Hervé Lehning
Avec la collaboration de Xavier Müller

Le Livre des nombres

Flammarion

© Flammarion, 2021

ISBN Epub : 9782080245175

ISBN PDF Web : 9782080245199

Le livre a été imprimé sous les références :

ISBN : 9782080244161

Ouvrage composé et converti par Pixellence (59100 Roubaix)

Présentation de l'éditeur

Les nombres sont tout-puissants. C’est grâce à eux qu’on fait atterrir sur Mars une sonde au mètre près, qu’on programme nos ordinateurs, qu’on décide de vertigineuses transactions financières ou qu’on modélise l’évolution des épidémies. Si certains animaux savent manier de faibles quantités, aucun d’eux n’a inventé les nombres : ils sont le grand oeuvre de notre espèce.

Leur longue construction ne s’est pas faite sans heurt. Il a fallu les imaginer et les représenter, apprendre à les manipuler, concevoir le zéro et l’infini, voire en créer qui semblaient ne pas exister… Voici le récit de leurs aventures, enrichi de nombreuses énigmes pour en percer tous les secrets.

Normalien et agrégé de mathématiques, Hervé Lehning est fou de nombres. Membre de l’Association des réservistes du chiffre et de la sécurité de l’information, il partage son temps entre la cryptographie et l’écriture. Ses deux derniers ouvrages, Toutes les mathématiques du monde et La Bible des codes secrets, sont devenus des classiques.

Le Livre des nombres

Avant-propos

Les autres cathédrales

Vous souvenez-vous du film Matrix ? Le scénario mettait en scène un jeune hacker, qui découvrait que la réalité n’était qu’un simulacre. Une organisation de rebelles lui ouvrait les yeux : ils l’amenaient à prendre conscience que nous vivons dans un monde régi par un programme informatique, un univers de nombres. Vous allez sûrement sourire, mais je ne suis pas loin de partager leur avis.

Pour moi aussi, le monde n’est qu’un miroir aux alouettes derrière lequel se cache un infini de nombres. Je ne parle pas là en ma qualité d’ancien professeur de mathématiques en classe de Spéciales, mais en tant que simple quidam. Regardez autour de vous, vous êtes déjà dans la matrice. Sur les étals des commerces, les nombres s’alignent sur les étiquettes et font tourner les économies. Quand on bâtit un pont, encore davantage que les piliers de soutènement, ce sont eux (à travers les calculs des architectes) qui confèrent solidité et élan à l’ouvrage. Votre santé même repose sur eux, et sur les colonnes de chiffres souvent cryptiques qui figurent sur le compte rendu d’une analyse sanguine (et en rendent la lecture haletante comme un thriller). Grâce à eux, on envoie des sondes se poser sur Mars à un mètre près. Un slogan pourrait résumer nos sociétés modernes, où les calculs sont rois : tout est nombre.

Comment en sommes-nous arrivés là ? Nous baignons à un point tel dans les nombres que nous avons oublié qu’ils n’avaient rien d’évident au départ, qu’ils ne sont pas tombés du ciel comme une météorite. D’accord, les animaux possèdent, selon les espèces, une intuition plus ou moins éclairée du concept de nombre. De sa voix nasillarde, Alex, le célèbre perroquet savant qu’a élevé une éthologue américaine, s’exclamait par exemple « six ! » si on lui présentait six cubes. En lui apprenant le mot, la chercheuse avait tourné à son bénéfice une capacité innée, déjà présente, de la créature : dans la jungle ou la savane, savoir estimer les quantités est vital pour apprécier la dangerosité d’un groupe de prédateurs.

Mais nous, les Sapiens, avons poussé la notion de nombre jusqu’à des sommets stratosphériques. Les nombres sont le grand œuvre de l’espèce humaine. Quand on se promenait sur le parvis de Notre-Dame de Paris, avant qu’un incendie ne ravage l’édifice, on frissonnait face au monument. Que l’on soit croyant ou non, franchir son portail et sentir subitement la fraîcheur de la nef, c’était pénétrer dans un joyau de la pensée humaine, dans ce qu’elle conçoit de plus grandiose. De même, que l’on soit mathématicien ou non, coucher des chiffres sur le papier, c’est manier le plus puissant outil inventé par l’homme. Le nombre n’est peut-être pas le propre de notre espèce, mais c’est assurément l’une de nos plus grandes réalisations. Pour reprendre les mots du mathématicien du XIXe siècle Leopold Kronecker : « Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’homme. »

C’est l’histoire de cette fabuleuse conquête de l’intelligence humaine dont ce livre, largement enrichi depuis sa première édition (L’Univers des nombres, Ixelles, 2013), se veut un panorama. Ce récit de l’invention des nombres et des concepts attenants aurait pu être tracé de façon linéaire, mais j’ai préféré une autre approche, plus stimulante. Chaque amorce de chapitre sera une invitation au voyage. Vous y ferez la connaissance de nombres qui ont marqué notre histoire récente. Il s’agira d’autant de points de départ, qui nous permettront par la suite de remonter le temps et de partir à la découverte de Pythagore, des maîtres mathématiciens de la Renaissance ou d’autres figures qui ont apporté leur pierre à cet incroyable édifice – non sans avoir parfois conduit les hommes à revoir leurs conceptions du simple et du mesurable…

Si plus de deux cents ans ont été nécessaires pour bâtir la cathédrale dédiée à la Vierge Marie, l’enfantement des nombres, lui, s’est étalé sur plus de deux mille ans. Cela a été une œuvre collective, le fruit de nombreuses nations. Pour en faire le récit, nous voyagerons des rivages humides de la Mésopotamie au désert de l’Égypte antique. Car cette histoire ne s’est pas faite sans heurt, il a fallu surmonter bien des obstacles, comme inventer des nombres qui semblaient ne pas exister.

Longtemps, en effet, les nombres entiers naturels (un, deux, trois, etc.) ont été les seuls à mériter l’appellation de « nombres ». Leur but était d’estimer en quantité des collections d’objets, comme les moutons possédés par un paysan. Ces nombres, a priori simplement utilitaires, ont ainsi acquis une dimension symbolique et magique, avant de devenir l’objet de jeux : nombres parfaits, carrés magiques, etc. L’étonnant est que, des milliers d’années plus tard, ces études sur les nombres aient remporté des succès aussi concrets qu’inattendus, preuve que l’utilité est susceptible de jaillir par hasard et ne se décrète pas forcément !

