COLLECTION FONDÉE
PAR JEAN-CLAUDE SIMOËN

Sauf mention contraire de crédit, les schémas ont été réalisés par André Deledicq, Mickaël Launay et Francis Casiro.

© Éditions Plon, un département de Place des Éditeurs, 2021

Couverture : Direction artistique © Delphine Delastre. Composition VIII, Vassily Kandinsky © Luisa Ricciarini/Leemage
Dessins intérieurs d’Alain Bouldouyre, schémas d’André Deledicq, Mickaël Launay et Francis Casiro

92, avenue de France
75013 Paris
Tél. : 01 44 16 09 00
Fax : 01 44 16 09 01
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Graphisme : d’après www.atelierdominiquetoutain.com

EAN : 978-2-259-30622-5

« Cette œuvre est protégée par le droit d’auteur et strictement réservée à l’usage privé du client. Toute reproduction ou diffusion au profit de tiers, à titre gratuit ou onéreux, de tout ou partie de cette œuvre, est strictement interdite et constitue une contrefaçon prévue par les articles L 335-2 et suivants du Code de la Propriété Intellectuelle. L’éditeur se réserve le droit de poursuivre toute atteinte à ses droits de propriété intellectuelle devant les juridictions civiles ou pénales. »

Ce document numérique a été réalisé par Nord Compo.

Avant-propos

Il paraît que les mathématiques ne sont qu’une histoire de définition. Qu’elles seraient un langage rigide qu’il s’agit de manier froidement pour atteindre un but rationnel et sans surprise. Rien n’est plus faux ! On dira peut-être qu’il n’existe pas de pire endroit que les pages d’un dictionnaire pour revendiquer le contraire. C’est pourtant l’objectif que nous nous sommes fixé : vous montrer les mathématiques, non comme les exposent les manuels, mais comme nous les ressentons, vivantes et jubilatoires. Avec ce qu’il faut de précision pour être clair, mais sans excès de formalisme. Pour beaucoup de mathématiciens et mathématiciennes, elles sont avant tout un formidable domaine de création, trouvant son équilibre entre la recherche de la cohérence et celle de l’élégance. Là où les autres sciences ne parlent « que » du réel, les mathématiques ont cette faculté d’inventer, pourvu que leurs créateurs respectent les quelques règles élémentaires de la logique, tous les mondes qu’il leur plaît d’imaginer. Les mathématiques sont plurielles et, à travers les histoires que nous avons choisi de vous raconter, nous espérons vous faire ressentir cette multiplicité.

Quoique deux noms d’auteurs en occupent la couverture, ce livre est écrit à la première personne du singulier. Nos lecteurs et lectrices pourront s’en étonner, d’autant que, tous deux mathématiciens, nous devrions ne pas vous laisser ainsi supposer que 1 = 2. Mais, après tout, nous nous adressons bien à vous, lectrice ou lecteur, qui êtes en train de lire seul, à la deuxième personne du pluriel : 2 = 1.

Il nous a toutefois semblé pertinent d’user de cette ambiguïté pour mieux vous conter le rapport personnel et singulier que nous entretenons avec les sujets évoqués. Au fil des mots, le « je » sera parfois André Deledicq, parfois Mickaël Launay. Il nous arrivera, quand nécessaire, de le préciser. Peut-être le devinerez-vous à l’occasion. Le plus souvent, toutefois, notre « je » sera hybride, mélange de nos deux plumes cent fois repassées l’une sur l’autre.

Ce double « je » s’inscrit également dans une volonté plus globale : celle de faire passer le monde mathématique au premier plan. C’est également pour cette raison que vous ne trouverez pas de noms propres dans les entrées de ce dictionnaire. Bien sûr, vous rencontrerez malgré tout, au fil des pages, nombre de grands savants, de Thalès à Conway en passant par Al-Khwârizmî, Euler, ou Kowalevski. Et, si vous tenez à les dénicher, n’hésitez pas à jeter un œil à l’entrée Personnages. Les histoires de ces scientifiques sont merveilleuses et inspirantes, elles occupent une place majeure dans cet ouvrage, mais ne nous y trompons pas : les vrais héros sont les concepts. Qu’ils soient nombres, figures, démonstrations, théories ou conjectures, c’est dans leur monde que nous avons voulu vous entraîner.

« Les mathématiques ne sont pas une moindre immensité que la mer », écrivait Victor Hugo dans sa préface philosophique aux Misérables. Mille dictionnaires comme celui-ci n’auraient pas suffi à contenir toutes les merveilles de ce monde, et dans cette immensité il nous a fallu choisir. Nous n’avons pas observé d’autres règles que de suivre nos envies. Nous assumons ainsi de n’avoir, parfois avec une pointe de regret, pas même évoqué des pans entiers des mathématiques. Nous croyons que ces sacrifices étaient nécessaires à notre volonté de mieux vous toucher au cœur. Pour faire ressentir l’émotion que peut évoquer un paysage, quelques belles photos valent parfois mieux qu’une carte complète, mais sans âme. Il nous fallait quelques panoramas bien choisis et que les grandes théories côtoient aussi bien les petites anecdotes que les récits personnels pour que ce dictionnaire, pris dans son ensemble, révèle la diversité foisonnante qui nous fait tant aimer cette discipline.

Ne jamais vous lasser ni vous essouffler fut le fil rouge de toutes nos discussions, et nous sommes curieux de savoir si nous avons atteint notre but.

Remerciements

Nous remercions plus que très chaleureusement notre éditeur, Claude Capelier, qui a su nous guider, avec patience et amitié, dans l’écriture d’un livre accessible à tous les publics ; son aide a été irremplaçable.

Merci également à Laurent Boudin qui amorça l’écriture de ce dictionnaire et nous accompagna dans nos débuts ainsi qu’à l’équipe de correctrices des éditions Plon, et à Marie-Laure Nolet pour les ajustements de dernière minute et pour avoir fait de notre texte le dictionnaire que vous tenez entre les mains.

Chaque élément de l’ensemble {A.D. ; M. L} des auteurs souhaite remercier l’autre élément pour son écoute, son attention et sa patience au cours des trois années passées à écrire cet ouvrage.

Nous avons une pensée toute particulière pour Denis Guedj qui avait entrepris l’écriture d’un premier dictionnaire amoureux des mathématiques, que la maladie lui a interdit de mener à bien.

Et, surtout, ce livre n’aurait pas été le même sans l’existence de ceux que nous aimons et qui, chaque jour, nous entourent et nous encouragent : A. D. adresse une pensée particulière à Jean-Christophe et Jean-Philippe pour leur engagement à ses côtés depuis trente ans. Et M. L. à Chloé, à qui ce livre doit plus qu’elle ne l’imagine.

André Deledicq et Mickaël Launay

Paris, 14 mars 2021

A

Première lettre de l’alphabet latin, la lettre A est utilisée dans différents contextes en langage mathématique.

Une lettre en mathématiques ? Quelle bizarrerie ! Que vient-elle faire ici ? Comment s’y est-elle égarée ? Des lettres on fait des mots, des phrases, des poèmes, des histoires… mais des maths ? Pourquoi pas des équations dans un roman, pendant qu’on y est ? Non. Que les chiffres restent en sciences et les lettres en littérature, et les vaches seront bien gardées.

Voici, paraît-il, un Dictionnaire amoureux des mathématiques. Avouons-le : il n’y a rien qui va, dans ce titre. Si un oxymore est le rapprochement de deux termes antinomiques – telle l’obscure clarté, de Corneille –, alors comment appelle-t-on un triangle de trois mots dont chacun semble contredire les deux autres ? Un trioxymore, peut-être ? Un dictionnaire est trop rigide pour être amoureux. Le sentiment amoureux est étranger à l’austère rationalité des mathématiques. Et comment la science mathématique pourrait-elle tenir en un trop littéraire dictionnaire ? Non, répétons-le : rien ne va. Rien.

Et pourtant.

Pourtant, il y a de la beauté dans les équations, de l’ordre arithmétique dans le rythme des mots, de la poésie dans la contrainte et du délice dans la transgression. Alors, n’ayons pas peur, mettons des lettres dans nos sciences, de l’amour dans nos dictionnaires, mais jamais d’eau dans notre vin. Qu’il est savoureux de croiser les genres, de mélanger les contraires et d’emberlificoter les chemins tracés trop droit ! Voici un dictionnaire, il est amoureux, il est mathématique et il commence avec cette lettre : A.

En minuscule, la lettre a désigne régulièrement un nombre de valeur arbitraire, comme dans l’identité remarquable a² − 1 = (a − 1)(a + 1). Ce qu’il y a de remarquable, c’est que cette égalité est vraie quel que soit le nombre par lequel vous pourrez remplacer la lettre. C’est là son utilité et sa nécessité. Il serait dommage de n’écrire que 7² − 1 = (7 − 1)(7 + 1), alors que cette formule est juste pour tout nombre et non uniquement 7. On passerait à côté de quelque chose à ne pas le remarquer. On remplace donc tout nombre possible par une lettre et nous avons une généralité. Comme les vers des poètes qui disent tout en peu de mots, l’identité dit à son lecteur : voici mille formules à la fois, la lettre peut prendre la valeur qu’il vous plaira, ce calcul ne mentira jamais. La lettre dévoile autant qu’elle cache. Elle dit plus en semblant dire moins. Elle suggère le général dans le particulier.

