LES AUTEURS

DANIEL MOTTEAU

Professeur ESPE formateur Mathématiques 1er degré, ESPE de Bretagne
Responsable ESPE, Master MEEF PLC Maths UBS

Directeur de Profecoles

CLAUDE JEGADEN

Professeur des écoles, maitre formateur

Formateur Profecoles

ANNE-ROZENN MOREL

Formatrice à l’INSPÉ de Bretagne

Elle a consacré sa thèse de littérature aux fictions utopiques pendant la Révolution française. Ses domaines de recherche actuels sont : l’approche sensible des oeuvres d’art, l’utopie et la dystopie dans les romans de science-fiction pour adolescents, les valeurs dans la littérature de jeunesse. Elle est membre du groupe départemental français du Finistère.

SYLVIE MÉRIC-PONS

PEMF, Professeure des écoles

Maitre formatrice à l’INSPÉ de Bretagne

Ses travaux de recherche ont porté sur l’enseignement du lexique en lien avec la production d’écrits au cycle 2. Elle est membre du groupe départemental français du Finistère.

Direction éditoriale : Pascaline Citron

Édition : Stephanie Dizel-Doumenge, Claire Garoux

Fabrication : David Fauro

Conception graphique : Lucille Pachot

Mise en pages : Facompo (Mathématiques), Lucille Pachot (Français)

Illustrations : Pollux

© Éditions Nathan, 2024

92 avenue de France - 75013 Paris

Dépôt légal : janvier 2024

ISBN : 978-209-503173-2 - ISSN : 2823-9245

Code éditeur : 374294

SOMMAIRE MATHÉMATIQUES

Présentation et préparation de l’épreuve

A – L’ÉPREUVE DE LEÇON

B – LES PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES

C – ENSEIGNER LES MATHÉMATIQUES À L’ÉCOLE PRIMAIRE

D – MÉTHODOLOGIE D’APPROCHE DES SUJETS : CONCEVOIR UNE SÉANCE ET SON ANIMATION, PRÉPARER UNE PRESTATION ORALE

E – ORGANISATION DE L’OUVRAGE

Sujet 1. LES NOMBRES CP

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 2. NOMBRES ET CALCULS CE1

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 3. MULTIPLICATION CE2

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 4. DIVISION EUCLIDIENNE CM1

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 5. FORMES ET GRANDEURS GS  CRPE 2023 

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 6. DÉCOMPOSITION ADDITIVE GS

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 7. FRACTIONS SIMPLES CM1

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 8. NOMBRES DÉCIMAUX CM2

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 9. LONGUEURS CP-CE1

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 10. GRANDEURS ET MESURES : LES AIRES CM1-CM2

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 11. SYMÉTRIE AXIALE CE2

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 12. PROPORTIONNALITÉ CM1

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 13. RÉSOLUTION DE PROBLÈMES – STRUCTURES ADDITIVES CE1

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

Sujet 14. ESPACE ET GÉOMÉTRIE : PROGRAMMES CM1  CRPE 2023 

CORPUS DE DOCUMENTS

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

B – TRAITEMENT DU SUJET

SOMMAIRE FRANÇAIS

Introduction

A - Présentation de l’épreuve de leçon

B - Concevoir une séance et construire une fiche de préparation

C - Méthodologie de l’épreuve pas à pas

D - Un exemple de sujet inédit corrigé

E - Conseils pour vous préparer à la leçon

PARTIE 1◆LIRE

Sujet n° 1◆Apprentissage de la lecture au CP

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

Sujet n° 2◆La fluence en CE1

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

Sujet n° 3◆Comprendre un texte littéraire au cycle 3

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

Sujet n° 4◆Lire dans toutes les disciplines au CM2

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

PARTIE 2◆DIRE

Sujet n° 1◆Conscience phonologique en Grande Section

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

Sujet n° 2◆Langage oral en Grande Section

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

Sujet n° 3◆Langage oral au CE1

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

PARTIE 3◆ÉCRIRE

Sujet n° 1◆Reconnaissance des lettres en GS

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

Sujet n° 2◆Écriture et geste graphique au CP

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

Sujet n° 3◆Écrits courts en CE2

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

Sujet n° 4◆Écrire au CM2

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

PARTIE 4◆LANGUE

Sujet n° 1◆Orthographe au CE1

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

Sujet n° 2◆Lexique en Grande Section

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

Sujet n° 3◆Lexique au CE1

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

Sujet n° 4◆Grammaire en CM1

A - Connaissances didactiques et pédagogiques à mobiliser

B - Traitement du sujet

ANNEXE

Glossaire

Présentation et préparation de l’épreuve

A – L’ÉPREUVE DE LEÇON

L’épreuve de leçon constitue la première épreuve orale d’admission au CRPE. Rappelons que les candidats ont au préalable, dans la phase d’admissibilité, été interrogés sur leurs connaissances en mathématiques d’une part, via la résolution d’au moins trois exercices indépendants (épreuve écrite disciplinaire d’admissibilité de 3 heures), en français d’autre part.

 1. CADRE GÉNÉRAL DE L’ÉPREUVE 

L’objet de l’épreuve de leçon

L’épreuve porte successivement sur le français et les mathématiques. Elle a pour objet la conception et l’animation d’une séance d’enseignement à l’école primaire dans chacune de ces matières, permettant d’apprécier la maîtrise disciplinaire et la maîtrise des compétences pédagogiques du candidat.

Les textes officiels précisent que « les concepteurs veilleront à proposer à un même candidat deux sujets de leçons en français et en mathématiques qui portent sur des cycles d’enseignement différents ».

Les sujets

Afin de construire le déroulé de ces séances d’enseignement, le candidat dispose en appui de chaque sujet d’un dossier fourni par le jury et comportant au plus quatre documents de nature variée : supports pédagogiques, extraits de manuels scolaires, traces écrites d’élèves, extraits des programmes…

Le déroulement de l’épreuve

Durée de préparation : 2 heures.

Durée de l’épreuve : 1 heure répartie en :

‒ français : 30 minutes, l’exposé de 10 à 15 minutes est suivi d’un entretien avec le jury pour la durée restante impartie à cette première partie ;

‒ mathématiques : 30 minutes, l’exposé de 10 à 15 minutes est suivi d’un entretien avec le jury pour la durée restante impartie à cette seconde partie.

Le candidat présente successivement au jury les composantes pédagogiques et didactiques de chaque leçon et de son déroulement. Chaque exposé est suivi d’un entretien avec le jury lui permettant de faire préciser ou d’approfondir les points qu’il juge utiles, tant sur les connaissances disciplinaires que didactiques.

Le barème du concours

L’épreuve est notée sur 20, elle est affectée d’un coefficient 4.

La note 0 est éliminatoire.

 2. L’ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES 

Cette épreuve a pour objet la conception et l’animation d’une séance d’enseignement des mathématiques à l’école primaire (maternelle et élémentaire) aux cycles 1, 2 ou 3.

Le candidat doit construire le déroulé d’une séance d’enseignement et l’exposer devant le jury.

Il dispose d’un dossier, fourni par le jury, qui comporte au plus, quatre documents de nature variée.

Le sujet

•Il précise le niveau ou les niveaux de classes visés et indique la période de l’année à laquelle se situe la séance à concevoir. Par exemple, il peut s’agir d’une classe CP en période 1 ou d’un cours double CM1-CM2 en période 3.

•Il précise la séquence dans laquelle se situe la séance que doit présenter le candidat, ainsi que le positionnement de la séance dans cette séquence. Par exemple, il peut s’agir de la séance d’introduction d’une nouvelle notion, ou d’une séance de remédiation à la suite d’une évaluation intermédiaire (dans ce cas des productions d’élèves pourront être fournies), ou encore d’une séance située en fin de séquence en amont d’une évaluation.

•Il est explicitement articulé au programme.

•Il porte sur l’un des trois cycles de l’école primaire.

Exemple :

Enseigner les décompositions et recompositions en petite section (dire combien il faut ajouter ou enlever pour obtenir des quantités ne dépassant pas cinq).

Enseigner les tables de multiplication de 6 à 9 au CE2.

Enseigner la résolution de problèmes en deux étapes au CM1.

POINT MÉMO

La séquence se définit par un objectif d’enseignement qui est un « attendu », ou une « compétence visée », inscrite dans les programmes.

Atteindre cet objectif peut nécessiter une démarche plus ou moins longue ; chaque étape de cette démarche constitue une séance à laquelle sera assigné un objectif spécifique.

La séance constitue une entité temporelle dont la durée est variable, notamment selon l’âge des élèves.

Une séance à l’école maternelle, souvent un atelier, dure environ 20 minutes. Une séance au cycle 3 peut durer jusqu’à 45 minutes.

Le dossier

•Il ne saurait excéder 2 ou 3 pages A4, compte tenu du temps de préparation imparti et de la durée de l’épreuve. Il intègre des éléments variés jugés utiles. Il peut s’agir d’extraits de documents ressources institutionnels, d’extraits de manuels, de documents produits par un enseignant, de travaux d’élèves, etc.

•Si cela est jugé utile par les concepteurs, le dossier fournit un extrait du programme ou d’autres documents institutionnels tels que les « Attendus de fin d’année » ou les « Repères annuels de progression » (voir ci-après les programmes).

L’exposé

Au cours de son exposé oral (10 à 15 minutes) :

•Le candidat indique clairement ses objectifs d’enseignement.

•Le candidat expose, face au jury, le déroulement de sa séance ainsi que ses choix pédagogiques, justifiés par sa réflexion didactique.

•Le candidat intègre l’activité des élèves à sa présentation de séance.

•Le candidat s’appuie sur l’extrait du programme qui lui a été éventuellement fourni. Si les grandes lignes des programmes doivent lui être familières, il n’en est en effet pas exigé une connaissance précise.

•Le candidat exploite le dossier. Il peut, s’il l’estime nécessaire, faire appel à des documents extérieurs au dossier dont il aurait connaissance. Il explicite, lors de l’entretien, les motifs qui l’ont amené à minorer éventuellement un document fourni par le dossier.

•Le candidat est évalué sur sa capacité à construire une réflexion d’ordre didactique et pédagogique et à la justifier ou à la faire évoluer lors de l’entretien.

POINT MÉMO

Rappelons que le candidat dispose d’un temps de préparation d’une heure.