Les nombres ne seraient rien, ou pas grand-chose, s’ils ne s’accompagnaient des quatre opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication et division) et des instruments pour les exécuter : abaques, bouliers, algorithmes, calculettes et autres ordinateurs. Ces opérations ont conduit à considérer « zéro » comme un nombre, ce qui ne se fit pas sans mal. Car que signifie compter l’absence ? Les nombres négatifs ont suivi cette invention, puis les nombres rationnels et enfin ceux que l’on dit « réels », puisqu’ils nous permettent de mesurer et pas seulement de compter.

Plus éloignés encore des entiers, certains nombres, comme celui que l’on note π (et qu’on prononce pi) ne s’expriment pas par des formules standards. De façon étonnante, cela n’empêche pas que l’on soit aujourd’hui capable de les calculer avec des précisions hallucinantes : des milliards de décimales ! S’élancer dans l’exploration de ce paysage numérique infini paraît futile. Quel acharnement quand deux décimales (3,14) suffisent pour les besoins usuels et une douzaine (3,141 592 653 589) pour les exigences les plus sophistiquées ! Quelle fièvre brûle le front des mathématiciens se livrant à cet exercice ? Le goût de la prouesse ? L’espérance de découvertes mathématiques ? Les deux sans doute.

De nos jours, les nombres ont conquis bien des domaines, mais peut-on tout mesurer ? La richesse, la pauvreté, le bonheur, les émotions, l’affinité, etc. sont-ils quantifiables, comme certains l’affirment ? De même, est-il envisageable de tout prévoir ? Le temps qu’il fera demain, celui du siècle prochain, les crises financières, le nombre de victimes d’une épidémie, etc. ? J’évoquerai au fil des pages ces questions, qui dépassent les mathématiques traditionnelles.

Je m’en voudrais d’oublier l’aspect ludique des nombres. En conséquence, ce livre contient des jeux répartis dans le texte, en général sous forme de QCM, les réponses étant réunies en fin de volume. Elles peuvent être trouvées grâce à des raisonnements mathématiques, mais aussi être perçues intuitivement.

Au Moyen-Âge, l’érection des cathédrales gothiques envoyait au diable les limites de la géométrie euclidienne classique. En remettant en question les dogmes passés, on cherchait à élever l’âme. Les mathématiciens qui ont œuvré à l’invention de l’univers des nombres ont emprunté la même voie, celle de bâtisseurs des fondations sur lesquelles s’est construite notre civilisation. Ainsi, ce n’est pas une simple aventure, grande et épique, que je vais vous raconter, c’est aussi une part de notre histoire à tous.

Chapitre 1

Grandeur et décadence des nombres

Ne nous voilons pas la face : nous sommes accros aux nombres. Vous, moi, les ingénieurs de la NASA comme les architectes chargés de la restauration de la cathédrale Notre-Dame. La preuve ? Alors que j’écris ces lignes, le quotidien du jour est posé négligemment sur un coin de mon bureau. Quelques titres au hasard : « Un squelette de T-Rex vendu 31,8 millions de dollars », « Quatre ans de prison pour le casse du siècle à la pointe du stylo », « En pleine épidémie de Covid-19, la crainte d’une pénurie de vaccins… » D’accord, je n’ai pas écrit ces articles moi-même, mais quand je raconterai ma journée à ma compagne ce soir, il se peut tout à fait que je les reprenne à mon compte, et je parie que vous en feriez de même : « Au fait, sais-tu combien vaut un fossile de T-Rex ? »

Avant d’aborder le cœur du sujet qui nous préoccupe – comment l’humanité est passée du stade où elle comptait avec ses doigts à celui où elle calcule dans des espaces infinis à dix dimensions –, il me semble utile de m’arrêter en préambule sur l’ambivalence que nous entretenons à l’égard des nombres. S’ils sont l’un des outils les plus fabuleux inventés par notre espèce, comme je l’ai souligné plus haut, ils peuvent être aussi des cache-misères, des figures familières et rassurantes destinées à combler un manque. Laissez-moi m’expliquer.

Il y a une bonne raison qui nous pousse à recourir si fréquemment aux nombres : leur redoutable efficacité. Nous n’avons pas encore trouvé mieux pour résoudre des problèmes d’ingénierie. Peut-être des extraterrestres ont-ils développé un moyen de concevoir une navette spatiale sans employer de nombres (en se forgeant une intuition toute-puissante, qui afficherait dans leur cerveau le résultat fini, par exemple), mais nous, modestes Terriens, devons nous coltiner des kilomètres de calculs et d’équations pour voir enfin jaillir l’étincelle du savoir. Les exemples abondent pour illustrer l’incroyable efficacité des nombres, mais continuons avec le domaine du spatial, puisque nous y sommes. Vous vous souvenez du suspense haletant que nous avons vécu avec la sonde Rosetta, n’est-ce pas ?

Rencontre du troisième type

En 2014, parvenue aux confins du Système solaire, la sonde Rosetta se plaçait en orbite autour d’un gros caillou en forme d’haltère, répondant au nom barbare de Tchourioumov-Guérassimenko. Tel un rapace lâchant sa proie, l’engin ne tarda pas à larguer un petit module qui alla se poser à la surface de l’astre rocheux, afin d’y mener des analyses in situ. Sur Terre, une ardente ferveur, rappelant le premier pas sur la Lune, animait tous ceux qui suivaient l’événement à la télévision ou à la radio. Pour la première fois, un engin façonné de la main de l’homme gravitait autour d’une comète. L’Histoire s’écrivait (presque) en direct sous nos yeux…

En tout cas, cette rencontre extraterrestre signait un nouveau succès de la conquête spatiale et une preuve éclatante de la précision des calculs de trajectoire auxquels les ingénieurs des agences spatiales sont rompus. Les circonvolutions auxquelles s’est livrée Rosetta pour parvenir à destination donnent le tournis : elle a parcouru quatre orbites autour du Soleil, a frôlé deux planètes (la Terre et Mars) pour « ricocher » dessus, et a traversé deux fois la ceinture d’astéroïdes qui précède Jupiter. Toutes ces péripéties l’ont amenée, au terme d’un périple de 6 milliards de kilomètres ayant duré dix ans, sur un fragment d’éternité de 4 kilomètres de diamètre. Une précision chirurgicale à l’échelle du Système solaire.

Vue de la comète « 67P/Tchourioumov-Guérassimenko », à partir d’images enregistrées par Rosetta en septembre 2014. La sonde se situait alors à 28 kilomètres de l’astre, après un périple de 6 milliards de kilomètres à travers le Système solaire.