Les lettres ont de multiples usages. La majuscule A est généralement utilisée pour nommer le premier de plusieurs points géométriques : ainsi un triangle quelconque sera noté ABC. Elle peut aussi désigner l’aire d’une figure : pour un disque de rayon r, on écrit A = πr². Dans le Système international d’unités, le préfixe a- signifie atto, qui désigne la trillionième partie d’un tout. Par exemple, un attomètre (am) vaut un trillionième de mètre, c’est-à-dire un milliardième de milliardième de mètre.

La première lettre de l’alphabet grec est α (alpha). Elle est souvent utilisée pour nommer des angles : dans le triangle ABC, l’angle au sommet A est noté α. D’ailleurs, le a comme le α dérivent tous deux de la première lettre de l’alphabet hébreu ℵ (aleph) utilisée pour désigner les cardinaux infinis (voir Infini). Le ∀, ou A renversé, est un quantificateur signifiant « pour tout », construit à partir de l’initiale du mot allemand Alle (tout). Il indique que l’affirmation qui va suivre est valable quelle que soit la valeur de la variable quantifiée. Ainsi, dans le souci d’être explicite, pourra-t-on écrire ∀a, a² − 1 = (a − 1)(a + 1) qui se lit « pour tout a, “a carré moins un” égal “a moins un fois a plus un” ».

L’interjection « Aha ! » est le titre anglais d’un livre écrit en 1978 par le plus célèbre des vulgarisateurs de mathématiques du XXe siècle, l’Américain Martin Gardner (en français traduit en « Haha ! »). Pour Gardner, le « Aha ! », c’est l’éclair de compréhension, la petite exclamation qu’on laisse échapper lorsque tout s’éclaire soudain, l’instant de jubilation intense que procurent les tressautements créatifs et perspicaces de notre esprit. Les maths sont une source inépuisable de « Aha ! ».

Puisse ce « Dictionnaire amoureux » en procurer de nombreux à ses lecteurs et lectrices.

A4

Le format standard A4 pour les feuilles de papier a des dimensions de 21 cm de largeur pour 29,7 cm de longueur.

Pourquoi ces nombres ? Je me souviens de m’être posé la question pour la première fois alors que je faisais, fin août d’une année que je ne saurais préciser, ma tournée des fournitures pour la rentrée scolaire approchante. Ils n’auraient pas pu faire plus simple ? Qu’est-ce que ça aurait changé de faire des rectangles de 20 × 30 cm ? Je me rappelle avoir alors pensé qu’il devait s’agir d’un format anglais ou américain : je supposais que ces dimensions devaient correspondre à des chiffres ronds si on les exprimait en pouces, en pieds ou en je ne sais laquelle de leurs unités extravagantes. J’avais tort. Elles trouvent en réalité leur origine dans une contrainte mathématique.

Pour le comprendre, il faut commencer par se souvenir que les rectangles peuvent avoir des formes différentes : ils peuvent être plus ou moins allongés :

Mais lorsque l’on parle de la forme, on ne parle pas de la taille. Les carrés ont tous la même forme, même s’il en existe de plus ou moins grands. Ce qui caractérise la forme d’un rectangle, c’est le rapport entre sa longueur et sa largeur. Ainsi un rectangle 5 × 10 a-t-il la même forme qu’un rectangle 25 × 50, car dans les deux cas, la longueur vaut deux fois la largeur.

Or, s’il y a une chose qui peut être pratique lorsque nous utilisons du papier, que ce soit pour y écrire, y dessiner ou y imprimer des motifs, c’est de pouvoir agrandir ou réduire facilement ce que nous y avons fait figurer. Le format A4 appartient à une famille qui commence à A0 (84,1 × 118,9 cm) et se termine en A10 (2,6 × 3,7 cm). Tous ces formats ont des tailles différentes, mais ils ont exactement la même forme ! Ce sont des agrandissements et réductions les uns des autres. Et le rapport entre leur largeur et leur longueur vaut √2, c’est-à-dire environ 1,41421. Par exemple, pour le format A4, vous pouvez vérifier que 29,7 ÷ 21 vaut environ 1,41428, c’est-à-dire que (29,7 ÷ 21)² vaut environ 2. L’approximation est excellente, c’est d’ailleurs la meilleure que l’on puisse faire pour un format de cette taille dont les dimensions sont arrondies au millimètre près.

Les formats A0 à A10 ont donc tous un rapport de √2 : mais pourquoi avoir choisi ce nombre-là ? Encore une fois, rien d’arbitraire, ce nombre vient d’une autre contrainte : chaque format est la moitié du précédent. Une feuille A0 coupée en deux donne deux feuilles A1, dont une coupée en deux donne une A2, puis une A3, une A4 et ainsi de suite. Dit autrement, si vous mettez côte à côte deux feuilles A4 (21 × 29,7 cm), vous obtenez un format A3 (29,7 × 42 cm).

Et pour que ce phénomène se produise, il faut que le rectangle ait une forme bien particulière. Si par exemple le standard avait opté pour les dimensions 20 × 30, le format moitié, obtenu en coupant la feuille en deux, aurait mesuré 20 × 15. Or un rectangle 20 × 15 n’a pas la même forme qu’un rectangle 20 × 30 : il est un peu moins élongé, un peu plus proche du carré.

Avec les formats A, en revanche, la forme est merveilleusement conservée.

Ainsi, puisque A4 et A3 ont le même format, cela signifie que l’on multiplie par le même rapport pour passer de 21 à 29,7 et pour passer de 29,7 à 42. Si nous feignons un instant d’ignorer qu’il s’agit de √2 et que nous l’appelons x, nous avons 21 × x = 29,7 et 29,7 × x = 42. Ou en abrégé 21 × x × x = 42. Il faut donc que x × x soit égal à 2, ce qui montre bien que x vaut nécessairement √2. Cette valeur est donc la seule possible permettant d’avoir des rectangles avec la propriété voulue.

Une dernière question se pose toutefois. Si le rapport √2 fixe la forme, il ne dit rien de la taille. D’autres formats étaient envisageables, respectant ces poroportions mais à une échelle un peu plus grande ou plus petite que celle du A4. La dernière contrainte, celle qui fixe définitivement les choses, est la suivante : le format A0 est défini comme ayant une surface mesurant 1 m². Avec cette information, il est possible d’en déduire que ses dimensions sont √√2 et 1/√√2 m (le produit de ces deux nombres vaut bien 1 m² et leur rapport √2). Puis par divisions successives on en conclut que les dimensions exactes du format A4 exprimées en langage mathématique valent (√√2) ÷ 4 et 1 ÷ (4√√2) mètre.

Ces formules permettent de trouver des valeurs encore plus précises que celles qui sont indiquées sur les cahiers d’écolier et les ramettes d’imprimante. Au millionième de millimètre près, le format A4 mesure 29,7301779 × 21,0224104 cm. L’information, quoiqu’elle ne soit pas d’une grande utilité, saura, je l’espère, satisfaire l’esprit curieux des nombreux écoliers qui, aujourd’hui encore, à chaque rentrée de septembre, s’étonnent de l’apparente étrangeté de ce format.

À quelque chose près

Faire des maths, c’est rassembler. En 1908, le mathématicien Henri Poincaré écrivit dans Science et Méthode : « la mathématique est l’art de donner le même nom à des choses différentes ». En d’autres termes, c’est l’art de dire, face à des objets distincts, que, à quelque chose près, ils sont identiques. Au-delà des mathématiques, c’est un des grands objectifs des sciences que de dégager des points communs entre des entités a priori différentes. Lorsqu’un ornithologue emploie le mot « oiseau », il entend simplement par là que, à quelques variations morphologiques près, un moineau et une autruche sont la même chose. En dépit de tout ce qui peut distinguer ces deux espèces, elles ont suffisamment de points communs pour être considérées ensemble. Toutefois, comme le suggère Poincaré, la mathématique est sans doute la discipline qui pousse le plus loin la démarche de l’à quelque chose près. Pour lui, elle constitue son identité même.

Prenons l’exemple des carrés magiques (nous n’entrerons pas dans les détails ici, mais une entrée leur est consacrée, voir Carrés magiques). Il est possible de remplir une grille 3 × 3 avec les nombres entiers de 1 à 9, de façon que la somme de chaque colonne, chaque ligne et chaque diagonale soit la même. Par exemple comme ceci :

La somme magique est ici égale à 15. Prenez trois cases alignées et additionnez-les, vous trouverez toujours ce résultat. Il existe plusieurs façons de réaliser un tel carré. En voici par exemple un autre :

Cependant, à bien y regarder, il y a comme une arnaque dans ce « deuxième » carré. Est-il vraiment si différent ? En réalité, il ne s’agit que du premier carré que l’on a fait pivoter d’un quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre. Or, il est évident qu’un carré magique le reste quand on le soumet à une simple rotation, fût-elle répétée plusieurs fois : la somme de ses lignes, colonnes et diagonales ne change pas. Est-il donc bien raisonnable de le comptabiliser comme un carré différent ?

Cette question est essentielle. Si l’on se demande combien il peut y avoir de carrés magiques différents, on doit commencer par bien définir sous quelles conditions deux carrés sont considérés comme égaux ou distincts.

