Préambule

Enseigner (les mathématiques) à l’école est une profession diversifiée et peu répétitive qui s’apprend selon trois modalités. C’est un métier qui se prépare avant de l’exercer, qui se bonifie par l’expérience, puis qui se consolide tout au long de la carrière. L’enseignement des mathématiques à l’école primaire est un défi passionnant, qui ne doit cependant pas être un exercice d’improvisation ou un numéro d’équilibriste sans filet de protection. Permettre aux élèves de comprendre et, si possible, d’aimer les mathématiques, constitue un objectif professionnel ambitieux, mais cela ne relève pas pour autant d’une mission impossible. Même si les conditions d’exercice de cette profession sont d’une très grande diversité, on peut néanmoins définir quelques invariants qui permettent de réussir cet enseignement. C’est la raison pour laquelle je forme, depuis de nombreuses années, des enseignants en exercice et de futurs enseignants autour de ce que l’on réfère dans le monde francophone à une discipline à part entière : la didactique des mathématiques. Ce domaine d’étude relève de travaux scientifiques dont les méthodologies sont exploratoires et expérimentales, c’est-à-dire qu’elles sont principalement ancrées sur des observations et sur des processus inductifs (et non déductifs). Ces observations ont abouti à la construction de connaissances qui ne sont pas organisées en système de vérités immuables, et c’est pourquoi je vous invite à être toujours prudent quant à leur domaine de validité. Ce sont ces connaissances que je souhaite vous présenter dans le cadre de cet ouvrage1 en assumant de ne pas viser l’exhaustivité, tant elles sont étendues.

Ce livre a pour but de présenter les enjeux majeurs d’un enseignement des mathématiques à l’école favorable aux apprentissages de tous les élèves, y compris ceux qui se trouvent le plus en difficulté. Sans allusion historique présomptueuse au célèbre ouvrage chinois d’enseignement des mathématiques2, vous noterez que le livre que vous tenez entre les mains est composé de neuf chapitres !

Les deux premiers chapitres vous permettront de faire le point sur les connaissances de base en didactique des mathématiques. Je me restreins volontairement à celles qui sont les plus utiles dans l’exercice ordinaire du métier, en vous invitant à approfondir ces connaissances chaque fois que vous le souhaiterez.

Le troisième chapitre fait une halte sur le terrain des difficultés et des troubles d’apprentissage, et cette thématique restera un fil rouge tout au long de l’ouvrage.

J’ai souhaité ensuite dédier un quatrième chapitre à la place du langage dans la construction des connaissances mathématiques. C’est en effet un sujet sensible pour deux raisons principales. La première tient aux dispositifs sociaux utilisés en classe de mathématiques, qui mettent souvent les élèves en situation d’utiliser et d’éprouver leurs compétences langagières. Cependant, on ne peut pas s’en tenir à un postulat qui consisterait à dire que tous les élèves ont les mêmes capacités dans ce domaine. La seconde raison est liée aux objets de savoir mathématiques eux-mêmes, qui constituent des entités abstraites dont l’existence n’est assurée que par leurs différentes représentations. Cet aspect symbolique (et donc langagier) des mathématiques est un objet d’étude essentiel pour la formation au métier d’enseignant.

Les cinquième et sixième chapitres traitent du cas particulier de la numération. De leur genèse épistémologique à leur étude au sein des ensembles, les nombres nécessitent de nombreuses situations d’apprentissage pour former un système cohérent dans la cognition des élèves. On sait, par exemple, que la compréhension du nombre est incontournable dans l’acquisition du calcul, qui constitue justement le sujet d’étude du septième chapitre. Ce chapitre offre l’occasion de faire le point sur la spécificité des quatre opérations au programme de l’école primaire, ainsi que sur les outils et les moyens de calcul qui sont à votre disposition pour faire réussir vos élèves dans ce domaine.

Cet ouvrage se conclut en évoquant ce qui relève du champ de l’espace et de la géométrie (chapitre 8), un domaine souvent considéré avec circonspection, ainsi que sur les grandeurs et leurs mesures (chapitre 9).

