© Éditions Albin Michel, 2020

ISBN : 978-2-226-45382-2

« Le pouvoir des nombres fut d’autant plus respecté parmi nous qu’on n’y comprenait rien. »

Voltaire, Dictionnaire philosophique, article « Nombre »

Introduction

« Équilibré, ce budget l’est-il vraiment ? On voudrait pouvoir répondre par oui ou par non, car si les menteurs chiffrent, les chiffres, eux, ne mentent pas. »

Jacques Duhamel, Journal officiel, Compte rendu des débats parlementaires du 13 octobre 1966.

Le côté obscur de la force

Non, les fake news ne sont pas l’apanage de notre époque ! L’ère de post-vérité qui caractérise, dit-on, le XXIe siècle remonte sans doute au paléolithique, dès l’apparition du langage. En termes de mensonge politique, nihil novi sub sole, rien de neuf sous le soleil, dirait l’auteur latin Quintus Tullius Cicero (frère cadet du célèbre orateur Cicéron) s’il revenait parmi nous, lui dont les ouvrages incitaient ceux qui briguaient le pouvoir à dissimuler la vérité pour parvenir à leurs fins1. Près de deux millénaires plus tard, à la suite du Prince de Machiavel qui entendait séparer la politique de la morale, un petit livre attribué à Jonathan Swift paraissait sous le titre L’Art du mensonge politique2. Il dressait la liste des différents moyens de tromper le peuple, comme le mensonge de calomnie, le mensonge de promesse, suivis de celui d’épouvante ou encore d’encouragement. Cependant, parmi ces outils mis à disposition des gouvernants, l’auteur ne mentionnait pas le plus subtil et le plus pernicieux des mensonges, le plus persuasif aussi : le mensonge mathématique !

À cette époque pourtant, les têtes couronnées manipulaient déjà allègrement les nombres pour abuser le peuple. Dans cette entreprise, le pouvoir a pu compter sur l’appui de grands mathématiciens qui ne s’embarrassaient guère de principes de morale. Jérôme Cardan (1501-1576) fut l’un d’eux. Ce père du calcul des probabilités – passé maître dit-on dans l’art de tricher aux cartes – louait la duperie en politique. La dissimulation, d’après lui, « qui ne fait que déguiser la vérité, par quelques gestes, quelques actions et quelques paroles qui reçoivent plusieurs sens […], est industrieuse, on la reçoit avec honneur, on la nomme vertu3 ». Si donc la manipulation est vertueuse, les mathématiciens proches du pouvoir n’ont fait que reprendre à leur compte la vieille notion du droit romain de bonus dolus, ou duperie utile, servant les intérêts de l’État.

Il faut attendre l’avènement des Lumières pour découvrir sous la plume de Diderot une critique des liens parfois délétères qui unissent politique et mathématiques. Parodiant tout d’abord un passage de la Bible (« Mais, tu as tout réglé avec mesure, nombre et poids4 »), l’auteur estime dans l’Encyclopédie que « le monde politique […] peut se régler à beaucoup d’égards par poids, nombre et mesure ». Mais si Diderot appelle de ses vœux une arithmétique qui seconderait les gouvernants dans leur tâche, il n’a rien du Candide de Voltaire. Il prévient que les chiffres sont une aide précieuse dans l’exercice du pouvoir à la seule condition de n’être ni manipulés ni mal interprétés. Un siècle et demi plus tard, une formule cinglante reprise par Mark Twain fera tristement écho à la mise en garde du philosophe des Lumières : « Il y a trois sortes de mensonges : les mensonges, les gros mensonges et les statistiques5. » En ce tout début du XXe siècle, voici la figure émergente du statisticien suspectée de manipuler les nombres, ou tout du moins de se fourvoyer en réduisant le monde à des modèles incapables de rendre compte de sa complexité.

Mais l’arme arithmétique est à double tranchant. Si de faux calculs trompent les citoyens, de vrais théorèmes les déshumanisent, les réduisent à des suites de chiffres, à des points sur des graphiques. Après l’Homo habilis, l’Homo erectus et l’Homo sapiens, le XIXe siècle voit surgir l’homme moyen tel que le décrit Adolphe Quetelet (1796-1874). Ce mathématicien belge qui présida le tout premier congrès de statistique au monde voit dans l’homme moyen le pur produit des équations : un être au comportement formaté et parfaitement prévisible.

La norme étant maintenant définie scientifiquement, gare à qui s’en écarte ! Au début du XXe siècle, deux éminents statisticiens, Francis Galton et Karl Pearson, n’hésitent pas à prôner l’eugénisme, soit l’éradication de celles et ceux dont l’intelligence ou l’équilibre psychique n’entrent pas dans la moyenne. La fin du XXe siècle ne vaut guère mieux. Après avoir traqué et catégorisé les habitudes des citoyens, les algorithmes s’apprêtent à régenter leur vie, réguler leurs revenus et parfois révéler leurs désirs avant même qu’ils ne se manifestent. D’habiles programmateurs œuvrent à secrètement classer les citoyens dans des cases, affirmant qu’Untel, en fonction de son prénom ou de son code postal par exemple, serait ou non capable de rembourser un emprunt, que tel autre ne serait pas un employé digne de confiance. En générant leur propre vérité, ces programmes aux mains du gouvernement ou des géants du Net sont rapidement accusés de creuser les inégalités et d’entériner les discriminations. Suivant la formule de Cathy O’Neil, une ancienne analyste à Wall Street, les algorithmes s’apparentent à des armes de destruction massive.

Et que dire encore des grossières erreurs de calcul qui ont entaché une étude brandie par le FMI pour encourager les politiques d’austérité à l’échelle planétaire ? Ces négligences étaient-elles volontaires ? Toujours est-il qu’un modeste étudiant en économie a su pointer chacune des erreurs de l’étude, laquelle, une fois corrigée, ne faisait plus du tout le jeu des chantres de la rigueur budgétaire.

Enfin, il est un dernier domaine où les biais statistiques et la manipulation des chiffres nous concernent plus intimement encore : celui de la santé. Combien d’études cliniques, en apparence au-dessus de tout soupçon, sont en réalité entachées d’erreurs que les plus candides d’entre nous jugeraient parfaitement délibérées ?

Comment en est-on arrivé là ? Comment de simples chiffres ont-ils pu se transformer en menace pour le peuple ? Comment des nombres, des équations, des théorèmes ont-ils pu cautionner des régimes politiques, justifier la nécessité d’un impôt injuste, faire passer des individus bien-portants pour des malades qui s’ignorent ou, en sollicitant le calcul de probabilité, faire condamner des innocents ? Le côté obscur des mathématiques a une longue histoire derrière lui ; elle a débuté il y a plus de deux millénaires sur les côtes de Grande Grèce lorsque, pour la toute première fois, mathématiques et politique ont décidé de s’unir… pour le meilleur et pour le pire.

Notes

1. Cf. son Commentariolum petitionis, disponible en français sous le titre Manuel de campagne électorale, Arléa, 2001.

2. Publié en 1733, ce livre est très probablement l’œuvre de John Arbuthnot.

3. Jérôme Cardan, La Science du monde ou la sagesse civile, livre III, chapitre 8 intitulé « La vie civile a besoin de la feinte, de la dissimulation, de la persuasion et de la menace ».

4. Sagesse de Salomon, 11, 20, in La Bible de Jérusalem, traduction de l’École biblique de Jérusalem, Éditions du Cerf, 1998, p. 1105.

