ÉPIMÉTHÉE

ESSAIS PHILOSOPHIQUES

Collection fondée par Jean Hyppolite
et dirigée par Jean-Luc Marion
Secrétaires de rédaction :
Vincent Carraud, Dan Arbib

Dominique Pradelle

INTUITION ET IDÉALITÉS

Phénoménologie des objets mathématiques

Ouvrage publié avec le concours des Archives Husserl de Paris (CNRS-ENS-PSL) et avec le soutien de l’École universitaire de recherche Translitteræ (programme Investissements d’avenir ANR-10-IDEX-0001-02 PSL* et ANR-17-EURE-0025).

ISBN 978-2-13-082238-7

Dépôt légal — 1re édition : 2020, novembre

© Presses Universitaires de France / Humensis, 2020
170 bis, boulevard du Montparnasse, 75014 Paris

Ce livre est dédié à la mémoire de Maurice Caveing et à Hourya Benis Sinaceur qui, par leur amitié et leurs travaux, m’ont considérablement aidé et guidé.

« Ô mathématiques sévères, je ne vous ai pas oubliées, depuis que vos savantes leçons, plus douces que le miel, filtrèrent dans mon cœur, comme une onde rafraîchissante. J’aspirais instinctivement, dès le berceau, à boire à votre source, plus ancienne que le soleil, et je continue encore de fouler le parvis sacré de votre temple solennel, moi, le plus fidèle de vos initiés. »

Lautréamont, Les Chants de Maldoror

« Das bild erhebt im licht sich frei und nackt. »

Stefan George, Der Stern des Bundes

« […] un agrandissement de l’œil aux plus hautes mers intérieures »

Saint-John Perse, Vents

« […] il ne s’agit pas de stigmatiser l’abstraction ni l’habileté dans les calculs, mais leur usage à l’état brut sans l’existence, en profondeur, d’une intuition, d’une pensée, d’une ligne directrice, d’une vision. »

Marcel Berger, Préface à Hilbert & Cohn-Vossen, Anschauliche Geometrie

REMERCIEMENTS

Aux professeurs qui m’ont initié à la philosophie des mathématiques, Michel Fichant et Jean-Toussaint Desanti, ainsi qu’à Hourya Benis Sinaceur et Maurice Caveing qui, par leur travail propre et leurs suggestions, ont inspiré cet ouvrage.

À tous ceux qui, passionnés de philosophie des mathématiques, m’ont à des titres divers accompagné, aidé ou soutenu : mes amis liégeois Bruno Leclercq, Denis Seron et Arnaud Dewalque, ainsi que Denis Fisette, qui ont très tôt manifesté un intérêt pour mes premiers travaux dans ce domaine ; Vincent Gérard et Mark van Atten, avec qui je partage bien des intérêts et positions théoriques (un grand merci au second pour l’aide inestimable et généreuse qu’il m’a apportée pour retrouver bien des textes mathématiques en langue originale) ; Jocelyn Benoist et Thierry Paul, qui m’ont très gentiment convié à leur séminaire Phénomath pendant plusieurs années ; Gerhard Heinzmann et Jacques Dubucs, qui m’ont aidé par le passé à obtenir une délégation au CNRS ; mais aussi Giuseppe Longo, Ivahn Smadja, Charles Alunni, Carlos Lobo, François Rivenc, Philippe de Rouilhan, Jean-Michel Salanskis, Pierre Cassou-Noguès, Jean-Jacques Szczeciniarz, Frédéric Patras, Frédéric Brechenmacher et Sébastien Gandon.

À André Pessel, qui m’a initié jadis à la pensée de Cavaillès, ainsi qu’à Didier Franck, Jean-Louis Chrétien, Thomas Piel, Jean-François Courtine et Rudolf Bernet qui, au long des années, ont prêté une oreille amicale à ces recherches situées hors de leur domaine propre et m’ont constamment prodigué leurs encouragements ; la part de soutien procurée par cette écoute bienveillante et prolongée demeure inestimable.