Enfin, vous pourrez lire dans le glossaire situé en fin d’ouvrage une série de propositions d’aide à la compréhension de certains termes employés au long de ce livre. Un glossaire n’est pas un dictionnaire et il est probable que, si vous demandez à plusieurs spécialistes de l’enseignement des mathématiques d’exprimer leurs conceptions d’un terme, de nombreuses nuances apparaitront entre leurs propositions.

Le ton général de ce livre peut différer de celui que l’on trouve dans certains ouvrages de didactique. Il se veut en effet le plus souvent enjoué, car une ambition m’habite en permanence dans mon métier de professeur : rendre les mathématiques accessibles et plaisantes. Bonne lecture !

Chapitre 1

Enseigner et apprendre en mathématiques

Introduction

Voici trois affirmations qui vont situer les mathématiques dans mon propos tout au long de ce premier chapitre et, plus largement, de cet ouvrage.

• Les mathématiques sont d’abord une science utile pour comprendre le monde. C’est une affirmation que j’apprécie particulièrement, car elle vise à réhabiliter concrètement les objets mathématiques en tant qu’entités utiles pour comprendre le monde réel qui nous entoure. Les objets mathématiques (notions et concepts) ne doivent pas être présentés aux élèves comme des connaissances abstraites qui ne seraient utiles que dans un cadre strictement scolaire.

• La deuxième assertion concerne la notion d’expérimentation : expérimenter dans le monde, c’est « traduire le réel par des signes ». Je vais fréquemment utiliser cette expression. En mathématiques, l’expérimentation se traduit par un travail sur les objets du monde représentés par des signes : par exemple, pour signifier que l’on réunit une collection de trois tulipes et une autre de six marguerites, on utilisera les signes « 3 + 6 ». Cette symbolisation traduit l’expérience qui aurait consisté à faire ce bouquet de fleurs dans le monde réel. En pratiquant les mathématiques, on réalise donc une importante production de signes. Ces signes peuvent être des symboles, des constructions (dessins, tracés, assemblages 3D), des gestes nécessitant l’élaboration de procédures ou de démarches, mais aussi des éléments de communication. Expérimenter en mathématiques (et, plus généralement, dans le cadre scientifique) est une activité importante, qui rejoint donc la sémiotique, la science qui étudie les signes.

• La troisième affirmation porte sur l’interprétation de ces signes : « faire des mathématiques » est un travail qui repose essentiellement sur la compréhension et l’utilisation de ces signes. Leur interprétation repose sur la connaissance des différents types de représentations possibles, sur leur analyse et, in fine, sur la réussite de leurs combinaisons possibles.

Comprendre l’articulation entre les deux phases que sont l’enseignement et l’apprentissage, quelle que soit la discipline que l’on enseigne, est primordial. En effet, certains élèves apprennent des choses qui n’ont pas été enseignées à l’école et, inversement, des choses enseignées à l’école ne sont pas apprises par les élèves. Je vais tenter de rentrer à l’intérieur de cette articulation, de cette « boite noire » qui pourrait être imaginée pour interpréter certaines difficultés d’enseignement ou d’apprentissage, afin de voir un peu mieux et de comprendre ce qui s’y passe.

Vous trouverez dans la première partie de ce chapitre des repères pragmatiques, ancrés dans le champ de votre pratique professionnelle, et dans la deuxième partie, un certain nombre de repères didactiques avec une coloration plus théorique, même si la didactique n’est pas une théorie isolée mais une construction scientifique qui consiste à analyser et mieux comprendre les phénomènes d’enseignement et d’apprentissage.

Partie 1

Repères pragmatiques

Donner des repères pragmatiques, c’est aussi donner des informations sur ce que l’on sait désormais après quelques décennies de recherche en didactique des mathématiques, ainsi qu’en termes de développement cognitif des élèves, en s’appuyant sur d’autres champs scientifiques comme l’épistémologie, la psychologie cognitive, le développement de l’individu, la neuropsychologie, les sciences de l’éducation ou encore la sociologie.

Je vais pour cela utiliser un jeu de cartes, composé d’atouts, en clin d’œil à ce que constitue une partie avec de « bonnes cartes ». Je souhaite à chaque enseignant de pouvoir enseigner avec les atouts qui lui permettent de faire réussir ses élèves, mais aussi de se développer harmonieusement sur le plan professionnel. Je décrirai pour cela un jeu de six atouts : trois du côté de l’apprentissage et trois du côté de l’enseignement.