5. Chapters from my Autobiography, XX, North American Review, no DCXVIII, 1907, p. 471 (traduction par nos soins). Mark Twain attribue la phrase à Disraeli, Premier ministre de la reine Victoria.

1.

Liaisons dangereuses

« La mésentente a cessé et la concorde s’est accrue du jour où l’on a inventé le mode de calcul. »

Archytas de Tarente, Des mathématiques.

A beau mentir qui vient de loin

VIe siècle avant notre ère dans le sud de l’Italie.

Tout le monde est accouru en apprenant la nouvelle : il daigne enfin sortir ! Voilà plusieurs semaines qu’il s’était retiré avec de maigres vivres dans un réduit qu’il avait creusé de ses propres mains à même la terre ; s’il survivait à cette épreuve, avait-il prévenu, un miracle se produirait à son retour parmi les hommes. Ce matin-là, un passant avait perçu un bruit provenant de la grotte : la lourde pierre qui en obstruait l’entrée semblait avoir bougé. L’homme à l’intérieur doit être à bout de forces, pensa-t-on, il ne sera pas en mesure de sortir seul. Plusieurs bras sont alors venus en renfort pour déplacer la pierre et pratiquer une ouverture. Et voilà notre homme qui apparaît. Hirsute, hagard, épuisé.

Aussitôt, il parle. Sa voix est surprenante de fermeté, ses mots d’une précision étonnante : pourtant coupé du monde pendant des semaines, il se met à raconter tout ce qui s’est passé dans la cité durant son absence. Il fait le compte des poissons pêchés chaque jour, rapporte les commérages, énumère les moindres faits qu’il n’aurait pu connaître qu’en étant présent dans la cité. Ce discours fait forte impression sur la foule. Tous se demandent s’ils ne sont pas en train de rêver. Comment est-ce possible ? S’agit-il de sorcellerie ? Les citoyens les plus sceptiques inspectent la grotte pour s’assurer qu’elle ne dispose d’aucune sortie secrète. Rien : l’endroit n’est qu’une cavité étroite où nul individu ne pourrait tenir debout ; c’est à peine si l’on peut s’y asseoir ou s’y allonger.

« Si je suis en mesure de vous raconter tout cela, poursuit l’homme en s’adressant à la foule qui fait cercle autour de lui, c’est que je reviens des Enfers ; et depuis les Enfers, j’ai vu, j’ai tout vu ! Et tout entendu aussi ! » Certains ont le souffle coupé, d’autres éclatent en sanglots. Tous scrutent le visage de l’homme, ils considèrent ses traits émaciés, sa barbe désordonnée, son regard perçant : est-ce un prophète ? Non : c’est un dieu !

En réalité, il n’est rien de tout cela. Originaire d’une île voisine de l’actuelle côte turque, celui qui s’exprime ce jour-là devant les habitants de Crotone a voyagé durant de longues années en Égypte et à Babylone pour parfaire sa formation. Mais cela ne fait pas de lui un devin, ni un démiurge. Il s’agit seulement d’un homme fourbe et particulièrement habile, qui, une fois sous terre, a reçu chaque nuit des mains de sa mère des notes relatant tout ce qui se passait en ville ; notes qu’il apprenait par cœur et qu’il fit disparaître juste avant de sortir de la grotte.

Nul cependant n’a percé son secret, et le nom de cet homme est désormais sur toutes les lèvres ; il vole de maison en maison, de quartier en quartier : Pythagore ! Mais s’il est aujourd’hui associé au théorème dont on lui attribue la paternité1, ou bien encore aux tables pythagoriciennes – ou tables de multiplication –, ce nom est alors celui d’un homme avide de pouvoir.

Des nombres et des notes

Pourquoi une telle mise en scène ? Pour quelles raisons Pythagore a-t-il cherché à se faire passer pour un prophète ? Être un mathématicien reconnu ne lui suffisait-il pas ? Pour répondre à cette question, il convient de se pencher sur ses convictions politiques. En arrivant à Crotone, le penseur a l’intention de créer sa cité idéale. Pour cela, il a besoin de fonder une école qui lui permettra de répandre ses idées et de créer une aristocratie intellectuelle capable de gouverner. Quant à lui, il se réserve le rôle d’éminence grise du pouvoir en place.

Aux yeux de Pythagore, philosophie, mathématiques et politique forment un tout régi par la notion d’harmonie. En d’autres termes, il voit dans les nombres la matrice du monde : l’ordre des nombres et la proportionnalité entre ces derniers doivent se retrouver partout. C’est le cas par exemple en musique : la légende raconte qu’en passant près d’une forge, et en entendant les harmonies que produisaient les différents marteaux frappés sur les enclumes, Pythagore eut l’intuition de la théorie mathématique de la musique, une théorie toujours d’actualité. En rentrant chez lui, il créa un instrument, le monocorde, dont on peut faire varier la longueur de la corde : rétrécie, elle émet un son plus aigu, allongée, elle produit au contraire un son plus grave – une expérience que l’on peut reproduire avec un simple élastique tenu entre deux doigts. Le mathématicien démontra alors que l’octave supérieure s’obtenait en divisant la longueur de la corde par deux, la quinte par trois demies, la quarte par quatre tiers, etc.2. Il tenait ainsi la preuve que l’harmonie musicale découle de l’harmonie des nombres.

Octave

2/1

Quinte

3/2

Quarte

4/3

Les nombres au service de l’aristocratie

La progression parfaite de l’harmonie musicale devait, selon Pythagore, se retrouver dans l’organisation politique et sociale : de même que, si l’on ne met pas les chiffres dans l’ordre, on obtient une suite de nombres sans queue ni tête, de même que, dans une lyre, si l’on allonge telle corde et raccourcit telle autre, l’instrument sonnera faux, de même dans la société, si untel s’élève plus haut que ce dont il est capable ou que tel autre est moins honoré qu’il ne devrait l’être, cela débouchera sur la cacophonie sociale, autrement dit l’anarchie. La société doit respecter l’ordre rigoureux des nombres, ce qui signifie que chaque individu doit rester à la place qui lui revient.

La cité bien gouvernée se doit par conséquent d’être une aristocratie intellectuelle. Le fameux « tout est nombre », souvent attribué à Pythagore, signifie en effet que la structuration des nombres se répercute dans la structuration de tout ce qui est, un peu comme le monde des Idées imaginé par Platon3 est la matrice de la réalité. Théano, l’épouse du mathématicien, nous éclaire justement là-dessus : « Pythagore n’a pas dit que tout est produit à partir du Nombre, mais que tout était formé conformément au Nombre car l’ordre originel est dans le Nombre et que c’est par participation à cet ordre que les choses qui peuvent être nombrées sont placées comme première, deuxième et ainsi de suite4. » Les citoyens pouvant être dénombrés, ils peuvent donc être classés : la conséquence du Nombre n’est autre que la hiérarchie sociale.

Mais comment, à partir de ses convictions politiques, Pythagore en est-il venu à s’enfouir sous terre pour tromper les habitants de Crotone ? C’est très simple : si le philosophe a sans doute été l’un des premiers penseurs à tisser un lien entre mathématique et politique5, il n’a certainement pas été le dernier homme d’État à duper ses concitoyens pour parvenir à ses fins ! Il était conscient en effet que ses métaphores musicales et sa vision d’une société reflétant le Nombre étaient des notions trop complexes pour séduire les foules. Voilà pourquoi il a préféré s’enfermer dans une grotte durant plusieurs semaines avant de refaire surface dans la peau d’un prophète. Il comptait ainsi obtenir la confiance de tout un peuple. Un pari gagnant ! Dès son retour à l’air libre, son influence dans la cité est allée grandissante.