Le chef d’orchestre de cette partition complexe ? Le Centre des opérations spatiales de l’ESA, à Darmstadt en Allemagne. Avec ses dizaines d’écrans bardés de chiffres, il ressemble à n’importe quel centre de contrôle au sol. De tels temples dédiés aux nombres, l’homme en a érigé dans tous les pays pour surveiller de multiples activités, essentielles à nos vies. À Wall Street, les traders grouillent telles des fourmis autour de moniteurs affichant les cours du pétrole et de la banane au Costa Rica. À Toulouse, ce sont les ingénieurs de Météo France qui tentent de lire l’avenir dans des litanies de chiffres…

À vous de compter ►

Les sept cars de Sète

Sept cars pleins aux deux tiers partent de Sète. À Troyes, un quart des passagers descend de chaque car. Peut-on mettre les trois quarts restants dans trois cars ?

Réponse : a) oui ; b) non.

À l’assaut de l’esprit humain

Leur efficacité n’est pas l’unique raison qui nous pousse à utiliser les nombres. Ils représentent tout simplement le moyen d’objectiver la réalité. Un ingénieur a dit un jour : « L’ingénierie est faite avec des nombres. L’analyse sans les nombres est seulement une opinion. » La confiance que nous plaçons dans les nombres est telle que nous mesurons avec eux des quantités comme l’intelligence, moins tangibles que les cours de la Bourse. Les tests de quotient intellectuel ont été créés dans le cadre de l’instruction obligatoire. En 1904, le ministère de l’Instruction publique chargea Alfred Binet (1857-1911) d’imaginer un outil pour identifier les enfants susceptibles de rencontrer des difficultés scolaires. L’échelle psychométrique que le psychologue construisit visait à un diagnostic rapide d’un éventuel retard mental en comparant les performances de l’enfant à celles typiques de sa classe d’âge.

Alfred Binet, l’inventeur du quotient intellectuel (QI) comme moyen de détecter un éventuel retard mental.

À l’époque, les tests de QI n’étaient pas destinés à la sélection, mais au contraire à aider les enfants en difficulté. Binet lui-même notait d’ailleurs l’influence de la culture familiale sur les résultats des tests et, quand on lui demandait une définition de l’intelligence, il répondait non sans humour : « L’intelligence est ce que mesurent mes tests. » La notion de quotient intellectuel découle des études de Binet, mais a été fixée précisément par Wilhelm Stern (1871-1938) comme le rapport entre l’âge mental d’un enfant et son âge physique… d’où le terme de « quotient ». Un QI de 100 correspond donc à un enfant normal. Un enfant de QI 120 ayant dix ans a l’« âge mental » d’un jeune de 12 ans. Quelles compétences cognitives d’un enfant les tests de QI mesurent-ils ? Ses capacités langagières, son raisonnement dans des problèmes de géométrie élémentaire ou de logique, notamment.

Exemple de test de QI actuel. Il s’agit de choisir la figure du dernier carré, qui complète les précédentes. Ce type de test privilégie les compétences logiques et mathématiques.

Jusqu’en 1939, le QI est resté cantonné à la mesure de l’âge mental des enfants. C’est David Wechsler (1896-1981) qui, le premier, mit au point un test dédié aux adultes. La définition donnée ci-dessus n’ayant aucun sens dans ce cadre (un adulte n’a pas d’« âge physique »), David Wechsler eut recours à un subterfuge. La répartition du QI des enfants suivant une courbe en cloche de moyenne 100 et d’écart-type 15 (voir la figure ci-après, où l’écart-type correspond en gros à une demi-largeur du pic central), il supposa qu’il en était de même pour les adultes et étalonna ses tests pour qu’il en soit effectivement ainsi ! Là aussi, un individu ayant un résultat de 100 se voyait gratifier d’une intelligence moyenne.

Les tests actuels dérivent de ceux de Wechsler.

À la différence de ceux imaginés par Binet, les tests de QI modernes sont plutôt destinés à détecter des personnes à haut potentiel intellectuel, ou du moins que l’on croit telles. Les enfants ou adultes qualifiés de hauts potentiels possèdent, selon un critère purement arbitraire, un QI supérieur à 130. Ils représentent 2 % de la population. Les enfants à haut potentiel s’ennuieraient davantage à l’école et développeraient en conséquence certains troubles du comportement, d’où l’intérêt de les identifier.

Il peut paraître étrange et faux de vouloir résumer une personne à un seul nombre, mais les psychologues justifient le bien-fondé du QI en arguant que toutes les compétences qu’ils mesurent sont en moyenne corrélées les unes aux autres, c’est-à-dire qu’une personne ayant une grande richesse de vocabulaire (richesse langagière) aura tendance à obtenir de bons scores dans les catégories de logique, par exemple. Même pour évaluer l’efficacité de l’esprit humain, les nombres conservent leur pertinence.

Courbe en cloche de la répartition du QI dans la population. La moyenne est égale à 100 et l’écart-type à 15, ce qui signifie que 34 % des cas sont situés entre 100 et 115 (et symétriquement entre 85 et 100), et que 14 % des cas sont situés entre 70 et 85 (et symétriquement entre 115 et 130).

Le bonheur est dans le nombre

Le quotient intellectuel a été la première incursion des nombres dans le domaine de la psychologie. Depuis, cette approche a fait florès, si bien qu’aujourd’hui, rien ne paraît pouvoir arrêter l’inexorable incursion des nombres dans la sphère sociale, même si cela amène les chercheurs et les journalistes sur des terrains accidentés… À partir de quels revenus est-on riche ? Voilà l’exemple typique de question, propice aux discussions sans fin, à laquelle les chercheurs en sciences sociales ont tenté d’apporter une réponse construite et objective à l’aide des nombres. Comment ont-ils procédé ? En fixant des seuils. Par exemple, en France, certains économistes estiment qu’un ménage sans enfant est riche à partir de 4 000 € de revenu mensuel et 400 000 € de patrimoine. Pour parvenir à ce seuil, les chercheurs ont analysé la répartition des revenus dans la population, qui est aussi une courbe en cloche comme le QI, puis ont attribué le qualificatif de « riches » aux 8 % des personnes les plus fortunées.

Évidemment, ce choix est arbitraire et contestable. Faut-il comprendre qu’un euro seulement sépare le riche du non-riche ? Toutes les tentatives de définition de ce type se heurteront à cette absurdité. Mesurer la richesse individuelle est donc un exercice périlleux. Il semble plus simple pour un pays. On dispose alors d’un indice solide : le « produit intérieur brut », ou PIB. Il s’agit de la mesure du revenu provenant de la production dans un pays donné. Son calcul est donc purement comptable. En divisant le PIB par le nombre d’habitants, on obtient le PIB par habitant, que l’on emploie souvent comme une mesure du niveau de vie d’un pays.