L’oral proprement dit dure une demi-heure :

– l’exposé dure entre 10 minutes et 15 minutes ;

– le reste du temps est consacré à l’entretien avec le jury.

B – LES PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES

Toute séquence, ainsi que toute séance doivent être référées aux programmes de mathématiques édités par le ministère de l’Éducation nationale.

 1. LES PROGRAMMES DE L’ÉCOLE MATERNELLE 

Il s’agit du cycle 1, cycle des apprentissages premiers : petite section, moyenne section, grande section. Le programme in extenso peut être consulté sur le site du ministère de l’Éducation nationale : https://cache.media.education.gouv.fr/file/25/86/5/ensel550_annexe_1413865.pdf. Ce programme a fait l’objet d’ajustements, notamment pour les domaines d’apprentissage suivants : langage, mathématiques.

Les grandes lignes du domaine « Acquérir les premiers outils mathématiques » sont les suivantes :

– Découvrir les nombres et leurs utilisations : construire le nombre pour exprimer des quantités ; stabiliser la connaissance des petits nombres ; utiliser le nombre pour désigner un rang, une position ; utiliser le nombre pour résoudre des problèmes ;

– Explorer des formes, des grandeurs, des suites organisées.

 2. LES PROGRAMMES DE L’ÉCOLE ÉLÉMENTAIRE 

L’école élémentaire couvre le cycle 2 (cycle des apprentissages fondamentaux : CP, CE1, CE2) et le cycle 3 (cycle de consolidation, CM1, CM2, 6e). Les programmes in extenso des deux cycles peuvent être consultés sur le site du ministère de l’Éducation nationale :

– pour le cycle 2 : https://eduscol.education.fr/84/j-enseigne-au-cycle-2?menu_id=69

– pour le cycle 3 https://eduscol.education.fr/87/j-enseigne-au-cycle-3?menu_id=72

POINT MÉMO

La classe de 6e bien que faisant partie du cycle 3, ne fait pas partie de l’école élémentaire.

Elle ne peut donc pas être choisie pour cadre d’une préparation de séance au CRPE.

Les grandes lignes du domaine « Mathématiques » sont les suivantes :

Au cycle 2 :

– Nombres et calculs : comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer, comparer ; nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers ; résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul ; calculer avec des nombres entiers ;

– Grandeurs et mesures : comparer, estimer, mesurer des longueurs, des masses, des contenances, des durées. Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs ; résoudre des problèmes impliquant des longueurs, des masses, des contenances, des durées, des prix ;

– Espace et géométrie : (se) repérer et (se) déplacer en utilisant des repères et des représentations ; reconnaître, nommer, décrire, reproduire quelques solides ; reconnaître, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques ; reconnaître et utiliser les notions d’alignement, d’angle droit, d’égalité de longueurs, de milieu, de symétrie.

Au cycle 3 :

– Nombres et calculs : Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux ; calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux ; résoudre des problèmes en utilisant des fractions, des nombres décimaux et le calcul ;

– Grandeurs et mesures : Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle ; utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs ; résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux

– Espace et géométrie : (se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations ; reconnaître, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire quelques solides et figures géométriques ; reconnaître et utiliser quelques relations géométriques.

 3. LES COMPLÉMENTS ET PRÉCISIONS 

Les repères annuels de progression

Ces documents se présentent sous forme de tableau. Ils indiquent, pour chacune des trois classes des cycles 2 et 3, la manière dont l’enseignement d’une notion doit être progressivement réparti.

Au cycle 1, la grande diversité des compétences des élèves ne permet pas de proposer ce même type d’outil.

Pour le cycle 2 : https://eduscol.education.fr/document/13972/download

Pour le cycle 3 : https://eduscol.education.fr/document/14026/download

Les attendus de fin d’année

Les attendus de fin d’année constituent une courte liste de compétences que doivent avoir acquis les élèves à la fin de chacune des classes des cycles 2 et 3.

Pour la même raison que celle évoquée au paragraphe précédent, ce type d’outil n’existe pas pour le cycle 1.

Attendus et repères : https://eduscol.education.fr/137/attendus-de-fin-d-annee-et-reperes-annuels-de-progression-du-cp-la-3e

Les documents d’accompagnement

Par ailleurs, les documents de cadrage précités (les programmes) sont accompagnés de publications qui approfondissent certaines problématiques d’enseignement, didactiques et pédagogiques.

Elles sont issues des travaux de recherche et viennent en appui des orientations prises dans les programmes.

Voici plusieurs exemples de publication que l’on trouve en ligne sur les sites du ministère de l’Éducation nationale.

◆À l’école maternelle

Recommandation pédagogique pour l’école primaire :

https://eduscol.education.fr/document/21523/download

Découvrir les nombres et leur utilisation :

https://www.education.gouv.fr/bo/19/Hebdo22/MENE1915454N.htm?cid_bo=142291

Acquérir les premiers outils mathématiques :

https://eduscol.education.fr/2819/acquerir-les-premiers-outils-mathematiques

Se repérer dans le temps et dans l’espace :

https://eduscol.education.fr/2822/se-reperer-dans-le-temps-et-l-espace

◆Au cycle 2

Ressources d’accompagnement du programme du cycle 2 en mathématiques :

https://eduscol.education.fr/177/mathematiques-cycle-2

◆Au cycle 3

Ressources d’accompagnement du programme du cycle 3 en mathématiques :

https://eduscol.education.fr/251/mathematiques-cycle-3

C – ENSEIGNER LES MATHÉMATIQUES À L’ÉCOLE PRIMAIRE

Tout au long de l’école primaire l’enseignement des mathématiques vise à développer chez les élèves six grandes compétences, elles-mêmes articulées aux cinq domaines du Socle commun de connaissance et compétences1.

Ces compétences sont explicitées pour le cycle 3 mais sont des références pour tout cycle :

Compétences travaillées

Domaines du socle

Chercher

‒ Prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc.

‒ S’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle.

‒ Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

2, 4

Modéliser

‒ Utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne.

‒ Reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité.

‒ Reconnaître des situations réelles pouvant être modélisées par des relations géométriques (alignement, parallélisme, perpendicularité, symétrie).

‒ Utiliser des propriétés géométriques pour reconnaître des objets.

1, 2, 4

Représenter

‒ Utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques, écritures avec parenthésages, etc.

‒ Produire et utiliser diverses représentations des fractions simples et des nombres décimaux.

‒ Analyser une figure plane sous différents aspects (surface, contour de celle-ci, lignes et points).

‒ Reconnaître et utiliser des premiers éléments de codages d’une figure plane ou d’un solide.

‒ Utiliser et produire des représentations de solides et de situations spatiales.

1, 5

Raisonner

‒ Résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche qui combine des étapes de raisonnement.

‒ En géométrie, passer progressivement de la perception au contrôle par les instruments pour amorcer des raisonnements s’appuyant uniquement sur des propriétés des figures et sur des relations entre objets.

‒ Progresser collectivement dans une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui.

‒ Justifier ses affirmations et rechercher la validité des informations dont on dispose.

2, 3, 4

Calculer

‒ Calculer avec des nombres décimaux et des fractions simples de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne, ou en posant les opérations).

‒ Contrôler la vraisemblance de ses résultats.

‒ Utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.

4

Communiquer

‒ Utiliser progressivement un vocabulaire adéquat et/ou des notations adaptées pour décrire une situation, exposer une argumentation.

‒ Expliquer sa démarche ou son raisonnement, comprendre les explications d’un autre et argumenter dans l’échange.

1, 3

Quel que soit le cycle considéré, les programmes mettent l’accent sur la résolution de problèmes comme étant au cœur des apprentissages :

 1. AU CYCLE 1 

Comme d’autres domaines, les mathématiques contribuent à la structuration de la pensée. Le développement des premières compétences en mathématiques est donc un des objectifs prioritaires de l’enseignement à l’école maternelle. Cet enseignement structuré et ambitieux est assuré tout au long du cycle, à travers le jeu, la manipulation d’objets et la résolution de problèmes. Il s’attache à stimuler chez les élèves la curiosité, le plaisir et le goût de la recherche. Il leur permet de comprendre et d’utiliser les nombres, de reconnaître des formes et d’organiser des collections d’objets en fonction de différents critères, catégories, propriétés (forme, grandeur : longueur, masse, contenance – couleur, usage, fonction).2

Introduire les enfants au plaisir du raisonnement mathématique en maternelle, c’est aussi les faire jouer avec les formes, l’espace, les cartes, les dessins, les puzzles, les séries, la logique, etc. et enrichir leur langage pour parler avec précision de tous ces domaines.

Les particularités du cycle 1

Cet enseignement est assuré tout au long du cycle à travers le jeu et la manipulation d’objets. Il s’attache à stimuler chez les élèves la curiosité, le plaisir et le goût de la recherche.

 2. AU CYCLE 2 

Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer. Les problèmes permettent :

‒ d’aborder de nouvelles notions,

‒ de consolider des acquisitions,

‒ de provoquer des questionnements.

Ils peuvent être issus de situations de vie de classe ou de situations rencontrées dans d’autres enseignements, notamment « Questionner le monde », ce qui contribue à renforcer le lien entre les mathématiques et les autres disciplines.

L’enseignant doit veiller aussi à proposer aux élèves, dès le CP, des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d’application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements.

Les particularités du cycle 2

Les problèmes rencontrés ont le plus souvent possible un caractère ludique.

La composante écrite de l’activité mathématique devient essentielle.

Ces écrits sont d’abord des écritures et représentations produites en situation par les élèves eux-mêmes qui évoluent progressivement avec l’aide de l’enseignant vers des formes conventionnelles institutionnalisées dans les cahiers par des traces écrites qui ont valeur de référence.

Il est tout aussi essentiel qu’une verbalisation, reposant sur une syntaxe et un lexique adaptés, accompagne le recours à l’écrit et soit favorisée dans les échanges d’arguments entre élèves.

L’introduction et l’utilisation des symboles mathématiques sont réalisées au fur et à mesure qu’ils prennent sens dans des situations basées sur des manipulations, en relation avec le vocabulaire utilisé, assurant une entrée progressive dans l’abstraction.

 3. AU CYCLE 3 

Dans la continuité des cycles précédents, le cycle 3 assure la poursuite du développement des six compétences majeures des mathématiques : chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner et communiquer.

La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également le moyen d’en assurer une appropriation qui en garantit le sens.