À l’assaut de la démocratie !

Crotone est maintenant gouvernée par les pythagoriciens. Sous l’emprise d’un régime oligarchique, la cité cherche l’harmonie et la justice dans le pouvoir des nombres. Mieux : les disciples du mathématicien ont gagné plusieurs cités du sud de l’Italie pour y prêcher l’enseignement de leur maître. Mais un certain Télys, gouverneur de Sybaris, va se dresser sur leur route. La cité qu’il dirige ayant fait le choix de la démocratie, il n’apprécie guère que des disciples de Pythagore y propagent des idées oligarchiques. Télys s’adresse alors à ses concitoyens ; ses arguments font mouche, la foule se range derrière ses harangues et les pythagoriciens, chassés de la ville, n’ont d’autre choix que de se réfugier chez leur maître, à plusieurs jours de marche vers le sud.

Celui-ci réunit sur-le-champ le gouvernement de Crotone et appelle à venger l’offense faite aux siens. Si Pythagore est le premier penseur à se qualifier d’« ami de la sagesse », soit philosophe, il n’en demeure pas moins homme de caractère. Il n’hésite donc pas à ordonner que soit rasée la cité de Sybaris !

Pourquoi une telle décision ? Les pythagoriciens de Sybaris ont été reconduits à la frontière, comme le dirait un diplomate avec une pointe d’hypocrisie, mais ils n’ont pas été maltraités pour autant. Ce n’est donc pas par vengeance que Pythagore décide de prendre les armes, mais bien pour se débarrasser de l’ennemi mathématique qu’est la démocratie. D’après lui, ce régime dans lequel tout est égal à tout, et où n’importe qui peut accéder au pouvoir, constitue une offense à la structure bien ordonnée des nombres. La démocratie, qui ne correspond à aucun système cohérent, ne peut mener qu’à l’anarchie. C’est donc en se référant aux mathématiques que Pythagore demande aux siens d’entrer en guerre.

Sa voix est entendue. Crotone prend les armes. L’assaut est conduit par Milon, l’un des plus grands champions olympiques de l’Antiquité. Une légende vivante. Mêlant habilement force et ruse, des Crotoniates pourtant en infériorité numérique s’emparent de la cité ennemie. Télys est tué, Sybaris est rasée. Mais les pythagoriciens ne dormiront pas longtemps sur leurs lauriers. Dix ans plus tard, un certain Kylon est à la tête d’une bande de Sybarites toujours favorables à la démocratie. Si un désir de revanche l’incite à en découdre avec Crotone, il éprouve aussi un grief personnel à l’encontre de Pythagore : lorsque Kylon était plus jeune, il avait postulé à l’école pythagoricienne avant de se faire recaler. Vers 500 avant notre ère, accompagné de quelques hommes de main, il se rend alors à Crotone pour incendier la maison où se réunissent les pythagoriciens, et qui n’est autre que la demeure de Milon, celui-là même qui avait vaincu Sybaris. À l’exception de deux jeunes élèves et de Pythagore en personne, absent de la cité ce jour-là, des dizaines de ses disciples périssent dans les flammes.

Après la disparition de Pythagore, les grands mathématiciens vont prendre l’habitude de hanter les sphères du pouvoir. Lorsqu’ils ne se trouveront pas eux-mêmes à la tête d’une colonie, ils deviendront les proches conseillers des gouverneurs et des tyrans. Et, comme tels, ils n’hésiteront pas à solliciter arithmétique et géométrie pour promouvoir leurs idées politiques.

Les calculs de Platon

Syracuse, 360 avant notre ère.

La vie de Platon est en danger. Il est menacé de mort par les autorités de la cité. Voilà plusieurs jours déjà que le philosophe se cache en ville. Il cherche par tous les moyens à échapper à des mercenaires à la solde du tyran. Avant cela, en débarquant à Syracuse, il espérait encore établir un régime politique plus juste ; mais, désormais, il est considéré comme un dangereux opposant, en dépit de ses soixante-huit ans ! Dans sa cachette, le philosophe fait les cent pas en cherchant une solution : comment se sauver ? Et soudain : Archytas ! Son vieil ami pourrait sans doute l’aider ! Il doit lui faire parvenir un message : au départ de Syracuse, un bateau pourrait gagner Tarente en un jour et avertir Archytas du danger que son ami court en restant ici.

Comment Platon n’a-t-il pas pensé plus tôt à Archytas puisque c’est justement en manipulant certaines démonstrations mathématiques de ce lointain disciple de Pythagore qu’il s’est retrouvé dans une situation si délicate ? Brillant mathématicien et homme d’État avisé, Archytas a encouragé un juste partage des richesses, apaisant ainsi les conflits sociaux. Il a été élu sept fois de suite à la tête de Tarente, qu’il dirigea entre 367 et 361 avant notre ère, et son action coïncide avec l’âge d’or de cette puissante cité portuaire du talon italien.

Si Archytas reste aujourd’hui encore un modèle politique, il est également connu des mathématiciens pour avoir établi la théorie des proportions, qui n’est autre que ce que nous appelons aujourd’hui le calcul des moyennes, soit l’opération qu’effectue un élève qui additionne ses notes et divise le tout par le nombre de notes. L’élève fait ainsi, généralement sans le savoir, une moyenne arithmétique. Pourquoi arithmétique ? Parce qu’il existe d’autres types de moyennes, dont par exemple la moyenne géométrique, elle aussi découverte semble-t-il par Archytas6, qui consiste à multiplier entre elles les notes avant d’en extraire la racine n-ième (n désignant le nombre de notes). Admettons que notre élève, noté sur 20, ait obtenu les notes suivantes lors de cinq épreuves :

Au cours de la troisième épreuve, il semble que notre élève ait bénéficié d’un coup de chance – à moins qu’il n’ait triché… –, ayant soudain obtenu 19 alors qu’il n’a jamais atteint le 10 aux autres épreuves. Ainsi, la moyenne arithmétique de cet élève vaut :

Quant à la moyenne géométrique, elle se calcule ainsi :

La moyenne géométrique semble mieux refléter les notes de notre élève car elle est inférieure à 10, note qu’il n’a jamais atteinte à l’exception d’une seule épreuve, tandis que la moyenne arithmétique est supérieure à 10. Ainsi, la moyenne géométrique est moins sensible à une forte variation ponctuelle. Si, par exemple, il nous revenait de calculer le salaire moyen d’un pays, il serait plus judicieux d’utiliser la moyenne géométrique plutôt que la moyenne arithmétique, afin de ne pas gonfler artificiellement le résultat du fait des quelques millionnaires qui fausseront la statistique ; mais il s’agit là d’une autre histoire7.

Moyenne arithmétique et moyenne géométrique traduisent donc deux manières de répartir un ensemble de données. Platon, contemporain et ami d’Archytas, l’a bien compris et a souhaité appliquer cette idée à la politique… mais en la détournant au passage de son objectif initial. Car si Archytas avait à cœur de réduire les inégalités, Platon utilisa en revanche la théorie des proportions pour légitimer leur accroissement ! L’égalité se déclinant chez lui selon deux modes :

– le mode arithmétique, qui consiste à énoncer que tous les citoyens sont égaux, et qui correspond au régime démocratique qu’il rejette de manière catégorique ;

– le mode géométrique, où tous les citoyens sont égaux à vertus égales, et inégaux à vertus différentes, et qui correspond au régime aristocratique qu’il défend.