Cet indice est critiqué par un grand nombre d’économistes, car il est exclusivement monétaire. Il n’intègre pas notamment le fait que, dans certains pays, on mange très bien pour quelques euros. Il ne tient pas compte non plus du travail bénévole, qui contribue pourtant au niveau de vie. Il ignore tout ce qui fait le sel de la vie, comme le formulait Robert Kennedy en mars 1968, alors qu’il était candidat à la présidence des États-Unis :

« Le PIB ne tient pas compte de la santé de nos enfants, de la qualité de leur instruction, ni de la gaieté de leurs jeux. Il ne mesure pas la beauté de notre poésie ou la solidité de nos mariages. Il ne songe pas à évaluer la qualité de nos débats politiques ou l’intégrité de nos représentants. Il ne prend pas en considération notre courage, notre sagesse ou notre culture. Il ne dit rien de notre sens de la compassion ou du dévouement envers notre pays. En un mot, le PIB mesure tout, sauf ce qui fait que la vie vaut la peine d’être vécue. »

Comme le sous-entend cet extrait, l’exercice de quantification devient vraiment délicat quand on veut mesurer le bonheur, et le résumer en un seul chiffre. Une telle évaluation est-elle possible ? C’est ce que veulent croire les dirigeants du Bhoutan, qui ont créé un indice ad hoc, le Bonheur national brut. Il repose sur quatre principes fondamentaux : croissance et développement économiques, conservation et promotion de la culture bhoutanaise, sauvegarde de l’environnement – à savoir utilisation durable des ressources – et bonne gouvernance responsable. Ces axes sont évalués à travers 72 mesures. Les résultats sont pour finir pondérés afin d’obtenir un seul nombre, aussi cet indice prête-t-il le flanc à la même critique que tous les systèmes de notation.

L’exercice est rendu encore plus difficile quand la population d’un pays est hétérogène. Le bonheur des uns fait parfois, hélas, le malheur des autres… Ainsi la culture bhoutanaise pousse-t-elle à l’exclusion de l’étranger, ce qui a généré un fort ostracisme, ces quarante dernières années, envers la communauté d’origine népalaise qui vit dans le pays. Pour éviter ce type de chausse-trappes, d’autres calculs du bonheur ont été proposés qui mélangent, avec une pondération compliquée, économie, environnement, santé physique, santé mentale, bien-être au travail, bien-être social et santé politique. Même si certains critères peuvent être évalués d’une manière qui semble objective en comptant le nombre de plaintes au travail, le nombre de divorces, la quantité d’antidépresseurs consommés, etc., on peut douter du bien-fondé de tels calculs. Vouloir résumer le bonheur en un seul nombre montre plutôt la fascination qu’exercent les nombres sur l’esprit de nos contemporains…

À vous de compter ►

Les triangles

Combien d’allumettes faut-il pour construire quatre triangles équilatéraux de côté une allumette ?

Réponse : a) 12 ; b) 9 ; c) 6.

La mathématique des émotions

La même critique peut être adressée aux mesures d’affinité psychologiques auxquelles se livrent certains sites de rencontres. Ces sites tombent dans l’excès à vouloir tout réduire à un nombre. Leur logique publicitaire est simple : « L’harmonie dans un couple est question d’affinités et cette entente est mesurable comme l’est 1 kilo de beurre. » Certes, mais comment la mesurer ? Cette estimation est faite au moyen de tests psychologiques, où les candidats à Cupidon doivent répondre par une note s’échelonnant généralement de 1 à 10. Le problème posé par ces tests est, en premier lieu, que l’étalonnement est laissé à la discrétion de chacun. Par ailleurs, ils sont fondés sur la déclaration de l’individu. Il est ainsi peu probable qu’une personne cherchant l’âme sœur fasse étalage de ses défauts et se déclare infidèle, orgueilleux, querelleur, jaloux, etc. En définitive, ces tests déclaratifs n’ont vraiment de valeur que pour les questions matérielles comme l’âge, le niveau d’études, la consommation de tabac ou d’alcool.

La publicité est un autre secteur où les nombres se livrent parfois à un abus de pouvoir. Les émotions jouent un rôle important dans les choix des personnes, par exemple pour déclencher un acte d’achat. La publicité l’a bien saisi, et c’est ainsi qu’un constructeur automobile n’a pas craint de recourir à ce slogan : « Soyez raisonnable, faites-vous plaisir. » Mais comment mesurer quelque chose d’aussi impalpable qu’une émotion ? La première et évidente solution consiste à effectuer des études marketing où les personnes interrogées évaluent elles-mêmes leur degré de plaisir ou de déplaisir, de gêne, d’enthousiasme, etc., en face de tel ou tel produit. Il est en outre possible de tenter de prendre des mesures du pouls des consommateurs, ou d’un autre paramètre physiologique, devant chaque situation, et ainsi de sonder de façon plus objective leur ressenti.

À vous de compter ►

La suite

16, 33, 45… Quel est le nombre suivant ?

Réponse : a) 74 ; b) 78.

La langue des chiffres

Dans un temps pas si lointain que cela, le latin constituait l’idiome roi. Dans les pièces de Molière, les médecins asseyaient leur prestige et leur pouvoir sur quelques mots vaguement, très vaguement, latins. À l’époque, cette langue déjà morte depuis longtemps était la marque des savants et des puissants. Tous l’ignoraient à des degrés divers, mais s’exprimer en latin conférait une certaine aura, et le peuple envoûté ne pouvait répondre à un argument s’il était énoncé dans cette langue. Le latin expliquait le monde, tout en étant incompréhensible, donc incontestable par le commun des mortels.

Dans notre monde occidental, la langue des chiffres a remplacé le latin. Même envoûtement sans compréhension ni possibilité de contestation. Si Molière vivait de nos jours, il s’amuserait sans doute de certains débats autour de pourcentages que nul ne semble suivre… tandis que personne n’ose le dire. Imaginons un homme politique affirmant à un débat télévisé : « Monsieur, vous avez augmenté les impôts de 20 %, nous les rétablirons en les baissant de 20 % ! » Son adversaire passera sans doute pour un extraterrestre s’il fait remarquer que cela ne correspond pas à un rétablissement mais finalement à une baisse. En effet, si on multiplie les impôts par 1,2, ce qui correspond à l’augmentation de 20 %, pour les multiplier ensuite par 0,8 (la baisse de 20 %), nous les avons finalement multipliés par 1,2 × 0,8, soit 0,96… soit une baisse finale de 4 %.