Dans l’absolu, il en existe huit différents, mais tous se déduisent les uns des autres par de simples rotations ou symétries. Ce chiffre 8 n’a donc en réalité rien à voir avec les carrés magiques : il s’agit simplement du nombre de façons de tourner et retourner n’importe quel carré, magique ou non. Ce n’est pas vraiment ça, l’information que nous cherchons, et il nous apparaît donc plus pertinent de ne compter ces huit carrés que comme un seul. À quelque chose près, il n’y en a qu’un.

Mais bien entendu, pour que ce « quelque chose » ne reste pas suspendu dans un inadmissible à peu près, il convient de préciser ce qu’il est. Ici, le « quelque chose » désigne les rotations et les symétries. Et c’est ainsi qu’on pourra affirmer qu’à rotations et symétries près, il n’existe qu’un seul carré magique de taille 3 × 3.

Selon le contexte, il est possible de placer le curseur du « quelque chose » plus ou moins loin. Les pièces de Tetris sont des « tétraminos », manière de dire qu’elles s’obtiennent en agglutinant quatre petits carrés (tetra est le nom grec de « quatre » ; voir Polyminos). Le jeu compte au total sept pièces différentes.

Les mouvements du Tetris permettent de faire tourner ces pièces à volonté d’un quart de tour dans un sens ou dans l’autre. Les sept pièces du jeu sont donc tous les tétraminos différents à rotation près. Pour les joueurs de Tetris, la barre no 1 est la même pièce, qu’elle se présente à la verticale ou à l’horizontale. Mais si le jeu ne permettait pas ces rotations, ces deux barres seraient alors perçues comme deux tétraminos différents. Dans ce cas, le jeu ne compterait pas sept pièces, mais dix-neuf !

Toutefois, contrairement à ce que nous avons fait avec les carrés magiques, le Tetris ne permet pas de faire des symétries de pièces. Ainsi, les tétraminos no 4 et no 5 sont bien deux pièces différentes pour les joueurs : on ne peut pas passer de l’un à l’autre par de simples rotations. Tout comme les no 6 et no 7. S’il l’on ajoutait aux règles du jeu un mouvement de symétrie, alors ces couples se confondraient et il n’y aurait plus que cinq pièces différentes.

En chimie, ces considérations jouent un rôle central dans la notion de « chiralité ». Une molécule est dite chirale si elle n’est pas identique, à rotation près, à son image dans le miroir. Un peu comme une main. Si vous regardez une main gauche dans le miroir, vous voyez une main droite. Alors, doit-on considérer une main gauche et une main droite comme ayant la même forme ? Non à rotation près, car vous ne pouvez pas superposer vos deux mains simplement en les tournant. Mais oui à symétrie près : votre main gauche se superpose parfaitement à l’image dans le miroir de votre main droite. Une main est chirale.

Ainsi, lorsque l’on veut dénombrer certains types de structures chimiques, il convient de bien se mettre d’accord sur ce que l’on considère comme identique. En cristallographie, par exemple, on étudie l’ensemble des structures atomiques qui se répètent de façon régulière dans l’espace. Mais sous quelles conditions peut-on considérer que deux cristaux ont la même structure et combien existe-t-il de structures différentes ? La réponse est 230 si, comme au Tetris, nous comptons comme distinctes les structures chirales, mais seulement 219 si l’on dénombre à symétrie miroir près (voir Miroir).

La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les formes géométriques pour leurs structures globales. Et c’est sans doute l’une de celles qui poussent le « à quelque chose près » le plus loin. Il faut y imaginer les figures faites d’un caoutchouc parfaitement souple et extensible, mais qui ne peut ni se déchirer ni se recoller. Toute déformation de ce caoutchouc porte en mathématiques le nom d’homéomorphisme.

Ainsi, pour un topologiste, un cube et une boule sont la même figure à homéomorphisme près.

De la même façon, un donut et une tasse sont identiques.

En revanche, la sphère et le donut sont bien différents, même à homéomorphisme près, car le second possède un trou que n’a pas la première. Les homéomorphismes préservent le nombre de trous. Notez que, par l’existence de votre tube digestif, vous êtes, du point de vue de la topologie, une tasse ou un donut.

Il serait possible de multiplier les exemples. Les mathématiques fourmillent de ces rapprochements qui se font à certaines transformations près et ne gardent invariantes que les quelques propriétés profondes qui nous intéressent. Vous en rencontrerez quelques autres au fil de ces pages, mais si vous avez compris l’idée générale, tous fonctionnent sur le même principe. À quelques analogies près, vous savez donc tout ce qu’il y a à savoir sur le sujet.

Abeille

Les abeilles sont de remarquables géomètres. Leurs stupéfiantes facultés, en termes de cartographie et d’architecture, ont intrigué les humains depuis l’Antiquité. Il aura d’ailleurs fallu attendre le XXe siècle avant qu’elles ne soient bien comprises.

Entre autres exemples, le système « GPS » des abeilles est fascinant. Les butineuses qui reviennent à la ruche sont capables d’indiquer avec une précision admirable la position géographique, la nature et l’abondance des sources de nectar ou de pollen qu’elles ont repérées. Pour cela, elles communiquent par l’exécution de petites « danses » dont les différents mouvements transmettent les informations nécessaires. Le premier animal non-abeille à être parvenu à décrypter le sens de ces danses est l’éthologue autrichien Karl von Frisch qui en publia les traductions en 1927 dans un ouvrage intitulé Aus dem Leben der Bienen (Vie et Mœurs des abeilles).

L’une des chorégraphies les plus utilisées se nomme la « danse en huit ». L’abeille y exécute autour de la ruche un dandinement en forme de 8 incliné dont l’angle avec la verticale correspond exactement à l’angle de la cible avec le soleil. Si le 8 est incliné à 60°, la nourriture se trouve dans une direction qui s’écarte de 60° par rapport à la position de notre étoile. Par ailleurs, la rapidité de la danse indique la distance. Si la danseuse réalise deux cycles en 8 toutes les quinze secondes, cela signifie que la source se trouve à environ 6 km. Et plus les cycles sont rapides, plus la source est proche, selon une échelle précise, connue des abeilles... et des lecteurs de von Frisch. Les butineuses ainsi informées savent donc parfaitement dans quelle direction partir en sortant de la ruche et pendant combien de temps voler avant de trouver leur objectif.

Par ce système, les abeilles communiquent donc deux nombres : l’angle et la distance. Elles utilisent ainsi ce qu’en géométrie nous nommons les coordonnées polaires. Ces deux coordonnées permettent de repérer sans ambiguïté n’importe quel point d’une surface plane. Ce système est très similaire à celui qu’utilisent les astronomes pour repérer les astres en 3D dans l’espace. La position de chaque astre est donnée par sa distance par rapport à la Terre (notre ruche) et par deux angles indiquant la direction du ciel dans laquelle il se trouve.

Une autre manifestation des facultés géométriques des abeilles se trouve dans la construction même de leurs ruches. Pour stocker le miel, le pollen, les œufs et les larves, elles y forment des rayons d’alvéoles hexagonales qui s’emboîtent avec une régularité impeccable. La question se pose alors : pourquoi des hexagones ? Pourquoi pas des carrés, des ronds, des triangles ou diverses formes aléatoires agglutinées sans régularité particulière ?

Cette organisation fut observée et discutée dès l’Antiquité, notamment par Aristote dans son Histoire des animaux. Johannes Kepler (voir Douze-losanges), quant à lui, écrivit en 1661 que les abeilles avaient de toute évidence un esprit mathématique et que « l’essence de leur petite âme est séduite par la contemplation de la figure qu’elle fabrique ». Pour l’astronome allemand, le sentiment d’élégance que peut provoquer l’observation de cette structure provient à la fois du constat que les hexagones remplissent la ruche sans y laisser d’espace vide et du fait que, de toutes les figures permettant d’accomplir cette prouesse, ce sont les plus grandes possible. Au XVIIIe siècle, le physicien René-Antoine Ferchault de Réaumur, dans ses Mémoires pour servir à l’histoire des insectes, formulera la même idée d’une façon un peu différente : pour lui, les abeilles sont économes. Optant pour cette forme, elles épargnent leur travail, car à volume d’alvéole constant, le pavage hexagonal est celui qui nécessite le moins de cire à sa construction. Darwin intégrera cette idée à sa théorie de l’évolution : les abeilles construisant des hexagones économisent leur énergie et leur temps, ce qui les rend plus performantes pour gravir les marches de la sélection naturelle.

L’avantage « économique » du pavage hexagonal, connu sous le nom de théorème du nid d’abeille, fut conjecturé dès l’Antiquité. Il faudra toutefois attendre 2001 pour que le mathématicien états-unien Thomas Hales parvienne à le démontrer rigoureusement. Il est assez étonnant qu’une propriété aussi simple à énoncer que celle-ci et découverte empiriquement par de si petits cerveaux, bien avant l’apparition du premier Homo sapiens, ait dû attendre le début du XXIe siècle avant d’être prouvée. Les énoncés les plus élémentaires sont parfois bien plus profonds qu’il n’y paraît.

