© Éditions Albin Michel, 2016

ISBN : 978-2-226-42107-4

À la mémoire de mes parents et de ma sœur,

et à tous ceux qui sont à la recherche du vide fécond

Avant-propos

Après avoir exploré les propriétés de l’infini1, il est naturel que je me penche sur le vide. L’homme se situe entre deux infinis, l’infiniment petit et l’infiniment grand. Comme Pascal l’a observé : « Qu’est-ce que l’homme dans la nature ? Un néant à l’égard de l’infini, un tout à l’égard du néant, un milieu entre rien et tout, infiniment éloigné de comprendre les extrêmes2. » Le vide, comme l’infini, n’a cessé de se manifester, sous les apparences les plus variées, dans différents domaines de la pensée humaine. Il a non seulement attiré l’attention des philosophes et des théologiens, mais aussi celle des mathématiciens, des physiciens et des cosmologues. Et chaque fois, la rencontre avec le vide a permis à l’homme de progresser et de grandir. Léonard de Vinci le remarquait justement : « De tous les grands concepts que nous portons en nous, celui du néant est sans doute le plus fécond. »

Le vide s’est manifesté dans le monde des mathématiques sous la forme du zéro. Il existe une énigme à ce sujet : pourquoi le zéro n’est-il pas né en Occident, malgré les grandes avancées réalisées dans le domaine des mathématiques par les Grecs, mais en Orient ? Pourquoi le zéro a-t-il suscité un tel effroi dans la pensée occidentale, alors qu’il a été accueilli à bras ouverts par la pensée orientale ? Pourquoi a-t-il fallu attendre jusqu’au Ve siècle pour que le génie mathématique indien confère enfin au zéro le statut d’un nombre à part entière ? Le premier chapitre tentera de répondre à ces interrogations.

Dans le deuxième chapitre, nous explorerons les débuts scientifiques de la notion de vide. Comment celle-ci a-t-elle fait son entrée dans les sciences physiques avec la théorie de l’atomisme de Leucippe et Démocrite, vers le Ve siècle avant notre ère ? Pourquoi les voix des atomistes furent-elles vite étouffées par celles, considérablement plus influentes, de Platon et surtout d’Aristote qui clama haut et fort que « la nature a horreur du vide » ? Comment, au XVIe siècle, après quelque vingt siècles d’horror vacui aristotélicien, le vide a-t-il cessé d’être le sujet de discussions théologiques et philosophiques pour devenir enfin une question scientifique qui peut être résolue de manière expérimentale ? Nous verrons comment Torricelli, élève de Galilée en Italie, puis Pascal en France réussirent, par une série d’expériences remarquables basées sur des colonnes de mercure (ou d’autres liquides) dans des tubes en verre, à créer un vide physique durable sur Terre, démontrant ainsi que, dans certaines situations, la nature n’abhorre pas le vide. Comment ces expériences mettent-elles en évidence la réalité de la pression atmosphérique et du poids de l’air ?

Mais si du vide peut être créé sur Terre, pouvons-nous être certains que l’espace au-delà de notre planète est totalement vide ? Le troisième chapitre se penchera sur l’idée aristotélicienne d’une « quinte essence » invisible appelée « éther », plus légère que l’air, l’eau, la terre et le feu, qui baignerait l’univers tout entier. Comment la notion d’éther a-t-elle évolué au cours du temps ? Pourquoi de grands scientifiques, tels Newton avec sa théorie de la gravitation universelle en 1687 et Maxwell avec sa démonstration au XIXe siècle que la lumière n’est autre qu’une onde électromagnétique, ont-ils ressenti la nécessité de faire appel à l’éther pour renforcer leurs théories ? Les théories scientifiques doivent être soumises à la vérification par l’expérience ou l’observation. Comment pouvons-nous mettre en évidence l’existence (ou la non-existence) de l’éther ? Nous verrons comment l’ingénieuse expérience des physiciens Michelson et Morley apporta un début de réponse à cette question à la fin du XIXe siècle. Mais c’est au début du XXe siècle qu’Einstein le révolutionnaire allait fournir, grâce à sa théorie de la relativité, la solution définitive, et décider une fois pour toutes du sort de l’éther. Ce faisant, il allait modifier profondément nos notions habituelles de temps et d’espace. Comment le jeune physicien a-t-il pu accomplir un tel prodige ?