Dans un autre style, voici un discours a priori très convaincant :

« La part de la richesse produite détenue par les 1 % les plus riches est passée de 7 à 9 % entre 1982 et 2006. À l’inverse, les bas salaires ont, eux, stagné et, sur 25 ans, la hausse du SMIC net réel demeure bien inférieure à celle des gains de productivité moyens. »

À la première lecture, il semble très précis, tout est chiffré : 1 %, 7 à 9 %, etc. À la seconde lecture, on s’aperçoit que tout est flou. Par exemple, le rédacteur a mis en parallèle les 1 % les plus riches et les bas salaires. Ces plus riches sont-ils « les plus hauts salaires » ou « les plus grosses fortunes » ? Sur le fond, cela n’a guère d’importance, l’idée véhiculée est claire, mais que viennent faire ces chiffres dans l’affaire ? La réponse est la même que pour les médecins de Molière. Le rédacteur de ce texte a voulu s’auréoler du prestige d’une science qui lui semble étrangère. Nous voyons par cet exemple, que nous aimerions imaginaire, que les chiffres ont bien pris la place autrefois occupée par le latin…

Des exemples d’usage frauduleux des nombres, ou au mieux naïf, j’en entends presque toutes les semaines. J’imagine que c’est le prix à payer de la toute-puissance de ce drôle de concept, né il y a 4 500 ans sur les rives de l’Euphrate et du Tigre. C’est aussi cela, le génie des nombres : faire perdre la tête aux hommes.

À vous de compter ►

Trois fois cinq font deux

On dispose de trois 5 et des quatre opérations. Peut-on obtenir 2 comme résultat ?

Réponse : a) oui ; b) non.

Chapitre 2

La naissance des nombres

Comment l’aventure humaine des nombres a-t-elle commencé ? Sont-ils apparus à l’aube de l’humanité ? Ont-ils fait partie de notre kit de survie de chasseur-cueilleur, rangés aux côtés du silex et du feu ? Je crains, hélas, que cette amorce de l’histoire ne nous soit à jamais inaccessible, mais, grâce aux études en éthologie, nous avons tout de même une certitude : la notion de nombre préexistait à la lignée humaine. Les preuves se sont accumulées de l’extraordinaire faculté de certains animaux à manipuler des nombres.

Dans son livre Le Nombre, langage de la science, paru en 1930 dans sa version anglaise, le mathématicien américain Tobias Dantzig (1884-1956) rapporte, par exemple, une étonnante histoire de corbeau sachant compter. Un châtelain avait résolu de tuer un corbeau qui avait fait son nid dans la tour de guet de sa demeure. À plusieurs reprises, il avait essayé de surprendre l’oiseau, mais, à chaque fois, le corbeau quittait son nid, se postait sur un arbre voisin et revenait quand l’homme avait quitté la tour. De guerre lasse, le châtelain eut recours à une ruse : il fit entrer deux hommes dans la tour. L’un devait sortir, tandis que l’autre avait pour mission d’abattre l’oiseau. L’oiseau ne s’y trompa pas : il attendait pour revenir que le second fût parti à son tour ! Les jours suivants, on recommença l’expérience avec deux, trois, quatre hommes, toujours sans succès. Finalement, avec cinq hommes, le corbeau perdit le compte et regagna son nid, ce qui lui coûta la vie…

Pour prendre un exemple plus récent, une équipe de biologistes de l’université de Washington a démontré en 2005 que la mésange à tête noire codait dans son chant la présence et la dangerosité d’un prédateur. Comme beaucoup d’animaux, les mésanges s’avertissent mutuellement de l’irruption d’un ennemi, tel un faucon, dans leur périmètre. Elles produisent alors un cri d’alarme possédant un motif sonore qui se répète. Or les biologistes ont montré que la quantité de répétitions reflète le niveau de danger du prédateur. Observé aussi chez les primates ou encore les dauphins, l’instinct du nombre semble ubiquitaire dans le monde animal.

Pourquoi le corbeau de Tobias Dantzig avait-il séché à partir de cinq ? Peut-être y a-t-il une raison fondamentale à cette limitation, une raison qui franchirait la barrière des espèces ? En effet, ce seuil correspond à notre propre capacité humaine instinctive. Examinez cette suite de bâtons : I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII. Jusqu’à quatre, vous devez pouvoir en donner le nombre sans compter. Au-delà, vous êtes normalement obligé de les subdiviser en plusieurs parties pour trouver le total.

Il m’est arrivé de participer au dépouillement le soir d’élections. Souvent les scrutateurs décomptaient les voix en ajoutant un bâton près du nom du candidat. Arrivés à quatre, ils barraient les quatre tiges pour signifier cinq. Ils pouvaient aussi dessiner progressivement un carré puis une de ses diagonales. La quantité cinq a l’air de nous rendre sacrément service quand il s’agit de compter. Notez que l’armée française, elle, arbore ses galons d’officiers en les groupant par trois : I, II, III, III I et III II.

Décomptes tels qu’ils sont souvent pratiqués les soirs d’élection : les quatre premiers nombres sont représentés par des bâtons verticaux ou disposés en carré, le cinquième clôt ce premier groupe. En bas, galons des officiers dans l’armée française.

Cette limite de notre perception naturelle pourrait être à l’origine des règles grammaticales du grec ancien, où les nombres se déclinaient jusqu’à quatre, mais étaient ensuite invariables, comme s’ils changeaient alors de nature. Certaines langues ne permettent pas d’aller au-delà de cinq. Les Indiens (ou tupinambas) vivent aujourd’hui à l’état de relique dans la forêt amazonienne. Quand le pasteur Jean de Léry partit les évangéliser au XVIIe siècle, il raconta (dans un ouvrage intitulé Histoire d’un voyage faict en la terre du Brésil) que, pour évoquer des quantités avec ce peuple, « on leur pourra nombrer en paroles jusques au nombre de cinq […] mais s’ils ont passé le nombre de cinq, il faut que tu monstres par tes doigts ». Dit autrement, les Topinamboux n’avaient tout simplement pas de terme pour désigner des nombres dépassant cinq.

Famille tupinamba, gravure extraite de l’Histoire d’un voyage faict en la terre du Bresil de Jean de Léry. « On leur pourra nombrer par paroles jusques au nombre de cinq, en les nommant ainsi : Augé-pé 1, mocouein 2, mossaput 3, oioicoudic 4, ecoinbo 5, Si tu en as deux, tu n’as que faire d’en nommer quatre ou cinq. Il te suffira de dire mocouein de trois et quatre. Semblablement s’il y en a quatre tu diras oioicoudic. Et ainsi des autres : mais s’ils ont passé le nombre de cinq, il faut que tu monstres par tes doigts et par les doigts de ceux qui sont aupres de toy, pour accomplir le nombre que tu leur voudras donner à entendre, et de toute autre chose semblablement. Car ils n’ont autre maniere de conter. »

Le bâton des victoires

Un hominidé comptant sur ses doigts, au milieu de la savane : l’événement a probablement constitué l’acte de naissance de la grande aventure des nombres. J’en profite pour glisser qu’utiliser ses mains ne restreint pas du tout le décompte à 5 ou 10. En comptant non pas les doigts, mais les phalanges, on peut aller bien au-delà. Avec 3 phalanges à chaque doigt (en comptant le premier métacarpien comme une phalange, dans le cas du pouce), il est possible d’atteindre 15 avec une main et 30 avec deux.