À mes collègues directs, Stéphane Chauvier, qui m’a permis d’obtenir un congé sabbatique sans lequel ce livre n’aurait jamais vu le jour, ainsi que Marwan Rashed, Vincent Carraud et Emmanuel Cattin, pour leur présence et leurs précieux encouragements amicaux.

À Jean-Luc Marion, Vincent Carraud (derechef) et Dan Arbib, qui ont eu la gentillesse de juger cet ouvrage digne de figurer dans cette belle collection, et au premier pour le constant et généreux soutien dont il m’a honoré au cours des années.

A contrario, je n’adresse pas mes remerciements au Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche qui, toutes couleurs politiques confondues, étouffe la vie intellectuelle des universitaires sous un poids écrasant de paperasse et de charges administratives ; il est plaisant d’entendre les responsables politiques appeler les universitaires à faire preuve d’inventivité, tout en les accablant de tâches multiples soi-disant inspirées de la vie des entreprises, mais qui évoquent davantage la bureaucratie soviétique. Le temps de l’élaboration intellectuelle est un temps long, qui requiert de ne pas être en permanence sollicité par des tâches à court terme et à courte vue.

INTRODUCTION

« Mit allen Augen sieht die Kreatur

das Offene. Nur unsre Augen sind

wie umgekehrt und ganz um sie gestellt »

Rainer Maria Rilke, Duineser Elegien, Die achte Elegie

« Jizò sur son piédestal

ferme les yeux

comme un homme

en plein midi

qui ferme les yeux

à cause d’une lumière

trop grande. »

Paul Claudel, Cent phrases pour éventails

L’objet de cet ouvrage est d’interroger, voire de mettre en question la notion fondamentale d’intuition, appliquée au champ des idéalités mathématiques. Une telle interrogation comporte des motivations internes au champ phénoménologique, et d’autres qui relèvent de la philosophie des mathématiques.

MOTIVATION PHÉNOMÉNOLOGIQUE DE LA QUESTION :
EXPRESSION, SENS ET DÉNOTATION

En premier lieu, des motivations intrinsèquement phénoménologiques.

On sait que dans la première section des Ideen I, avant même d’introduire la considération phénoménologique fondamentale (phänomenologische Fundamentalbetrachtung) qu’est la réduction phénoménologique – qui ouvre à la connaissance la dimension transcendantale ou irréale de la conscience pure –, Husserl introduit, sous le titre de « Principe de tous les principes », une règle fondamentale de méthode que l’on a souvent (més)interprétée comme étant un mot d’ordre méthodologique qui concernerait exclusivement la phénoménologie : la thèse selon laquelle l’intuition originairement donatrice (originär gebende Anschauung) constituait la source de légitimité pour toute connaissance possible, thèse qui a pour pendant l’impératif méthodique de retour à l’évidence donatrice d’objet pour justifier toute connaissance, sans jamais outrepasser les limites de celle-ci pour procéder à une construction métaphysique¹. Sur le plan phénoménologique, ce principe signifie qu’il faut s’en tenir au sol transcendantal qu’est la sphère de la conscience pure, à l’ensemble des vécus donnés dans une évidence apodictique, ainsi qu’à leurs corrélats intentionnels, pris avec le sens qu’ils possèdent pour la conscience qui les vise – sans jamais présupposer de choses en soi, ontologiquement indépendantes de la conscience pure et transcendant l’orbe du sens qu’elle est susceptible d’instaurer et de vérifier.

Or la signification de ce « principe de tous les principes » est beaucoup plus générale et outrepasse le niveau de la seule phénoménologie ; il s’applique en effet non seulement à cette science des origines qu’est la phénoménologie, mais à toutes les sciences en général. Rappelons en effet le contexte dans lequel il est énoncé. Au § 3, Husserl a effectué un élargissement du sens des notions corrélatives d’intuition et d’objet :

L’essence (eidos) est un objet d’un type nouveau. De même que ce qui est donné dans l’intuition individuelle ou empirique est un objet individuel, de même ce qui est donné dans l’intuition d’essence [das Gegebene der Wesensanschauung] est une essence pure [reines Wesen]².

