LES AUTEURS

SAÏD CHERMAK

Professeur de mathématiques

Spécialisé dans la remédiation et l’accompagnement à distance

Préparation en visioconférence à l’épreuve de mathématiques du CRPE

depuis 2008

DANIEL MOTTEAU

Professeur ESPE formateur Maths 1er degré, ESPE de Bretagne

Responsable ESPE, Master MEEF PLC Maths UBS

Directeur OF Profecoles

Direction éditoriale : Pascaline Citron

Édition : Stephanie Dizel-Doumenge, Aurore Champavère

Fabrication : Lysiane Bouchet

Conception graphique et mise en pages : Lucille Pachot

Illustrations : Pollux

© Éditions Nathan, 2022

92 avenue de France - 75013 Paris

ISBN : 9782095001650

Code éditeur : 223826

ISSN : 2823-9245

ORGANISATION DE L’OUVRAGE

SUR CHAQUE SUJET, JE COMPLÈTE LES 3 NIVEAUX D’EXERCICES
ET J’ÉVALUE MA PROGRESSION À L’AIDE DES CORRIGÉS

 NIVEAU 1 → Pour débuter l’entrainement

 NIVEAU 2 → Pour confirmer les acquis

 NIVEAU 3 → Pour aller plus loin !

JE PRÉCISE CERTAINS POINTS

Le célèbre personnage de mathématiques Pythagore me rappelle certaines définitions ou théorèmes indispensables.

JE PRÉPARE LE CRPE AVEC DES CONTENUS INÉDITS

Rendez-vous sur , dans l’espace Lea.fr / Devenir enseignant / Préparer le CRPE pour découvrir un accompagnement complet pour les mathématiques et les autres épreuves du concours !

Introduction

Cet ouvrage a pour objectif de vous préparer au concours de recrutement de professeurs des écoles (CRPE) en vous assurant une solide culture mathématique.

POURQUOI UN CAHIER D’ENTRAINEMENT ?

Pour réussir le concours de recrutement de professeurs des écoles (CRPE), il est indispensable de réussir de façon satisfaisante dans chacune des épreuves d’admissibilité. L’épreuve écrite d’admissibilité de mathématiques puis l’épreuve orale de leçon (admission) en mathématiques sont des passages obligés. Vous ne pourrez pas y échapper !

RAPPEL DES ÉPREUVES DE MATHÉMATIQUES

• Épreuve écrite disciplinaire de mathématiques (admissibilité)

Durée : 3 heures

Coefficient : 1 – Notée sur 20

Contenu : ensemble d’au moins trois exercices indépendants, permettant de vérifier les connaissances du candidat.

• Épreuve de leçon (admission)

Durée de préparation : 2 heures – Durée de l’épreuve : 1 heure (conjointe avec le Français)

Coefficient : 4 – Notée sur 20

Contenu : conception et animation d’une séance d’enseignement à l’école primaire (dossier en appui)

Programme : l’ensemble des connaissances, compétences et démarches intellectuelles du socle commun de connaissances, compétences et culture, et les programmes des cycles 1 à 4

Que faire et comment procéder si vous avez depuis longtemps perdu contact avec cette discipline des études secondaires ?

Que faire et comment procéder si cette discipline n’a jamais été parmi vos préférées ?

Comment renouer ou tout simplement nouer une relation avec les mathématiques qui va vous permettre de progresser et d’atteindre le niveau requis pour le concours ?

Que ce soit dans les ouvrages ou sur internet, les exercices ne manquent pas. Alors que peut vous apporter de plus cet ouvrage ? N’est-il pas qu’une compilation d’exercices de plus ?

Travailler seul sans aucun guide présente le grand danger de la dispersion, du travail tous azimuts sans réelle efficacité.

Dans cet ouvrage, vous trouverez d’abord :

− Une approche exhaustive du programme, une présentation structurée, ce qui vous évitera un travail inutile en ciblant les connaissances et compétences attendues pour le concours.

− Une répartition claire par domaines et chapitres des exercices à travailler :

• Nombres

• Arithmétique

• Calcul algébrique

• Fonctions numériques

• Probabilités…

Ensuite les listes d’exercices proposées dans chacun des chapitres vont vous permettre d’organiser votre travail, d’évaluer votre progression, et savoir quand vous pouvez être satisfait du niveau atteint dans un domaine ou un autre.