On doit toutefois ajouter un bémol à cet enthousiasmant théorème. Il est vrai qu’en théorie la construction hexagonale est la plus économe. En pratique, cependant, les parois entre les alvéoles construites par les abeilles n’ont pas une épaisseur constante : elles sont légèrement renforcées et rembourrées dans les coins des hexagones. Le gain de cire réel est donc quelque peu réduit par les contraintes techniques de la construction.

Les abeilles n’ont pourtant pas fini de nous étonner : l’un de leurs talents, moins connu, se cache dans la forme qu’elles donnent au fond de leurs alvéoles. Avant d’y regarder attentivement, on pourrait être tenté de croire que chaque cellule est close par un plafond hexagonal, perpendiculaire et plat comme montré par la figure 1. En réalité, les bâtisseuses optent pour une construction plus surprenante : un chapeau de trois losanges inclinés qui s’emboîtent parfaitement les uns dans les autres et permettent de former deux rayons d’alvéoles dos à dos, partageant les mêmes fonds, comme montré par la figure 2.

À nouveau, la question du pourquoi se pose. Et une fois encore la réponse tient à l’économie. Le fond en losange utilise moins de cire que le fond plat. Mais ce n’est pas tout ! Selon les angles des losanges, il est possible de former un fond d’alvéole plus ou moins pointu. Par une démonstration de géométrie dans l’espace, on détermine que l’ajustement le plus économe en cire doit utiliser des losanges ayant des angles d’environ 109° et 71° (voir également Douze-losanges). Un défi que, comme les précédents, les abeilles relèvent avec maestria : les mesures montrent que leurs alvéoles respectent merveilleusement bien ces angles.

Mais la géométrie est pleine de ressources et les humains sont tatillons. Serait-il possible d’utiliser encore moins de cire, en s’autorisant d’autres formes que les losanges pour clore les alvéoles ? Peut-on faire mieux que les abeilles ? La réponse est oui. C’est ce que montra, en 1964, le mathématicien hongrois László Fejes Tóth en imaginant des fonds d’alvéole formés de deux hexagones et deux carrés.

La marge est faible : une telle construction permet une économie de 0,35 % de cire par rapport aux losanges. C’est peu, mais suffisant pour affirmer que les abeilles sont passées à côté de la construction optimale ! Ainsi, ce n’est qu’en 1964 que les Homo sapiens détrônèrent les Apis mellifera au grand palmarès des géomètres, les reléguant à la deuxième place.

Abstrait

Qu’est-ce qui est abstrait ? Qu’est-ce qui est concret ?

À première vue, cela paraît plutôt évident : ce dictionnaire, par exemple, que vous tenez dans vos mains, c’est du concret ! Vous pouvez le toucher, le faire tomber, le déplacer, tourner ses pages…

Et pourtant, qu’est-il réellement pour vous ? Intimement ? Chaque instant, des rayons lumineux vont de ses pages à vos yeux. Des ondes sonores viennent à vos oreilles quand, en tournant les pages, vous les frottez doucement. Et puis, il y a la pression délicate du papier sur votre peau. Tous ces phénomènes enclenchent une multitude de signaux électriques qui s’élancent à travers votre système nerveux et le parcourent jusqu’à votre cerveau qui les récolte et les interprète. Ce que vous prenez pour le dictionnaire, ce n’est pas le dictionnaire. C’est l’image construite que votre cerveau a reconstituée à partir des informations partielles qu’il a reçues. Cette image intime n’appartient qu’à vous et ne tient de la réalité extérieure que par ce que celle-ci a déclenché en vous. Alors ? Est-elle abstraite ou concrète ? Que devient la question de l’abstrait et du concret dès lors qu’elle n’existe que de votre point de vue ?

Et le premier banc d’école sur lequel vous vous êtes assis, est-il concret ? Il en va de ce banc comme de la plus célèbre madeleine de la littérature : la seule chose bien réelle, donc concrète, c’est le souvenir qu’en avait Proust (« Ce goût […] du petit morceau de madeleine que le dimanche matin à Combray […], quand j’allais lui dire bonjour dans sa chambre, ma tante Léonie m’offrait après l’avoir trempé dans son infusion de thé ou de tilleul »). Rien n’est plus concret pour vous que ce qui se passe au creux de votre esprit : les images, les sons, les odeurs, les goûts… et les souvenirs. Le réel, lui, est lointain. Caché derrière un voile de représentations et d’interprétations plus ou moins nébuleuses.

Ce constat est à l’origine d’un vieux paradoxe : notre vie et notre réalité ne sont peut-être qu’un long rêve dont il faudra un jour se réveiller. Au IVe siècle avant notre ère, Tchouang-tseu (ou Zhuangzi) soulevait déjà ce problème dans sa plus célèbre fable, Le Rêve du papillon. Il y raconte qu’une nuit il avait rêvé qu’il était un papillon volant et voltigeant, heureux de lui-même. Mais, au réveil, le souvenir de ce rêve l’avait plongé dans un abîme de perplexité : suis-je Zhuangzi qui a rêvé être un papillon ou suis-je le papillon en train de rêver qu’il est Zhuangzi ? La question est sans réponse. Et si tout ce que nous connaissons n’était qu’une illusion ? Et si nous n’étions, sans le savoir, que les personnages d’un jeu vidéo ? Voués à disparaître le jour où une entité supérieure appuiera sur le bouton « off » ? On peut croire au réel comme on peut croire aux extraterrestres ou en Toutatis, mais il faut se rendre à l’évidence : en toute rigueur, il ne s’agit toujours que d’hypothèses, même si, bien sûr, ce que nous nous accordons à tenir pour la réalité bénéficie de davantage de confirmations expérimentales.

L’abstrait quant à lui, en tant que création assumée de notre esprit, n’a rien d’une supposition. « Je pense donc je suis », disait Descartes. Mais peut-être serait-il plus précis d’affirmer : Je pense donc ma pensée est. Ou encore : Je pense donc l’abstrait est.

On dit souvent que l’abstraction portée par les mathématiques fait peur aux enfants, et que, pour eux, il faut les rendre plus concrètes. Cependant, le concret n’est qu’une construction de notre esprit. Et puisque par abstrait on entend ce qui se passe à l’intérieur de nos cerveaux, rien n’est plus proche, palpable et compréhensible que l’abstrait. L’abstrait est ce que nous avons de plus intime, il adhère parfaitement à ce que nous sommes. Et c’est justement en mathématiques qu’existe cette adéquation parfaite entre la pensée et l’objet de la pensée. Les maths, c’est entre moi et moi.

Alors réjouissons-nous : il vaut mieux dire aux enfants que les nombres sont des créatures imaginaires qui existent dans nos esprits par la pure puissance de notre imagination, et ils plongeront sans peur dans les délices de l’abstrait. Les nombres sont comme ces créatures fantastiques qui peuplent leurs aventures quotidiennes. À vrai dire, l’abstrait ne fait peur qu’aux adultes.

Pensez aux quatre pieds d’une chaise, aux quatre saisons de l’année ou aux quatre points cardinaux. Ce qui, dans ces exemples, nous est le plus intimement proche et évident, tout en étant le moins sujet à des divergences d’interprétations, c’est le nombre 4. C’est lui que vous avez dans la tête, ce nombre-là est bien à vous, franc et clair. De surcroît, vous savez, pour cette raison même, qu’il représente pour tout autre individu humain sorti de la prime enfance et disposant de toutes ses facultés exactement ce qu’il représente pour vous. Il n’est pas l’ombre lointaine d’une réalité extérieure, potentiellement déformée par toutes les virtualités et tous les chemins physiques ou neuronaux qu’elle a empruntés pour vous parvenir. Si cela se passe dans votre tête, alors vous pouvez le comprendre, c’est-à-dire le prendre avec vous. À cette seule condition, vous pourrez vous exclamer : « Ah ! C’est abstrait, cela se passe donc dans ma tête et cela est donc bien réel pour moi ! »

Il est possible que ces quelques paragraphes vous paraissent quelque peu abstraits. En fait, concrètement, c’est à vous d’en juger... À partir de maintenant, ce qui se passe dans votre esprit n’est qu’à vous et ces quelques lettres d’encre noire imprimées sur les pages d’un dictionnaire sont loin, bien loin, dans les contrées vagues et insondables du réel.

Absurde

L’absurde est essentiel à la recherche de ce qui ne l’est pas. En mathématiques, une absurdité est une affirmation qui se contredit elle-même. Qui affirme à la fois une chose et son contraire. Pouvez-vous penser à un nombre qui serait à la fois pair et impair ? À un triangle de quatre côtés ? À une phrase qui serait à la fois vraie et fausse ? Non, et pour une simple raison : ces conditions s’excluent mutuellement. Par définition, l’impair n’est pas pair. Trois n’est pas quatre. Le faux n’est pas vrai.

L’un des précurseurs de l’absurde est sans nul doute le philosophe grec Eubulide. Sa plus célèbre trouvaille est connue sous le nom de paradoxe du menteur : si un homme dit « je mens », dit-il la vérité ? Si l’on suppose qu’il dit la vérité, alors sa phrase affirme qu’il ment. Et si l’on admet, au contraire, qu’il ment en disant qu’il ment, c’est qu’il dit la vérité. Impossible d’échapper au paradoxe (voir Menteur). Eubulide présenta un certain nombre d’autres paradoxes jouant sur l’ambiguïté des mots : il mettait ainsi l’accent sur l’importance capitale des définitions en philosophie comme en sciences. « Savez-vous qui est cet homme voilé ? », demande le philosophe à un passant. Le passant répond non, car le voile l’empêche de voir, mais Eubulide lui révèle alors qu’il s’agissait de son père : « Vous ne connaissez donc pas votre propre père ? » Bref, selon le sens que l’on donne aux mots, il est possible de savoir qui est un homme sans le savoir.

