Les
Petites Pommes
du Savoir

no 1. Le Temps existe-t-il ?, Étienne Klein

no 2. Cloner est-il immoral ?, Laurent Degos

no 3. Pourquoi la mer est-elle bleue ?, Pierre Laszlo

no 4. Peut-on guérir le cancer avec des OGM ?, Louis-Marie Houdebine

no 5. Le Climat est-il devenu fou ?, Robert Sadourny

no 6. Dopés, victimes ou coupables ?, Françoise Siri

no 7. Peut-on croire les sondages ?, Gilles Dowek

no 8. La Radioactivité est-elle réellement dangereuse ?, Jean-Marc Cavedon

édition : Juliette Thomas
conception graphique :
Atelier Daniel Leprince
relecture : Sidonie Van den Dries
formules : Fernando da Cunha

Le Pommier, 2002

Tous droits réservés

ISBN : 9782746513181

170 bis, boulevard du Montparnasse 75014 Paris
www.editions-lepommier.fr

www.centrenationaldulivre.fr

Ce document numérique a été réalisé par Nord Compo.

On organise des sondages et des enquêtes toute l’année pour connaître nos préoccupations, nos personnalités préférées ou les émissions que nous regardons à la télé. Dans les usines, on procède à des sondages pour tester la qualité de pièces manufacturées sans les détruire complètement. Cependant, ce sont sans doute les sondages que les journaux commandent et publient avant chaque élection qui sont l’objet de la plus vive curiosité… et aussi la cible des critiques les plus rageuses : les sondages préélectoraux ont leurs partisans et leurs détracteurs. Chacun semble devoir avoir une opinion.

Pour leurs partisans, les sondages remplaceraient presque les élections. Pour leurs détracteurs, ils se rapprocheraient plutôt des prédictions des voyantes et des sorciers. Les détracteurs s’indignent du petit nombre de personnes interrogées. Les partisans invoquent des intervalles de confiance et la loi des grands nombres. Les détracteurs contestent que les personnes interrogées soient représentatives de la population ou qu’elles disent la vérité. Les partisans répondent que les effets de ces imperfections se mesurent et se redressent.

Ce petit livre, quant à lui, n’est ni pour ni contre les sondages. La seule thèse qu’il défend est qu’un peu de mathématiques – pas plus difficiles que les mathématiques que l’on apprend au lycée – permet de jeter quelque lumière sur ces débats. Tout d’abord, les mathématiques apprennent à se méfier de certaines fausses évidences, par exemple, de l’idée que la fiabilité d’un sondage dépend du rapport entre le nombre de personnes interrogées et la taille de la population. Ensuite, les mathématiques permettent de mieux comprendre ce que signifie un sondage, en particulier ce qu’est un « intervalle de confiance », et aussi ce qu’il n’est pas. Enfin, elles permettent, dans certains cas, de repérer voire de corriger les biais introduits par le choix des personnes interrogées et les erreurs ou les mensonges dans leurs réponses.

Ce livre cherche donc à donner des éléments de réponses à ceux qui, ni partisans radicaux des sondages ni détracteurs absolus, se posent la question : Peut-on croire les sondages ?

Combien faut-il
interroger
de personnes ?

Quand on commande un sondage à un institut spécialisé, celui-ci se contente bien souvent d’interroger quelques milliers de personnes avant de rendre ses conclusions. Cela exaspère beaucoup de gens : quand les électeurs seront plusieurs dizaines de millions, comment peut-on prétendre avoir un résultat fiable en en interrogeant seulement quelques milliers, soit moins d’un sur dix mille ? Il est naturel de penser que, pour obtenir un résultat fiable, plus la population est nombreuse, plus il faut interroger de personnes.

Pourtant, les instituts de sondages ont de bonnes raisons de se limiter à quelques milliers de personnes. En effet, aussi surprenant que cela paraisse la première fois qu’on l’apprend, la fiabilité d’un sondage dépend du nombre de personnes interrogées mais pas de la taille de la population totale. Ainsi, s’il est suffisant, pour avoir un résultat fiable, d’interroger 2 000 personnes avant une élection municipale dans une ville de 10 000 habitants, il est également suffisant d’interroger 2 000 personnes avant une élection présidentielle dans un pays de 60 millions d’habitants, car ces deux sondages ont la même fiabilité.

Cette idée fausse que la fiabilité d’un sondage dépend du rapport entre le nombre de personnes interrogées et la taille de la population peut s’expliquer par la ressemblance qu’il y a entre les sondages et les élections. Dans les deux cas, on pose la même question à différentes personnes et on compte les réponses, et pour que les résultats d’un sondage soient les plus proches possibles de ceux d’une élection, n’est-il pas naturel de penser que le sondage et l’élection doivent se ressembler le plus possible, c’est-à-dire que l’on doive, dans le sondage, interroger une fraction importante de la population ? Pourtant, pour comprendre ce qu’est un sondage, il faut commencer par se défaire de l’idée qu’il est une élection en miniature. Par exemple, lors d’une élection, il est important que personne ne vote deux fois, c’est pour empêcher cela que sont établis les listes électorales et les registres des bureaux de vote. Dans un sondage, en revanche, cela ne poserait pas de problème majeur si, par l’effet du hasard, la même personne était interrogée plusieurs fois.

Un petit calcul permet de comprendre pourquoi la taille de la population n’influe pas sur la fiabilité du sondage.

Imaginons une ville de 10 000 habitants. Dans cette ville, deux candidats, Marianne et Gavroche, s’affrontent pour la mairie. 75 % des habitants de cette ville, soit 7 500, sont des partisans de Marianne, et 25 %, soit 2 500, sont des partisans de Gavroche.

Imaginons, pour commencer, qu’un institut de sondages fasse un tout petit sondage et interroge une personne seulement. Si cette personne est choisie au hasard, il y a 3 chances sur 4 que ce soit un partisan de Marianne et 1 chance sur 4 que ce soit un partisan de Gavroche. En mathématiques, on dit que la probabilité que la personne interrogée soit un partisan de Marianne est 3/4 et que la probabilité que ce soit un partisan de Gavroche est 1/4.

On obtient alors les résultats possibles suivants pour notre microsondage.

nombre de partisans de Marianne

nombre de partisans de Gavroche

probabilité

1

0

3/4

0

1

1/4

Imaginons maintenant que l’institut de sondages fasse un sondage un tout petit peu plus important et interroge deux personnes. La probabilité que la première soit un partisan de Marianne et la seconde un partisan de Gavroche se calcule en multipliant les deux probabilités 3/4 et 1/4, ce qui donne 3/16. Il y a donc 3 chances sur 16 que cela se produise. On peut, de même, calculer la probabilité des trois autres réponses possibles : Marianne-Marianne, Gavroche-Marianne, Gavroche-Gavroche.

On obtient alors les probabilités suivantes :

Première personne interrogée

Seconde personne interrogée

Marianne

Marianne

Marianne

Gavroche

Gavroche

Marianne

Gavroche

Gavroche

Dans le premier cas, les personnes interrogées sont deux partisans de Marianne, dans le dernier, deux partisans de Gavroche. Dans les deux cas du milieu, il y a un partisan de Marianne et un partisan de Gavroche. La probabilité que parmi les deux personnes interrogées il y ait un partisan de chaque candidat se calcule en ajoutant les probabilités des deux cas du milieu. On obtient alors les résultats possibles suivants :

Nombre de partisans de Marianne