Ainsi, selon Platon, la « vraie et parfaite égalité » est celle qui

au plus grand attribue davantage, au plus petit, moins, donnant à chacun en proportion de sa nature et, par exemple, aux mérites plus grands, de plus grands honneurs, tandis qu’à ceux qui sont à l’opposé pour la vertu et l’éducation elle dispense leur dû suivant la même règle. Je crois, en effet, que pour nous la politique est toujours précisément cela, la justice en soi, maintenant encore, c’est en y tendant et en fixant les yeux sur cette égalité-là que nous devons, Clinias, fonder la cité naissante8.

Une « cité naissante », nous dit ici Platon, qui rêvait en effet de fonder une colonie fidèle à ses principes, et où il aurait été l’éminence grise d’un despote éclairé. Hélas, du rêve à la réalité il y a un abîme, même chez les philosophes. Et si Platon a été attiré par la politique, la politique, comme nous l’avons entrevu, le lui a mal rendu. Elle a déjà failli lui être fatale lorsqu’il s’est rendu pour la première fois à la cour de Denys l’Ancien, tyran de Syracuse, dont on racontait qu’il se délectait des gémissements de ses prisonniers reclus dans la grotte sur laquelle était bâti son palais. Loin de persuader Denys d’instaurer un régime qui corresponde à son idéal, Platon, quelques mois après son arrivée en Sicile, se voit jeté dans un navire avant d’être vendu comme esclave, ne devant son salut qu’à l’intervention d’un ami qui racheta sa liberté. Quelque deux décennies plus tard, le philosophe n’a pas davantage de réussite avec le nouveau tyran de Syracuse, fils du premier. À l’image de son père, Denys le Jeune désire s’entourer de noms prestigieux et fait venir le penseur grec auprès de lui. Mais après l’avoir soupçonné de comploter contre sa sécurité, il le retient prisonnier une année durant dans l’île d’Ortygie. Six ans plus tard, Platon fait une ultime tentative diplomatique en se rendant de nouveau à la cour du tyran de Syracuse qui l’avait rappelé à lui. Mais le philosophe échoue une fois encore à convaincre Denys d’infléchir sa politique et celui-ci le chasse de son palais. Cette fois, Platon ne devra son salut qu’à l’ambassade dépêchée par Archytas de Tarente.

De l’aristocratie à la méritocratie

Voilà de l’histoire bien ancienne, pensez-vous peut-être, et qui n’a pas grand-chose à voir avec notre manière de considérer la politique… Détrompez-vous ! Si les mésaventures de Platon remontent à plus de deux millénaires, sa manière très personnelle de penser les proportions reste d’une brûlante actualité. Pour vous en convaincre, imaginez deux citoyens A et B, A étant plus vertueux que B. Dans la théorie de l’égalité géométrique, le citoyen A mérite davantage d’honneurs que le citoyen B : son crédit politique sera double parce qu’il est plus avisé, son salaire sera double car il fait mieux son travail, il recevra deux fois plus de distinctions en raison de son comportement exemplaire, et ainsi de suite. Dans la théorie de l’égalité arithmétique en revanche, la différence de vertu n’entre pas en jeu : A et B sont deux citoyens, et ils sont donc égaux en tous points. Imaginez maintenant que vous souhaitiez partager entre A et B un gâteau carré de côté égal à 2c, A ayant une vertu a supérieure à b, vertu de B (on a donc a+b=2c). Selon l’égalité géométrique, A obtiendrait une part égale à a/b fois celle de B.

L’égalité géométrique, appelée par la suite justice distributive, sert aujourd’hui de base à la notion de justice sociale. Elle procède du projet d’établir une véritable méritocratie, terme forgé en 1958 par le sociologue Michael Young dans The Rise of the Meritocracy, un ouvrage qui dénonce précisément les dérives d’un système où les non-méritants seront peu à peu stigmatisés et mis à l’écart par ceux que la société considère comme étant plus méritants.

Si, a priori, l’égalité géométrique semble plus juste, il reste néanmoins une zone d’ombre à éclaircir : qu’est-ce que la vertu ? Sans entrer dans d’épineux débats philosophiques, il apparaît clairement que la vertu, suivant les cas, peut être synonyme de noblesse aristocratique, de niveau social, de niveau d’études, de QI et de bien d’autres critères encore. Et c’est là précisément qu’intervient la manipulation. Les citoyens les plus « vertueux » sont ceux qui naissent généralement dans les familles les plus aisées et les plus cultivées. Comme le souligne Bourdieu avec son concept de reproduction sociale, les élèves les plus brillants sont le plus souvent issus de la bourgeoisie intellectuelle, de même que les capitaines d’industrie proviennent majoritairement de la bourgeoisie économique. Et si l’on aime à valoriser l’exemple des quelques millionnaires partis de rien, c’est justement pour prouver que le self made man n’est pas un mythe mais une réalité dont chacun pourra s’inspirer pour bâtir son avenir. Le corollaire étant que le laissé-pour-compte ne peut s’en prendre qu’à lui-même – et certainement pas aux difficultés sociales et économiques qui caractérisent son quotidien.

En somme, l’égalité géométrique si chère à Pythagore et Platon n’est autre que la base scientifique de la méritocratie contemporaine ! Elle permet d’accroître les inégalités tout en s’abritant derrière la justice mathématique. À l’inverse, l’égalité arithmétique correspondrait à une égalité parfaite : dans un tel régime, chacun serait rémunéré non pas en fonction de la nature de son travail mais, par exemple, en fonction du nombre d’heures travaillées. Cela aurait pour conséquence de mettre sur un pied d’égalité salariale le directeur commercial et la femme9 de ménage qui prend le premier train de banlieue à cinq heures du matin avant de rentrer chez elle par le dernier. Après tout, le directeur commercial et la femme de ménage se fatiguent tout autant durant leurs longues heures de travail ; pourquoi ne pas considérer l’égalité arithmétique et les rémunérer autant l’un que l’autre ? D’aucuns répondront qu’ils ne créent pas la même richesse et ne contribuent pas à part égale au produit intérieur brut ; mais la vraie raison est sans doute à rechercher du côté de ce que François Dubet appelle « la préférence pour l’inégalité10 »…

Si donc Pythagore ou Platon ont invité les mathématiques dans leur raisonnement politique c’est que les calculs tirent leur force de leur apparente impartialité. Souvent invoquée dans les débats contemporains, l’impartialité des chiffres était déjà saluée par Archytas :

La mésentente a cessé et la concorde s’est accrue du jour où l’on a inventé le mode de calcul. Grâce à lui en effet, au lieu de l’esprit de surenchère, c’est l’égalité qui règne ; c’est encore lui qui nous met d’accord avec ceux avec qui nous traitons d’affaire11.