Évidemment, un objectif des mathématiques est de se maintenir autant que possible hors de l’absurde. Mais la tâche n’est pas toujours facile. L’absurde est sournois, il ne se voit pas forcément au premier coup d’œil. Il peut se déguiser, se cacher, s’infiltrer… Pour en avoir le cœur net, il faut parfois savoir plonger. S’immerger pleinement dans le monde douteux de la contradiction pour mieux le mettre à jour. Explorer l’absurde, c’est faire le tour du vrai par l’extérieur. C’est révéler le sens par son négatif. Comme le sculpteur qui taille le superflu de la pierre pour faire apparaître son œuvre, le savant peut sculpter dans le savoir, en retirant, éclat par éclat, chaque petit morceau d’absurdité pour enfin révéler l’édifice franc et lumineux de la cohérence.

Prenons un exemple. Imaginez que vous cherchiez la valeur du plus petit nombre strictement positif. Comme vous le cherchez, vous ne le connaissez pas encore, vous lui donnez donc un nom : x. Mais, attendez deux secondes... Si x est strictement positif (x>0), alors sa moitié, x/2, l’est également : x/2>0. Et elle est plus petite. Ainsi, x n’est pas le plus petit nombre strictement positif ! Voyez-vous l’absurdité ? Nous venons de démontrer que le plus petit nombre strictement positif… n’est pas le plus petit nombre strictement positif. Bref, x est à la fois une chose et son contraire, c’est absurde.

On pourrait en conclure que nous avons fait tout cela pour rien. Nous venons de faire une excursion dans l’absurde, que pourrions-nous bien en tirer, sinon des déceptions ? Mais pensez-y un instant : nous avons tout de même appris une chose. Avant ce raisonnement, nous ne savions pas que l’existence d’un plus petit nombre strictement positif était absurde. Nous en tirons donc une conclusion qui, elle, est parfaitement raisonnable : un tel nombre n’existe pas. Aucun nombre quel qu’il soit ne possède cette propriété. Et ça, c’est un résultat ! Aussi infime soit le nombre vers lequel descendra votre décompte (1 ; 0,1 ; ou même 0,0 000 001), vous n’atteindrez jamais le plus petit. Il y en aura toujours en dessous.

Nous venons de faire ce que l’on appelle une démonstration par l’absurde, ou, en latin, une reductio ad absurdum. Le principe est aussi simple que génial : si, en faisant une hypothèse de départ, vous parvenez, par des raisonnements parfaitement valides, à une contradiction, alors votre hypothèse était fausse. Ou, pour faire plus succinct : si vous voulez prouver qu’une chose est vraie, démontrez que son contraire conduit à l’absurde, et le tour est joué.

Le raisonnement par l’absurde est l’un des piliers des mathématiques et a fourni quelques-unes des plus célèbres démonstrations de l’histoire. Nous ne les énumérerons pas toutes ici, mais vous les trouverez disséminées au fil de ces pages. Citons par exemple la preuve de l’irrationalité du nombre √2 par Hippase de Métaponte (voir Racine de deux) ou la démonstration de l’existence de plusieurs infinis par Georg Cantor (voir Infini).

Pour ma part, l’un des premiers raisonnements par l’absurde dont je me souvienne n’était qu’une plaisanterie de mathématiciens. Savez-vous qu’absolument tous les nombres entiers sont intéressants ? En effet, supposons qu’il existe au contraire des entiers inintéressants. Alors l’un d’entre eux serait le premier des inintéressants. Et cette propriété le rend, ma foi, très intéressant ! (Comme le sont tous les nombres qui sont les premiers à avoir une certaine propriété.) Bref, ce nombre doit nécessairement être à la fois intéressant et inintéressant : absurde ! Il s’ensuit que tous les nombres sont intéressants.

Quant à savoir si cette démonstration est absurde, intéressante ou les deux, je vous laisse juge.

Addition

L’addition est la première et la plus élémentaire des opérations que l’on rencontre lors de notre apprentissage des mathématiques. Les plus jeunes enfants, même lorsqu’ils ne l’ont pas encore apprise à l’école, en ont déjà une intuition. De nombreux animaux ont également un sens du nombre et sont capables d’ajouter de petites quantités. L’addition semble si simple à comprendre qu’on voit mal comment l’on pourrait dire quoi que ce soit d’intéressant et de profond à son sujet. Cet article devrait être ridiculement court.

Pourtant, il suffit souvent de se plonger dans l’histoire des sciences pour constater qu’il faut parfois longtemps avant de construire une évidence et qu’un concept qui peut nous paraître sans enjeu a pu prendre des siècles à émerger et à s’affirmer sous la forme que nous lui connaissons.

Il y a de cela trois mille ans, les savants mésopotamiens n’avaient pas une, mais deux additions ! Nous pourrions nommer la première « ajout » et la seconde « empilement ». Ces deux opérations additives, que nous avons aujourd’hui réunies, s’appliquaient, de leur point de vue, à des situations différentes. Et la distinction tient dans cette question : les deux nombres ont-ils le même statut ? Sont-ils à égalité dans l’opération ou bien existe-t-il une dissymétrie dans leur relation ?

Pour comprendre cette nuance, imaginez un collectionneur d’amphores possédant dix pièces et qui fait l’acquisition de deux nouvelles. Il en a donc désormais douze. Dans cette opération, le nombre de pièces de la collection a changé, mais a gardé son identité. Il s’agit toujours de la même collection, enrichie de deux nouvelles pièces. Le 10 est devenu 12 par l’ajout du 2. Voilà ce que les scribes babyloniens nomment wasabum, ou « ajout » : une addition qui préserve l’identité du nombre qui reçoit. Dans cette addition, l’un des nombres est hôte, l’autre est invité. Le premier accueille en lui le second. Les deux quantités n’ont pas des rôles symétriques.

Une telle hiérarchisation des statuts est difficile à rendre avec le langage mathématique moderne. Pour nous, deux nombres sont soit égaux soit différents. Dire que 12 est le même nombre que 10 est une formulation étrange, même si bien sûr nous comprenons ce qu’elle signifie. Il y a un jeu de mots, une ambiguïté sur la signification même du mot « nombre ». Dans le langage courant, il est admis que le nombre de pièces dans une collection peut varier. En maths, un nombre ne varie pas, un nombre vaut ce qu’il vaut, point. Pour que les choses varient, on utilisera plutôt des objets tels que les suites ou les fonctions.

Cette distinction entre les deux termes d’une addition existe également dans la langue française, quoiqu’elle tombe peu à peu en désuétude : on distingue le « cumulande » et le « cumulateur ». Le second s’ajoute au premier pour donner la somme. Mais si ce vocabulaire tend à disparaître, c’est parce que le résultat n’en dépend pas. Inversez cumulande et cumulateur, vous aurez la même somme. Ou, en mots savants : l’addition est commutative (voir Commutativité). On retrouve d’ailleurs la même différence lorsque le multiplicande est multiplié par le multiplicateur pour donner le produit (voir Facteur). En revanche, pour une opération non commutative telle que la division, cette distinction reste fondamentale : n’inversez pas le dividende et le diviseur, car vous n’obtiendriez pas le même résultat. Deux tiers et trois demis ne sont pas du tout la même fraction !

Venons-en à la deuxième addition des Mésopotamiens. Il peut arriver qu’une situation parfaitement symétrique ne nécessite pas de distinguer un cumulande et un cumulateur. Dans ce cas, on cesse de donner un statut propre à chacun des termes de l’addition. Imaginez que notre collectionneur possède cinq amphores nicosthéniennes et sept amphores panathénaïques, disposées sur des étagères différentes. Pour connaître le nombre total de pièces, on fera l’opération 5 + 7 ou 7 + 5, indifféremment. Aucun des deux nombres n’a de raison d’être distingué de l’autre. Ils sont semblables dans leur sens, sans ordre ni hiérarchie. Et c’est précisément ce que faisaient les scribes mésopotamiens avec l’opération qu’ils nommaient kamarum, que nous pouvons traduire par « empilement ». Un « empilement » est une opération symétrique dans laquelle aucun des deux nombres n’a de rôle particulier.

Le fait que kamarum et wasabum, « empilement » et « ajout », aient aujourd’hui totalement disparu de notre vocabulaire et de notre façon de penser l’addition nous dit quelque chose sur la nature même des mathématiques. Par leur abstraction, elles cherchent souvent à rassembler sous un même nom des concepts ayant suffisamment de points communs pour pouvoir être pensés ensemble (voir À quelque chose près). L’histoire de l’addition en est un exemple frappant. Les mathématiques cherchent des motifs, des règles, des schémas généraux dans un univers de particularités. Comprendre que des situations réelles distinctes peuvent se réduire à la même opération abstraite marque l’identité de la démarche mathématique. Inutile pour effectuer une addition de savoir ce que représentent les nombres ni de quelle façon ils ont été associés l’un à l’autre. Qu’importe qu’ils aient été ajoutés ou empilés, cette distinction ne nous concerne pas, car elle n’influe en rien sur le résultat.