Loin que l’intuition soit toujours et nécessairement intuition de l’individuel, ou que la perception sensible soit le seul et unique mode d’intuition possible à titre de rapport immédiat à des objets ou acte donateur de ces objets (thèse kantienne), il existe au contraire une intuition des essences, c’est-à-dire d’objets non individuels, mais généraux. Corrélativement, loin que les objets accessibles à la conscience soient exclusivement individuels, c’est-à-dire individués dans l’espace et le temps, et que tout ce qui n’est pas individuel relève de l’ordre du concept (de représentations par caractères communs à plusieurs représentations, selon la thèse kantienne), il faut à l’inverse élargir l’acception du terme d’objet (auquel on peut alors substituer celui d’objectité, Gegenständlichkeit³) : il existe des objets généraux, des objectités relevant de l’ordre du sens ou de la signification⁴, dont le statut n’est pourtant pas réductible à celui de simples significations – par exemple, les essences du rouge en général, du rond en général, de la droite en général, du nombre entier en général… Bref, qu’elle soit conçue de manière extensionnelle à la manière berkeleyenne, comme moyen de désigner une infinité d’objets individuels, ou intensionnelle à la manière frégéenne, comme un ensemble de caractères conceptuels exprimant la propriété que possède tout objet subsumable sous le concept, la généralité ne possède pas seulement le statut de signification conceptuelle, mais d’objet.

Aussi cet élargissement corrélatif des notions d’intuition et d’objet doit-il être confronté à la stratification des actes impliqués dans la conscience d’une expression – stratification que, sans le mentionner expressément, Husserl emprunte largement aux analyses de Frege. Pour autant qu’elle est donnée à la conscience, une expression possède en effet trois fonctions : elle communique (kundgibt) le vécu propre à la conscience du locuteur, signifie (bedeutet) une certaine teneur de sens générale, et désigne (bezeichnet) un certain objet, qui est éventuellement porté à la connaissance par la médiation du sens⁵. Cette stratification ternaire entre expression, sens et dénotation avait fait l’objet d’analyses répétées de la part de Frege, qui l’appliquait de façon méthodique aux diverses formes d’expression : une description définie indique un objet individuel par la médiation d’un sens ; un terme conceptuel renvoie à un sens conceptuel qui, à son tour, a pour dénotation le concept ; enfin, un énoncé déclaratif complet a un sens propositionnel idéal (que Frege nomme Gedanke, pensée), qui renvoie à la dénotation qu’est la valeur de vérité (le vrai ou le faux). Et à chacun de ces niveaux logiques coappartient une modalité de la conscience : saisir le sens propositionnel (Fassen des Gedankens = Denken), en reconnaître la vérité ou fausseté (Anerkennung der Wahrheit eines Gedankens = Urteilen), et l’asserter pour autrui (Kundgebung dieses Urteils = Behaupten⁶).

Cette stratification débouche sur une interrogation fondamentale : y a-t-il quelque chose de tel que le troisième niveau – celui de la dénotation ? Si les objectités générales sont des objectités de sens (Sinngegenständlichkeiten), est-il alors nécessaire d’admettre, au-delà de la strate du sens, une strate supérieure (et corrélative) de l’objectité, qui réaliserait ou concrétiserait le sens ? Plutôt qu’un mythe de la signification, n’y a-t-il pas là un mythe de l’objet général – lequel est censé transcender le plan des significations et en constituer la référence ? La question se répète en miroir au niveau des actes : si l’on entend parfaitement que la signification générale puisse être accessible à un acte de saisie ou de compréhension, est-il en revanche légitime de poser qu’au-delà de celui-ci, une objectité générale serait donnée à un acte d’intuition ? Y a-t-il véritablement une modalité intentionnelle de la conscience qui soit une évidence donatrice des objets généraux ?

