17 mètres de l'arbre, à 23 mètres du pont, du côté de la rivière.

Système de repérage cartésien : Système à une dimension : sur la ligne 47 direction Kremlin Bicêtre c'est la troisième station après Monge. Dans ce cas, on considère la trajectoire courbe de la ligne de métro comme linéarisée (comme elle est d'ailleurs affichée dans les rames, avec la succession des stations).

Système à deux dimensions et plus : repère cartésien, à trois dimensions longitude, latitude, altitude. À quatre dimensions en incluant le temps, j'étais à 17 h 00 aux coordonnées (x, y, z).

Système de repérage par nœuds (utilisation de graphes) par exemple sur une carte de ville à l'intersection de la rue Sébastopol et du faubourg Saint-Denis.

Bien évidemment, tous ces systèmes ne sont pas des enjeux de l'école élémentaire.

En moyenne section, les élèves commencent à utiliser des repérages indépendants de l'observateur (regarde vers l'aquarium), en grande section et CP les élèves font des déductions spatiales et se décentrent (jeu des chats ¹), se mettent à la place d'un autre mentalement. En CE1 ils opèrent des changements de points de vue, passent du plan à différentes vues. En CE2 ils accèdent à la nécessité de donner un repère fixe pour communiquer des positions dans un système de repérages (position de cases dans un quadrillage, objets dans un plan qu'il faut orienter). En CM on passe de la case au nœud de quadrillage puis au repérage dans un espace continu (sans quadrillage).

Là encore, le langage est un vecteur présent au cœur des apprentissages. Avec toutes les difficultés qui en découlent… On peut pointer l'une de ces difficultés, celle liée au vocabulaire spécifique des mathématiques, c'est-à-dire l'ambiguïté due au fait que certains mots n'ont pas le même sens suivant leur utilisation en maths, dans une autre discipline de l'école, ou encore dans leur sens commun. Par exemple, si un enseignant travaille avec ses élèves la notion et le vocabulaire « devant / derrière » sur des objets : celui qui est devant est celui que le regard croise en premier, celui qui « cache » l'autre. Une fois cette séance terminée, dans un autre contexte (celui de la cour de récréation), l'enseignant dit aux mêmes élèves : « Oh, vos parents sont déjà arrivés devant la grille. » Évidemment, ici, le mot « devant » signifie « derrière » dans le sens travaillé lors de la séance qui vient de s'achever… Mais dans « la vraie vie », on considère la grille comme un objet orienté et ce qui était vrai en classe ne l'est plus dans la cour de récréation… Cela montre bien que ces obstacles bien gérés par les élèves qui savent naturellement décloisonner ces deux environnements, peuvent chez d'autres êtres assez résistants…

Une variable didactique a été mise en valeur dans la thèse de René Berthelot et Marie-Hélène Salin (1993) et par Guy Brousseau (2000). Ils ont déterminé « trois “conceptions” de l'espace et par conséquent trois “milieux” spatiaux correspondants » :

Le micro-espace, qui touche à ce qui est dans l'entourage immédiat des élèves, ce qu'ils peuvent voir, toucher, manipuler facilement.

Le macro-espace, qui met en jeu un environnement que les élèves ne peuvent pas questionner.

Et entre les deux, le méso-espace : environnement qui, sans qu'il puisse le toucher, est accessible à l'élève à sa vue, par un déplacement repérable depuis sa place.

Ce qui est intéressant pour l'enseignant c'est que les procédures des élèves seront dépendantes du type d'espaces et donc du milieu choisi pour poser le problème.

On imagine une forme géométrique à choisir parmi plusieurs pour compléter un puzzle. Ce problème se situe dans le micro-espace : l'élève peut retourner les pièces, les mettre au-dessus, les emboîter, il pourra également en essayer plusieurs, choisir en manipulant. Si les pièces sont visibles par lui, mais un peu éloignées, et qu'il doit les commander à un pair, alors il devra décrire de manière précise, en tenant compte des autres pièces présentes, donc en procédant, par exemple, par élimination. Enfin, si les pièces sont situées dans une autre salle, il devra, dans sa commande, être beaucoup plus précis, ou activer des compétences de mémorisations précises s'il peut se déplacer dans l'autre pièce, sans emmener son puzzle bien sûr.

Maintenant si l'élève doit assembler des blocs d'activité d'EPS en mousse ou des tapis dans la salle de motricité, il ne peut pas les voir sous toutes leurs formes, il ne peut plus non plus les mettre au-dessus de l'emplacement et vérifier à l'œil que le bloc convient. Les essais restent possibles mais sont beaucoup plus coûteux. Enfin travailler dans la cour de récréation pour savoir où l'estrade de la fête de l'école peut être mise interdit les essais-erreurs, la visualisation directe et donc mobilise des outils spécifiques comme la mesure et le travail sur un plan.

En jouant sur les types d'espaces, l'enseignant modifie les types de procédures pertinentes.

À propos des niveaux de pensées en géométrie

Selon la théorie des niveaux de pensées de Van Hiele (1957, cité par Braconne-Michoux, 2014), la compréhension des concepts géométriques suit cinq étapes successives ; il est nécessaire d'en maîtriser une avant de passer à la suivante.

Ainsi, chaque niveau de pensée a son propre vocabulaire, et un même mot peut différer de sens suivant le niveau : comme vu précédemment, un « carré » est perçu de façon différente par un élève de maternelle (qui reconnaît la forme globalement), par un collégien qui saura le définir par la donnée de 4 points (A, B, C, D) par le fait que [AC] (le segment AC) et [BD] (le segment BD) ont même milieu, sont de même longueur et perpendiculaires par exemple. C'est un dessin dans le premier cas, une figure géométrique dans le deuxième.

Les cinq niveaux de pensées de Van Hiele sont les suivants :

Niveau 1 : identification-visualisation. Cela correspond au stade de la perception globale de l'objet, un carré « posé sur la pointe » est alors souvent un losange, les élèves ne perçoivent pas qu'une figure puisse être dans deux catégories (un carré, ce n'est pas un rectangle).

Niveau 2 : analyse. À ce stade, les élèves perçoivent les propriétés des figures. Pour autant, ces propriétés ne sont pas utilisées en tant que telles, et les élèves n'ont pas conscience qu'il n'est pas besoin de tout dire pour identifier une figure (c'est un carré car il a quatre angles droits, quatre côtés égaux, des diagonales perpendiculaires et de même longueur, etc.).

Les niveaux 3 (déduction informelle), 4 (déduction formelle) et 5 (rigueur) ne concernent pas les premiers niveaux de l'école.

Cependant, connaître ces différents niveaux semble pertinent, le rôle de l'enseignant étant d'accompagner les élèves du niveau 0 (PS-MS), quand ils découvrent ces objets, au niveau 1 (MS-GS) puis au niveau 2 pour préparer l'entrée à l'école élémentaire tout en considérant que des allers-retours entre ces niveaux sont possibles notamment en fonction des domaines travaillés : les solides usuels, les objets 2D…

1. In Emprin et Emprin