Nous avons quelque peine aujourd’hui à nous mettre dans l’état d’esprit d’un scribe de Babylone distinguant « ajout » et « empilement ». Nous sommes si habitués à utiliser des additions dans des circonstances que notre esprit a appris à reconnaître comme semblables qu’il devient difficile de refaire le chemin inverse. Nous pourrions nous dire avec un peu d’orgueil déplacé que nous sommes devenus trop intelligents pour comprendre que certaines de nos simplicités aient pu paraître un jour d’une inatteignable complexité.

Il est pourtant des situations où nous reproduisons l’attitude de nos lointains précurseurs sans même nous en apercevoir. Nous aussi distinguons des opérations sans qu’aucune raison mathématique le justifie. C’est le cas de l’addition et de la soustraction. On sait, bien sûr, que ces deux opérations sont sœurs, l’une étant l’inverse de l’autre. Mais cette parenté, déjà connue des savants mésopotamiens, a, elle aussi, fini par s’effacer jusqu’à la fusion complète. Depuis l’avènement des nombres négatifs, l’addition et la soustraction ne forment plus qu’une seule et même opération. Ou, pour le dire différemment : la soustraction n’est qu’un cas particulier d’addition.

Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé. Par exemple, soustraire 7, c’est ajouter − 7. Ainsi, lorsqu’en algèbre on en vient à définir formellement les opérations, il est habituel de ne donner que l’addition tout en précisant que tout nombre possède un opposé. La soustraction se réduit alors à un simple raccourci d’écriture, mais il est tout à fait possible de ne pas la nommer ni la distinguer.

Il peut sembler étrange, si l’on n’y est pas habitué, d’entendre qu’en ajoutant un nombre on peut obtenir un résultat plus petit. C’est pourtant ce qui se produit avec les additions négatives. Ajoutez − 7 à 10 et vous obtenez 3. Cet exemple illustre parfaitement la confrontation entre nos intuitions, façonnées par notre habitude quotidienne des mots, et les définitions mathématiques, guidées par l’abstraction et la généralité. Les idées mathématiques ne suffisent pas toujours à modifier notre perception première. La soustraction est une addition, mais nous continuons tout de même à les distinguer, à les penser différemment.

Cette étrangeté que l’on peut ressentir est probablement semblable à celle qu’éprouveraient les scribes mésopotamiens si nous leur disions qu’aujourd’hui « ajout » et « empilement » portent le même nom. Si vous ne l’aviez pas appris à l’école, ou si vous ne l’aviez pas découvert en lisant cet article, pensez-vous qu’un jour vous auriez fini par comprendre de vous-même qu’addition et soustraction sont la même opération ? En ce qui me concerne, je n’en suis pas convaincu du tout. Et cette constatation vertigineuse – que même des évidences auraient pu m’échapper si elles ne m’avaient pas été pointées du doigt – me laisse rêveur et m’inspire une tendre indulgence pour les savants de Babylone. Si j’avais vécu il y a quatre mille ans, aurais-je été de ceux qui vivent toute leur vie en distinguant « ajout » et « empilement » ? Ou aurais-je été de cette infime poignée d’humains perspicaces qui ont contribué à faire comprendre aux autres que la distinction était inutile ?

Je n’ai pas de réponses à ces questions. Tant mieux ou tant pis ? Peu importe. Mais s’il est une morale à cette histoire, c’est qu’il faut être humble et se garder de se laisser aveugler par l’apparente clarté de nos idées. Tout intelligents que nous nous imaginions, notre façon de penser les choses les plus simples est l’héritière de millénaires de réflexions régulières et obstinées. Chacune de nos pensées vogue, inconsciente, sur la patience effacée de nos ancêtres.

Aire

Nous sommes toujours surpris de constater, mon ami André et moi-même, combien, en mathématiques, on est susceptible d’avoir des révélations tardives sur des notions pourtant élémentaires. Celle dont je vais maintenant vous parler m’est tombée dessus alors que j’avais vingt-cinq ans et que j’entamais mon doctorat. Je compris alors une chose essentielle sur la notion d’aire que j’aurais tout aussi bien pu comprendre lorsque je n’avais que huit ans, mais à côté de laquelle j’étais complètement passé pendant près de dix-sept ans d’études.

Vous savez sans doute qu’en géométrie la mesure des figures se fait moyennant le choix d’une unité. Pour fixer les idées, prenons un exemple. Lorsque l’on affirme qu’un terrain de tennis mesure 200 m², on peut distinguer, dans cette assertion, trois composantes : premièrement l’objet qui est mesuré, le terrain de tennis ; deuxièmement le nombre qui mesure ce terrain, 200 ; et troisièmement l’unité, le mètre carré, abrégé en m². Le terrain, en tant qu’objet mesuré, est une donnée immédiate indiscutable : il est ce qu’il est. En revanche, l’unité relève d’un choix, de même, par conséquent, que le nombre qui lui est affecté. « Faire une mesure » peut se penser comme la donnée d’un couple : le couple formé d’un nombre et d’une unité de mesure. Bien entendu, l’un dépend de l’autre. Si on diminue l’unité de mesure, le nombre qui mesure un objet augmente, et inversement. Ainsi, le terrain de tennis mesure également 2 000 000 cm². Le couple est différent, mais l’information apportée est la même.

Pourtant, comme souvent, le choix entraîne des contraintes. S’il est possible de mesurer les longueurs en centimètres, en mètres, en microns, en années-lumière ou en toute autre unité arbitraire, reste que, une fois le choix d’une unité de longueur établi, les unités des surfaces et volumes en découleront nécessairement, ou presque. Si le choix est fait du centimètre, les surfaces seront naturellement mesurées en centimètres carrés (cm²) dont chacun correspond à l’aire d’un carré de 1 cm de côté. Et les volumes seront, eux, mesurés par des centimètres cubes (cm³), soit l’espace occupé par un cube de 1 cm de côté.

Mais là se trouve ma révélation tardive. Ces choix du carré et du cube sont, eux aussi, parfaitement arbitraires et n’ont rien d’obligatoire. Je veux dire par là que les mathématiques ne seraient pas moins cohérentes si les savants anciens avaient choisi de définir le « cm² » comme l’aire d’un disque de 1 cm de rayon, d’un hexagone de 1 cm de côté ou de toute autre figure géométrique. Cette unité aurait alors sans doute pris le nom de « centimètre rond » ou de « centimètre hexagonal », et c’est avec elle que nous mesurerions toutes nos surfaces. Là où je pensais que le centimètre carré était inévitable et obligatoire, découlant d’une nécessité géométrique, je découvrais sa relativité, sa subjectivité, son artificialité... Le centimètre carré était façonné de main humaine. Il n’était pas ordonné par les lois supérieures de la logique.

Selon ce choix, les formules que nous avons apprises à l’école auraient pu être très différentes. Par exemple, en centimètres ronds, l’aire d’un disque de diamètre r aurait été donné par la formule A = r², à la place de A = πr² en centimètres carrés. Plus de π ! La formule se trouve simplifiée. Mais bien entendu, cette simplification du disque se serait payée sur la formule du carré. L’aire d’un carré de côté c vaut A = c² en centimètres carrés, mais aurait valu A = c²/π en centimètres ronds. Ainsi, toutes les formules d’aires se seraient trouvées légèrement modifiées par ce choix, mais toutes seraient restées parfaitement cohérentes entre elles.

Attention toutefois, je ne crois pas un instant que les Anciens aient eu tort d’opter pour le centimètre carré. Je trouve même que c’est un choix particulièrement judicieux qui simplifie en de nombreux cas les formules et les calculs. Notre géométrie et nos sciences appliquées faisant grand usage de carrés et de rectangles, il était plus naturel de privilégier la simplicité des calculs pour ces formes. Je suis convaincu que c’était la meilleure chose à faire. Mais réaliser que ce n’était pas le seul choix qui eût pu être fait : quelle révélation !

La mathématique navigue toujours entre deux vents : celui de la volonté et celui de la nécessité. Certains pans de nos connaissances sont tels qu’ils sont parce qu’il était impossible qu’ils fussent autrement. Le monde ne nous a pas laissé le choix, il s’est imposé à nous. En revanche, d’autres existent par liberté, par décision humaine, par convention. D’autres voies auraient pu être suivies.

Ce jour-là, pour les besoins de ma thèse, je me penchais plus particulièrement sur une notion de géométrie nommée la mesure de Hausdorff, qui est utile pour évaluer la taille de ces figures étranges que l’on nomme les fractales (voir Fractales). Dans ce contexte particulier, il se trouvait qu’il était plus simple et plus élégant d’exprimer les mesures en unités rondes plutôt qu’en unités carrées. C’est donc cette convention qu’utilisait le livre de cours que je lisais. Lorsque je m’en rendis compte, mon intuition en fut d’abord contrariée. Ma première réaction fut à la contradiction. Je tentais mentalement de me convaincre que ce choix devait être contradictoire. Qu’il était moins légitime que celui auquel je m’étais habitué depuis l’enfance. Et puis, je me rendis à l’évidence : la notion de centimètre carré appartient bel et bien au camp de la volonté et non à celui de la nécessité.