Concernant cette intuition des généralités, Husserl a oscillé entre deux positions de fond.

La première consiste à n’admettre en principe aucun paradigme de l’intuition des objets généraux. Car loin que la perception sensible des objets individuels fournisse le paradigme de l’intuition des essences, donc que la seconde résulte d’un élargissement de la notion d’intuition initialement limitée à la seule vision sensible, perception sensible et intuition d’essence participent d’un même concept générique de l’intuition comme acte donateur de son objet : quelle qu’en soit la nature et quel que soit le statut ontologique de son objet, l’intuition est une donation⁷. La seconde consiste au contraire à faire du remplissement de la conscience de nom propre le paradigme du remplissement de toute conscience d’expression en général, c’est-à-dire de leur conversion en évidence donatrice d’objet : je puis certes désigner la ville de Cologne par le mot Cologne, mais cette conscience d’expression ne se remplit que lorsque que j’ai sous les yeux la ville de Cologne⁸ ; selon un tel paradigme, on passe alors d’une conscience de signification vide d’objet à une conscience remplie grâce à la présence de l’objet lui-même, donné en chair et en os. Or, que l’on opte pour la solution platonicienne – qui consiste à voir dans les diverses formes d’intuition une participation à l’essence générique d’intuition en général comme donation – ou pour la solution néo-empiriste – qui voit dans le rapport entre nom propre et objet individuel désigné le paradigme de l’évidence remplissante –, il semble que les notions d’évidence, d’intuition et de remplissement s’opposent à la conscience de signification comme le plein au vide, et comme la donation immédiate à la visée médiate : accéder à l’évidence, c’est enfin avoir sous les yeux (fussent-ils ceux de l’esprit) l’objet dont on parle.

LE PRINCIPE ANTICOPERNICIEN DE PLURALISATION DES MODES D’ÉVIDENCE ET L’EXIGENCE D’ÉLUCIDATION DES STRUCTURES DE L’INTUITIVITÉ

La question se complique quand on passe en revue les différents types possibles d’objectités de sens.

Qu’un nom propre désigne un objet individuel, que les noms Socrate et Napoléon renvoient à des individus qui ont effectivement existé, c’est ce que nul ne songerait à mettre en question ; tout au plus dira-t-on que ces individus étant morts, ils se réduisent désormais à un point focal idéal visé par tous les travaux historiographiques et narratifs qui les concernent ; à la limite, c’est plutôt le fait que les noms propres aient un sens qui pose un problème. Qu’un énoncé déclaratif, outre son sens propositionnel idéal, implique une référence à un fait ou un état de choses qu’il nous rend accessible et nous fait connaître, c’est, là encore, quelque chose que l’on ne contestera pas : entre la simple compréhension de la phrase « le ciel est bleu » et l’assertion que « le ciel est bleu » énoncée en regardant un ciel céruléen immaculé, on saisit la différence ; de même, entre un énoncé mathématique formulé comme hypothèse et le même énoncé connu comme théorème parce qu’enfin démontré, ou entre un énoncé de physique formulé à titre de simple hypothèse théorique et le même énoncé asserté et corroboré par une expérimentation, on voit également la différence de modalité et de statut.

Mais entre la signification conceptuelle du rouge et l’essence du rouge en général, la différence devient en revanche problématique, pour peu que l’on prenne quelque distance vis-à-vis des thèses husserliennes. En contexte berkeleyen ou humien, on admettra volontiers que l’expression conceptuelle rouge possède une fonction généralisante – elle permet, de manière purement extensionnelle, de viser une infinité de nuances de rouge effectives et possibles –, mais non qu’elle désigne, de manière intensionnelle, un objet général qui serait l’essence du rouge. En contexte husserlien, certes, la difficulté est aplanie : le point de vue extensionnel a pour fondement implicite la conception intensionnelle ; on ne peut désigner une nuance de rouge comme étant rouge que si l’on dispose du point de vue sur l’essence générale de rouge⁹ ; ou encore, toute tentative pour fonder (à la manière berkeleyenne ou humienne) la conscience de généralité sur des sphères de ressemblance extensionnelles s’avère vaine, car la ressemblance n’existe pas de façon absolue : si des nuances de rouge se ressemblent en tant que rouges, elles peuvent aussi se distinguer ou contraster en tant que plus claires ou plus foncées, de sorte que toute ressemblance suppose la référence à quelque généralité par rapport à laquelle elle se reconnaît et se définit.