Didactique des mathématiques : six atouts pour réussir

1. 1. Trois atouts pour mieux apprendre

Du côté de l’apprentissage, ces cartes correspondent à trois points clés en matière de réussite des apprentissages dans le domaine des mathématiques : expérimenter, comprendre et s’entrainer. Si on les prend isolément, ces cartes n’ont rien de miraculeux mais, conjuguées, elles participent à la construction d’un environnement adapté aux apprentissages de tous les élèves.

◗ Atout 1 : expérimenter

La carte « expérimenter » est le premier de ces atouts. La notion d’expérimentation est importante pour l’apprentissage dans le champ scientifique. Elle est surtout développée dans le cadre de la construction des connaissances des sciences expérimentales (comme la biologie ou la physique-chimie) mais, depuis quelques années, elle est un peu plus considérée du côté des mathématiques. Cette carte permet d’insister sur l’enjeu de la manipulation et de l’action dans l’apprentissage, mais pas uniquement. Sur un plan scientifique, l’expérimentation ne se résume pas à la manipulation des objets mais tient aussi dans le questionnement de et sur ces objets, ainsi que dans la vérification de leur conformité à des hypothèses que l’on aurait émises.

Pour l’enseignant, l’enjeu principal de cette carte en matière d’apprentissage des mathématiques réside dans la mise en actes des connaissances des élèves. En incitant et en développant des environnements pour l’apprentissage dans lesquels les élèves peuvent agir sous la forme de production de signes, d’utilisation d’objets ou de constructions diverses, l’enseignant peut alors avoir accès aux connaissances procédurales3 de ses élèves.

La place de cette carte est primordiale : elle est dédiée à la mise en actes des connaissances en amont de leur mise en mots. C’est un principe assez novateur dans l’histoire de l’enseignement, du moins en mathématiques. Dans un enseignement plus traditionnel des mathématiques, on va en effet d’abord définir les objets par leurs propriétés. On privilégie ainsi une forme de mise en mots des connaissances mathématiques, puis on va demander aux élèves d’utiliser ces connaissances dans des exercices d’application. Dans le jeu de cartes que je vous propose, utiliser la carte « expérimenter » dès le début permet de privilégier la mise en actes des connaissances des élèves. Cela se traduit par un certain nombre d’ingrédients qui s’appuient sur la mise en place d’un environnement d’apprentissage incitant à agir.

Cette carte « expérimenter » comporte une mention spéciale sur la notion de vérification. La vérification est essentielle lorsqu’on fait des sciences et, plus particulièrement, des mathématiques. En sciences, on peut faire et dire presque tout ce que l’on veut tant que l’on est en phase de recherche. Mais, ce qui distingue les mathématiques et les sciences des autres disciplines scolaires, c’est que cette liberté n’existe que pendant ce moment de recherche : ensuite, il faut vérifier ce que l’on a dit pour pouvoir le valider. Ce que je propose dans ces phases d’expérimentation, c’est de ritualiser la vérification. Cela consiste à vérifier toutes les propositions qui sont faites, soit par l’action soit par la verbalisation, en les questionnant : comment prouver ce qui vient d’être dit ? comment être sûr de ce que l’on vient de faire ?

J’insiste sur l’importance de cette phase préalable d’expérimentation dans une situation d’apprentissage. Pour les élèves en situation ordinaire d’apprentissage en mathématiques, mais aussi et surtout pour ceux qui sont en souffrance dans cette discipline, les difficultés viennent souvent du fait que les phases d’action n’ont pas été assez adaptées aux élèves (pas assez longues, pas assez outillées, pas assez étayées…). Très souvent, le retour à une phase d’action permet de débloquer des obstacles ou des résistances.

Qu’est-ce qu’un environnement qui incite à agir ?