De cet épisode je retirai une grande satisfaction et l’espoir d’en revivre de semblables. Combien d’autres révélations comme celle-ci m’attendent encore ? Combien de mes idées sont biaisées par un apprentissage arbitraire que je ne pense pas à questionner ? Combien de mes convictions ne sont que de mauvaises habitudes ? Il y a un plaisir discret et puissant à mettre son propre cerveau face à ses préjugés. Et à cultiver sans cesse la délicieuse méfiance qu’il faut avoir envers soi-même.

Algèbre et analyse

Algèbre et analyse sont comme deux sœurs terribles. À la fois contrastées et complémentaires, elles se partagent et se disputent les vastes territoires de l’abstraction mathématique.

Mais, il faut bien l’avouer, la distinction entre elles n’est pas toujours très claire. Pour les néophytes, certes, mais également parfois pour les spécialistes. Dans les laboratoires de maths, combien d’algébristes et d’analystes sauraient dire clairement ce qui les différencie autrement que par une énumération d’exemples ? Peut-on exprimer en quelques mots explicites et sans détour ce qui distingue l’une de l’autre ? D’ailleurs, faut-il que tout en mathématiques soit du côté de l’algèbre ou de celui de l’analyse ? Il m’a fallu du temps avant de bien saisir le sens de ce découpage. Et d’en accepter les flous aussi, car la frontière est souvent perméable.

Pourtant, cette distinction n’a pas toujours existé. Lorsque j’étais enfant, à l’école, les mathématiques se divisaient en deux autres catégories : d’un côté les nombres, de l’autre la géométrie. Ce découpage était d’autant plus pertinent qu’il adhère à la fois à l’histoire de la discipline et à notre intuition première. Dès le cours élémentaire, la plupart des enfants savent distinguer un problème de nombres d’un problème de géométrie et suivent en cela les traces des premiers savants de l’humanité.

Or cette frontière était vouée à disparaître. Le découpage des nombres et de la géométrie possède un défaut : il est trop concret. C’est-à-dire qu’il est directement hérité des applications réelles, l’arithmétique pour la gestion des ressources et l’économie, la géométrie pour le partage de territoires et la cartographie. Mais la mathématique est abstraite, et plus on plonge dans le cœur des concepts, plus cette distinction devient superflue. René Descartes, en utilisant un système d’axes pour désigner les points du plan par des coordonnées, permit de traduire tout problème géométrique en un problème numérique, et vice versa. Grâce à ce pont, les droites avaient désormais des équations associées, et chercher leur point d’intersection revenait à résoudre un système. À force d’habitude, les figures et leurs équations allaient se confondre, si bien qu’il est aujourd’hui possible d’entendre les scientifiques parler du cercle « x² + y² = 1 » ou du carré « |x| + |y| = 2 ». Écraser les différences pour extraire le concept pur et général, voilà la puissance du rouleau compresseur que l’on nomme abstraction. La distinction entre les situations géométriques et numériques perdait, dès lors, une grande partie de sa raison d’être.

C’est ainsi que, lorsque j’arrivai au lycée, la frontière entre nombres et géométrie s’estompa pour laisser place à celle entre l’algèbre et l’analyse. Les premières années, ce découpage me parut parfaitement artificiel, et je dois dire que j’eus du mal à m’y faire. On me disait que les deux domaines étudiaient des objets mathématiques différents : l’algèbre s’occupait des équations, du calcul littéral et des systèmes de coordonnées… tandis que l’analyse prenait sous son aile les fonctions, les dérivées, les intégrales, les limites… Après tout, pourquoi pas… Mais pourquoi ce rangement plutôt qu’un autre ? J’étais dubitatif. Je ne comprenais pas.

Pourtant, à mesure que je pratiquais ces différentes mathématiques, la plupart du temps sans me soucier de quel côté elles se trouvaient, il me sembla m’habituer petit à petit à cette distinction. Sans vraiment savoir mettre les mots dessus. C’était presque un état d’esprit différent. Un plaisir différent. Une façon de penser singulière. J’avais un peu la sensation que les problèmes d’algèbre ne se résolvaient pas dans la même zone de mon cerveau que ceux d’analyse. J’ai ressenti la différence entre algèbre et analyse comme une émotion, une impression, avant de savoir la verbaliser.

En fait, ces perceptions intuitives m’en rappelaient d’autres. Elles étaient familières, cousines de perceptions plus anciennes. La pratique de l’algèbre réveillait en moi une forme plus mature et plus aboutie du plaisir que j’éprouvais enfant à monter les petits jouets en kit que je trouvais dans les œufs en chocolat. C’était également le plaisir des puzzles et des pièces qui s’emboîtent. Le plaisir des Meccano. Et, plus tard, celui des meubles Ikea que l’on doit monter soi-même. L’analyse, au contraire, réveillait des sensations différentes. Celle de la cuisine, du dosage précis des ingrédients et des odeurs qui s’échappent en volutes de la casserole. Celui du bonhomme de neige que l’on façonne méthodiquement dans la lumière laiteuse des matins d’hiver. Celui du petit télescope dont il fallait finement et patiemment tourner les clefs de réglage jusqu’à voir apparaître peu à peu les anneaux de Saturne dans le rond noir de l’oculaire.

Je ne sais pas si ces exemples vous parlent. Ni s’ils vous font ressentir la distinction subjective et personnelle qu’ils évoquent en moi. Il me fallut encore quelques années avant de savoir mettre des mots plus précis et plus clairs sur ces impressions.

Si je devais aujourd’hui exprimer en une formule courte la distinction entre algèbre et analyse, je dirais ceci : en analyse, l’ordre et la proximité existent, en algèbre, non. En algèbre, les choses s’emboîtent ou ne s’emboîtent pas. On est au bon endroit ou l’on n’y est pas. En analyse, il est possible d’approximer, de faire des réglages plus ou moins fins. Les « presque » y sont autorisés. En algèbre, lorsque l’on calcule 2 + 3, les réponses 6 et 100 sont également mauvaises. En analyse, il est possible d’évaluer l’écart entre la réponse donnée et le résultat attendu : 6 − 5 = 1 est proche de 0, tandis que 100 − 5 = 95 en est plus éloigné. Ainsi, s’il vous arrive de vous représenter les nombres sous la forme d’une droite graduée, certains étant plus loin ou plus proches les uns des autres, vous êtes déjà en train de penser en analyste. En algébriste vous penserez l’ensemble des nombres réels comme un nuage de points reliés par des relations, sans organisation géométrique précise.

Je fus particulièrement frappé par le cas de la distinction entre les nombres √2 et − √2. Tenez, essayons un petit jeu : x et y sont les nombres √2 et − √2, mais vous ne savez pas dans quel ordre, et vous allez tenter de le deviner. Pour cela, je peux vous donner quelques indices, par exemple je peux vous dire que x² = 2, que x + y = 0 ou encore que (1 + x) × (1 − y) = x − y + 3. Ces trois indices sont des égalités qui font intervenir des opérations définies sans ambiguïté. Ce sont trois indices algébriques. Si vous connaissez un peu de calcul littéral, vous découvrirez cependant que ces trois égalités ne vous servent à rien. Elles restent aussi valables dans tous les cas : que ce soit x ou y qui vaille √2 ou − √2 n’y change rien. Et cela ne vient pas du fait que je vous aie donné de mauvais indices : quelles que soient les égalités supplémentaires que je pourrais vous donner, cette ambiguïté est inéluctable. Aucun indice algébrique ne vous permettra de déduire qui est x et qui est y !

En revanche, dès que vous entrez en analyse, vous pouvez dire des choses du genre « tel nombre est plus grand que tel autre ». Bien sûr, ce n’est pas très précis, comme affirmation. Une inégalité n’a pas la même puissance qu’une égalité. Il y a des tas de nombres qui sont plus grands que 2 + 3, mais un seul (5) qui lui est égal. Malgré cela, l’analyse est capable de donner des informations essentielles auxquelles l’algèbre n’a pas accès. Si je vous dis maintenant que x<y, alors vous voilà capable de distinguer nos deux nombres : x = − √2 et y = √2.

Présenté de cette façon, il peut alors vous apparaître que l’analyse est plus puissante et plus complète que l’algèbre. D’un certain point de vue, c’est le cas. Mais n’oubliez pas que l’abstraction mathématique a également pour objectif d’atteindre de belles généralisations et de trouver les points communs entre les concepts. Constater que √2 et − √2 sont algébriquement indiscernables est un résultat profond dont les extensions sont au cœur de passionnantes mathématiques telles que la théorie de l’ambiguïté développée par Évariste Galois au début du XIXe siècle. Parfois, oublier certains détails et ne pas voir trop précisément est un atout pour dégager les grandes structures générales.

Mes précédentes émotions vous apparaissent-elles maintenant plus claires ? Lorsque vous faites un puzzle ou construisez un meuble Ikea, il n’y a pas d’à-peu-près. Les pièces s’emboîtent ou ne s’emboîtent pas. C’est binaire. C’est oui ou c’est non. Il n’y a pas d’entre-deux. Pourtant, il peut arriver qu’en montant un meuble certaines des pièces soient identiques. Vous pouvez avoir dix écrous semblables ou trois planches d’étagère identiques. Ces pièces sont alors comme √2 et − √2. Distinctes, mais indiscernables et interchangeables du point de vue de la construction. Ces ambiguïtés existent mais ne permettent aucune erreur, elles sont parties intégrantes de la théorie, et les permutations possibles des pièces font partie du jeu.