Les particularités du cycle 3

Si la modélisation algébrique relève avant tout du cycle 4 et du lycée, la résolution de problèmes permet déjà de montrer comment des notions mathématiques peuvent être des outils pertinents pour résoudre certaines situations.

Les situations sur lesquelles portent les problèmes sont, le plus souvent, issues de la vie de classe, de la vie courante ou d’autres enseignements, ce qui contribue à renforcer le lien entre les mathématiques et les autres disciplines.

Les élèves rencontrent également des problèmes issus d’un contexte interne aux mathématiques.

La mise en perspective historique de certaines connaissances (numération de position, apparition des nombres décimaux, du système métrique, etc.) contribue à enrichir la culture scientifique des élèves.

On veille aussi à proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas directement reliés à la notion en cours d’étude, qui ne comportent pas forcément une seule solution, qui ne se résolvent pas uniquement avec une ou plusieurs opérations mais par un raisonnement et des recherches par tâtonnements.

D – MÉTHODOLOGIE D’APPROCHE DES SUJETS : CONCEVOIR UNE SÉANCE ET SON ANIMATION, PRÉPARER UNE PRESTATION ORALE

 1. LE SUJET 

Le sujet est constitué d’une consigne et d’un corpus de documents.

La consigne

Il faudra la lire de manière approfondie.

Elle comporte les indications suivantes :

‒ Objectif de la séquence

‒ Place de la séance dans la séquence

‒ Objectif de la séance

‒ Niveau de classe

‒ Période de l’année

‒ Toute particularité supplémentaire nécessaire à la bonne conception de la séance

Le corpus de documents

Il faudra en prendre connaissance brièvement dans un premier temps et comprendre leur utilité dans le sujet :

‒ S’agit-il de documents de cadrage ? Programme etc.

‒ S’agit-il de documents outils pour la classe ? Manuels etc.

‒ S’agit-il de documents émanant de la recherche ? Articles etc.

 2. MÉTHODOLOGIE DE LA DÉMARCHE POUR ALLER VERS LA CONCEPTION DE LA SÉANCE ATTENDUE 

POINT MÉTHODO

La démarche présentée ici est celle proposée pour la préparation de chacun des sujets figurant dans cet ouvrage, selon ce même déroulé.

Mobiliser ses connaissances didactiques

La première lecture des documents et de la consigne a permis de dégager la thématique essentielle du sujet ainsi que le niveau de classe concerné.

Il peut s’agir par exemple de « Nombre et calcul au cycle 2, l’addition au CP ».

Il est alors important de réactiver mentalement et avec quelques notes en appui ses propres connaissances didactiques et pédagogiques sur le sujet.

Exemple :

L’abstraction et la modélisation

Les problèmes de structure additive, etc.

Mais aussi : Quelles sont les particularités du travail dans une classe de CP ?

Pas d’activités trop longues

L’importance de la manipulation avant le passage à l’abstraction, etc.

POINT MÉTHODO

Dans cet ouvrage, pour chaque sujet, vous trouverez un document de synthèse sur les problématiques didactiques relatives au thème abordé dans le sujet. En complément, vous trouverez sur Lea.fr des documents plus complets sur les problématiques didactiques et pédagogiques à connaitre.

Lire et analyser les documents fournis dans le sujet

Il faut maintenant faire une lecture approfondie des documents fournis.

Les supports pédagogiques feront l’objet :

‒ d’une rapide description des supports proposés : les phases, les démarches, les exercices et problèmes etc.,

‒ d’une analyse critique des supports proposés dans la perspective de les utiliser ou pas dans la séance préparée. (Ne pas oublier : « Le candidat explicite, lors de l’entretien, les motifs qui l’ont amené à minorer éventuellement un document fourni par le dossier »).

Les documents de cadrage (programmes, attendus, repères) :

‒ ils devront faire l’objet d’une note de synthèse très courte indiquant ce sur quoi doit porter votre attention au moment de la conception de la séance.

Les articles émanant de la recherche :

‒ ils devront faire également l’objet d’une courte note dans laquelle vous indiquez l’essentiel à retenir de votre lecture.

Situer la séance

À ce stade, vous pouvez maintenant mieux préciser l’environnement de la séance.

Vous pouvez compléter si nécessaire les indications données dans le sujet sur la place de la séance dans la séquence et une progression plus large.

Dans les sujets traités dans cet ouvrage, pour situer la séance, nous avons choisi d’indiquer deux « points de vue » :

‒ Du côté de l’enseignant : éléments de progression.

‒ Du côté de l’élève : les prérequis.

Réfléchir aux choix didactiques et pédagogiques

Ces choix doivent guider la conception de la séance et son animation.

Cette partie du traitement du sujet pourra se faire dialectiquement (allers et retours) avec l’étape suivante, la conception pratique elle-même, certains choix étant interdépendants.

Nous allons ranger un peu arbitrairement et pour plus de simplicité, dans la catégorie choix didactiques ceux concernant les grandes problématiques connues faisant l’objet de publications du ministère, et dans la catégorie choix pédagogiques, ceux concernant plutôt l’animation de la séance.

Exemple :

Sur une séance sur la technique opératoire de l’addition avec retenue au CP, il pourrait être noté :

Choix didactiques :

Partir de la résolution d’un problème de structure additive.

Indiquer la nature de la structure additive du problème choisi.

Indiquer l’obstacle épistémologique nouveau rencontré par les élèves (la retenue).

Indiquer la démarche pour aider les élèves à franchir cet obstacle : utilisation de quelle démarche, quel matériel ? etc.

Choix pédagogiques :

Organisation : travail individuel, en binômes en groupes, pour quelles raisons

Motivation des élèves : choix du contexte du problème

Aides à apporter : quand, comment ?

Différenciations possibles

 3. CONCEPTION D’UNE SÉANCE ET DE SON ANIMATION 

Concevoir et animer une séance d’enseignement consiste, à partir d’un cadre contraint (les programmes), à imaginer et mettre en œuvre un ensemble d’actions susceptibles d’amener un groupe d’élèves hétérogène à maîtriser de nouvelles compétences. Mais il s’agit également de prévoir ce qui va ou peut arriver, d’anticiper ces actions et de réfléchir, en amont, à la résolution des difficultés.

Cela suppose un ensemble d’éléments « incontournables » qui devront faire partie de votre réflexion lors de votre travail de préparation, et être clairement explicités dans votre présentation au jury.

◆Le cadre

L’aspect institutionnel

La séance, ses objectifs, les compétences travaillées, doivent être inscrites dans les programmes officiels en vigueur, et développer des compétences relatives au Socle commun de compétences, de connaissances et de culture.

Exemples :

« Utiliser le nombre pour exprimer la position d’un objet ou d’une personne dans un jeu, dans une situation organisée, sur un rang ou pour comparer des positions. »

(Extrait du Programme de la maternelle.)

« Exploiter des données numériques, par exemple des relevés de température. »

(Extrait du Programme du cycle 2.)

POINT MÉTHODO

Sans en avoir une connaissance extrêmement précise, vous devez connaître parfaitement les grandes lignes des programmes.

Les objectifs pédagogiques

Ces objectifs relèvent de l’intention du maître et englobent donc tout ce qui suit (compétences visées, démarches et stratégies, animation du groupe classe).

POINT MÉTHODO

Ces objectifs devront être clairement présentés au jury.

Les compétences visées

Les programmes (pour les cycles 2 et 3) parlent des « compétences travaillées », en relation avec les compétences générales en mathématiques (chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer). Ces compétences doivent être connues et interprétées.

Cependant, dans le cadre de la conception des séances, il est recommandé de se rapporter à celles clairement explicites dans les programmes, et aisément évaluables.

Exemples :

Dire la suite des nombres jusqu’à trente. Lire les nombres écrits en chiffres jusqu’à dix. (Cycle 1)

Mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication. (Cycle 2)

Estimer la mesure d’une aire et l’exprimer dans une unité adaptée. (Cycle 3).

On définit souvent une compétence en termes de savoir / savoir-faire / savoir-être.

Cela peut être évoqué par exemple dans la maîtrise d’algorithme de calcul, d’utilisation de matériel géométrique… (savoir-faire) ou dans la restitution de procédures ou les comportements dans un groupe chargé d’une résolution de problème… (savoir-être).

La prise en compte de la classe et des élèves (nombre d’élèves, niveau, organisation pédagogique)

Dans le cadre de votre préparation, sauf précisions explicites présentes dans le sujet, il s’agit d’adapter la séance à un groupe classe « standard » (nombre d’élèves moyen, compétences hétérogènes…).

Les « prérequis »

Il s’agit là de déterminer avec précision les connaissances et compétences nécessaires pour aborder et s’approprier le mieux possible le nouvel apprentissage concerné par la séance.

Exemples :

Avant d’introduire l’algorithme de l’addition posée en CP…, les élèves doivent maîtriser suffisamment le sens de l’addition, la numération de position, les tables d’addition…

Au cycle 3, pour reconnaître, nommer, décrire des figures simples ou complexes, les élèves doivent, entre autres, maîtriser l’utilisation d’outils de mesure et de construction géométrique (règle graduée, équerre, compas, rapporteur, gabarits…).

La maîtrise des prérequis se mesure soit grâce aux évaluations organisées lors de séances précédentes, soit lors d’une éventuelle évaluation en début de séance, appelée « Évaluation diagnostique » (voir plus bas).

Les supports et le matériel prévus pour votre enseignement

Les supports : il s’agit des bases proposées aux élèves et sur lesquelles ils vont être amenés à porter leurs éléments de réflexion, leurs démarches, leurs productions individuelles ou collectives leurs calculs, leurs réponses…

Ces supports peuvent être :

‒ le tableau de classe (« à craie » ou tableau interactif),

‒ les fichiers, les manuels,

‒ les supports « mobiles » : ardoises, tablettes,

‒ les supports « référentiels » (écrits d’aide, synthèses, affichages en classe…),

‒ parfois des albums de littérature de jeunesse (essentiellement en maternelle),

‒ les outils numériques (logiciels d‘entraînement…).

Le matériel : il s’agit des outils pour aider à l’apprentissage, le guider, l’entretenir…, choisis par l’enseignant ou l’élève.

Exemples :

Dans le domaine « Nombres et calcul » :

‒ bandes numériques individuelles + une collective affichée,

‒ objets divers pour le dénombrement et la constitution de collections,

‒ jetons, cubes, abaques, boîtes à compter, blocs logiques, bouliers, matériel multibase pour la numération et le calcul,

‒ dés, cartes, pour jouer.