Un environnement qui incite à agir est un environnement dans lequel existe du matériel qui donne envie d’agir et que l’enseignant doit choisir de manière adaptée (voir le chapitre 2). Il y faut aussi des énigmes intéressantes et, enfin, un climat rendant les interactions possibles entre les élèves. En effet, la recherche en mathématiques devient possible lorsque le climat est conforme et propice aux interrogations et aux doutes, sans crainte de se voir critiqué ou déstabilisé. C’est souvent une étape que l’on oublie, car on imagine que les élèves peuvent facilement se transformer en petits chercheurs, que ce soit en maths ou en sciences. Ce n’est pas qu’ils n’ont pas envie de le faire ou qu’ils n’aiment pas le faire, mais il faut pour cela un climat bienveillant et sécurisant, propice à l’expression de leurs doutes et de leurs interrogations, ce qui n’est pas toujours acquis.

Pour résumer, cette phase d’action nécessite pour les élèves :

– un environnement qui incite à agir (avec du matériel adapté aux représentations et un climat propice aux interrogations, aux doutes et à la recherche) ;

– une ritualisation de la vérification.

◗ Atout 2 : comprendre

Considérons maintenant la carte intitulée « comprendre ». Après le temps de l’expérience, l’élève aura besoin d’aller un peu plus loin afin de dépasser les connaissances qu’il a mises en actes en tentant de les mettre en mots. On peut dire qu’il y a passage progressif aux connaissances déclaratives : c’est la phase de formulation. Mettre en mots ses connaissances est cependant toujours plus complexe sur le plan cognitif, et la réussite de ce processus dépend beaucoup de la qualité des expériences qui l’ont précédé. Cela semble évident mais, pour autant, en mathématiques, afin d’aller toujours plus vite et plus loin, on pense qu’il ne faut pas passer trop de temps à manipuler et expérimenter et qu’il faut rapidement nommer les objets et les relations. On va appeler un carré un carré, une diagonale une diagonale puis, s’il reste du temps, on se livrera à quelques tracés. Pourtant, il est primordial didactiquement que les phases de mise en mots suivent plutôt qu’elles ne précèdent les phases de mise en actes. Nommer, expliquer et décrire sont des activités qui permettent aux élèves de comprendre ce qu’ils viennent de faire, voire parfois ce qu’ils sont en train de faire.

Dans cette phase de mise en mots, il est important de prendre en compte les aspects langagiers, et notamment ceux de la communication. Dans ce domaine, on peut considérer des niveaux de compétences progressifs :

• verbaliser, décrire (exemple : décrire une figure telle qu’on la perçoit) ;

• questionner, expliquer (exemple : comprendre puis expliquer la construction d’une figure à quelqu’un) ;

• échanger, argumenter (exemple : débattre avec quelqu’un sur des programmes de construction différents).

Après les nombreux travaux réalisés en didactique des mathématiques depuis 30 à 40 ans, on pourrait croire que le « graal » à atteindre est de parvenir à apprendre les mathématiques en résolvant des problèmes, c’est-à-dire par un processus qui consiste notamment à s’appuyer sur des moments de recherche en groupe, puis sur des mises en commun pendant lesquelles les élèves débattent de leurs différentes démarches. Cela semble particulièrement bien fonctionner avec des élèves qui n’ont de difficulté ni en mathématiques ni sur le plan langagier. Pour les autres élèves, il sera en revanche nécessaire de bien les aider pendant ces phases afin qu’ils puissent en profiter. Pour débattre de manière constructive avec des pairs qui ne partagent pas nécessairement le même avis, il faut pouvoir mobiliser des arguments. La mise en mots des connaissances engage donc des compétences langagières qui sont souvent de plus haut niveau (débattre, argumenter, raisonner…). Or, même à un âge adulte, la participation à un débat reste difficile, surtout lorsque la finalité est d’apprendre (voir le chapitre 4, p. 85).

Pour résumer, jouer cet atout, c’est développer la verbalisation et la communication. Comprendre en communiquant, c’est :

– dire et décrire ;

– expliquer et questionner ;

– échanger des points de vue, des démarches et des résultats ;

– débattre, argumenter et raisonner.

◗ Atout 3 : s’entrainer

Après ces moments de mise en actes et en mots, on peut passer à une phase pouvant être relativement longue : celle de la stabilisation progressive des connaissances. C’est la carte « s’entrainer ».