De telles méthodes de comptage peuvent être largement raffinées à l’aide de combinaisons des deux mains. Peut-être d’ailleurs faut-il y voir l’origine de l’usage de la base 60, qui a été celle des Babyloniens et sur laquelle nous reviendrons. Pour ce faire, il suffit d’utiliser les doigts d’une main (la gauche par exemple) pour indiquer le nombre de douzaines et ceux de l’autre main pour les nombres de 1 à 12. Grâce à une logique multiplicative, coder avec ses doigts le nombre 60 est aisé.

Les nombres de 1 à 5 ou de 1 à 12 sur les doigts d’une seule main (à gauche). Les mains (à droite) désignent : 2 × 12 + 8 = 32, 2 pour l’index gauche, et 8 pour la phalange médiane du majeur de droite.

Malgré la richesse de pareilles méthodes, à un moment donné, nos lointains ancêtres se sont nécessairement heurtés aux limites de notre corps et, mus par diverses raisons, ont dû chercher à étendre leur capacité de comptage. Comment ont-ils procédé ? Les plus anciennes traces archéologiques accessibles allant dans ce sens sont ce qui semble être des bâtons de comptage. Vers 35 000 ans avant notre ère apparaissent, en effet, des os sur lesquels des hommes ont pratiqué des entailles.

Quel objectif poursuivaient-ils ? Que cherchaient-ils à compter ? Des proies tuées ? Des membres de leur clan ? Il est permis de penser que ces stries constituaient des marques de victoires, autrement dit le propriétaire du bâton y dressait le macabre bilan de ses ennemis tués. Pendant la Seconde Guerre mondiale, les aviateurs faisaient bien apposer sur le fuselage de leur appareil autant de drapeaux ennemis que d’avions abattus.

Quoi qu’il en soit, la découverte de ces os laisse penser que l’invention des nombres est le fait d’Homo sapiens, l’espèce dont nous faisons partie et qui était le seul hominidé vivant à cette époque. En Europe, Néandertal venait en effet de rendre son dernier souffle. Avait-il connu les nombres ? Aucun vestige archéologique ne l’indique à ce jour.

Face au sens à donner à ces stries, je suis toutefois obligé de faire mon rabat-joie. Un témoignage préhistorique est toujours délicat à interpréter, comme le montrent les dessins de la grotte de Lascaux, datés de 15 000 ans avant notre ère environ. On y voit des animaux entourés de symboles ressemblant à des peignes, à des bâtons de comptage stylisés. Les artistes préhistoriques procédaient-ils pour autant à une énumération d’objets ou de choses immatérielles ? C’est loin d’être avéré. Prudence, donc.

Un cheval à Lascaux. Comment interpréter le symbole dessiné au-dessus de la nuque du cheval ? Un instrument pour le mettre à mort ? Un compte ? Le symbole d’un chasseur ? Difficile d’être affirmatif…

Même si on admet que les marques sur les os servaient à compter, savoir ce que les Sapiens comptaient relèvera à jamais de la gageure. Dans L’Afrique compte !, Claudia Zaslavsky (une professeure de mathématiques qui s’est intéressée à l’histoire de sa discipline en Afrique) rapporte une pratique surprenante, adoptée par les femmes chaggas, qui vivent sur les pentes du Kilimandjaro. Victimes de violences domestiques, ces femmes ont une étrange façon de décider quand la coupe est pleine :

« La femme chagga, qui dénoue des nœuds en attendant le retour de son mari, garde mémoire du nombre de coups qu’il lui donne en entaillant la cuillère qu’elle utilise pour faire la cuisine. Quand il n’y a plus de place sur la cuillère, elle estime qu’il est temps de demander le divorce. »

Si une telle louche traversait les siècles et jaillissait du sol, exhumée par des archéologues, bien malin celui qui devinerait le sens véritable des entailles. Un autre exemple historique d’étonnant comptage nous est donné par les femmes incas du XIVe siècle. Elles utilisaient des nœuds sur une cordelette pour mesurer le temps. Quand leurs maris partaient, elles faisaient un nombre de nœuds correspondant au nombre de jours d’absence, puis en dénouaient un chaque matin. Au dernier nœud, elles savaient que leur mari devait rentrer dans la journée !

Les mystères de l’os d’Ishango

Conservons un regard critique face aux découvertes archéologiques, voilà l’enseignement de ces deux coutumes. Je n’ai pas réussi à vous convaincre ? Je vous propose un ultime exemple, aussi éclairant et qu’amusant. Dans les années 1950 à Ishango, dans l’ancien Congo belge (l’actuel territoire de la République démocratique du Congo et, un temps, le Zaïre) a été découvert un os strié qui se trouve aujourd’hui exposé au Musée royal de l’Afrique centrale de Tervuren, dans la périphérie de Bruxelles. Une réplique géante de 7 mètres de haut a de plus été érigée verticalement, tel un symbole phallique, en centre-ville. Cet os a été daté de 20 000 ans avant notre ère : ce n’est donc pas le plus ancien artefact de ce type connu, mais le nombre de ses entailles permet de formuler bien des hypothèses sur son usage.

Ces stries sont disposées selon plusieurs colonnes. On y reconnaît des dispositions particulières. Par exemple, on peut y trouver le nombre 60 qui, depuis les Mésopotamiens, est lié à l’astronomie, mais aussi des nombres premiers comme 11, 13, 17 et 19, et d’autres motifs encore.

Détail d’une des colonnes de l’os d’Ishango. Personnellement, j’y distingue cinq groupes de stries : 5, 14, 17, 13, 11. Certains y voient plutôt quatre groupes et une liste de nombres : 19, 17, 13, 11… qui sont tous les nombres premiers compris entre 10 et 20.

Certains en ont déduit que l’os d’Ishango était un calendrier lunaire, car 60 correspond presque au nombre de jours de deux lunaisons, qui est égal à 59. La somme des nombres de deux colonnes se retrouvant parfois ailleurs, on serait tenté d’y voir l’ancêtre de la calculatrice. Une autre hypothèse proposée est qu’il s’agirait d’un jeu mathématique qu’aurait pratiqué l’homme d’Ishango pour se divertir entre deux parties de chasse. En fait, la multiplicité des hypothèses nous rappelle une règle que nous croiserons plusieurs fois dans cet ouvrage : plus vous considérez de nombres, plus vous avez de chances d’y dénicher des relations entre eux. Simple question de probabilité !