Dans les domaines « Grandeurs et mesures » et « Espace et géométrie » :

‒ tous les outils de géométrie (règle graduée, équerre, compas, rapporteur),

‒ solides divers, contenants,

‒ outils numériques : tableurs, programmation…

POINT MÉTHODO

Ces supports et outils devront être réfléchis, explicités et leurs choix justifiés dans la présentation au jury.

L’ensemble de ces items pourra être résumé dans un cadre comme celui proposé ci-dessous.

Vous pourrez l’utiliser si nécessaire comme aide-mémoire lors de votre prestation orale, notamment dans l’introduction.

Domaine disciplinaire : Mathématiques

Domaine spécifique : Nombres et calculs / Grandeurs et mesures / Espace et géométrie

Niveau de classe

Nombre d’élèves

Période

Place de la séance dans la séquence

Objectifs généraux

Compétence(s) visée(s)

Attendu de fin de cycle

Matériel

Supports

Prérequis nécessaires

◆Le déroulé de séance

Vous devez maintenant concevoir votre séance et son animation. En vous appuyant sur les choix didactiques et pédagogiques que vous avez commencé à lister précédemment (cf. la rubrique ci-dessus Choix didactiques et pédagogiques) vous devrez justifier :

• Du choix d’une démarche appropriée et adaptée aux élèves concernés

Les programmes présentent des pistes et fournissent des indications globales sur les démarches à utiliser.

Exemples :

Dans l’apprentissage du nombre à l’école maternelle, il convient de faire construire le nombre pour exprimer les quantités, de stabiliser la connaissance des petits nombres et d’utiliser le nombre comme mémoire de la position. (Programmes cycle 1)

Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer. (Programmes cycle 2)

Les activités géométriques pratiquées au cycle 3… s’en distinguent par une part plus grande accordée au raisonnement et à l’argumentation qui complètent la perception et l’usage des instruments. (Programmes cycle 3).

Tous les documents d’accompagnement sont également à consulter dans ce domaine.

Les « livres du maître », accompagnant les différentes méthodes d’enseignement des mathématiques représentent de bons supports d’explicitation de démarches à s’approprier.

Les choix liés aux organisations pédagogiques du groupe et ceux des supports et du matériel utilisés (voir ci-dessus) participent également à la définition de la démarche voulue.

Le choix enfin d’une méthodologie dominante (par exemple la manipulation) relève également de la démarche.

POINT MÉTHODO

Évitez des démarches trop directives associées à des interventions essentiellement magistrales. Proposez des entrées par la résolution de problèmes et valorisez les situations de recherche.

Il sera cependant possible que certains sujets précisent des contextes d’enseignement particuliers : classes multiniveaux, séances de remédiation proposées à un groupe d’élèves en difficulté…

• D’un découpage en phases

La démarche décrite ci-dessus donnera lieu à un découpage de la séance en phases, pour lesquelles il faudra indiquer les durées prévues : pour l’ensemble de la séance d’une part, mais également pour chacune des phases qui la constituent.

Il faut évidemment penser qu’on ne prévoit pas les mêmes durées pour des séances ou des phases d’apprentissage au cycle 1 et au cycle 3 ! (Approximativement de 15 à 30 minutes en cycle 1 – de la PS à la GS – et pouvant aller jusqu’à 50 minutes / 1 heure au cycle 3.)

• D’une organisation pédagogique

Les séances devront présenter des alternances dans les choix des situations pédagogiques prévues : oral / écrit ; collectif / groupes / binômes / individuel.

Exemple :

Pour une séance particulière :

Calcul mental : oral collectif.

Situation de recherche : écrit individuel.

Confrontation des résultats : oral binômes ou petits groupes.

Mise en commun : oral collectif.

Entrainement : écrit individuel.

Corrections : oral collectif.

Structuration : écrit collectif.

POINT MÉTHODO

Évitez de présenter des phases trop longues en durée, en restant sur le même modèle d’organisation.

• Du rôle de l’enseignant dans la conduite de la classe

Il sera très important, au moment de l’épreuve, de convaincre le jury de votre capacité à vous projeter dans votre métier de professeur des écoles, en sachant détailler le sens de l’activité.

Il est important dans un premier temps de replacer l’activité dans son contexte et de présenter aux élèves la nouvelle compétence attendue pour donner du sens à l’apprentissage à venir.

POINT MÉTHODO

Lors de la rédaction de votre fiche de préparation (ou déroulé de séance), il vous appartient de réserver quelques instants à la présentation aux élèves de ce qu’ils vont faire, de ce qu’ils vont apprendre.

Les programmes imposent des périodes quotidiennes de calcul mental auxquelles il est nécessaire de penser, éventuellement comme lancement de la séance de mathématiques. Ce type d’activité peut servir de réactivation ou de vérification de certains prérequis nécessaires à la séance. Les pratiques de calcul mental sont nombreuses.

• Des consignes de travail

Il s’agit d’un exercice bien moins simple qu’il n’y paraît. Les consignes données par l’enseignant demandent souvent à être réfléchies (vocabulaire et syntaxes adaptés). Il est ensuite nécessaire de s’assurer de leur appropriation par les élèves (répétition, reformulation, questionnement…) puis éventuellement les rappeler en cours de réalisation de la tâche (oralement ou par écrit).

• De l’étayage

Le rôle de l’enseignant pendant les phases de recherche ou de réinvestissement est essentiel (voir plus bas « L’évaluation formative »). À partir d’une observation attentive des comportements et des productions, l’enseignant apportera les aides ponctuelles nécessaires (ces aides peuvent être « directes », apportées par l’enseignant ou des pairs, consister en un apport en matériel ou encore par une modification du support de travail). Il peut aussi arrêter momentanément l’activité pour réactiver, préciser, relancer la recherche…).

POINT MÉMO

Ayez en tête quelques pratiques possibles pour aider vos élèves en difficulté.

• De l’anticipation des erreurs possibles

Au moment de la préparation de séance, il est nécessaire de prévoir les erreurs probables que vont commettre les élèves, ou au moins certains parmi eux. Vous devez donc en déterminer les causes possibles et anticiper les réponses et les actions adaptées.

• Des modalités de différenciation

La possibilité d’imaginer une classe homogène où le professeur enseigne simultanément à tous les élèves, et avec la même efficacité, n’existe pas. Il est essentiel de tenir compte de la diversité des individus pour mettre en place des principes de « pédagogie différenciée ». On parle de « différenciation successive » (en partant d’un tronc commun, le professeur modifie son enseignement petit à petit en fonction des difficultés rencontrées par certains élèves) ou de « différenciation simultanée » lorsque, au départ de l’apprentissage, le professeur propose des entrées et des activités différentes selon les élèves. Prévoyez, en regard des éventuelles difficultés,

POINT MÉMO

Les contenus, la quantité du travail à réaliser, sa difficulté, le temps pour le faire, les outils et les aides mis à disposition… sont des premiers « leviers » de différenciation auxquels vous pouvez penser.

• D’une phase de synthèse

Synthétiser, structurer, institutionnaliser une nouvelle connaissance : cette phase est elle aussi capitale et relève de la responsabilité du maître. L’enseignant structure la nouvelle connaissance et l’assure par une démonstration, la présentation des réussites et des erreurs, une trace écrite de référence…

• Des tâches proposées aux élèves

Les tâches demandées aux élèves sont la conjonction pertinente, organisée et coordonnée de la compétence visée, des supports et matériels prévus et des consignes données par l’enseignant.

Elles peuvent être différenciées selon les compétences des élèves, adaptées de façon spécifique pour des élèves à besoin éducatif particulier.

En mathématiques, les tâches sont liées aux cinq compétences à travailler : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer.

Dans une liste évidemment non exhaustive, on peut citer comme tâches à réaliser en classe de mathématiques : trier, dénombrer, jouer, construire, observer pour…, résoudre un problème, compter, calculer, décomposer, compléter, écrire, tracer, mesurer…

Les tâches que vous demandez de réaliser à vos élèves doivent être pertinentes par rapport à l’objectif d’apprentissage, adaptées aux élèves et variées.

◆L’évaluation prévue

Sans que ce soit une nécessité absolue, toute séance (ou séquence) peut se fonder sur une évaluation diagnostique des compétences des élèves.

Ensuite, une des habiletés de l’enseignant consiste à observer les difficultés de certains élèves (voire de l’ensemble du groupe), pendant les phases d’apprentissage, et tenter d’y remédier par les moyens appropriés (apporter de l’aide, une médiation, du matériel complémentaire…). On parle alors d’« évaluation formative ».

L’évaluation qui consiste à vérifier la maîtrise des compétences visées par la séance est nommée « évaluation sommative ». Non seulement il est fortement recommandé qu’elle reste « bienveillante » (en évitant des systèmes de notation déplacés ou des stigmatisations des erreurs), mais elle ne doit pas non plus revêtir un caractère « solennel » (un exercice d’entraînement au « cahier du jour », sur le fichier ou une fiche de travail doit suffire), tout en explicitant suffisamment les éventuelles difficultés rencontrées.

POINT MÉTHODO

L’insertion d’une phase d’évaluation au terme de votre séance, ou au moins sa prévision, est incontournable.

L’ensemble des questions que nous venons de soulever peut-être résumé dans une grille récapitulative qui constitue un outil de travail précieux pour le professeur, la fiche de préparation : sorte de partition qu’il faudra suivre, dans le cours de l’action, dans la classe mais sans en être prisonnier.

Durée prévue

Objectifs spécifiques

Organisation du groupe classe

Tâches des élèves

Rôle de l’enseignant

Erreurs observables

Modalités de différenciation. Aides prévues

Notes

Phase 1

Phase 2

Phase 3

Phase 4

Modalités de synthèse

Procédures d’évaluation

Notes relatives à la séance suivante

Cependant, celle-ci ne constitue pas un outil très bien adapté pour la présentation orale de votre séance. Aussi avons-nous, le plus souvent, organisé la présentation sous forme d’un déroulé de séance phase après phase – sans mobiliser chaque fois toutes les rubriques à prendre en compte – même si pour chacune d’entre elles vous essayerez d’apporter le maximum d’informations afin que le jury puisse se faire une idée juste de ce qui pourrait se passer en classe.