Sans entrainement, il n’y a pas d’acquisition de longue durée. Cela est valable pour les élèves en situation de classe ordinaire, et évidemment pour les élèves en situation de difficulté passagère voire de handicap. Compte tenu de la quantité de connaissances mathématiques à acquérir à l’école (qu’elles soient procédurales ou déclaratives), sans un entrainement diversifié, organisé et régulier, les apprentissages ne seront pas denses. Cela signifie qu’ils ne seront pas disponibles pour les élèves ou qu’ils ne seront mobilisés que dans des contextes précis. Ainsi oubliés, ils deviennent inutilisables dès que l’on change de contexte, car ils ne sont pas transférables.

Les connaissances mathématiques doivent donc faire l’objet d’un entrainement : on dit en didactique que l’on fait fonctionner ses connaissances. Utiliser ses connaissances pour les faire fonctionner signifie que l’on n’en apprend pas de nouvelles mais que l’on se contente d’utiliser celles que l’on a.

La grande difficulté en matière d’enseignement, c’est d’être capable de fournir un programme d’entrainement correspondant au niveau de compétences de chaque élève. Un sauteur à la perche qui saute régulièrement 6 mètres ne s’entraine ni avec une barre à 2 mètres de hauteur, ni avec une à 10 mètres. C’est, toutes proportions gardées, similaire lorsqu’on s’entraine en mathématiques. Dans la culture de l’enseignement en Europe, on a malheureusement tendance à évacuer trop rapidement le moment de faire et de refaire. On pense que, dès qu’un élève sait faire quelque chose, il faut vite qu’il passe à quelque chose d’un peu plus difficile. En mathématiques, c’est un piège, car on pourrait croire que les connaissances sont stabilisées après un ou deux exercices. Pourtant, en passant rapidement d’une chose à l’autre et en cumulant les savoirs sans donner de temps d’entrainement, l’édifice construit est très fragile et il peut s’effondrer. Le problème est qu’il peut s’écrouler tardivement. Par exemple, un élève qui maitrise bien la technique opératoire de l’addition n’est pas un élève qui sait la réussir une fois ou deux. Si on passe tout de suite à une autre technique opératoire (par exemple la multiplication, qui réutilise en partie celle de l’addition) alors que l’addition n’est pas stabilisée, l’élève pourra se retrouver en difficulté. Il sera en surcharge cognitive et le calcul multiplicatif risque donc de lui paraitre trop complexe.

Faire, refaire, recommencer toujours pour réussir… L’entrainement s’appuie sur l’idée que, lorsqu’on fait et refait, on devient plus habile et, dès lors, il devient possible de faire de mieux en mieux et, pourquoi pas, de plus en plus rapidement. C’est le stade ultime de l’entrainement, même si l’idée est toujours d’aller plus loin plutôt que plus vite.

Faire fonctionner ses connaissances et s’entrainer progressivement permet la préparation de l’institutionnalisation. Il s’agit d’une phase destinée à généraliser les connaissances, principalement en les décontextualisant.

Institutionnaliser, c’est quoi ?

Imaginons que je joue à la marchande, j’achète des pommes et des poires. Je me rends compte que, lorsque j’ai acheté 3 pommes et 5 poires, cela fait 8 fruits : c’est une connaissance contextuelle.

Si j’institutionnalise ce moment en classe, je vais dire : « 3 plus 5, ça fait 8 ! » Je généralise donc : je n’ai plus besoin de parler de pommes, de poires et de fruits, je peux l’écrire sous une forme très symbolique : 3 + 5 = 8.

On arrive souvent trop vite à la phase d’institutionnalisation. Il existe même une démarche d’apprentissage consistant à commencer par cette étape (on donne le cas général, puis on fait des exercices). Je vous propose de pratiquer une démarche différente : celle qui consiste à cumuler et à faire des exercices pour comprendre la règle générale. Institutionnaliser doit constituer la dernière étape du processus d’enseignement.

Pour résumer, cette phase d’entrainement sert à :

– faire fonctionner ses connaissances dans différents contextes ;

– travailler à son niveau de compétence ;

– refaire et recommencer pour réussir ;

– se dépasser et aller plus loin (et non aller plus vite) ;

– généraliser et décontextualiser.