Un esprit taquin, au fait de l’habitude des femmes chaggas discutée plus haut, pourrait ajouter à toutes ces hypothèses une dernière conjecture : et si, au temps de la préhistoire, les femmes étaient déjà battues par leur compagnon et qu’elles comptaient ainsi le nombre de coups reçus ? Pourquoi pas ? Cette hypothèse (pour le moins hardie !) présenterait l’avantage de rattacher les stries de l’os d’Ishango à une réalité sensiblement locale. Toutes les autres ne se rapportent en effet à aucune tradition connue dans la région, passée ou présente. Alors, l’os d’Ishango, incarnation antique de la violence conjugale ou simple moyen de compter le gibier abattu ? Mystère…

L’invention des bergers

À partir de quelle date peut-on affirmer avec certitude que nous nous sommes mis à compter ? Et à quand remontent les traces archéologiques indubitables de ce palier dans l’évolution humaine ? Eh bien, à une époque relativement récente, puisque la plus ancienne date de 1 500 ans avant notre ère. Il s’agit d’une bourse en argile découverte par Adolph Leo Oppenheim (1904-1974), dans les fouilles du palais de Nuzi en Mésopotamie. Cette bourse est recouverte de deux sceaux, dont l’un a été identifié comme celui d’un berger, l’autre étant celui du propriétaire d’un troupeau. Sur la face externe, on trouve également la description d’un troupeau de 48 animaux en écriture cunéiforme (une écriture en forme de clous). Quand Oppenheim l’a ouverte, la bourse contenait exactement 48 cailloux.

Ces cailloux étaient manifestement la preuve de l’effectif du troupeau confié au berger. À son retour, il suffisait de briser la bourse pour vérifier que le compte était bon. Autrement dit, il s’agissait d’un reçu donné par le berger au propriétaire pour prouver combien d’animaux il avait pris sous sa charge. De façon amusante, le vocabulaire a conservé la trace de ce premier moyen de compter. Le mot « caillou » vient du latin calculus, qui a donné « calcul », une étymologie qu’on retrouve en médecine dans les calculs rénaux.

Voilà pour la preuve irréfutable, mais il est facile d’imaginer que l’usage de cailloux pour dénombrer un troupeau est bien antérieur à la maîtrise de l’argile. Imaginez une bergère descendant la colline en prenant de l’avance sur son troupeau. Elle court, puis monte sur un rocher où elle retrouve les cailloux déposés le matin même. Son chien fait défiler les moutons à ses pieds. À chaque passage, la bergère enlève un caillou. Quand le dernier mouton est passé, trois restent sur le sol. Elle regarde vers le sommet. Pas trace de moutons. Elle s’écrie aussitôt : « Chien ! Il manque trois moutons ! Va les chercher ! » Pour les bergers, les cailloux matérialisant les nombres devaient être une sorte de pense-bête.

Bourse mésopotamienne en argile contenant 48 cailloux, preuve de la transmission de 48 animaux au berger.

Avant l’impôt, la taille

Aussi incroyable que cela paraisse, le recours à des objets pour compter s’est poursuivi tout au long de l’Histoire, même après l’invention des chiffres. Au Kirghizistan (entre le Kazakhstan et la Chine), il existe un site dont le nom fait directement référence à un épisode guerrier : des cailloux y ont été employés pour estimer le nombre de soldats tombés au combat. Ce site est un col portant le nom de San-Tash, qui signifie « pierres décomptées ». Avant de partir en campagne, le chef Tamerlan y aligna son armée et ordonna à chaque guerrier de s’emparer d’une pierre, puis de la jeter en un point précis de la vallée. Au retour du combat, les survivants durent se plier au même exercice. On compara les deux tas : le second était beaucoup plus petit que le premier ; les pertes avaient été majeures.

Au nord-est du lac Issyk-Koul, au Kirghizistan, se dresse le complexe funéraire de San-Tash. Selon la légende, chaque caillou représenterait un soldat de Tamerlan qui ne serait pas revenu du combat.

Quant aux bâtons de comptage nés au cours de la préhistoire, ils étaient encore usités au Moyen-Âge pour prouver des transactions. Leur usage a même perduré jusqu’au début du xxe siècle, puisque Jean Giono (1895-1970) en fait état dans La Femme du boulanger, quand le boulanger du village risque de fermer boutique. La « taille de bois » citée ici n’est autre qu’un bâton de comptage revisité :

« Le souci de César, c’était le pain. Un village sans pain, qu’est-ce que c’est ? […] chez qui avoir son compte de pain, sa taille de bois où l’on payait les kilos d’un simple cran au couteau ? »

En effet, ce texte illustre la coutume ancestrale du bâton de taille : un acheteur et un vendeur notaient la quantité achetée par des entailles au couteau, ménagées dans le sens de la largeur d’une planchette, puis partageaient cette dernière en deux dans le sens de la longueur, chacun en conservant une moitié. Cette technique permettait au client comme au fournisseur de s’assurer de l’exactitude de la livraison et de la dette. La taille, à proprement parler, est la partie qui demeure chez le commerçant, tandis que celle que garde l’acheteur est la contre-taille, ou échantillon.

Même si cela peut surprendre, cette taille fait toujours preuve devant les tribunaux français, d’après l’article 1333 du Code civil. En jargon juridique, en voilà la traduction :

« Les tailles corrélatives à leurs échantillons font foi entre les personnes qui sont dans l’usage de constater ainsi les fournitures qu’elles font ou reçoivent en détail. »

Autrefois, l’impôt à payer était communiqué par le fisc via un bâton de taille, d’où le nom de cet impôt ancien. La taille étant souvent attribuée sans véritable justification, elle a fini par devenir très impopulaire. Ce rejet par la population a forgé l’expression courante « taillable et corvéable à merci » – signe que nous avons toujours un pied au Moyen-Âge, en somme…

À bien y réfléchir, il existe un instrument de comptage qui tient dans la main et qui est employé par nombre de nos contemporains. Vous ne trouvez pas ? Un indice : les fidèles sortant d’une église l’ont parfois dans la poche. Je songe au chapelet, utilisé pour compter les prières par les hindous, les bouddhistes, les chrétiens et les musulmans. Il fut inventé en Inde, cinq siècles avant notre ère. Le chapelet hindouiste actuel et son dérivé bouddhiste comportent ainsi 108 perles.