E – ORGANISATION DE L’OUVRAGE

 1. LE CHOIX DES SUJETS 

Bien sûr le choix des sujets est infini, aussi nous a-t-il a fallu faire des choix pour ne finalement n’en retenir qu’une douzaine.

Nous avons fait le choix de proposer des sujets dans chacun des trois cycles.

Nous avons fait le choix de proposer des sujets dans chacun des grands domaines des programmes : Nombres et calculs, Espace et géométrie, Grandeurs et mesures.

Nous avons varié les types de sujets :

– selon la place de la séance à concevoir dans la séquence, plus ou moins détaillée du sujet. La séance à concevoir peut être une séance de découverte d’une notion nouvelle aussi bien qu’une séance de remédiation à prévoir après après une évaluation ;

– selon les configurations de classes possibles. Nous avons par exemple un sujet qui a pour cadre une classe à double niveaux ;

– selon la nature des objets mathématiques travaillés, qui peuvent être relativement circonscrits, comme par exemple une technique opératoire, mais qui peuvent aussi porter sur des savoir-faire dont l’apprentissage ne pourra pas se limiter à une seule séance, comme par exemple « la résolution de problèmes ».

Nous avons aussi fait des choix quant à la façon de présenter la séance et son animation.

Nous n’avons pas voulu alourdir la présentation en proposant systématiquement toutes les rubriques à prendre en compte dans une fiche de préparation :

– nous avons fait le choix, parfois, de mettre l’accent sur l’indispensable moment de calcul mental, et d’autre fois d’en faire l’impasse ;

– nous avons fait le choix, parfois, de mettre l’accent sur la diversité des élèves d’une même classe et de prendre en compte la remédiation, les aides, les obstacles, et d’autres fois nous avons fait le pari de l’homogénéité du groupe d’élèves ;

– nous avons fait le choix, parfois, de présenter la fiche de préparation dans un cadre formel, et d’autres fois de nous limiter au déroulé de séance phase après phase en indiquant les données essentielles à fournir au jury au moment de l’oral, afin que celui-ci puisse facilement se représenter ce qui se passe dans la classe.

Les sujets développés dans cet ouvrage sont conformes à l’esprit et la structure des sujets présentés aux candidats aux sessions 2022 et 2023.

 2. LA STRUCTURE DES CORRIGÉS 

Chacune des propositions de corrigés présentée dans cet ouvrage reprend la méthode développée dans les pages précédentes :

1.Mobiliser les connaissances pédagogiques et didactiques attendues au regard de l’énoncé du sujet et du corpus de documents (première lecture).

2.Lire et analyser les documents.

3.Situer la séance

4.Concevoir sa séance et son animation

5.Présenter sa séance à l’oral

Un texte rédigé d’introduction et de conclusion est proposé pour chacun des sujets.

6.Répondre aux questions du jury

Deux ou trois questions sont proposées et pour l’une d’elles, une réponse est détaillée. Si vous êtes en capacité d’y répondre, c’est que vous avez bien préparé votre séance !

Les corrigés tiennent compte des remarques et points d’alerte relevés dans les rapports de jury des sessions 2022 et 2023.

 3. ORGANISATION D’UN SUJET CORRIGÉ 

1. Voir : https://www.education.gouv.fr/le-socle-commun-de-connaissances-de-competences-et-de-culture-12512

2. Extrait du programme de l’école maternelle publié au BO n° 25 du 24 juin 2021.

Sujet n° 1 Les nombres CP

En vous appuyant notamment sur les documents fournis, concevez une séance et son animation visant la compétence : « Connaitre la valeur des chiffres en fonction de leur position ».

Cette séance est incluse dans une séquence de 4 séances qui a pour objectif : « La connaissance des nombres de 10 à 20 ». Vous concevrez la 4e séance avec pour objectif : « La connaissance des nombres dix-sept, dix-huit, dix-neuf ».

Vous vous situerez dans le cadre d’une classe de CP de 25 élèves en période 2.

 CORPUS DE DOCUMENTS 

Document 1. Leçons 11 et 15 ; Sommaire ; Progression par domaines : Nombres et calculs, Vivre les Maths CP, Nathan, 2019.

Document 2. Extrait des Repères annuels de progression au cycle 2 en mathématiques : « Nombres et calculs », Eduscol.
Attendus de fin d’année : Mathématiques CP, Eduscol.

Nombres et calculs

Il est possible, lors de la résolution de problèmes, d’aller au-delà des repères de progression identifiés pour chaque niveau.

Nombres

CP

CE1

CE2

Dès le début de l’année, les élèves poursuivent le travail mené à l’école maternelle. Ils dénombrent des collections en utilisant les nombres entiers. Ils utilisent ces nombres pour comparer des collections et apprennent à les ordonner. Ils repèrent les nombres qui sont avant et après, le suivant et le précédent d’un nombre.

Ils décomposent et recomposent quotidiennement des collections pour automatiser progressivement les relations entre les nombres, particulièrement avec les nombres 5, 10 et 20.

Par exemple, 10, c’est 7 plus 3, mais aussi 9 plus 1.

Dès la période 2, ils réalisent des groupements par 10. Ils s’exercent à échanger 10 unités pour une dizaine, et inversement.

Le travail de groupements par 10 permet d’aborder rapidement les nombres supérieurs à 20 (jusqu’à 60 au moins) pour travailler sur les aspects positionnel et décimal de la numération écrite.

Les nombres jusqu’à 100 sont introduits suffisamment tôt (en période 4 au plus tard) pour pouvoir être maitrisés à la fin du CP.

Dès le début de l’année, les élèves étudient de façon systématique la numération décimale écrite en chiffres (dizaines, unités simples) pour les nombres jusqu’à 100. La désignation orale des nombres est démarrée en période 3 : « 53, c’est 5 dizaines et 3 unités ; c’est (5 fois 10) et (3 fois 1) ».

Dès le début de l’année, les élèves poursuivent l’étude de la numération décimale en travaillant avec des centaines.

La connaissance des nombres jusqu’à 100 est consolidée, notamment pour leur désignation orale et pour le calcul mental.

Ils apprennent à multiplier par 10 pour mieux construire mentalement la numération décimale.

Ils consolident (réduction du nombre d’erreurs) et optimisent (rapidité accrue du calcul) l’automatisation des relations entre les nombres, particulièrement avec les nombres 5, 10 et 20.

Le travail d’automatisation des compléments à 10 se poursuit.

Dès le début de l’année, les élèves poursuivent l’étude de la numération décimale en travaillant avec des milliers.

Parallèlement, la connaissance des nombres jusqu’à 1 000 est consolidée, notamment pour leur désignation orale et pour le calcul mental.

Ils consolident leur connaissance de la multiplication par 10 et apprennent à multiplier par 100.

Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers

Pour des nombres inférieurs ou égaux à 100

Ce que sait faire l’élève

• Il lit un nombre écrit en chiffres.

• Il écrit en chiffres et en lettres des nombres dictés.

• Il connait et utilise diverses représentations d’un nombre et il passe de l’une à l’autre.

• Il connait la valeur des chiffres en fonction de leur position (unités, dizaines).

• Il connait et utilise la relation entre dizaine et unité.

Exemples de réussite

◆ Il écrit les chiffres en respectant le tracé (forme, sens).

◆ Il écrit les nombres en chiffres, y compris quand la numération orale n’est pas transparente (de 11 à 16 et supérieurs à 69).

◆ Il écrit en lettres les nombres jusqu’à 70 au moins.

◆ Il connait et associe entre elles diverses représentations d’un nombre :

– écritures en chiffres (35) ;

– écritures en lettres (trente-cinq) ;

– noms à l’oral (« trente-cinq ») ;

– décomposition en dizaines et unités (30 + 5) ;

– écritures en unités de numération (3 dizaines et 5 unités ou 35 unités) ;

– position sur une demi-droite graduée ;

– représentation avec du matériel (trois barres ; cinq cubes).

Document 3. Extraits du document d’accompagnement « Le nombre au cycle 2. Ressources pour faire classe », Eduscol.

1. Des activités de dénombrement1 : matériel de « type groupements »

Comme l’une des premières utilisations du nombre est de désigner une quantité, il est légitime de privilégier, dans un premier temps, la tâche de dénombrement et le vocabulaire qui lui est associé.

Une procédure de dénombrement consiste à regrouper les éléments par paquets successifs de dix, d’abord les paquets de dix, puis les paquets de paquets de dix, etc. Les élèves auront plus de facilité à comprendre l’écriture du nombre en retrouvant, dans le vocabulaire utilisé par le professeur, les actions effectuées pour réaliser cette tâche.

Ex : 243 doit alors pouvoir être interprété comme :

– 2 paquets de cent et 4 paquets de dix et 3 éléments isolés2 ;

– 24 paquets de dix et 3 éléments isolés ;

– mais aussi 23 paquets de dix et 13 éléments isolés ou 1 paquet de cent, 33 éléments isolés et 11 paquets de dix, etc.

Matériels associés : des bâtonnets regroupés par paquets de dix à l’aide d’élastiques ou des cubes mis par dix dans des sachets transparents conviennent bien à la pratique fondamentale de ce type d’activité de dénombrement.

Des cubes emboitables sous forme de barres, puis de plaques et de gros cubes permettent respectivement de bien visualiser le groupement de dix3 (la dizaine comme une barre de dix cubes), le groupement de cent (la centaine comme une plaque de dix barres) et le groupement de mille (le millier comme un gros cube de dix plaques).

2. Des activités de recherche de la valeur : matériel de « type échanges »

Le nombre entier intervient également comme mesure de grandeurs discrètes.

Par exemple pour indiquer un prix à l’aide de l’unité euro, un objet de valeur 243 euros doit pouvoir être interprété comme ayant la même valeur que :

– 2 objets de valeur cent euros et 4 objets de valeur dix euros et 3 objets de valeur un euro ;

– 24 objets de valeur dix euros et 3 objets de valeur un euro ;

– mais aussi, 23 objets de valeur un euro et 22 objets de valeur dix euros, etc.

Pour les élèves, une difficulté réside dans la distinction entre quantité et valeur. Il faut en effet comprendre qu’un objet de valeur dix peut valoir dix objets de valeur un, qu’un objet de valeur cent peut valoir dix objets de valeur dix, qu’un objet de valeur cent peut valoir cent objets de valeur un.