La relativité n’est pas la seule théorie à bouleverser profondément notre vision du réel. L’autre grande théorie du début du XXe siècle, la mécanique quantique, la physique qui décrit le monde des atomes et des particules subatomiques, nous présente aussi une conception du vide radicalement nouvelle. Dans le quatrième chapitre, nous nous intéresserons à cette conception inédite du vide, en nous demandant notamment si la matière qui compose notre corps et les objets autour de nous n’est que du « presque vide », ainsi que les physiciens nous l’affirment. Et supposons que nous enlevions toute matière de l’espace, obtiendrait-on alors un vrai vide ? La réponse, surprenante et extraordinaire, fera appel à ce que les physiciens appellent le « principe d’incertitude de Heisenberg » qui régit le monde de l’infiniment petit. Pour y parvenir, nous aurons recours à des concepts nouveaux tels que le flou de l’énergie et à des entités étranges qui bafouent le bon sens, telles que les particules virtuelles ou le vide plein.

Le cinquième chapitre traitera de la cosmologie. Car l’univers est lié au vide par excellence. Comment celui-ci est-il passé de la non-existence à l’existence, du non-être à l’être, du néant à quelque chose ? Quel est le rôle du vide dans la naissance de l’univers ? Comment le vide a-t-il pu être la cause du « bang » du big bang, cette fameuse explosion primordiale qui s’est produite il y a 13,8 milliards d’années, lançant l’univers dans une expansion folle à partir d’un état extrêmement petit, chaud et dense ? Comment le vide a-t-il pu générer toute la beauté et la complexité du monde ? L’univers a décéléré pendant les sept premiers milliards d’années de son existence, freiné par la force de gravité attractive de son contenu en matière et énergie. Mais depuis le huitième milliard d’années, il est en accélération, poussé par une mystérieuse force antigravité répulsive appelée, faute de plus d’informations, « énergie noire ». Le vide est-il responsable de l’accélération de l’univers ? Se peut-il que l’énergie noire ne soit qu’une manifestation de l’énergie du vide ?

Enfin, le dernier et sixième chapitre comparera la connaissance rationnelle du cosmos avec la connaissance mystique orientale. Le Vide joue en effet un rôle primordial dans les visions taoïste et bouddhiste du monde. Pour les taoïstes, le Tao est le Vide qui est à l’origine de l’univers. C’est en s’identifiant au Vide originel que l’homme devient le miroir du monde et peut appréhender le rythme du temps et de l’espace. Quant au bouddhisme, il parle explicitement du Vide ou de la vacuité des choses. À cause de l’interdépendance des phénomènes, rien ne peut exister en soi ni être sa propre cause, et les choses sont dépourvues d’existence intrinsèque. Comment ces visions de la spiritualité orientale rejoignent-elles la conception scientifique du vide ?

Cet ouvrage s’adresse à tout « honnête homme » curieux des développements scientifiques et philosophiques sur le vide. En le rédigeant, j’ai pris soin d’éviter toute démonstration trop technique, si bien qu’aucune connaissance scientifique avancée n’est requise de la part du lecteur. En même temps, je me suis efforcé de ne compromettre en aucun cas la rigueur et la précision de l’exposé. Le texte est également accompagné d’illustrations qui permettent à la fois d’éclairer mes propos et d’en égayer la lecture.

Trinh Xuan Thuan
Paris, juin 2016

1.

Trinh Xuan Thuan, Désir d’infini, Folio essais, 2014.

2.

Blaise Pascal, Pensées, Folio classique, 2004.

I.

Le vide mathématique

Le vide et le néant

La notion de vide n’a cessé de hanter l’humanité depuis l’aube des temps. Qu’est-ce que le vide ? Le Petit Larousse nous dit : « Un espace qui ne contient rien. » Le Dictionnaire culturel 1, lui, précise : « Un espace qui n’est pas occupé par de la matière. » Le concept d’un espace préexistant est donc intimement et indissolublement lié à celui du vide. Le vide est l’absence de matière dans un espace défini, que cet espace soit à l’intérieur d’une bouteille de vin ou au sein de l’univers entier. Mais ce qui nous subjugue dans la notion de vide, c’est, au-delà du concept d’un espace dénué de tout, qu’elle suggère la notion de néant qui lui est souvent associée. Le même Petit Larousse nous dit que le néant est le « non-être, ce qui n’existe pas » ou « ce qui n’a pas encore d’existence ou qui a cessé d’être ». Contrairement à la notion de vide, celle de néant n’implique pas d’espace sous-jacent : puisque le néant est l’absence d’existence, la notion même d’espace n’a plus de sens. La notion de néant nous fascine car elle nous oblige à confronter le problème du passage du non-être à l’être, de la non-existence à l’existence. Elle nous contraint à imaginer des temps passés où nous n’étions pas encore et des temps futurs où nous ne serons plus.