Le stratège de Tarente avait raison : en vertu de leur puissante objectivité, les mathématiques permettent de régler toutes sortes de conflits. Mais Archytas n’avait sans doute pas prévu que le calcul pourrait un jour être manipulé pour justifier l’inégalité, contre laquelle il a pourtant lutté lorsqu’il exerçait le pouvoir. Fortes de leur impartialité, les mathématiques sont en effet devenues le parfait alibi pour justifier l’injustifiable. Grâce à leur rigueur, leur équité, les nombres semblent inattaquables, et les responsables politiques en appellent volontiers au calcul comme ils le feraient d’un jugement divin. Et face aux inégalités qui se creusent, l’homme d’État d’hier ou d’aujourd’hui se cache pareillement derrière l’argument mathématique pour démontrer qu’il ne peut changer de politique : « Ce n’est pas moi qui le dis, ce sont les chiffres », prétend-il pour prouver sa bonne foi. Puis, assénant le coup de grâce, il ajoutera probablement : « Et les chiffres ne mentent pas ! »

Notes

1. Ce théorème était déjà connu des Babyloniens (on trouve trace de nombreux triplets pythagoriciens sur la tablette Plimpton 322 qui date d’environ – 1800). Pythagore lui-même n’en revendiqua jamais la paternité.

2. L’octave consiste par exemple à passer du do au do directement plus aigu ; la quinte, du do au sol ; la quarte, du do au fa.

3. L’influence de la pensée pythagoricienne sur Platon est immense, et le monde des Idées est une réécriture plus générale de ce que Pythagore aurait pu appeler le monde des Nombres.

4. Ce passage, extrait du livre De la piété attribué à Théano et dont nous avons perdu l’original, est cité par Stobée (Églogues physiques et morales, I, 10, 13, traduction Antoine Houlou-Garcia, Mathematikos, Les Belles Lettres, 2018, p. 103).

5. Ce lien ne sera pas près de se rompre si l’on considère qu’une célèbre preuve du théorème de Pythagore sera proposée en 1876 par le mathématicien James Abram Garfield… un futur président des États-Unis !

6. Qui a également élaboré la moyenne harmonique.

7. Cf. infra, p. 226.

8. Platon, Lois, VI, 757b-d, traduction Édouard des Places, Les Belles Lettres, 1975.

9. Il se trouve malheureusement que les postes de direction sont plus souvent masculins, contrairement aux tâches de nettoyage.

10. François Dubet, La Préférence pour l’inégalité. Comprendre la crise des solidarités, Seuil, « La République des idées », 2014.

11. Fragment de l’ouvrage d’Archytas de Tarente, Des mathématiques, aujourd’hui perdu mais cité par Stobée : Florilège, II, « De la constitution » 135 (traduit par nos soins), éd. A. Meineke, Teubner, 1855, p. 140 (ce passage est souvent cité à tort comme émanant du livre IV).

2.

Calculs machiavéliques

« Le monde ressemble, de plus en plus, à celui de Machiavel. »

Bertrand Russell1

Les jeux de pouvoir et de hasard

« Nous ne pouvons pas résister au penchant de notre nature2. » Et la nature de l’homme qui rédige cette maxime au début du XVIe siècle l’a entraîné vers l’exercice du pouvoir. Aussitôt après sa nomination comme secrétaire de chancellerie, Nicolas Machiavel (1469-1527), puisque c’est de lui qu’il s’agit, devient l’homme fort de la République florentine. C’est à ce titre, dans une époque troublée, qu’il s’acquitte de nombreuses missions sensibles auprès des grands d’Europe. Mais, tout comme Icare s’était mis en danger en se rapprochant du soleil, Machiavel va faire les frais de sa proximité avec le pouvoir. Après plus d’une décennie de succès diplomatiques, le vent tourne.

Au début de l’année 1513, pris dans le jeu hasardeux des alliances qui font et défont princes et papes, le diplomate voit son nom apparaître sur une liste de conjurés soupçonnés d’intriguer contre les Médicis. Arrêté, il est jeté en prison, puis torturé. Déjà, l’un de ses amis est exécuté. Mais la fortune, qui tiendra une grande place dans sa pensée, tourne en sa faveur : Jean de Médicis, qui vient d’être élu pape, décrète une amnistie générale.

Une fois libre, Machiavel prend ses distances avec le pouvoir et rédige ses principaux traités politiques. Il entend s’émanciper d’une philosophie encore dominée par la théologie. Exit Dieu et l’Église, il fonde son système sur le pragmatisme ! Mais qui peut se targuer d’avoir percé à jour la pensée du philosophe florentin ? « Tout le monde voit bien ce que tu sembles, mais bien peu ont le sentiment de ce que tu es3 » : cette maxime de Machiavel, appliquée à lui-même, révélerait sans doute que ses principes tiennent autant du cynisme que de la démarche scientifique. Cela est si vrai qu’un lecteur attentif peut découvrir dans ses œuvres – avec plusieurs siècles d’avance ! – des concepts clés de la théorie mathématique des jeux, telle qu’énoncée dans un ouvrage fondateur des mathématiciens John von Neumann et Oskar Morgenstern, publié en 1944, intitulé Theory of Games and Economic Behavior.

L’algorithme comme général en chef

Imaginez, dans l’Italie du XVIe siècle, un prince à la tête d’une cité puissante. Il possède des troupes nombreuses, aguerries, ainsi que des moyens considérables pour s’en aller guerroyer loin de chez lui. Et voilà que cet homme, sûr de sa force, envisage de conquérir une cité voisine, réputée plus faible que la sienne. Il informe ses généraux de ses intentions afin qu’ils soient parés à toute éventualité. Mais leurs préparatifs alertent les espions de son ennemi. Son futur adversaire connaît désormais le danger qui pèse sur lui. Quelle doit être la décision du prince qui se sent menacé ? Doit-il, malgré ses faibles moyens, livrer bataille de sa propre initiative ou bien attendre entre ses murs l’attaque éventuelle de son puissant ennemi ?

C’est à ce moment qu’intervient Machiavel. Si l’auteur du Prince est connu pour avoir séparé la politique de la morale, il a aussi écarté du pouvoir les notions de courage, voire de panache, pour imposer une pure gestion reposant sur les probabilités. Sous sa plume, la figure du héros s’efface pour laisser place à un gestionnaire de risques qui confiera ses décisions à des modèles mathématiques – une démarche inédite qui va franchir les siècles pour s’imposer au sommet des États modernes lorsqu’il s’agit d’opter pour la solution la moins coûteuse, financièrement ou en vies humaines.

C’est essentiellement dans le Discours sur la première décade de Tite-Live et dans L’Art de la guerre que Machiavel aborde la théorie de la décision sous l’angle mathématique. Après avoir examiné de nombreuses situations historiques, il quantifie la dynamique d’affrontement des deux camps, tout en réduisant le degré de liberté de l’ennemi. Concrètement, cela signifie qu’il faut toujours tenter d’avoir au moins un coup d’avance sur son adversaire. Machiavel l’explique ainsi :

Un prince dont les États sont peuplés d’hommes nombreux et aguerris doit toujours attendre chez lui un ennemi puissant au lieu d’aller à sa rencontre ; mais que celui qui a des sujets désarmés et peu aguerris doit l’éloigner de son territoire le plus qu’il peut. Ainsi l’un et l’autre se défendront mieux, chacun selon ses moyens4.

Cette manière de systématiser la prise de décision peut se résumer ainsi5 :

Fort

Faible

Attendre

Probablement

vainqueur

Sûrement battu

Attaquer

Peut-être perdant

Peut-être gagnant

Bonnie & Clyde

Ce genre de tableau se trouve au cœur de la théorie des jeux, dont l’exemple le plus célèbre est sans doute le dilemme du prisonnier. Cette expérience de pensée met en jeu deux complices d’un crime, appelons-les Bonnie et Clyde, qui sont arrêtés par la police et retenus dans deux cellules différentes afin d’être empêchés de communiquer. Manquant de preuves, les enquêteurs exploitent le fait que les deux suspects ne peuvent pas s’accorder sur une stratégie. À chacun des deux, il est ainsi proposé :

–si tu dénonces ton camarade, il sera condamné à dix ans de prison tandis que tu seras remis en liberté ;

–si vous vous dénoncez mutuellement, vous serez tous les deux condamnés à cinq ans de prison ;

–si aucun de vous deux ne dénonce l’autre, vous ne ferez que six mois de prison car nous manquons de preuves pour vous accuser.

