LES MODÈLES MATHÉMATIQUES SONT-ILS DES MODÈLES À SUIVRE ?

Jean Mawhin

Les modèles mathématiques sont-ils des modèles à suivre ?

Académie royale de Belgique

rue Ducale, 1 - 1000 Bruxelles, Belgique

www.academieroyale.be

Informations concernant la version numérique

ISBN : 978-2-8031-0601-1

© 2017, Académie royale de Belgique

Collection L’Académie en poche

Sous la responsabilité académique de Véronique Dehant

Volume 97

Diffusion

Académie royale de Belgique

www.academie-editions.be

Crédits

Conception et réalisation : Laurent Hansen, Académie royale de Belgique

Couverture : Loredana Buscemi, Académie royale de Belgique

Publié en collaboration avec/avec le soutien de

Avant-propos

Longtemps confinés dans les universités, les instituts de recherche et les bureaux de développement, les modèles mathématiques ont littéralement envahi les médias depuis quelques années. Des modèles climatiques nous prédisent un avenir bien sombre si nous ne changeons pas nos habitudes et des modèles économiques font de même si nous les modifions trop. Des modèles financiers excellent à expliquer les crises boursières après qu’elles aient eu lieu, à défaut de les prédire. Nos gouvernants semblent construire leur budget sur des modèles qui surestiment les entrées et sous-estiment les dépenses. Ce sont aussi des modèles sophistiqués qui aident les météorologistes à prédire avec plus ou moins de bonheur le temps qu’il fera.

L’expression « modèle mathématique » peut être source de confusion auprès du grand public. Elle rapproche en effet un substantif ambivalent avec un adjectif qui impose le respect. Un modèle est d’abord un idéal à imiter, alors qu’en sciences, c’est le modèle qui cherche à imiter, avec plus ou moins de succès, une réalité complexe. Par ailleurs, ce qui est mathématique est souvent pris pour absolument certain, alors que des mathématiques rigoureuses sur un modèle dépourvu de sens donnent des résultats dépourvus de sens. D’où le titre de ce petit livre, dont le modeste but est de démythifier les modèles mathématiques, montrer leur incontestable utilité et prévenir le danger d’en abuser.

Si la terminologie est assez récente, la notion de modèle mathématique est très ancienne. On le montrera par des exemples. Notre regretté collègue et ami Nicolas Rouche (1925-2008) n’hésitait pas à écrire, dans un Appendice à son bel ouvrage de Mécanique générale : « l’histoire de la science, c’est l’histoire de modèles inadéquats. »

Cette thèse radicale n’est pas universellement partagée, mais nous semble aussi séduisante qu’éclairante. Elle est bien sûr liée au problème de la distinction entre modèle et théorie et entre théorie et réalité, qui a fait couler beaucoup d’encre et de salive, en particulier chez les philosophes des sciences. Le peintre surréaliste belge René Magritte (1898-1967) a posé le problème avec un minimum de mots et un maximum de pertinence dans son célèbre tableau « Ceci n’est pas une pipe ». Après tout, un peintre n’est-il pas, par nature, un expert en modèles ?

Dans cet ouvrage, avec une pointe de provocation, les théories mathématisées seront toujours considérées comme des modèles mathématiques. Nous n’obligeons personne à nous suivre dans cette voie, mais elle a le mérite de rendre les savants plus modestes et la science moins dogmatique. Ce texte n’est pas un modèle à suivre ; il n’est qu’une invitation à réfléchir.

On ne parlera pas, dans ce petit livre, de la notion de modèle en logique mathématique, ni des discussions philosophiques (sans fin) sur la notion de modèle et ses avatars en sciences, ni des nombreuses techniques de modélisation mathématique, ni des relations entre modèles mathématiques et modèles informatiques.

Dans les exemples, on évitera de faire appel à des notions mathématiques ou scientifiques sophistiquées. Les quelques formules mathématiques qui émaillent le texte n’utilisent que des mathématiques du niveau de l’enseignement secondaire. Elles ne devraient pas effrayer le lecteur, qui peut, s’il le désire, les ignorer sans perdre le fil du propos. Pourtant, si, au lieu de modèles mathématiques, cet essai parlait de modèles qualifiés de « top », peu de lecteurs seraient enclins à ignorer les images.

Ce texte est la version développée d’exposés présentés en 2015 et 2016 au Forum-IRTS Lorraine à Nancy, au Collège Belgique à Namur et à ALTAIR à l’Université libre de Bruxelles. Les questions et les réactions des auditeurs ont été très précieuses. Qu’ils en soient remerciés.

Les références aux citations et à des lectures complémentaires ont été rassemblées dans une bibliographie située en fin de volume. Pour rendre la lecture plus aisée, il n’y a pas de renvoi direct aux références dans le texte. Le lecteur n’aura aucune peine à faire les liens correspondants.

Chapitre 1

Les mots et la chose

« Madame, quel est votre mot,

Et sur le mot et sur la chose ? […]

Pour moi voici quel est mon mot

Et sur le mot et sur la chose. »

Abbé de Lattaignant

Les mots

Pour un dictionnaire pas trop récent, le substantif « modèle » est un emprunt à l’italien modello du xvie siècle, représentation miniature de ce qui sera construit en grand (modèle réduit). Le terme prend ensuite le sens d’objet référent, puis d’idéal à imiter. Il faut attendre le xxe siècle pour voir apparaître le sens technico-scientifique sur lequel porte notre propos.