Exemple :

A la quantité est 3, la valeur est 3

B la quantité est 2, la valeur est 11

Pour certains élèves, la valeur de la collection A est supérieure à la valeur de la collection B car la collection A contient plus d’éléments que la collection B. Les élèves ont tendance à comparer les quantités au lieu des valeurs.

Pour différencier la valeur de la quantité, les professeurs pourront donc mettre en place des activités de recherche de valeur mettant en jeu des échanges, c’est leur fréquence qui permettra aux élèves d’atteindre cet objectif.

Matériels associés : des plaques, exactement de même aspect4, munies des écritures symboliques 1, 10 et 100 qui leur confèrent une valeur et qui constituent le matériel de base nécessaire à ce type d’activité.

Il existe de nombreux matériels où forme, taille, couleur, position… signifient la valeur5.

Il convient de signaler l’abaque triangulaire et le boulier chinois.

Les abaques triangulaires sont des abaques à boules identiques où les mâts peuvent recueillir plus de dix boules. Chacun des trois mâts est identifié par les symboles respectifs u, d et c.

La quantité de 18 boules présente l’intérêt de pouvoir déposer sur un mât un nombre de boules correspondant à la somme 9 + 9 avant d’effectuer l’échange qui convient. La disposition spatiale triangulaire, évite de retrouver l’ordre usuel centaines, dizaines, unités qui peut masquer une incompréhension des élèves. Il faut éviter une effectuation mécanique des tâches d’échange : le fait que les boules soient identiques oblige à la réflexion.

L’intérêt principal du boulier chinois est d’utiliser la valeur intermédiaire cinq et de permettre plusieurs représentations d’une même valeur.

Ainsi 10 peut être représenté par 1 boule de valeur dix ou 2 boules de valeur cinq ou 1 boule de valeur cinq et 5 boules de valeur un (ici 80 000 est représenté par une boule de valeur 50 000, deux boules de valeur 10 000 et deux boules de valeur 5 000).

Progression

Avant d’énoncer des objectifs possibles à atteindre par niveau de classe, nous formulons quelques éléments de repère dans la progression–programmation en numération qui ne peut être envisagée sans relation avec le calcul.

En ce qui concerne la numération écrite :

– en GS, la désignation usuelle d’un nombre familier, dans le domaine de 1 à 31, reste un symbole non analysé, donc non compris. Elle s’acquiert par imprégnation ;

– l’algorithme de fabrication de la suite des écritures chiffrées peut être approché dès la GS ;

– la compréhension de la signification des chiffres dans l’écriture usuelle (aspect sémantique) est à réserver au CP et doit être approfondie au CE1. Elle s’appuie d’abord sur du matériel de « type groupements » avant d’utiliser, dès le CP, du matériel de « type échanges ».

Au CP, la dextérité dans le domaine des calculs additifs, le début des calculs soustractifs supposent une bonne compréhension de la numération et la connaissance de faits additifs et soustractifs mémorisés.

Les transformations d’écritures additives ne nécessitent pas la connaissance d’une technique opératoire de l’addition et sont donc à pratiquer dès l’introduction du signe +.

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

La connaissance des différents types de numération est un préalable indispensable.

On peut se référer au texte paru dans la publication du ministère : « le nombre au cycle 2 » (PDF à consulter sur ).

 1. LA NUMÉRATION DANS LES PROGRAMMES DU CYCLE 2 

La connaissance des nombres entiers et du calcul est un objectif majeur du cycle 2. Elle se développe en appui sur les quantités et les grandeurs, en travaillant selon plusieurs axes.

Des résolutions de problèmes contextualisés : dénombrer des collections, mesurer des grandeurs, repérer un rang dans une liste, prévoir des résultats d’actions portant sur des collections ou des grandeurs (les comparer, les réunir, les augmenter, les diminuer, les partager en parts égales ou inégales, chercher combien de fois l’une est comprise dans l’autre, etc.). Ces actions portent sur des objets tout d’abord matériels puis évoqués à l’oral ou à l’écrit ; le travail de recherche et de modélisation sur ces problèmes permet d’introduire progressivement les quatre opérations : addition, soustraction, multiplication, division.

L’étude de relations internes aux nombres : comprendre que le successeur d’un nombre entier c’est « ce nombre plus un », décomposer/recomposer les nombres additivement, multiplicativement, en utilisant les unités de numération (dizaines, centaines, milliers), changer d’unités de numération de référence, comparer, ranger, itérer une suite (+1, +10, +n), etc.

L’étude des différentes désignations orales et/ou écrites : nom du nombre ; écriture usuelle en chiffres (numération décimale de position) ; double de, moitié de, somme de, produit de ; différence de, quotient et reste de ; écritures en ligne additives/soustractives, multiplicatives, mixtes, en unités de numération, etc.

L’appropriation de stratégies de calcul adaptées aux nombres et aux opérations en jeu : ces stratégies s’appuient sur la connaissance de faits numériques mémorisés (répertoires additif et multiplicatif, connaissance des unités de numération et de leurs relations, etc.) et sur celle des propriétés des opérations et de la numération. Le calcul mental est essentiel dans la vie quotidienne où il est souvent nécessaire de parvenir rapidement à un ordre de grandeur du résultat d’une opération, ou de vérifier un prix, etc.

Une bonne connaissance des nombres inférieurs à mille et de leurs relations : c’est le fondement de la compréhension des nombres entiers et ce champ numérique est privilégié pour la construction de stratégies de calcul et la résolution des premiers problèmes arithmétiques.

 2. LES NOMBRES AU CP 

Parmi les attendus de fin de cycle, on trouve notamment :

– comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer, comparer ;

– nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers et les compétences associées (tableau ci-dessous).

Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers

– utiliser diverses représentations des nombres (écritures en chiffres et en lettres, noms à l’oral, graduations sur une demi-droite, constellations sur des dés, doigts de la main, etc.).

– passer d’une représentation à une autre, en particulier associer les noms des nombres à leurs écritures chiffrées ;

– interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération et des écritures arithmétiques ;

– utiliser des écritures en unités de numération (5d 6u, mais aussi 4d 16u ou 6u 5d pour 56) :

- unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers) et leurs relations (principe décimal de la numération en chiffres) ;

- valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture d’un nombre (principe de position) ;

- noms des nombres.

◆Association des noms des nombres à leur écriture chiffrée

La chaine numérique à explorer au CP (de 0 à 100) peut faire l’objet de différents découpages et de différentes progressions. L’une des plus classiques consiste à explorer le domaine numérique de manière progressive en le découpant de la manière suivante :

– les nombres de 1 à 9 : les nombres sont aussi des chiffres, associer écriture chiffrée et désignation orale est une compétence en principe déjà̀ acquise en GS ;

– le chiffre et le nombre 0, le nombre 10 : « dix » est le premier nombre qui s’écrit avec deux chiffres, dont le zéro ;

– les nombres de 10 à 16 : l’écriture chiffrée de ces nombres suit une logique différente de celle de leur énonciation. Il existe des propositions pédagogiques consistant à énoncer par exemple 12, « dix et deux ». Cependant ces propositions ne sont pas en accord avec les pratiques culturelles des élèves et pour cette raison difficiles à mettre en œuvre ;

– les nombres de 17 à 19 : l’écriture et l’énonciation de ces nombres suivent une même logique. Dans « dix-sept », on entend « dix » et « sept », et on écrit 10 et 7 qui avec les règles de valeur et de position devient 17 ;

– les nombres de 20 à 29, de 30 à 39, de 40 à 49 et de 50 à 59 : ce champ numérique présente une régularité, tant dans l’écriture chiffrée que dans l’énonciation des nombres. On fait des « paquets de dix » ;

– les nombres de 60 à 79 : afin de mieux accorder écriture et énonciation, on utilise la connaissance des nombres de dix à vingt pour décomposer de manière additive les nombres : 74 est « soixante-quatorze » soit « soixante » plus « quatorze » ;

– les nombres de 80 à 99 : on procède de la même manière que pour les nombres précédents.

OBSTACLES RENCONTRÉS PAR LES ÉLÈVES

Les plus grandes difficultés sont liées aux différences entre la numération utilisée pour écrire les nombres en chiffres et la numération utilisée pour énoncer ces mêmes nombres.

La difficulté se situe donc essentiellement sur le champ numérique de 10 à 20 et se retrouve entre 60 et 79 puis entre 80 et 99. Par exemple, pour certains élèves « soixante-dix-neuf » s’écrit 6019.

Le fait que les nombres dix, onze, douze, treize… seize, s’écrivent avec un seul mot ne facilite pas l’accès à leur écriture avec deux chiffres.

◆Unités de numération (unités simples, dizaines) et leurs relations (principe décimal de la numération en chiffres)

La procédure de dénombrement qui consiste à énumérer en récitant la comptine entraine, pour les collections importantes, de nombreuses erreurs liées à la lourdeur de la tâche.

Ceci doit motiver l’apprentissage par les élèves d’une nouvelle procédure qui limite l’utilisation de la comptine à dix.

Il s’agit de savoir dénombrer une quantité d’objets pour produire une désignation écrite ou orale en les groupant d’abord par paquets de dix objets, puis en dénombrant le nombre de paquets de dix et le nombre d’objets isolés.

L’élève dénombre en faisant des paquets de dix, puis il dénombre les paquets de dix et les objets isolés. Il obtient ainsi, en respectant les règles de position, une écriture chiffrée du cardinal de la collection.

On peut pratiquer ce type d’activités avec du matériel très commun : buchettes et élastiques, haricots et petits sacs plastiques transparents, etc.

Il existe aussi des propositions de matériel pédagogique pour travailler la notion de groupement (cf. document 3 : matériel multibase).

OBSTACLES RENCONTRÉS PAR LES ÉLÈVES

La principale difficulté éprouvée par les élèves tient au fait qu’ils doivent considérer comme « un », un objet qui en contient plusieurs : le paquet (ou groupement).

◆Valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture d’un nombre

Il s’agit de savoir que, dans une écriture à deux chiffres d’un nombre désignant une quantité, le chiffre de gauche indique le nombre de groupes de dix et le chiffre de droite le nombre d’objets isolés.

Pour bien distinguer le rôle joué par chaque chiffre dans l’écriture du nombre, on peut utiliser des codes couleurs :

- trois paquets de « dix » : 3

- quatre objets isolés : 4

Le nombre d’objets en tout : 34

Il existe aussi des propositions de matériels pédagogiques pour travailler la notion de valeur et de position (cf. document 3 : abaques, bouliers).