Bonnie trahit Clyde

Bonnie ne trahit pas Clyde

Clyde trahit Bonnie

Bonnie : 5 ans

Clyde : 5 ans

Bonnie : 10 ans

Clyde : libre

Clyde ne trahit pas Bonnie

Bonnie : libre

Clyde : 10 ans

Bonnie : 6 mois

Clyde : 6 mois

Offrant aux accusés une porte de sortie honorable, cette proposition semble correcte. Regardons maintenant de plus près comment chacun des deux prisonniers peut raisonner :

–Si mon complice ne me dénonce pas :

  ° soit je me tais et alors je ferai six mois de prison ;

  ° soit je le dénonce et je serai libre.

–Si mon complice me dénonce :

  ° soit je me tais et alors je ferai dix ans de prison ;

  ° soit je le dénonce et je ferai cinq ans de prison.

En somme, si un prisonnier décide de ne pas dénoncer son complice, il fera six mois de prison dans le meilleur des cas, et dix dans le pire. S’il le dénonce, il fera entre zéro et cinq ans. Dans tous les cas, chaque prisonnier a intérêt à dénoncer l’autre. Sauf que si les deux se dénoncent mutuellement, ce sont bien dix ans de prison cumulés qui les attendent et les enquêteurs auront réussi leur coup !

La pensée de Machiavel, qui se trouve à la source de ces raisonnements codifiés à outrance, est sans doute celle qui a le plus influencé – et influence encore – les responsables politiques du monde entier. Ses modèles mathématiques, froids et déshumanisants, excluent systématiquement toute notion de courage, d’équité, de loyauté, voire d’amour et de sacrifice. Dans cette situation précise, ils négligent par exemple le fait que Bonnie et Clyde peuvent avoir confiance l’un en l’autre : si c’est le cas, ils ne se trahiront jamais et ne feront que six mois de prison, ce qui n’est pas cher payé. Dans la seule optique du penseur florentin, le but de Bonnie comme de Clyde serait de maximiser ses chances de sauver sa propre peau, mais certainement pas de considérer qu’il faut sauver le duo Bonnie & Clyde sous prétexte que la liberté de l’un n’aurait aucun sens sans celle de l’autre. De la même manière, les démonstrations de Machiavel sont tout à fait étrangères au cas d’un résistant qui préfère le suicide à la délation, car il refuse de dénoncer ses camarades sous la torture ou contre la promesse de la vie sauve. Le modèle mathématique, lorsqu’il est programmé pour servir l’intérêt personnel, s’oppose bien souvent à ce qu’il y a de plus noble chez l’être humain.

Les croissants de la colère

Imaginons maintenant deux boulangers concurrents, de qualité égale, et installés face à face dans une rue de la Florence de la Renaissance : Au croissant pair et Au croissant impair. Pour attirer davantage de clients, Au croissant pair décide de baisser ses prix : Machiavel, comme ses concitoyens, accourt déguster son croissant en promotion. Au croissant impair se désole devant son fourneau avant de contre-attaquer en baissant lui aussi ses prix au-dessous de ceux de son concurrent. Au croissant pair baisse à nouveau ses prix et ainsi de suite jusqu’au moment où ni l’un ni l’autre ne peuvent plus poursuivre sur cette voie à moins de risquer la faillite. Résultat : la guerre des boulangers a fait chuter la rentabilité de leur activité et aucun des deux n’a pris l’avantage sur l’autre ; en revanche, Machiavel et tous les clients sont ravis de payer moins cher leurs croissants ! On se trouve ici dans une situation équivalente à celle des deux prisonniers se dénonçant mutuellement, pour le plus grand bonheur des enquêteurs.

Que font donc les boulangers plus malins ? Plutôt que de se livrer une guerre des prix par le bas, ils augmentent tous les deux leurs tarifs ! Faute de pouvoir se passer de leur croissant matinal, les Florentins sont alors condamnés à le payer au prix fort. En accordant leur stratégie, nos deux boulangers s’enrichissent sur le dos de leurs clients. Si l’entente sur les prix est illégale, car elle se fait au détriment des consommateurs, elle est néanmoins très répandue, comme ce fut le cas dans le domaine des opérateurs téléphoniques (en 2005, Orange, SFR et Bouygues Telecom ont été condamnés à payer un total de 534 millions d’euros pour cette pratique), dans celui de l’intérim (en 2009, Adecco, Manpower et VediorBis ont été condamnés à payer 94 millions d’euros), ou encore dans le secteur bancaire (en 2010, la Banque de France, BPCE, la Banque postale, BNP Paribas, la Confédération nationale du Crédit mutuel, le Crédit agricole, le Crédit du Nord, le CIC, LCL, HSBC et la Société générale ont été condamnés à payer 385 millions d’euros). Ces amendes, très mesurées au regard de la puissance financière de ces groupes, n’ont rien de véritablement dissuasif. Ici, le calcul machiavélique a livré son verdict : le risque encouru étant relativement faible, il est plus opportun de tricher.

Manipuler pour coopérer

Mais comment s’assurer que son adversaire devienne un partenaire ? Par la main tendue, par l’altruisme, la fraternité ? Certainement pas. Pour répondre à cette question, prenons l’exemple du jeu télévisé britannique Golden Balls diffusé sur ITV entre 2007 et 2009. La partie de cette émission qui nous intéresse est le Split or Steal ?, soit « Partager ou voler ? », durant lequel deux candidats doivent se répartir une somme d’argent. Chacun des deux a devant lui une boule portant la mention Split et une autre portant la mention Steal. Ils doivent en choisir une en secret pour indiquer leur intention, sachant que :

–si les deux choisissent de partager, ils reçoivent chacun la moitié du jackpot ;

–si l’un choisit Steal et l’autre choisit Split, le candidat qui a choisi Steal remporte le gros lot et le candidat Split repart les mains vides ;

–si les deux choisissent Steal, aucun des deux candidats ne gagne d’argent.

Chacun des deux a donc intérêt à faire croire à l’autre qu’il a choisi Split pour obtenir la moitié du magot, quitte à éventuellement choisir Steal pour tout rafler. Sauf que, lors d’un épisode opposant les dénommés Nick et Ibrahim, une nouvelle stratégie a médusé le public et le présentateur. Dans le court moment accordé aux candidats pour s’annoncer leurs intentions mutuelles, Nick a pris la parole de façon douce mais très ferme : « Ibrahim, je veux que tu me fasses confiance. À 100 % je vais choisir la boule Steal. » Ibrahim n’en croit pas ses oreilles, le public est tout autant amusé que stupéfait. Nick s’explique : il demande à Ibrahim de choisir la boule Split et promet que, ayant empoché l’intégralité du jackpot, il lui en remettra la moitié.