Vous pourrez, par exemple, dire : « Ça y est ! Je suis prêt à affronter les probabilités au concours ! ». Quelle satisfaction !

Dans chacun des 14 chapitres, vous trouverez une série d’exercices qui recensent l’ensemble des savoirs et savoir-faire indispensables pour une réussite satisfaisante au concours.

TROIS NIVEAUX D’ENTRAINEMENT

Les exercices sont classés selon trois niveaux d’expertise (facilement repérables grâce à des codes couleurs) :

 NIVEAU 1

Ces exercices vont vous permettre de revenir à l’essentiel, les savoirs et savoir-faire basiques, tout à fait indispensables à bien maitriser.

Exemple :

Une urne contient trois boules blanches et deux boules noires.

On tire une boule de l’urne, quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche ?

Réponse : p =

On mobilise ici la connaissance de base, la probabilité d’un évènement simple est égale au quotient : nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.

 NIVEAU 2

Pour ces exercices, vous devrez mobiliser les connaissances et compétences acquises lors du travail sur les exercices du NIVEAU 1, mais vous devrez également faire preuve d’une capacité à les utiliser à bon escient, à prendre des initiatives, à les utiliser dans un raisonnement un peu plus complexe.

Exemple :

Dans une urne il y a des boules blanches et des boules noires.

On tire une boule de l’urne.

On sait que la probabilité d’obtenir une boule blanche est , quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire ?

Réponse : p = 1 –  =

La connaissance utilisée dans l’exercice précédent de niveau 1 est indispensable mais insuffisante, il faut savoir aller plus loin : reconnaitre que les événements « obtenir une boule blanche » et « obtenir une boule noire » sont des événements contraires et donc que p (« obtenir une boule noire ») = 1 – p (« obtenir une boule blanche »)

 NIVEAU 3

Ce sont les exercices parmi les plus difficiles posés au concours. Il faut être rompu aux différents types de raisonnements que l’on a pu rencontrer dans les exercices de NIVEAU 2, savoir aller vite et aller à l’essentiel. Il faut aussi savoir décloisonner ses connaissances et utiliser, si nécessaire, des connaissances d’autres chapitres.

Exemple :

On dispose d’un dé tétraédrique truqué numéroté de 1 à 4.

La probabilité d’apparition de chacune des faces est proportionnelle au nombre porté par cette face.

Quelle est la probabilité d’obtenir la face 4 ?

Réponse : p (« obtenir la face 4 ») =

Si on appelle pi la probabilité d’obtenir la face i, on a :

P1 + P2 + P3 + P4 = 1

P1 + 2P1 + 3P1 + 4P1 = 1

Réponse : P1 =  et donc P4 =  =

Vous pourrez faire de cet ouvrage l’outil de votre réussite au concours.

Bon entrainement !

PARTIE 1

LES NOMBRES

EXERCICES

 NIVEAU 1

Exercice 1

Calculez les expressions suivantes :

= =

= =

= =

= =

= =

= =

Exercice 2

Écrivez les expressions suivantes sous la forme d’une puissance de 2 :

= =

= =

= =

Exercice 3

Écrivez sous la forme d’une puissance de 2 ou de 3 les nombres suivants :

= =

= =

= =

Exercice 4

Simplifiez les nombres suivants :

= =

= =

= =

Exercice 5

Calculez les expressions suivantes :

=

=

=

=

=

=

=

=

 NIVEAU 2

Exercice 6

Retrouvez les parenthèses manquantes dans les égalités suivantes et rajoutez-les :

Exercice 7

Complétez les phrases suivantes :

La somme de deux nombres vaut 0, un des deux nombres est l’ de l’autre, le produit de ces deux nombres est toujours .

Le produit de deux nombres vaut 1, un des deux nombres est l’ de l’autre.