L’adjectif « mathématique », issu du latin mathematicus, lui-même dérivé du grec mathematikos (qui aime apprendre), signifie bien sûr « relatif aux mathématiques » puis, par glissement de sens, « qui résulte de qualités propres au raisonnement mathématique : déductif, rigoureux, exact », et en fin de compte « absolument certain, inévitable ».

On peut être tenté d’en conclure ou de laisser entendre qu’un modèle mathématique possède par essence la perfection ultime liée aux deux mots qui le définissent. Certains ne s’en privent pas, souvent par ignorance, dans les médias ou chez les décideurs.

Il faut consulter un dictionnaire plus récent pour trouver le sens de modèle comme « représentation simplifiée d’un processus, d’un système », et celui de « modèle mathématique » comme « traduction d’une observation dans le but de lui appliquer les outils, techniques et théories mathématiques et, en sens inverse, la traduction des résultats mathématiques obtenus en prédictions ou opérations dans le monde réel ».

La chose

Dans toute modélisation mathématique, il y aura un choix a priori de l’environnement mathématique servant à décrire l’ensemble des phénomènes décrits, et la formulation s’identifie rarement aux manifestations physiques réelles.

Les écueils de la modélisation mathématique apparaissent aussitôt. Un modèle trop précis ou trop complet conduit à des problèmes insolubles par les mathématiques connues. Il est donc impraticable. L’analogie avec le petit texte De la rigueur de la science de Jorge Luis Borges (1899-1986), où, pour obtenir la précision ultime, les géographes proposent une carte à l’échelle 1:1, est éclairante.

« En cet empire, l’art de la cartographie fut poussé à une telle perfection que la carte d’une seule province occupait toute une ville et la carte de l’empire toute une province. Avec le temps, ces cartes démesurées cessèrent de donner satisfaction et les collèges de cartographes levèrent une carte de l’empire, qui avait le format de l’empire et qui coïncidait avec lui, point par point. Moins passionnées pour l’étude de la cartographie, les générations suivantes réfléchirent que cette carte dilatée était inutile et, non sans impiété, elles l’abandonnèrent à l’inclémence du soleil et des hivers. Dans les déserts de l’ouest, subsistent des ruines très abimées de la carte. Des animaux et des mendiants les habitent. Dans tout le pays, il n’y a plus d’autre trace des disciplines géographiques. » (Suarez Miranda, Viajes de Varones Prudentes, livre iv, chapitre xiv, Lérida, 1658)

On peut penser que Borges a trouvé son inspiration dans l’ouvrage Sylvie and Bruno concluded de l’écrivain et professeur de mathématiques Lewis Carroll (1832-1898). Le dialogue suivant peut être lu comme une allégorie des limites de la modélisation.

« — C’est une autre chose que nous avons apprise de votre Nation, dit Mein Herr, la cartographie. Mais nous l’avons menée beaucoup plus loin que vous. Selon vous, à quelle échelle une carte détaillée est-elle réellement utile ?

— Environ six pouces pour un mile.

— Six pouces seulement ! s’exclama Mein Herr. Nous sommes rapidement parvenus à six yards pour un mile. Et puis est venue l’idée la plus grandiose de toutes. En fait, nous avons réalisé une carte du pays, à l’échelle d’un mile pour un mile !

— L’avez-vous beaucoup utilisée ? demandai-je.

— Elle n’a jamais été dépliée jusqu’à présent, dit Mein Herr. Les fermiers ont protesté : ils ont dit qu’elle allait couvrir tout le pays et cacher le soleil ! Aussi nous utilisons maintenant le pays lui-même, comme sa propre carte, et je vous assure que cela convient presque aussi bien. »

Nicolas Rouche exprime ce point de vue d’une autre manière : « Le seul modèle qui serait entièrement adéquat devrait englober la totalité de l’univers, y compris le sujet pensant. » Encore faudrait-il disposer des mathématiques pour le faire !

Ceux qui comptent sur la puissance de calcul sans cesse croissante des ordinateurs pour pallier cette difficulté et traiter des modèles arbitrairement compliqués ne doivent pas oublier le délicat problème de l’adéquation entre les solutions numériques et les solutions réelles. Ainsi, en mécanique des fluides, le modèle atomique voudrait qu’on parte des équations de Newton appliquées à un très grand nombre de particules. C’est un problème discret dont la complication dépasse nos forces. On l’approche par un modèle continu, régi par des équations aux dérivées partielles non linéaires. Leur étude mathématique rigoureuse dépasse de nouveau nos forces en général. On fait appel à l’ordinateur qui exige une discrétisation du problème, c’est-à-dire à un retour à un nombre fini de particules, qui n’ont rien à voir avec celles de départ.

C’est une situation analogue à celle de la traduction d’une phrase en français en anglais, traduite à nouveau en français. Les deux phrases françaises sont en général différentes. Bien sûr, le modèle continu discrétisé sera en général traitable par ordinateur alors que le modèle discret d’origine ne l’est pas, mais l’adéquation de deux problèmes repose souvent sur un acte de foi.

Aucun modèle utilisable n’est donc correct par rapport à ce qu’il prétend décrire, comme le soulignent avec pertinence Jean-Paul Delahaye et François Rechenman.

« La question est, non pas de savoir si un modèle est correct ou non, mais d’apprécier son apport dans un processus de compréhension progressive du système et de ses comportements, motivé par un ensemble de questions initialement explicitées. Un bon modèle est un modèle utile. »

Les mêmes auteurs ajoutent que « tout...