Face à un adversaire qui déclare qu’il volera le magot, Ibrahim n’a de toute façon pas le choix : s’il choisit Steal, personne ne gagnera rien ; s’il choisit Split, il doit espérer que Nick tiendra sa promesse. Bref, Ibrahim n’a aucune marge de manœuvre, aucun degré de liberté. Voilà la parfaite illustration de la théorie de Machiavel consistant à réduire les possibilités de l’adversaire, mais sans pour autant lui enlever tout espoir : il n’est « point prudent de porter à l’extrême le désir de la victoire ni de réduire les vaincus ou désespoir, parce que celui qui n’espère plus le bien ne craint plus le mal6 ». Si Ibrahim n’avait en effet aucune chance de gagner le moindre shilling, il deviendrait incontrôlable et ne souhaiterait que la défaite de Nick. En revanche, ayant encore un mince espoir de succès, il ne peut que s’en remettre à son adversaire.

Ibrahim s’agace, certes, car il sent bien qu’il est manipulé, mais il n’a guère le choix ; et après quelques minutes de discussion, il annonce qu’il accepte le marché inédit de son concurrent. Lorsque les deux candidats dévoilent leur choix aux caméras, Ibrahim exhibe alors la boule Split d’un air résigné tandis que Nick, contrairement à ce qu’il avait annoncé, montre la boule Split ! En voyant cela, Ibrahim est certes soulagé d’empocher la moitié des 13 600 livres en jeu, mais il s’emporte en demandant à Nick pourquoi il lui a fait vivre un tel calvaire ; peu après, les deux candidats se serrent la main et se quittent tout sourire, chacun repartant avec sa part du butin.

Évidemment, s’étant assuré qu’Ibrahim n’avait d’autre choix que de partager pour ne pas tout perdre, Nick pouvait lui aussi opter pour le partage car il était sûr qu’Ibrahim ne tenterait pas de voler le magot. C’est donc en le manipulant qu’il s’est assuré de sa coopération !

En 1979, Robert Axelrod, professeur de science politique et spécialiste de la théorie des jeux, a organisé un tournoi afin d’identifier la meilleure stratégie dans le cadre d’affrontements en un contre un. Petite variante par rapport à Golden Balls et aux autres expériences de ce type : ce n’étaient pas des êtres humains qui participaient au tournoi mais… des logiciels ! Ces programmes informatiques étaient capables de communiquer entre eux et avaient pour but de gagner un maximum de points. Afin de permettre aux logiciels d’affiner leur stratégie, chacun d’eux défia deux cents fois ses différents adversaires.

Face à des logiciels très agressifs qui tentaient systématiquement de voler leurs concurrents, ou à d’autres qui essayaient de les surprendre grâce à un comportement en partie aléatoire, le logiciel qui sortit vainqueur fonctionnait sur une idée simple :

–coopérer dans un premier temps ;

–si l’adversaire a été honnête, continuer à coopérer ; s’il a été agressif, l’agresser en retour ;

–pardonner et offrir à nouveau de coopérer.

Au cours du tournoi, de nombreux logiciels ont fini par coopérer, une stratégie qui s’est révélée de loin la plus fructueuse. Ce système de coopération-réciprocité-pardon a été inventé par le mathématicien russo-américain Anatol Rapoport. Par la suite, Axelrod a tiré les leçons de ces expériences dans un ouvrage traduit en français sous le titre Comment réussir dans un monde d’égoïstes : théorie du comportement coopératif. Il y démontre que la conclusion d’un partenariat relève davantage de la manipulation que d’un élan humaniste. Ainsi, dans une société qui rationalise à outrance ses décisions, la politique de la main tendue n’est rien de moins que le résultat d’un calcul. Machiavel peut triompher : lorsque les maîtres mots sont intérêt personnel, la fraternité devient la forme la plus aboutie de l’égoïsme.

Malice au pays des merveilles

Remontons une nouvelle fois le temps pour nous demander maintenant quel rapport peut bien entretenir avec un conte pour enfants la mathématisation du vote ou la manipulation d’une élection. Pour le savoir, nous allons nous intéresser à un certain Charles Dodgson (1832-1898), un éminent professeur de mathématiques qui, en ce milieu du XIXe siècle, vit à Oxford et enseigne au prestigieux Christ Church College. Bien qu’il soit l’auteur d’une douzaine de livres traitant d’algèbre et de logique, le nom de ce mathématicien n’est pas connu du grand public ; son pseudonyme en revanche l’est davantage : Lewis Carroll !

Passionné par la photographie, c’est au printemps 1856 que Charles Dodgson se rend dans le jardin de Henry Liddell, le doyen du Christ Church College, et y prend des clichés de ses enfants, dont la toute jeune Alice. L’homme est très vite séduit par la petite fille et devient un proche de la famille Liddell. Mais quelques années plus tard, le vent tourne : en 1864, les parents d’Alice interdisent tout à coup à leur ami de s’approcher de leurs enfants. La raison ? Il semble qu’en juin 1863, au cours d’une promenade en barque avec Alice, alors âgée de onze ans, le futur Lewis Carroll ait demandé la jeune fille en mariage, voire ait eu quelques gestes déplacés7. Mais si nul ne connaît le fin mot de l’histoire, il faut admettre que les innombrables clichés de fillettes nues pris par Dodgson au cours de sa vie ne plaident pas particulièrement en sa faveur…

La brouille est donc consommée entre le professeur de mathématiques et Henry Liddell lorsque ce dernier propose un vote afin de ratifier son projet de réaménagement du Christ Church College. Charles Dodgson s’intéresse aussitôt à la mathématique électorale afin de faire échouer les plans de son adversaire. Il ne s’agit nullement de truquer le scrutin mais d’explorer au mieux les différents ressorts théoriques du vote afin de le manipuler à son avantage. Laissons donc là le différend entre les deux hommes pour nous focaliser sur les travaux de Dodgson, qui finira par publier A Discussion of the Various Methods of Procedure in Conduction Elections, où il s’attachera à démontrer « qu’en fonction des circonstances, chaque type de scrutin est susceptible de donner le mauvais résultat8 ». Il note en effet l’existence probable de cycles, comme Condorcet l’avait remarqué plus tôt et comme Kenneth Arrow9 le redécouvrira en élaborant ce que l’histoire a retenu sous le nom de théorème d’impossibilité10.

Pour clarifier sa théorie, Condorcet a proposé un exemple11 assez simple de cycle, qui prend en compte 60 électeurs et trois candidats (A, B et C) et que l’on peut résumer ainsi :

–23 électeurs préfèrent : A > B > C ;

–17 électeurs préfèrent : B > C > A ;

–2 électeurs préfèrent : B > A > C ;

–10 électeurs préfèrent : C > A > B ;

–8 électeurs préfèrent : C > B > A.

Cela signifie que 23 électeurs classent A en premier choix, B en deuxième et C en troisième. Et ainsi de suite. On peut en conclure, en formant des comparaisons par paires, que :

–33 électeurs préfèrent A > B contre 27 pour B > A ;

–42 électeurs préfèrent B > C contre 18 pour C > B ;

–35 électeurs préfèrent C > A contre 25 pour A > C.

La première ligne permet de conclure que, pour la majorité des électeurs, A vaut mieux que B. La deuxième ligne signifie que B vaut mieux que C, et la dernière que C vaut mieux que A. On aboutit alors au cycle : A>B>C>A ! Condorcet appelle cela un résultat contradictoire, Dodgson un cycle et Arrow un paradoxe, la somme des choix individuels ne semblant pas en effet aboutir à un choix collectif cohérent.