Exercice 8

Effectuez les additions et soustractions suivantes et donnez le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

=

=

=

Exercice 9

Complétez les égalités suivantes :

Exercice 10

Effectuez les calculs suivants. Donnez les résultats sous forme d’une fraction irréductible :

=

=

=

=

Exercice 11

Simplifiez les écritures fractionnaires suivantes et donnez le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

=

=

=

=

Exercice 12

Simplifiez les quotients suivants et donnez le résultat sous forme d’une fraction irréductible :

=

=

=

=

Exercice 13

Complétez par des entiers les égalités suivantes :

a) (8 × 12)5 = 2…… × 3……

b) (302 × 20)3 = 2…… × 3…… × 5……

Exercice 14

Une fraction a pour dénominateur 95, on sait qu’elle représente un rationnel non décimal. Parmi les nombres suivants, quel nombre peut être son numérateur ? Entourez la bonne réponse.

a) 5

b) 95

c) 57

d) 665

e) 19

Exercice 15

Écrivez à l’aide d’un seul radical les nombres suivants :

=

=

=

Exercice 16

Écrivez les nombres suivants avec un dénominateur entier :

Exercice 17

Montrez que les nombres et sont inverses l’un de l’autre.

Exercice 18

a) Les nombres suivants (cf. tableau ci-après) sont-ils des entiers naturels, entiers relatifs, décimaux, rationnels, réels ? Cochez la bonne case.

b) Rangez ces nombres dans l’ordre croissant.

c) Lorsque cela est possible, donnez l’écriture décimale des nombres qui sont donnés en écriture fractionnaire et une écriture fractionnaire des nombres rationnels qui sont donnés en écriture décimale.

entier naturel

entier relatif

décimal

rationnel

réel

Rang

écriture décimale / fractionnaire

1,069

14,38

 NIVEAU 3

Exercice 19

On donne les nombres rationnels suivants :

. Répondez aux questions en entourant la bonne réponse :

a) Les nombres A et B sont-ils des décimaux ? oui non

b) Le nombre A + B est-il un décimal ? oui non

Exercice 20

On considère deux nombres .

a) Sont-ils des décimaux ? Entourez la bonne réponse. oui non

b) Comparez ces deux nombres :

c) Trouvez un nombre décimal strictement compris entre ces deux nombres :

d) Trouvez une fraction qui ne soit pas un nombre décimal, strictement comprise entre ces deux nombres :

Exercice 21

Un nombre à trois chiffres dont le chiffre des dizaines est différent de zéro est 26 fois plus grand que le nombre à deux chiffres formé en enlevant le chiffre des centaines.

Déterminez toutes les solutions possibles.

Exercice 22

Les multiples de 21 dont l’écriture nécessite deux chiffres sont 21 ; 42 ; 63 et 84. Pour écrire cette liste de multiples, il faut huit caractères d’imprimerie.

a) Combien en faut-il pour écrire la liste des multiples de 21 dont l’écriture nécessite trois chiffres ?

b) Combien en faut-il pour écrire la liste des multiples de 21 dont l’écriture nécessite cinq chiffres ?

CORRIGÉS

NIVEAU 1

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

NIVEAU 2

Exercice 6

Exercice 7

La somme de deux nombres vaut 0, un des deux nombres est l’opposé de l’autre, le produit de ces deux nombres est toujours négatif.

Le produit de deux nombres vaut 1, un des deux nombres est l’inverse de l’autre.

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Réponse : a) 5

Comme 95 = 5 × 19 et que 19 est un nombre premier alors le numérateur de la fraction doit être un multiple de 5 et premier avec 19.

La bonne réponse est donc 5.

En effet on a bien qui est un rationnel non décimal.

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

Deux nombres non nuls sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1.

On en conclut que est l’inverse de .

Exercice 18

a)

• , donc .

• , donc .

• est un rationnel car il a une écriture décimale illimitée et périodique de période 3. Rappel : une fraction irréductible représente un nombre décimal si son dénominateur est uniquement composé d’un produit de puissances de 2 et de puissances de 5).

• (son dénominateur ).

• (son dénominateur ).

• 1,069 est un décimal. 1 est la partie entière et 0,069 est la partie décimale.

• est un entier naturel.

• est un irrationnel : il a une écriture décimale illimitée et non périodique.

• 14,38 est un décimal, 14 est la partie entière et 0,38 est la partie décimale.

• est un rationnel car il a une écriture décimale illimitée et périodique de période 52.

b) Le rangement dans un ordre croissant donne :

c)

• Écriture décimale des nombres qui sont donnés en écriture fractionnaire.

• Écriture fractionnaire des nombres rationnels qui sont donnés en écriture décimale.

• Écrivons sous la forme d’une fraction irréductible.

Posons . On a donc

Par soustraction membre à membre des deux égalités on obtient

,

d’où

• Posons

Par soustraction membre à membre des deux égalités on obtient

D’où

NIVEAU 3

Exercice 19

a) , donc A n’est pas un décimal.