◗ Une écologie de la démarche d’apprentissage

Le schéma ci-dessous présente ce que l’on peut nommer une « écologie » de la démarche d’enseignement et d’apprentissage en mathématiques. J’utilise le terme d’« écologie » au sens biologique, à savoir l’étude des relations réciproques entre l’Homme et son environnement auquel il s’adapte et avec lequel il interagit.

Écologie d’une démarche d’apprentissage en mathématiques

La première phase est la phase d’action. Les connaissances en actes doivent ensuite être mises en mots : elles changent de statut grâce à la compréhension. Le passage suivant est celui de la preuve et de l’argumentation lors des mises en commun. La dernière phase est consacrée à la stabilisation des connaissances. L’idée est qu’une connaissance correctement stabilisée peut être ensuite réutilisée. En revanche, si la stabilisation n’est pas suffisamment correcte, importante ou adaptée, on peut observer qu’il n’y a pas eu d’acquisition lorsqu’on passe à une autre séquence.

1. 2. Trois atouts pour mieux enseigner

Du côté de l’enseignement, les trois atouts sont : anticiper, adapter et analyser. Ces atouts sont complémentaires et ne peuvent pas être pris de façon isolée.

◗ Atout 1 : anticiper

L’anticipation est un atout principal pour l’enseignement. Enseigner est un métier qui se prépare : il ne faut donc pas redouter cette phase de préparation. C’est évidemment une compétence professionnelle qui s’apprend d’abord par la formation, puis qui se consolide dans l’exercice du métier.

Cette préparation doit être très ambitieuse et demande un investissement en temps important, notamment en début de carrière. Vous ne pouvez pas faire grand-chose au hasard quand vous enseignez les mathématiques. C’est une discipline qui a une spécificité extraordinaire : elle est ancrée sur des savoirs qui sont présents dans de nombreuses tâches scolaires (raisonner, déduire, planifier). On n’apprend pas les mathématiques pour savoir refaire le plancher de sa chambre ou pour compter combien on a d’argent dans son portemonnaie. On apprend les mathématiques pour acquérir des savoirs transposables à de nombreuses situations qui sollicitent notre raisonnement, notre réflexion, en un mot : notre intelligence.

Lorsqu’on prépare une séquence de mathématiques, la première question à se poser est donc : « Quels sont les savoirs que je veux faire acquérir à mes élèves ? » La programmation de ces savoirs est un travail considérable et difficile en mathématiques : c’est la raison d’être des programmes scolaires, quel que soit le pays dans lequel on enseigne. En géographie, en arts plastiques ou en musique, on pourrait imaginer des programmations très différentes selon des thématiques ou des projets spécifiques : c’est impossible en mathématiques. On n’apprend pas les nombres complexes en CE1 (même si l’on peut trouver ça original !), de même qu’on n’apprend pas les transformations géométriques sans avoir quelques idées sur ce qu’est un objet géométrique simple comme un quadrilatère, un angle, un segment, etc. Il existe un ordre à respecter dans la présentation des savoirs si l’on vise leur acquisition. Si l’on « joue » à faire sa propre programmation en mathématiques, on prend des risques importants. Le respect des programmes est donc essentiel dans cette phase d’anticipation.

Lorsqu’on prépare sa classe, il est également essentiel de prendre en compte les prérequis. Les prérequis peuvent se définir comme les connaissances que doivent avoir acquises préalablement les élèves pour qu’ils puissent bénéficier d’une nouvelle situation d’apprentissage. Il faut donc bien distinguer les prérequis des objectifs d’apprentissage. Quand on enseigne les mathématiques, il arrive que l’on ne prenne pas conscience de la nécessité de ces prérequis. Cela peut avoir pour conséquence une forte incompréhension des difficultés des élèves et d’impliquer des processus d’aide inadaptés. Lorsqu’ils sont déterminés en amont d’une séance, les prérequis doivent souvent faire l’objet d’une évaluation de type diagnostique.

Il est donc essentiel d’anticiper pour comprendre ce qui peut se passer, en classe, pendant la séance de mathématiques. Soyez vigilant : cela ne constitue pas une solution miracle ! C’est d’ailleurs l’un des grands dilemmes du métier d’enseignant : passer beaucoup de temps sur la préparation pour réaliser par la suite que l’on a manqué l’essentiel…

Pour résumer, cette phase de préparation permet d’anticiper sa conduite de classe.