Mais là où Condorcet et Arrow pointent du doigt la difficulté d’un corps électoral à exprimer un choix social indiscutable, Dodgson, alias Lewis Carroll, y voit plus malicieusement l’idée que l’on peut faire gagner qui l’on veut en changeant simplement la règle du vote. Pour s’en assurer, prenons l’exemple d’une élection à quatre candidats A, B, C, D que doivent départager douze électeurs en les classant par ordre de préférence. Le résultat du vote est le suivant :

 Électeurs

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Rang no 1

D

C

D

C

D

D

C

A

D

D

C

B

Rang no 2

A

B

B

B

B

B

B

B

C

C

B

C

Rang no 3

B

D

A

A

A

A

A

C

A

A

A

A

Rang no 4

C

A

C

D

C

C

D

D

B

B

D

D

Si l’organisateur du scrutin souhaite la victoire de D, il décrétera que le gagnant sera celui qui obtiendra la majorité de voix au rang 1, soit la première préférence. En effet, D obtient 6 fois la première place, lui assurant ainsi la victoire.

S’il est convenu en revanche que A doit l’emporter, on stipulera qu’il convient d’assurer la paix sociale en faisant le choix du candidat le moins souvent placé en dernière position. Dans cette optique, A l’emporte haut la main, lui qui n’est placé qu’une seule fois en dernier choix.

Pour faire élire B, l’organisateur du scrutin décidera cette fois que le candidat idéal sera le moins clivant. Le gagnant sera par conséquent celui qui obtiendra la meilleure moyenne. On attribuera pour cela 4 points au candidat cité au premier rang, 3 points à celui du deuxième rang, 2 points à celui du troisième et 1 point au candidat classé en dernière position. Voilà comment B sera élu avec un total de 32 points contre 31 pour C et D et 26 pour A.

Enfin, si l’on souhaite la victoire de C, il faudra recourir à un découpage électoral. Il suffira pour cela de classer les douze votants en trois groupes ; les électeurs 1, 3, 5 et 6 intégreront le premier groupe, les électeurs 2, 4, 8 et 9 le deuxième, et les restants le troisième. En ne considérant que le premier choix des électeurs, le premier groupe plébiscitera D tandis que les deux autres éliront C. Le candidat C aura donc deux groupes sur trois en sa faveur, ce qui lui assurera la victoire.

Manipulation perfide ou choix politique ?

Le recours pernicieux à ces différents types de scrutins a permis à des chefs d’État de rester au pouvoir ou de faire élire tel ou tel gouverneur de province qui leur était favorable. La manipulation la plus répandue restant sans doute ce que l’on nomme le charcutage électoral, soit le découpage de circonscriptions auquel procèdent bien des gouvernements à travers le monde pour s’assurer une victoire qui, sans cela, risquerait de leur échapper.

Mais oublions un instant les trucages électoraux et prenons un peu de hauteur en nous demandant lequel des candidats de notre exemple doit être élu : A, B, C ou D ? Et laquelle de ces règles est la plus juste : celle utilisant la fréquence la plus haute, celle qui privilégie la fréquence la plus basse, celle qui a recours à la moyenne arithmétique ou celle enfin qui en appelle au scrutin indirect ? Le problème en réalité est mal posé. Car, du seul point de vue de l’outil statistique et donc de la règle de vote, ces différentes méthodes de scrutin sont toutes parfaitement légitimes. Aucune d’elles n’est juste ni injuste dans l’absolu. Ici, la question de la légitimité doit s’effacer devant celle de la cohérence avec les buts que s’est fixés la société.

Prenons le cas où D l’emporte après avoir obtenu la majorité de voix au rang 1. Cette règle convient parfaitement à des électeurs convaincus que la société doit faire l’objet d’une alternance régulière, et qui auront tendance à privilégier un résultat clivant. (Mais la prochaine élection verra sans doute le triomphe de son principal opposant.) Si, en revanche, une société souhaite élire un candidat plus consensuel, elle optera pour un scrutin qui se fonde sur la moyenne arithmétique : B sera élu et l’opinion sera moins portée à se scinder en deux camps opposés. Et si la paix sociale importe encore davantage à une société donnée, elle choisira alors le système qui élira le candidat le moins souvent placé au rang 4, soit le moins détesté. Ce dernier résultat peut sembler étrange ; comme A occupe souvent la troisième position, la règle ferait ici élire un candidat globalement mal classé. Pourtant, cette méthode n’est pas plus étonnante que celle qui consiste à élire un candidat majoritaire au rang 1 sans tenir compte du fait qu’il est le plus rejeté dans les préférences secondaires.

Enfin, la règle qui consiste à morceler le corps électoral en différents groupes n’est pas davantage injuste en soi. Certes, ce système a souvent été utilisé pour manipuler une élection ; mais si, de bonne foi, l’on confère à ce découpage un sens géographique, sociologique, historique, confessionnel ou autre, alors il devient parfaitement légitime. Il serait par exemple peu cohérent d’utiliser une règle majoritaire dans un État qui a fait le choix du fédéralisme face au centralisme12. Si donc, comme c’est le cas outre-Atlantique, la nation américaine est considérée comme l’association de ses États membres, il est cohérent que les électeurs soient regroupés sous la bannière de ces mêmes États et que la règle majoritaire s’applique aux États et non aux citoyens. C’est ce qui a permis par exemple à Donald Trump de l’emporter face à Hillary Clinton en 2016 alors qu’il avait obtenu un nombre total de voix inférieur, situation qui s’est vérifiée à trois autres reprises dans l’histoire de l’élection présidentielle américaine13. Si l’on y voit un paradoxe, c’est que l’on est trop habitué à la règle de majorité simple. Or, aux États-Unis, la règle n’est pas d’avoir davantage de voix que son adversaire mais davantage d’États. Il ne s’agit en rien d’un trucage mais d’une question de cohérence avec la constitution politique du fédéralisme américain.

Notes

1. Incipit de la dernière phrase du chapitre « Machiavel », in Bertrand Russell, Histoire de la philosophie occidentale, Les Belles Lettres, 2017, tome II, p. 589.

2. Nicolas Machiavel, Discours sur la première décade de Tite-Live, livre III, chap. 9, in Œuvres complètes, traduction Edmond Barincon, Gallimard, « Bibliothèque de la Pléiade », 1952. Les citations suivantes de Machiavel sont tirées de cette édition.

3. Nicolas Machiavel, Le Prince, chap. XVIII, op. cit.

4. Discours sur la première décade de Tite-Live, livre II, chap. 12, op. cit.

5. Cf. Marc Barbut, « Machiavel et la praxéologie mathématique », in Thierry Martin (éd.), Mathématiques et action politique. Études d’histoire et de philosophie des mathématiques sociales, Ined, 2000.

6. Nicolas Machiavel, Histoires florentines, livre II, chap. 14, op. cit.

7. Cf. Morton Cohen, Lewis Carroll : A Biography, Vintage Books, 1996, p. 30-35.

8. Ibid., p. 214.

9. Kenneth Arrow (1921-2017) reçut en 1972 le prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d’Alfred Nobel – que nous appellerons, de façon impropre mais moins lourde, « prix Nobel d’économie » dans la suite de l’ouvrage.

10. Que beaucoup de théoriciens politiques considèrent comme étant la preuve que la démocratie est impossible à cause de l’existence même des cycles.

11. Nicolas de Condorcet, Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, 1785, p. lviii.

12. Comme ce fut le cas durant les premières décennies qui ont suivi l’indépendance de la nation américaine.

13. En 1876, en 1888 ou encore en l’an 2000.