Pourquoi 108 ? Les explications varient, en se complétant peut-être. Ce serait le nombre de faiblesses (orgueil, haine, attachement, désir, etc.) auxquelles il faut échapper pour accéder au Nirvana. De même, Bouddha a 108 noms et a traversé 108 épreuves. Dans l’hindouisme, Vishnou et Shiva ont également 108 noms. Le chapelet hindou est uniforme : les 108 perles sont placées les unes contre les autres de façon contiguë. Quant au chapelet chrétien orthodoxe, il arbore 100 ou 300 perles. Moins généreux, le chapelet chrétien catholique compte normalement 5 séries de 10 perles séparées par des perles différentes, plus un appendice de 5 perles terminé par une croix.

Un chapelet catholique. Le groupe de trois perles et ceux de dix correspondent à des Ave Maria, les perles intermédiaires à des Pater Noster, la croix au Credo.

On ne s’étonnera pas d’apprendre qu’il n’existe pas de chapelet chrétien protestant. Cette religion, qui se méfie des symboles matériels, exclut statues, reliquaires et autres objets de culte qu’elle associe plus ou moins à des gris-gris. Enfin, bouclons cette intrusion dans le domaine de la foi et des nombres avec le chapelet musulman. Il comporte normalement 99 perles, mais les Turcs se contentent souvent de 33 perles, chacune comptant alors trois fois. Il permet de répéter 33 fois chacune des prières : « Dieu est splendeur », « Grâce à Dieu » et « Dieu est le plus grand. »

Amorce de crise

Tous les systèmes de comptage que nous venons de voir sont extrêmement rustiques. Néanmoins – et je suis sûr que vous aurez peine à me croire –, du point de vue des mathématiques modernes, ils portent en germe une future crise. Accordez-moi un instant pour m’expliquer. Tous les cas que nous venons de décrire ont un point commun : la mise en correspondance d’objets. La bergère met en relation des cailloux avec ses moutons, d’autres des pains avec des entailles, d’autres encore des perles avec des prières. Dans chaque cas, le résultat au regard des mathématiques est le même : on obtient deux ensembles ayant le même nombre d’éléments. On ne définit pas ainsi le nombre en lui-même, mais la propriété « avoir le même nombre », ce qui revient presque au même.

Cette notion indépendante de l’ordre est appelée « nombre cardinal » – ce qui n’a rien à voir avec les prélats de l’Église catholique, sauf l’idée d’importance supposée. Ce concept tout simple est relativement récent, puisqu’il est dû à Georg Cantor (1845-1918). Je vais m’adosser à la figure qui suit pour mieux vous éclairer. Compter cinq moutons revient à les numéroter mentalement de 1 à 5, c’est-à-dire à leur attribuer un numéro. De façon pédante, vu la simplicité de la situation, nous disons que la correspondance matérialisée par les flèches de la figure mise en correspondance est biunivoque. Cela signifie que, de chaque côté de la flèche, nous trouvons un et un seul élément de chaque ensemble.

Mise en correspondance biunivoque des nombres de 1 à 5 et d’un ensemble de dessins de moutons.

Cette opération, qui ne paye pas de mine, est en fait à la base de tout système de comptage. Cantor la généralisa aux ensembles infinis, ce qui fut à l’origine d’une profonde crise des mathématiques. Nous reviendrons sur la question, mais on comprendra pourquoi, ainsi, il existe autant de nombres pairs que de nombres en général, puisque ces deux ensembles peuvent être mis en correspondance biunivoque de la façon suivante : 1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, etc., où à gauche de la flèche nous avons disposé un nombre et à droite, son double. De la sorte, le tout est égal à la partie – ce qui, a priori, contredit le neuvième axiome d’Euclide : « Le tout est plus grand que la partie. » De tels paradoxes expliquent pourquoi les mathématiciens grecs évitaient la notion d’infini, mais j’y reviendrai.

À travers cette digression moderne, j’espère vous avoir fait percevoir que la notion de nombre, même si les hommes préhistoriques s’en fichaient royalement et à raison, est plus subtile qu’il n’y paraît. Je vais tirer sur ce fil encore un paragraphe, parce que j’aime bien le léger vertige que procure ce genre de réflexion. J’ai toujours constaté avec émotion qu’en mathématiques, les choses les plus anodines donnent parfois à voir tout un pan de la discipline sous un nouvel angle.

Euclide (325-265 avant notre ère), toujours lui, définissait la notion de nombre à partir de celle d’unité. Pour lui, un nombre est « un assemblage composé d’unités ». En langage plus moderne, on dirait qu’un nombre est x fois une unité, ce qui semble raisonnable. Autrement dit, les nombres sont définis l’un après l’autre, en ajoutant une unité à chaque fois. Il s’agit du processus classique d’énumération, comme quand on compte sur ses doigts : un, deux, trois, quatre, cinq, etc. (les nombres ainsi définis seront plus tard appelés ordinaux, car cette façon de les définir est liée à la notion d’ordre).

En adoptant cette définition, Euclide ne pousse pas l’analyse mathématique aussi loin que le fera Cantor des siècles plus tard, mais il reconnaît simplement notre aptitude à voir ce qui est « un ». « L’unité est ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une », précisait-il. Malgré ce qu’il en pensait, la définition de l’unité est dans certaines situations loin d’être évidente. En voici une preuve par l’image !

Combien de sommets sur cette photographie ? Pour le dire, encore faut-il distinguer entre un sommet et une antécime…

Ce que vous contemplez est un panorama sur les montagnes d’Écosse. En 1891, Sir Hugh Munro dénombra 283 sommets de plus de 3 000 pieds dans le pays. Il repéra également 255 sommets subsidiaires, trop proches des sommets principaux pour être individualisés, soit 538 pics au total. Ce décompte est aujourd’hui crucial pour nombre d’alpinistes britanniques. Les gravir tous est l’accomplissement d’une carrière. En manquer un seul vous exclut de l’univers des Munroistes ! Or le nombre de munros (le terme est passé dans le langage courant et désigne n’importe laquelle des cimes) varie avec le temps. On compte aujourd’hui un sommet principal de plus et 28 subsidiaires de moins. N’est-ce pas étrange ?

Combien de nœuds comptez-vous dans cette surface développable gravée par Patrice Jeener ? Cela vaut bien les sommets chers à Sir Hugh Munro !

Bien sûr, ces différences s’expliquent par les définitions adoptées, et non par des soulèvements ou des effondrements telluriques. La question montre malgré tout que le « un » est à la base de tout compte. Les nombres commencent quand l’individualité, et donc l’unité, sont reconnues. Quand peut-on affirmer que deux sommets sont distincts ? Une antécime (une cime collée à un plus haut sommet) à 3 500 pieds être comptée distinctement d’un sommet à 4 000 ? La question n’est pas anodine et aurait sans doute tarabusté Euclide.