On a , B n’est pas un décimal car le dénominateur de la fraction irréductible B n’est pas uniquement composé d’un produit de puissances de 2 et de puissances de 5. En effet .

Réponse : A n’est pas un décimal, B n’est pas un décimal.

b)

Réponse : On en déduit que A + B est bien un décimal.

Exercice 20

a)

• Considérons la fraction . Cette fraction est irréductible.

En effet , les nombres 5, 11 et 29 étant premiers.

Comme son dénominateur n’est pas composé uniquement d’un produit de puissances de 2 et de puissances de 5 alors la fraction n’est pas un décimal.

• Considérons la fraction . Cette fraction est réductible. En effet .

La fraction est un décimal car le dénominateur de la fraction irréductible est une puissance de 5. En effet . Son écriture décimale est 0,52.

Réponses : n’est pas un décimal ; est un décimal.

b) suite décimale illimitée périodique et .

On en déduit que .

c) On a et

Comme alors

Réponse : 0,525 est donc un décimal compris entre ces deux nombres.

d) Pour trouver une fraction qui ne soit pas un nombre décimal, strictement comprise entre ces deux nombres il suffit de calculer leur moyenne arithmétique car est un rationnel.

On a donc

Réponse : est bien une fraction non décimale telle que

Exercice 21

Soit N le nombre à trois chiffres et M le nombre à deux chiffres obtenu à partir du précédent en enlevant le chiffre des centaines.

On a donc et avec

On a

Comme alors ce qui équivaut à ,
soit .

Comme alors ,

D’où N = 104 × c

Comme le chiffre c peut prendre les valeurs {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} alors N est égal à :

(Réponse) {104, 208, 312, 416, 520, 624, 7 728, 832, 936}

Exercice 22

a) Les multiples de 21 dont l’écriture nécessite trois chiffres sont compris entre 100 et 999.

On a donc où n est une entier naturel.

En divisant les membres de cette double inégalité par 21 on obtient ,

avec .

Comme n est un entier naturel alors 5 ⩽ n ⩽ 47

47 – 5 + 1, soit 43 est le nombre de multiples possibles.

Réponse : Le nombre de caractères nécessaires pour écrire ces 43 nombres à trois chiffres est donc 43 × 3, soit 129 caractères.

b) On tiendra le même raisonnement pour cinq chiffres.

Les multiples de 21 dont l’écriture nécessite cinq chiffres sont compris entre 10 000 et 99 999.

On a donc 10 000 < 21 × n < 99 999 où n est un entier naturel.

En divisant les membres de cette double inégalité par 21 on obtient ,

avec .

Comme n est un entier naturel alors 477 ⩽ n ⩽ 4761

4 761 – 477 + 1, soit 4 285 est le nombre de multiples possibles.

Réponse : Le nombre de caractères nécessaires pour écrire ces 4 285 nombres à cinq chiffres est donc 4 285 × 5, soit 21 425 caractères.

PARTIE 2

ARITHMÉTIQUE – LES OPÉRATIONS DANS ℕ

EXERCICES

 NIVEAU 1

Exercice 1

Quelle est la décomposition de 138 en facteurs premiers ? Entourez la bonne réponse :

a) 2 × 3 × 3 × 7 c) 2 × 69

b) 2 × 3 × 23 d) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Exercice 2

Combien de diviseurs possède 352 ? Entourez la bonne réponse :

a) 6 c) 12

b) 5 d) 10

Exercice 3

3 815 est-il divisible par 15 ? Entourez la bonne réponse :

a) Oui

b) Non

c) On ne peut pas le savoir

Exercice 4

La liste des diviseurs de 972 est (entourez la bonne réponse) :

a) 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 243, 324, 486, 972.

b) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 243, 324, 486, 972.

c) 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 243, 324, 486, 972.

d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 18, 27, 54, 81, 162, 243, 324, 486, 972.

Exercice 5

Quel est le PGCD de 2 400 et 330 ? Entourez la bonne réponse :

a) 0

b) 30

c) 1

d) 8

Exercice 6

Quel est le PPCM de 852 et 158 ? Entourez la bonne réponse :

a) 2

b) 33 654

c) 158

d) 67 308

Exercice 7

Dans l’expression 25 = 8 × 3 + 1, quels sont le dividende, le diviseur et le reste ? Entourez la bonne réponse :

a) dividende : 24 ; diviseur : 25 ; reste : 1.

b) dividende : 25 ; diviseur : 8 ; reste : 1.

c) dividende : 8 ; diviseur : 3 ; reste : 1.

d) dividende : 25 ; diviseur : 8 ; reste : 3.