Parce qu’il sera beaucoup question de science dans cet ouvrage, j’utiliserai de préférence le mot « vide » ici, car il sous-entend l’existence préalable d’un espace. L’idée d’un espace sous-jacent est en effet nécessaire à la description de tout phénomène dans la science connue. En revanche, le mot « néant » sera utile quand le concept d’espace n’entre pas directement en jeu, ce qui est souvent le cas dans un contexte philosophique.

Faire le vide dans son esprit

Il n’est pas aisé de se représenter le néant : comment concevoir ce qui n’existe pas ? Je peux tenter d’éliminer successivement par la pensée toutes les choses qui m’entourent : la chaise où je suis assis, le bureau où j’écris, la chambre, la maison, toutes les habitations dans le voisinage, les arbres, les fleurs et les montagnes, la ville, le pays, le continent, la Terre, le Soleil, les centaines de milliards d’étoiles dans la Voie lactée et les centaines de milliards de galaxies de l’univers observable. À la fin surgit dans mon esprit un univers vide de tout, que j’imagine enveloppé d’un silence de plomb, plongé dans un noir d’encre et immergé dans une froideur glaciale.

Mais en considérant un univers qui se vide de plus en plus, mes processus de pensée ne ralentissent pas, ils continuent d’opérer. Et s’ils ne s’arrêtent pas, c’est parce qu’il est impossible de supprimer la pensée. Comme George Steiner a remarqué très justement : « Il est deux processus que les êtres humains ne sauraient arrêter aussi longtemps qu’ils vivent : respirer et penser. En vérité, nous sommes capables de retenir notre respiration plus longtemps que nous ne pouvons nous abstenir de penser. À la réflexion, cette incapacité à arrêter la pensée, à cesser de penser, est une terrifiante contrainte2. » Dans ce contexte, l’expression « faire le vide dans son esprit » est mal interprétée si nous la comprenons dans le sens de débarrasser son esprit de toute pensée, puisque cette tâche est impossible à réaliser. En fait, il faut plutôt comprendre que cette expression, souvent invoquée dans le contexte de la méditation, ne signifie pas tant arrêter la pensée que faire le vide d’action et de distraction, arrêter le tumulte des pensées et se concentrer sur l’instant présent. Méditer, ce n’est pas arrêter toute pensée, ce qui est infaisable, mais s’arrêter de constamment s’agiter pour retrouver la sérénité intérieure ; c’est passer du mode « faire » au mode « être » ; c’est ne pas toujours ressasser le passé ou penser à l’après, mais se concentrer sur l’instant présent ; c’est se concentrer sur son souffle et être conscient de son corps et des objets qui nous entourent ; c’est éliminer le plein du bruit et de la fureur, c’est s’échapper du tapage, du chaos et des sensations turbulentes pour retrouver le vide de la pleine conscience et de la présence attentive3.

Le néant n’est-il qu’une pseudo-idée ?

Le philosophe Henri Bergson (1859-1941) a ainsi décrit sa propre expérience de pensée pour éliminer les informations sensorielles qui l’assaillent de toute part et cela pour cerner la non-existence : « Je vais fermer les yeux, boucher mes oreilles, éteindre une à une les sensations qui m’arrivent du monde extérieur : voilà qui est fait, toutes mes perceptions s’évanouissent, l’univers matériel s’abîme pour moi dans le silence et dans la nuit. » Mais il va plus loin. Son expérience de pensée pour imaginer le néant le conduit à la conclusion paradoxale que quoi qu’il fasse, il ne peut se représenter l’annihilation totale du contenu matériel de l’univers, car il se heurte inévitablement à son soi, à sa conscience, au fait qu’il existe : « Je subsiste cependant, et ne puis m’empêcher de subsister. Je suis encore là, avec les sensations organiques qui m’arrivent de la périphérie et de l’intérieur de mon corps, avec les souvenirs que me laissent mes perceptions passées, avec l’impression même, bien positive et bien pleine, du vide que je viens de faire autour de moi. Comment supprimer tout cela ? Comment s’éliminer soi-même ? »