Mais passons à présent aux généralités purement formelles ou proprement catégoriales, qu’elles soient de type syntaxique, comme le ne… pas…, le ou et le et, ou de type mathématique, comme le nombre entier, le nombre réel, la structure de groupe, etc. Est-il légitime – et cela a-t-il même un sens – de supposer, au-delà des significations syntaxiques formelles que désignent les expressions ne… pas…, ou et et, et au-delà des significations mathématiques formelles que sont les expressions conceptuelles de nombre entier, de nombre réel, de structure de groupe, etc., l’existence sui generis d’objets formels ou purement catégoriaux qui leur correspondent et les réalisent à titre de dénotations ? Peut-on appliquer, à la sphère de la logique et des mathématiques, le paradigme structurel de la conscience d’objet que Husserl présente au § 129 des Ideen I, selon lequel la conscience se rapporte à un objet par la médiation d’un sens¹⁰ ? Que la conscience définisse avec précision la signification du mot et à l’aide de tables de vérité ou d’un ensemble d’axiomes logiques, qu’elle comprenne et définisse avec précision le sens de la notion de nombre cardinal en procédant à l’axiomatisation de l’arithmétique élémentaire, voilà qui semble assez évident ; mais n’est-ce pas suffisant ? Faut-il encore supposer qu’au-delà de tels actes de délimitation poussée du sens des notions, il existe une évidence véritablement donatrice des objets qui leur correspondent ? Le connecteur de la conjonction est-il à proprement parler un objet qui soit susceptible de se donner en personne dans l’évidence ? L’ensemble des nombres réels est-il également un objet dont il y aurait une évidence donatrice ? Et si une telle intuition catégoriale existe, doit-elle être caractérisée comme une donation immédiate de son objet ? Ou faut-il au contraire reconnaître que les caractères de donation et d’immédiateté ne sont nullement adéquats pour caractériser un tel mode d’intuition, et qu’en conséquence ce dernier doit être affranchi du paradigme de la vision sensible, de même que le concept d’objet catégorial vis-à-vis du modèle de l’objet perceptif ?

Face aux tentations de l’analogie, qui conduisent à prendre une région d’objets pour paradigme de l’objet en général et à adopter une modalité particulière de la conscience d’objet pour matrice structurelle de toute conscience d’objet en général, l’effort du phénoménologue doit être d’adhérer à la spécificité du champ d’objets qu’il prend pour thème. En effet, loin que l’idée d’un a priori de corrélation signifie qu’il existe un vague parallélisme entre les objectités visées par la conscience et les actes de conscience qui les atteignent, elle implique une thèse bien définie :

Tout objet en général [Jedes Objekt, jeder Gegenstand überhaupt] désigne une structure régulatrice de l’ego transcendantal [Regelstruktur des transzendentalen Ego¹¹].

Cela vaut pour toutes les catégories ontiques [alle Seinskategorien], qui, par voie de corrélation, reconduisent à des formes catégoriales fondamentales de conscience donatrice [kategoriale Grundformen gebenden Bewußtseins].

À chacune de ces espèces fondamentales [de conscience originairement donatrice] correspond manifestement un concept régional qui délimite la forme de sens de l’espèce fondamentale d’intuition donatrice en question [die Sinnesform der jeweiligen Grundart gebender Anschauung umgrenzt] et, a fortiori, une région d’objets [Gegenstandsregion] embrassant tous les objets auxquels est approprié ce sens¹²...