◆Valeur et quantité, deux notions indépendantes

À l’école maternelle, le nombre était le représentant d’une quantité. Au cours du CP les élèves découvrent un nouvel usage du nombre : celui-ci devient aussi le représentant d’une valeur ou d’une mesure. Il s’agit pour les élèves d’admettre, par exemple, que cinq objets de valeur 1 valent un objet de valeur 5, ou que dix objets de valeur 1 valent un objet de valeur 10.

OBSTACLES RENCONTRÉS PAR LES ÉLÈVES

La position des chiffres dans l’écriture du nombre installe un code nouveau, lié à la latéralisation, alors que nombreux sont les élèves encore en difficulté avec les notions de « droite » et de « gauche ». Certains élèves ont du mal à spécifier ce qui différencie les deux nombres 17 et 71.

À cet âge, les élèves sont toujours réticents à échanger deux pièces de un euro contre une pièce de deux euros. Pour eux deux vaut mieux qu’un et l’échange n’est pas juste. Il est donc nécessaire de travailler dans des situations diverses ces notions de valeur et d’échange.

Souvent les situations d’échange proposées sont tout à fait arbitraires : on échange un rouge contre cinq verts. Cela ne fait pas sens pour les élèves et ne contribue pas à construire cette notion de valeur. Les « pratiques de cours de récréation » constituent en revanche des situations que l’on peut exploiter en classe. Les élèves arrivent mieux à concevoir, par exemple, en quoi un calot vaut cinq billes.

B – TRAITEMENT DU SUJET

 1. LIRE ET ANALYSER LES DOCUMENTS 

Les indications les plus essentielles sont répertoriées dans un cadre :  À NOTER .

Document 1

◆Description de la démarche

La séance se situe dans le domaine « Nombres et calculs » et est programmée en deuxième moitié de période 1 « liaison GS/CP ».

Les leçons du fichier élève :

Leçon 11

Phase 1 : Il s’agit d’une dictée de nombres jusqu’à 9.

Phase 2 : la consigne donnée est « Observe et complète ».

Le nombre « 10 » est présenté comme :

– le cardinal de la collection des doigts de deux mains ;

– le successeur de 9, 10 = 9 + 1 ;

– le représentant d’un paquet (la dizaine).

La décomposition additive 10 = 5 + 5 est amenée grâce à la constellation des dominos.

Puis, la tâche de l’élève après avoir « observé » est de compléter une frise numérique de 1 à 10.

Phase 3 : l’élève doit entourer la boite qui contient 10 œufs (connaitre le mot dizaine, l’expression « une dizaine »).

Phase 4 : l’élève doit constituer et compléter (recherche du complément) des collections de 10 éléments (poissons, boules).

Phase 5 : l’élève écrit le nombre dix avec les graphies de deux chiffres déjà rencontrés (le 0 et le 1).

Il est confronté à la première différence entre la numération écrite chiffrée (graphies) et la numération orale.

Leçon 15

Phase 1 : l’élève doit compléter des « morceaux » de bande numérique avec des nombres qui s’écrivent avec deux chiffres.

Phase 2 : l’élève doit placer des écritures de nombres inférieurs à 20 sur une frise numérique : 7, 16, 12, 2, 19.

◆Analyse de la démarche

Ces deux leçons peuvent servir d’appui pour des séances de découverte sensibilisation autour de la notion de dizaine et l’utilisation du zéro, mais ne contiennent pas de démarche d’apprentissage proprement dite au-delà d’un simple entrainement.

Le zéro ne fait l’objet d’aucun apprentissage particulier.

Document 2

À NOTER

Préconisation de travailler sur les notions de groupements et d’échanges dès la période 2.

Il s’agit des extraits de deux documents du ministère de l’Éducation nationale : Repères annuels de progression pour le cycle 2 : Nombres et calculs ; Attendus de fin d’année : Mathématiques CP.

Document 3

À NOTER

Présentation de matériels et activités pour les notions de groupements et échanges : matériel multibase, abaques, boulier.

Il s’agit de propositions d’activités extraites d’un document d’accompagnement publié par le ministère de l’Éducation nationale : « Le nombre au cycle 2 ».

 2. SITUER LA SÉANCE 

Du point de vue de l’enseignant

La séance à concevoir est la quatrième de la séquence.

Précédemment l’enseignant aura dû :

– en séance 1 : travailler sur les nombres de 1 à 9 dans le cadre de la liaison GS/CP ;

– en séance 2 : travailler sur la dizaine pour laquelle la leçon 11 du document peut servir de support ;

– en séance 3 : travailler sur les nombres de 10 à 16 avec les deux logiques différentes des deux numérations orales et écrites.

Du côté des élèves (prérequis)

Connaitre les nombres de 1 à 9 : graphies, ordre etc.

Connaitre les décompositions additives des nombres jusqu’à 9.

Connaitre les nombres de 10 à 16 : écriture chiffrée, écriture littérale et « oralisation ».

Connaitre l’ordre sur les nombres de 10 à 16.

 3. RÉDIGER LA FICHE DE PRÉPARATION 

Choix didactiques (conception)

◆Utilisation de deux matériels proposés dans le document 3

Pour le travail sur le groupement : Cubes et barres (matériel multibase).

Pour le travail sur la valeur et la position : Abaques avec deux branches.

◆Numération écrite/numération orale

Sur le champ numérique 17 - 18 - 19, la manière de dire les nombres permet aussi de bien comprendre la signification de l’écriture des nombres à 2 chiffres et de mettre en évidence l’importance de la position.

Choix pédagogiques (animation)

◆Alternance de formes de travail

Trois formes de travail sont proposées :

– travail en binôme : facilite les échanges entre les élèves, permet la confrontation, l’argumentation, la communication ; permet soit l’étayage par un élève, soit la collaboration entre pairs ; différenciation possible ;

– travail collectif : permet de recentrer l’attention vers l’enseignant ;

– travail individuel : pour des tâches simples avec de nombreuses procédures possibles, lorsque la réussite de tous est possible.

◆Succession de phases courtes avec des consignes et des tâches claires

L’attention et la concentration des élèves de CP n’excèdent guère 10’.

Ce choix permet de recentrer souvent l’attention des élèves.

Déroulé de séance

Domaine disciplinaire : Mathématiques

Domaine spécifique : Nombres et calculs

Niveau de classe : Cycle 2 / CP

Nb d’élèves : 25

Place de la séance dans la séquence : séance 4

Objectif général : Connaitre les nombres de 0 à 20

Compétence(s) visée(s) :

Être capable de :

- lire un nombre écrit en chiffres (17/ 18 / 19) ;

- écrire en chiffres et en lettres des nombres dictés ;

- connaitre la valeur des chiffres en fonction de leur position (unités, dizaines) ;

- connaitre et utiliser la relation entre dizaine et unité.

Attendu de fin de cycle

Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers pour des nombres inférieurs ou égaux à 100.

Phase 1 Collectif (5’)

Une collection de 25 objets (cubes manipulables déplaçables) est posée en tas sur le bureau.

Consigne : « Le maitre voudrait être sûr : Combien y a-t-il de d’objets sur la table ? On va demander à 2 ou 3 élèves de venir au bureau et nous dire combien il y en a. »

Verbalisation : comment ont-ils fait ? Se sont-ils trompés ? Pourquoi ? Etc.

Phase 2 Individuel (10’)

Distribuer une feuille à chaque élève (écrire au tableau) :

- billes bleues

- billes rouges

- billes vertes

Sur chaque feuille : une collection de croix (billes) (trois cas possibles : 19 bleues, 18 rouges ou 17 vertes) dispersées.

Exemple : la feuille des billes rouges

Chaque élève doit dénombrer les billes qu’il y a sur la feuille qu’il a reçue.

Écrire le résultat sur une ardoise.

L’enseignant interroge plusieurs élèves : « Émile, combien as-tu trouvé ? »

L’élève doit lever son ardoise et dire le nombre écrit.

Etc.

Au tableau, l’enseignant pose la question complète avec l’écriture des nombres :

19 billes bleues

18 billes rouges

17 billes vertes

Phase 3 Collectif (2’)

Frise numérique jusqu’à 20 écrite au tableau.

L’enseignant montre au tableau les écritures chiffrées des nombres, les élèves les lisent à haute voix.

L’enseignant appelle un élève au tableau pour compléter la frise dans le bon ordre (17, 18, 19).

L’enseignant pose la question : « Comment le sait-on ? »

Réponse attendue : le 7 le 8 le 9 (ordre sur les nombres jusqu’à 10) qu’on entend dans dix-sept, dix-huit, dix-neuf.

Phase 4 Binômes (10’)

L’enseignant sort de sa poche des billes et des calots et engage un débat avec les élèves : « Combien un calot vaut-il de billes ? »

Règle d’échange proposée : 1 calot vaut 10 billes.

Situation problème avec billes et calots (feuilles distribuées à chaque binôme).

L’enseignant distribue des feuilles avec des dessins de billes et calots et pose la question : « À la fin de la partie qui a le plus ? » ou « Qui a gagné la partie ? »

Exemple :

Joseph

Claire

Différenciation possible selon les compétences des élèves.

Laisser un temps de recherche (2 à 3’).

Propositions de plusieurs binômes-élèves : les élèves sont invités à expliquer leurs propositions.

Résolutions correctes probables :

Joseph : 1 calot et 8 billes ça vaut 18 billes.

Claire : 17 billes ou 1 calot et 7 billes.

Joseph a gagné la partie.

Phase 5 Binômes (5’)

L’enseignant distribue des jetons et des abaques à 2 branches.

19 jetons verts sont distribués dans des boites à chaque binôme.

Consigne : « Rangez les jetons de la boite sur votre abaque. »

Remarque :

Chaque tige d’abaque peut contenir 10 jetons et pas plus.

On peut donc aboutir à deux types de rangement des 19 jetons sur les abaques.

Recueil des propositions : 19 = 10 + 9 ou 19 = 9 + 10.

Relever des propositions : 9-dix ou dix-9.

L’enseignant rappelle la règle des échanges sur les abaques : 10 jetons verts valent un jeton rouge).

Deux élèves (un binôme performant) passent dans les rangs avec chacun une boite pleine de jetons rouges.

Ils donnent à ceux qui le demandent un jeton rouge en échange de dix jetons verts.

Ils s’assurent de la validité de l’échange.