En analyse, au contraire, tout est question de dosage. Il faut savoir ajuster les petits nombres, les régler, les harmoniser comme il faut pour que tout se combine à la perfection. Et plusieurs réglages différents peuvent fonctionner. Un peu plus ici, un peu moins là, et le tout s’équilibre. Lorsque, petit, j’étais chargé d’ajouter les épices dans le plat qui mijotait, il me fallait aussi faire un choix. À quelle dose m’arrêter ? Un petit peu plus ou un petit peu moins ? Il est possible de mal assaisonner, mais pour autant il n’existe pas un seul bon assaisonnement. Il n’y a aucun emboîtement, aucun interrupteur qui vous dit stop. Il faut être subtil et inspiré.

L’algèbre dit : il n’existe qu’une bonne façon de monter une étagère à quelques inversions indétectables près. L’analyse dit : il existe mille façons de faire un bon couscous et chaque variation dans le dosage donnera un résultat légèrement différent.

J’aime dans l’algèbre le caractère impeccable des pièces qui s’imbriquent. J’aime cette franchise, tranchée et robuste. Il peut être parfois difficile de saisir comment les morceaux s’emboîtent les uns dans les autres, mais une fois le plan d’ensemble compris, le montage a quelque chose d’inéluctable et de profondément satisfaisant. Chaque pièce trouve sa place, chaque élément vient adhérer précisément à ceux qui l’entourent, sans perte et sans à-peu-près.

L’analyse, de son côté, m’apparaît davantage comme un artisanat. Il y a un savoir-faire à acquérir, un coup de main à prendre. Vous avez beau savoir qu’il vous faut couper les fruits en fine brunoise ou tempérer votre chocolat, vous n’êtes pas sûr d’y arriver du premier coup. Il faut pratiquer, ajuster, faire des essais et s’adapter à nouveau. Et comme le pâtissier débutant sera maladroit dans l’exécution de ses premières recettes, l’apprenti analyste éprouvera quelques difficultés à choisir le bon epsilon pour majorer son erreur. L’analyse offre une multitude d’outils formidablement utiles et puissants, mais ces outils ne sont pas des baguettes magiques, savoir les utiliser passe par un apprentissage long, minutieux et patient.

Bien entendu, le meilleur moyen de comprendre ces différences reste encore de les pratiquer et de les éprouver. Vous trouverez au fil des pages de ce dictionnaire de multiples notions vous entraînant d’un côté ou de l’autre de la frontière. Et peut-être découvrirez-vous qu’elles vous procurent des émotions très différentes des miennes. Bien sûr, un tel ressenti est toujours subjectif et ne peut prétendre à une quelconque universalité. Interrogez mille mathématiciens et mathématiciennes, chacun associera des émotions différentes à son expérience des diverses facettes des mathématiques. Cet article parle davantage de moi que de mathématiques.

Ce qui est universel, en revanche, c’est, je crois, le caractère multiple et multicolore des mathématiques. Et quiconque en pousse l’exploration finit par s’y découvrir des préférences, des goûts, des émotions… Chacun peut raccrocher ces sensations à sa propre expérience, à sa propre singularité. C’est peut-être là, la principale information : les mathématiques sont certes universelles, mais aussi profondément intimes. Ce que vous aimerez de cette discipline vous appartient et vous caractérise. Et les territoires à explorer sont immenses. L’algèbre et l’analyse ne font qu’un premier découpage, grossier et incomplet. Mais voilà les probabilités, la topologie, la logique, la théorie des nombres ou la combinatoire qui arrivent à leur tour. Et chacune se découpe à nouveau en de multiples variétés qui sont autant de saveurs à découvrir et d’impressions à explorer.

La suite est à vous.

Algèbre et analyse – origine

L’article précédent et intitulé « Algèbre et analyse » a été rédigé par M. L. qui en assume l’entière subjectivité. À sa lecture, A. D. a toutefois ressenti quelques désaccords et voulu montrer un autre visage de ces deux disciplines en s’appuyant sur quelques aspects de leur histoire.

L’analyse est née au XVIIe siècle.

Avec son Discours de la méthode (1637), Descartes fit publier trois essais, qui en sont une application pratique : Les Météores, La Dioptrique et La Géométrie, où il introduit ce qu’on appellera les coordonnées cartésiennes. Dans cet opuscule, il abandonne explicitement « l’analyse des Anciens », en laissant de côté les démonstrations à la manière d’Euclide. Dans la géométrie d’Euclide, chaque nouvelle proposition est justifiée par des théorèmes et des propositions précédemment énoncées.

« Car, s’il fallait, écrit-il, que je m’arrêtasse à démontrer tous les théorèmes dont je fais quelque mention, je serais contraint d’écrire un volume beaucoup plus gros que je ne désire. »

Aux justifications argumentées il préfère en effet le résultat obtenu, même si la technique d’obtention n’est pas parfaitement explicitée. Ainsi procède-t-il pour trouver la tangente en un point d’une courbe. À la même époque, Fermat décrivit une nouvelle méthode pour chercher les maxima et les minima d’une fonction, sans aucune justification. Un peu plus tard, Cavalieri développera à Florence des calculs de volume fondés sur la décomposition en tranches « indivisibles ».

Et, à la fin du siècle, le marquis de L’Hôpital demandera qu’« une ligne courbe puisse être considérée comme l’assemblage d’une infinité de lignes droites, chacune infiniment petite », sans jamais définir ce qu’on entend par « infiniment petit ». Comme il l’écrit en guise d’excuse, dans la préface de son Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes :

En un mot, il ne paraît pas que les Anciens en aient pu faire davantage pour leur temps : ils ont fait ce que nos bons esprits auraient fait à leur place ; et s’ils étaient à la nôtre, il est à croire qu’ils auraient les mêmes vues que nous. Tout cela est une suite de l’égalité naturelle des esprits et de la succession nécessaire des découvertes.

C’est ainsi que, petit à petit, le mot « analyse » change de sens. Ce qui désignait d’abord une méthode préférant l’efficacité à un strict usage du raisonnement hypothético-déductif devient l’ensemble des techniques et des résultats du tout nouveau calcul différentiel : l’étude des courbes, de leurs tangentes, de leurs maxima et de leurs minima, des aires qu’elles délimitent et de leurs approximations.

En ce début du XVIIIe siècle, la fantastique fécondité de ce nouveau calcul (qui révolutionna le monde mathématique, puis le monde économique et industriel) compensait son manque de cohérence dans l’exposé. Les succès de cette nouvelle analyse mathématique firent d’abord office de justification avant de devenir une discipline à part entière, au même titre que l’algèbre.

Finalement, l’exposé rigoureux de tous ses résultats, dans une théorie bien fondée, avec ce qu’il faut de définitions, d’axiomes et de théorèmes, attendra la fin du XIXe siècle.

L’algèbre avait déjà depuis longtemps fait ses preuves. L’origine arabe du mot est d’ailleurs bien connue : entre les années 813 et 833, sous le règne du calife Al-Ma’mûn, l’astronome mathématicien Al-Khwârizmî écrivit son fameux Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison (Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala). Dans ce livre, Al-Khwârizmî explique comment résoudre les équations du premier et du second degré par des transformations d’équation.

Par exemple, il cherche un nombre, dénommé la racine, tel que la racine soit égale au nombre 10 auquel on a enlevé 4 fois la racine. Il cherche donc à résoudre l’équation x = 10 − 4x. La transformation qu’il appelle al-jabr consiste à ajouter 4x aux deux membres de l’équation (pour obtenir 5x = 10, soit x = 2). En arabe, le mot « enlevé » est le même que celui employé généralement pour désigner un membre amputé. La transformation est plutôt alors une restauration, comme le traduiront par la suite les Occidentaux. Ces derniers désignèrent la technique générale de résolution des équations par le mot algèbre, dérivé du nom arabe al-jabr.

Al-Khwârizmî montre ainsi comment trouver les solutions de toutes les équations du second degré en s’inspirant des techniques géométriques décrites dans le livre II des Éléments d’Euclide : au point que, par la suite, on pourra nommer ce livre II le « livre de l’algèbre géométrique ».

Plus tard, c’est avec Viète et son livre In artem analyticem isagoge, paru en 1591, que les mathématiciens comprirent que la manipulation des équations est largement facilitée par l’utilisation de lettres à la place des nombres. Courant XVIIe, la plupart des notations algébriques sont normalisées et permettent d’importants progrès dans ce domaine. Petit à petit, les règles du calcul algébrique désignent les règles de ce calcul littéral, et donc les propriétés des opérations.

L’algèbre devint ainsi un important domaine des mathématiques. Et au XXe siècle, elle se « dispute avec l’analyse, les territoires des mathématiques ». Ces disciplines continuent à évoluer au fil des progrès qui les enrichissent.

Qui sait ce que désigneront ces mots dans mille ans et comment seront structurées les nouvelles mathématiques ?