On prépare pour :

– identifier les savoirs référents ;

– respecter le programme ;

– prendre en compte les prérequis ;

– anticiper les difficultés.

◗ Atout 2 : adapter

Après cette phase de préparation, il est temps de procéder à sa mise en œuvre, c’est-à-dire à la conduite de classe. C’est également un geste professionnel qui s’apprend et qui s’expérimente en adaptant l’environnement de l’apprentissage pendant la conduite de classe. Cela signifie qu’il faut être capable de fournir des rétroactions (les feedbacks) nécessaires. Par exemple, vous devez avoir sous la main du matériel diversifié pour répondre à des besoins spécifiques à certains moments précis.

Un enseignant doit donc savoir observer, écouter et comprendre : ce sont des compétences professionnelles essentielles pour s’adapter aux besoins des élèves. Plus on est confronté à des élèves en difficulté, plus cette adaptation est individualisée.

On verra plus loin que le maintien de l’engagement des élèves dans la tâche est également essentiel. Souvent, les tâches mathématiques que l’on confie aux élèves nécessitent un temps assez long. Pour compenser, je vous conseille également de mettre en œuvre des temps d’apprentissage plus courts. Vous pouvez par exemple organiser des séances sous forme de rituels. Dès lors que l’on prévoit des séquences conformes à un emploi du temps (car il faut bien se conformer, tout de même, à une réalité), il faut des cartes pour maintenir l’implication des élèves : c’est donc également une forme d’adaptation.

Pour résumer, cette phase d’adaptation permet d’aider et d’accompagner les élèves en :

– aménageant l’environnement ;

– observant, en écoutant et en comprenant ;

– adaptant ses interventions ;

– maintenant l’engagement et l’attention dans la tâche.

Vos maitres-mots : aider et accompagner !

La mission principale d’un enseignant est de tout mettre en œuvre pour faire réussir le plus grand nombre d’élèves possible. Il vaut mieux un élève qui réussit avec beaucoup d’aide qu’un élève en échec parce qu’il n’en a pas eu assez : c’est une règle d’or.

Cette idée heurte ou dérange parfois : si l’on aide un élève, peut-on dire qu’il a bénéficié d’un meilleur enseignement ? Je vous propose de partager un point de vue différent : une aide pédagogique se fonde sur un besoin légitime d’apprentissage. On ne peut donc jamais estimer qu’une aide est superflue. La seule limite serait celle de travailler complètement à la place d’un élève !

◗ Atout 3 : analyser

Votre métier commence avant votre journée de classe et, à la fin de celle-ci, il n’est pas fini car il vous reste encore à analyser ce qui vient de se passer. Je parle ici d’une analyse qui ne soit pas trop rapide, du type « Oui, bon, aujourd’hui, ça s’est bien passé » ou « Aujourd’hui, c’était la catastrophe, je ne sais pas ce qu’il y avait… »

Diversifier, différencier, personnaliser, remédier, compenser… j’ai mes petites préférences parmi ces termes. Je privilégie par exemple « diversifier » à « différencier ». J’apprécie également « personnaliser » (plutôt qu’« individualiser »), et j’écris parfois « re-médier » avec un trait d’union, car je ne connais aucun « remède » dans l’enseignement : je ne connais que des processus qui permettent de « médier » différemment.

Le terme de compensation (qui signifie qu’on abandonne une méthode ou une démarche pour la remplacer par une autre) me semble également important, et pas seulement dans le cas d’élèves en situation de handicap. La compensation est une forme d’accompagnement de type « dernière chance », certes, mais elle s’impose finalement assez couramment à l’issue d’une analyse de séance de classe ordinaire. Compenser, c’est reconnaitre que les moyens habituels sont définitivement inadaptés.

En mathématiques, et plus encore dans le cas des difficultés d’apprentissage, il est essentiel de toujours distinguer ce que les élèves montrent de leurs savoirs de ce qu’ils savent réellement. Il peut exister un décalage plus ou moins important entre les deux. Un élève en grande difficulté, voire qui souffre de troubles d’apprentissage dans une discipline, va probablement donner peu de choses à voir de ce qu’il sait ou comprend. Non pas pour qu’on le laisse tranquille, mais plutôt pour rester caché en pensant par exemple : « Je sais tellement peu de choses qu’il ne vaut mieux pas m’exposer à la critique ou à la mise en évidence publique et collective de mes lacunes. » Ce sont, bien entendu, des phénomènes inconscients, donc difficiles à analyser.