Consigne de l’enseignant : « Maintenant, placez vos jetons sur vos abaques. »

Dire le nombre : « dix-neuf » ou « neuf-dix » ; « dix plus neuf » ou « neuf plus dix ».

Conclure sur l’importance de la position, la place des jetons rouges sur les abaques.

Phase 6 Individuel (10’)

Frise des nombres jusqu’à 20 à compléter.

Distribuer une feuille avec des quantités à comparer en utilisant billes et calots ou abaques.

Exemple :

Qui a gagné ?

Albert : ou Claude :

1

2

3

4

5

6

11

12

13

14

15

16

20

 4. PRÉPARER L’ORAL 

Introduction

Dans notre numération écrite chiffrée, la valeur associée à un chiffre dans l’écriture d’un nombre est liée à sa position.

Cette notion est délicate à assimiler par les élèves du cycle 2.

Sur le champ numérique des nombres de 10 à 20, les nombres 17, 18, 19 peuvent permettre de bien faire comprendre cet aspect de l’écriture des nombres en s’appuyant sur la numération orale.

La séance que je vais vous présenter est un exemple de travail qui peut être conduit à cet effet avec des élèves de CP en période 2.

Conclusion

Ce travail constitue une phase de sensibilisation à ces problématiques de numération, qui devront être maintes fois reprises tout au long du cycle 2, en lien avec le développement des compétences en calcul.

Questions du jury

Pourquoi ne mettez-vous pas les élèves par groupes de plus de deux pour résoudre les problèmes en phase de recherche ?

Réponse : Les groupes de trois ou quatre élèves apportent plus de richesse et de diversité dans les réponses et les procédures mises en œuvre.

Cependant cette taille de groupes ne permet que très difficilement le travail collaboratif.

Souvent un leader se dégage et certains autres du groupe se mettent en retrait et c’est donc contre-productif.

Les binômes, pour être intéressants, doivent être constitués avec soin par l’enseignant.

Plusieurs critères peuvent prévaloir, notamment, proximité amicale ou encore niveau homogène ou hétérogène pour un certain tutorat.

Autre question possible :

Comment gérer les réponses aux questions posées oralement à toute la classe ?

Sur

Les réponses aux autres questions

1. Le dénombrement d’une collection est une tâche qui consiste à fournir, à l’oral ou à l’écrit, le nombre d’éléments de cette collection. Plusieurs procédures sont possibles, en particulier les procédures qui utilisent les comptages par paquets de dix.

2. Certains enseignants préfèrent utiliser le vocabulaire « tout seul ».

3. Le matériel « multibase » en bois permet aux élèves de remplacer un groupement de dix cubes par une barre de dix où les dix petits cubes sont encore visibles, de même pour les plaques et les gros cubes. C’est un matériel intermédiaire entre les groupements et les échanges.

4. Le matériel est présenté dans l’exemple ci-dessus. Il convient que les élèves n’utilisent que l’écriture symbolique pour donner une valeur à un objet, évitant ainsi d’associer une valeur à une couleur, une taille ou une forme.

5. Le système monétaire en usage en Europe cumule écriture symbolique, taille et couleur.

Sujet n° 2 : Nombres et calculs CE1

En vous appuyant notamment sur les quatre documents ci-après, concevez une séance de découverte pour une classe de CE1 (25 élèves) visant la compétence : « Mettre en œuvre un algorithme de la soustraction posée en colonnes (avec retenue) ».

 CORPUS DE DOCUMENTS 

Document 1. Leçon 79 « La soustraction posée à retenue » du fichier élève CE1, Vivre les maths, Nathan, 2019.

Document 2. « Progression par domaine » du fichier élève CE1, Vivre les maths, Nathan 2019.

Document 3. Extrait des Repères annuels de progression au cycle 2 en mathématiques : « Nombres et calculs », Eduscol.

NOMBRES ET CALCULS (suite)

Calcul

En ce qui concerne le calcul, les élèves établissent puis doivent progressivement mémoriser des faits numériques et des procédures.

Les faits numériques à mobiliser pour le calcul en ligne, le calcul mental et le calcul posé.

Dès le début de l’année, les élèves consolident les acquis de l’école maternelle (identifications rapides et répétées de quantités « d’un coup d’œil », automatisation de la reconnaissance de la quantité en situation de jeu type constellations, doigts, dés, collections d’objets). Ils apprennent les compléments à 10, les décompositions additives des nombres inférieurs à 10.

Les élèves apprennent au plus tard en période 2 les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres inférieurs à 20.

En fin d’année, la plupart des résultats des tables d’addition sont mémorisés.

Dès le début de l’année, les élèves apprennent à chercher les compléments à la dizaine supérieure, à la centaine supérieure.

Dès le début de la période 2, les élèves apprennent des doubles et moitiés de nombres d’usage courant (nombres inférieurs à 10, dizaines entières inférieures à 100, 25, 50, 100), y compris et la table de multiplication par 2.

Les élèves apprennent au plus tard en période 3 les multiplications par 10 ; et les tables de multiplication par 3, 4 et 5.

En fin d’année, ces faits numériques sont mémorisés.

Dès le début de l’année, les élèves apprennent à chercher les compléments à 1 000 et consolident leur aptitude à chercher les compléments à la centaine supérieure.

Les élèves apprennent au plus tard en période 3 les multiplications par 10 et par 100 ; et les tables de multiplication par 6, 7, 8, 9.

En fin d’année, ces faits numériques sont mémorisés.

Les procédures à mobiliser pour le calcul en ligne et le calcul mental.

Tout au long de l’année, les élèves sont conduits à développer des procédures de calcul en mobilisant des propriétés additives : « 2 + 9, c’est pareil que

9 + 2 » ; et des procédures adaptées aux nombres en jeu.

Dès le début de l’année, les élèves consolident les procédures de calcul apprises au CP.

À partir de la période 3, les élèves sont conduits à développer des procédures de calcul en mobilisant des propriétés multiplicatives : « 3 × 5, c’est pareil que 5 × 3 », « 3 × 5 × 2, c’est pareil que 3 × 10 » et sur des exemples très simples : « 12 × 5 = 10 × 5 + 2 × 5 ».

Tout au long de l’année, les élèves consolident les procédures de calcul apprises au CE1.

Ils sont aussi conduits à développer des procédures de calcul en mobilisant la propriété suivante pour la soustraction :

« 5 × 18 = 5 × 20 – 5 × 2 ».

À partir de la période 3, les élèves mobilisent des propriétés et développent des procédures de calcul adaptées aux nombres en jeu pour obtenir le quotient et le reste d’une division euclidienne par un nombre à 1 chiffre et par des nombres comme 10, 25, 50, 100. Par exemple à l’écrit : 92 = (9 × 10) + 2 ; et à l’oral : « 92 divisé par 9, il y a 10 fois 9 et il reste 2 ».

Les procédures à mémoriser dans le cadre du calcul posé.

Les opérations posées permettent l’obtention de résultats notamment lorsque le calcul mental ou écrit en ligne atteint ses limites. Leur apprentissage est aussi un moyen de renforcer la compréhension du système décimal de position et de consolider la mémorisation des relations numériques élémentaires. Il a donc lieu lorsque les élèves se sont approprié des stratégies de calcul basées sur des décompositions/recompositions liées à la numération décimale, souvent utilisées également en calcul mental ou écrit.

Les élèves enrichissent d’abord la mémorisation de faits numériques et de procédures. Au plus tard en période 4, les élèves apprennent à poser les additions en colonnes avec des nombres de deux chiffres.

Dès le début de l’année, les élèves consolident la maîtrise de l’addition avec des nombres plus grands et avec des nombres de taille différente.

Ils continuent à enrichir la mémorisation de faits numériques et de procédures. Au plus tard en période 3, les élèves apprennent une technique de calcul posé pour la soustraction.

Dès le début de l’année, les élèves consolident la maîtrise de la technique de la soustraction apprise en CE1.

Ils apprennent et entretiennent tout au long de l’année une technique de calcul posé pour la multiplication, tout d’abord en multipliant un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre puis avec des nombres plus grands.

Les techniques de calcul posé sont communes à toutes les classes, elles sont ritualisées avec les mêmes formes et les mêmes mots. Ce choix doit être poursuivi au cycle 3.

Document 4. Extraits du document d’accompagnement : « Le nombre au cycle 2. Ressources pour faire classe », Eduscol.

A – CONNAISSANCES DIDACTIQUES À MOBILISER

 1. SOUSTRACTION : SENS DE L’OPÉRATION / MODÉLISATION 

On peut distinguer deux niveaux différents d’approche du sens du signe mathématique : « – ».

Un premier niveau de sens où le signe mathématique est utilisé pour coder une action :

•Avancer / reculer : les jeux de plateau

Exemple d’activité :

On dispose de deux dés : un dé numéroté de 1 à 6 et un dé avec des faces portant la lettre A (pour avancer) et des faces portant la lettre R (pour reculer).

Le joueur situé sur la case 5 lance les deux dés.

Le tirage A,2 pourra être codé par l’opération 5 + 2 =

Le résultat de l’opération indique le numéro de la case où devra maintenant se rendre le joueur, la case 7.

Si le même joueur avait fait le tirage R,2 :

le tirage peut alors être codé par l’opération 5 – 2 = 3.

Le joueur devra poser son pion en case 3.

•Progresser, régresser : la bande numérique

La bande numérique utilisée pour représenter l’ensemble des nombres entiers est organisée selon un ordre croissant de la gauche vers la droite.

Aller plus loin vers la droite signifie progresser, aller vers des nombres plus grands.

A l’inverse aller vers la droite signifie régresser (reculer), aller vers des nombres plus petits.

Le signe « + » est utilisé pour coder une progression.

Le signe « – » est utilisé pour coder une régression (un recul).

Exemples :

3 + 3 = 6

3 – 2 = 1

•Enlever, retirer

De nombreuses situations peuvent être mises en place avec des boites et des jetons dans lesquelles on ajoute (+) ou on retire (-) une certaine quantité.

Les signes opératoires sont utilisés pour coder ces situations d’action et de manipulation.

•L’écart

La recherche de l’écart peut être modélisée par le signe « − ».

Sur la bande numérique :

Quel est l’écart entre 6 et 1 ?

6 – 1 = 5

Ces différentes situations sont sous-tendues par les mêmes structures que les problèmes dits de structures additives (Voir sur  : Les problèmes de structures additives selon G.