Exercice 8

Le nombre est divisible par 3. Listez tous les nombres possibles :

 NIVEAU 2

Exercice 9

Le PGCD de deux nombres est 12, leur PPCM est 360.

Quelles sont toutes les possibilités pour ces deux nombres ?

Exercice 10

Rémi a 360 billes. Il décide de les ranger dans des sacs. Chacun des sacs doit contenir le même nombre de billes, qui doit être compris entre 20 et 50, mais Rémi dispose de moins de 10 sacs.

Quelles sont les différentes possibilités de rangement de ces billes ?

Exercice 11

Dans la division euclidienne d’un nombre non nul par 7, on trouve un quotient égal au double du reste. Trouvez toutes les valeurs possibles du dividende, du quotient et du reste de cette division.

Exercice 12

Une caisse à parois rectangulaires a pour dimensions en centimètres : 180, 150, et 90. On veut fabriquer des boites cubiques toutes identiques, aussi grandes que possible, avec une arête qui mesure un nombre entier de centimètres, et en nombre suffisant pour remplir totalement la caisse.

Déterminez le nombre de boites nécessaires et leurs dimensions.

Exercice 13

Une école regroupe tous ses élèves pour organiser un grand jeu par équipes.

Si les élèves sont groupés par 7, il en reste 6.

Si les élèves sont groupés par 11, il en reste 10 mais il y a 8 équipes de moins !

Combien y a-t-il d’enfants dans cette école ?

Exercice 14

Dans la division euclidienne de l’entier A par 11, le quotient est Q et le reste est R. Trouvez en fonction de Q et de R, le quotient et le reste dans la division euclidienne de A + 300 par 11.

Exercice 15

Si vous souhaitez tapisser une pièce rectangulaire, dont les dimensions sont 45 m et 60 m, avec des tapis carrés dont le côté est un nombre entier de mètres, en utilisant le moins de tapis possible, quelles doivent être les dimensions d’un tapis ?

Exercice 16

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Entourez la bonne réponse :

a) Si a est un nombre entier pair alors a2 est aussi un nombre entier pair. vrai faux

b) a et q sont deux nombres entiers naturels. L’égalité a = 13q + 18 montre que q est le quotient euclidien de a par 13. vrai faux

c) Si le nombre à quatre chiffres est un multiple de 3 alors le nombre b est un multiple de 3. vrai faux

d) Le produit de trois nombres consécutifs dont le premier est pair est divisible par 24. vrai faux

Exercice 17

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Entourez la bonne réponse :

a) Le nombre 4 700 001 est un nombre premier. vrai faux

b) Les nombres 3212 et 1615 + 3 sont égaux. vrai faux

c) La somme des carrés de deux nombres entiers naturels consécutifs est toujours un nombre impair. vrai faux

 NIVEAU 3

Exercice 18

a) Quels sont les nombres inférieurs à 10 qui possèdent exactement trois diviseurs ?

b) Je suis un nombre à trois chiffres dont la somme vaut 13 et je possède exactement trois diviseurs. Qui suis-je ? Trouvez ce nombre (il est unique).

Exercice 19

Déterminez le nombre entier N satisfaisant simultanément aux trois conditions ci-dessous :

– N est divisible par 6 ;

– N n’est pas divisible par 8 ;

– N a exactement 15 diviseurs.

Exercice 20

Un supermarché reçoit une livraison de bouteilles. Si l’on compte les bouteilles par 3, 5 ou 7, il en reste toujours 2.

Sachant que le nombre de bouteilles livrées est compris entre 1 500 et 1 600, combien de bouteilles le supermarché a-t-il reçues ?

Exercice 21

Déterminez le nombre entier a, sachant que :

– ce nombre s’écrit avec 4 chiffres ;

– il est supérieur à 7 000 ;

– il est multiple de 45 ;

– il est impair ;

– et le chiffre des milliers est le double de celui des centaines.

Quel est ce nombre ?

Exercice 22

La numération sexagésimale (base 60) exigerait l’utilisation de 60 chiffres distincts !