Compenser, ce n’est pas toujours simple !

Lorsqu’on parle de déficience visuelle, l’usage du mot « compenser » est assez flagrant, mais la compensation est également nécessaire pour les élèves souffrant de troubles du comportement ou de troubles envahissants du développement. Lorsque j’enseignais à Vénissieux, j’avais un élève dont le rituel consistait, tous les matins, à entrer en courant dans la classe pour se buter contre le mur. Je suis passé par tous les stades émotionnels avec lui et, comme j’étais enseignant débutant, je ne savais pas du tout comment le gérer. J’ai tenté plusieurs « méthodes », en allant même jusqu’à penser au plaquage de rugby car je pensais qu’il valait mieux contrôler sa chute avant qu’il ne se fasse mal contre le mur… Compenser ? Je n’ai pas trouvé pour lui. Mais je n’étais pas formé à ce cas de figure, je n’étais pas prêt didactiquement pour faire face à cette situation, je n’avais ni assez d’expérience ni assez de ressources. J’ai également tenté de solliciter une semaine de repos à mon médecin, mais, à mon retour, la situation n’avait pas évolué. Si la situation se reproduisait aujourd’hui, je serais mieux outillé : sans être Superman, je pense que je saurais nettement mieux faire. Cela dit, parfois, il n’y a pas qu’un seul élève de ce type, il y a aussi avec lui des copains. Et lorsqu’ils se mettent à plusieurs, c’est toujours plus dur…

Pour résumer, cette phase d’analyse rigoureuse et critériée permet d’assurer les acquisitions en :

– validant les apprentissages par différents types d’évaluation ;

– diversifiant, différenciant, personnalisant, remédiant, compensant ;

– utilisant les erreurs pour traiter les difficultés (voir le chapitre 7, p. 156).

1.3 Conclusion : de bonnes cartes pour de bonnes parties !

Avec ce jeu de cartes, mon intention est de vous faire comprendre que l’apport des connaissances didactiques est divers, riche, complexe et surtout nécessaire. Se former au métier d’enseignant ne consiste pas à cumuler une longue série d’expériences professionnelles pouvant aller des plus douloureuses aux plus merveilleuses. Savoir a priori comment les élèves apprennent les mathématiques et distinguer ce qu’ils font de ce qu’ils apprennent est essentiel, de même que savoir a priori quelles sont les démarches qui réussissent pour enseigner les mathématiques. C’est à partir de ce réseau de connaissances professionnelles (dont la métaphore est le jeu de cartes) que les expériences peuvent prendre tout leur sens, et que leur vécu sera constitutif du développement professionnel d’un enseignant.

Il faut donc de bonnes cartes pour faire de bonnes parties et pour se faire plaisir. Le métier d’enseignant est un métier de plaisir : s’il s’exerce dans la souffrance, c’est signe que le joueur n’a pas les atouts nécessaires !

Partie 2

Repères didactiques

Dans la partie précédente, j’ai posé quelques repères « pragmatiques » pour apprendre à enseigner les mathématiques. Je vous propose maintenant d’analyser cela à travers un « prisme » quelque peu plus théorique pour aborder la didactique des mathématiques. On peut à cet égard reprendre la définition des deux didacticiens Christian Sarralié et Gérard Vergnaud : « La didactique s’intéresse aux processus de transmission et d’appropriation des connaissances dans ce que ces processus ont de spécifique du contenu, et en vue de les améliorer.4 »

Je développerai cette partie selon trois axes :

– les difficultés d’enseignement des sciences et des mathématiques, car je défends l’idée selon laquelle il existe plus d’enseignants rencontrant des difficultés à enseigner les mathématiques que d’élèves rencontrant des difficultés à les apprendre ;

– ce que signifie apprendre (ou non) en mathématiques ;

– enfin, la notion de situation didactique en termes de compétences professionnelles.

Mes convictions en didactique des mathématiques5

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