Malgré tous ses efforts pour atténuer les sensations que son corps lui envoie et pour éliminer sa conscience, celle-ci revient avec insistance : « À l’instant même où ma conscience s’éteint, une autre conscience s’allume ; ou plutôt elle s’était allumée déjà, elle avait surgi l’instant d’auparavant pour assister à la disparition de la première… Ainsi, j’ai beau faire, je perçois toujours quelque chose, soit du dehors, soit du dedans. Quand je ne connais plus rien des objets extérieurs, c’est que je me réfugie dans la conscience que j’ai de moi-même ; si j’abolis cet intérieur, son abolition même devient un objet pour moi imaginaire qui, cette fois, perçoit comme un objet extérieur le moi qui disparaît. Extérieur ou intérieur, il y a donc toujours un objet que mon imagination se représente. » Parce qu’il est impossible de supprimer sa conscience, le philosophe conclut que « l’idée du néant absolu, entendu au sens d’une abolition de tout », n’a pas de sens, qu’elle est « une idée destructive d’elle-même, une pseudo-idée, un simple mot4 ». Pour Bergson, l’idée du néant ne peut être un concept valide car toute idée suppose une conscience. Or, dès qu’il y a conscience, parler de néant n’a plus de sens.

La conclusion du philosophe que le néant n’est qu’une « pseudo-idée, destructive d’elle-même » repose sur l’hypothèse que l’univers contient en permanence des êtres doués de conscience, capables d’appréhender sa beauté et son harmonie. C’est certainement le cas pour notre univers, à l’époque actuelle, 13,8 milliards d’années après le big bang. Sur une planète appelée Terre, la troisième à partir d’une étoile appelée Soleil, dans la banlieue d’une galaxie nommée Voie lactée, la vie s’est éveillée il y a quelque 3,8 milliards d’années, et la conscience bien plus tard, il y a seulement quelques dizaines de milliers d’années. Je définis ici la conscience comme l’aptitude à symboliser le monde, et la capacité à se poser des questions telles que : « D’où viens-je ? Où vais-je ? Quel est le sens de ma vie ? Que deviendrai-je après ma mort ? »

Mais si notre univers héberge actuellement au moins une forme de conscience, la nôtre (il peut exister d’autres formes de vie intelligente dans l’univers, mais nous ne pouvons en être sûrs tant que nous ne sommes pas entrés en contact avec ET), il y a eu probablement des périodes dans son passé d’où la conscience était absente. Ainsi, il faut remonter à quelque 3,8 milliards d’années dans l’histoire cosmique pour que la première cellule vivante fasse son apparition sur Terre. Et quand l’univers naît, il y a quelque 13,8 milliards d’années, il n’existe ni vie, ni hommes, ni Terre, ni planètes, ni Soleil, ni étoiles, ni galaxies, ni atomes, ni même particules élémentaires. Avec notre conscience d’aujourd’hui, nous pouvons très bien imaginer cette période primordiale où rien n’existait encore, c’est-à-dire le néant. Autrement dit, si la conscience, initialement absente, fait son apparition au cours de l’histoire de l’univers, l’argument de Bergson contre l’idée de néant ne tient plus.

La cosmologie moderne nous a appris que l’émergence de la vie et donc de la conscience dépend à un extrême degré de précision de la valeur d’une quinzaine de nombres caractérisant la nature appelés « constantes physiques » – par exemple, la vitesse de la lumière ou la masse et la charge de l’électron – et des conditions initiales de l’univers, les propriétés dont il a été doté à sa naissance, tel son contenu initial en masse et énergie. Que ces constantes physiques et ces conditions initiales varient un tant soit peu, et la vie et la conscience n’auraient pas pu apparaître. La précision du réglage de certaines de ces constantes et conditions initiales défie l’imagination. Par exemple, changez un seul chiffre à la soixantième décimale de la densité initiale de l’univers, et les étoiles n’auraient pas pu se former ni pu fabriquer par leur alchimie nucléaire les éléments lourds nécessaires à la vie et à la conscience. L’univers serait dès lors stérile. Or certaines théories physiques nous disent qu’il peut exister une infinité d’autres univers parallèles au nôtre, formant un vaste multivers (nous y reviendrons). Dans ces univers parallèles, les constantes physiques et les conditions initiales prendraient toutes les valeurs possibles. La très grande majorité de ces univers posséderaient une combinaison « perdante » et se retrouveraient dépourvus de vie et de conscience. Dans ces univers, le néant serait bien une pseudo-idée car il n’y aurait pas de conscience pour l’appréhender. Mais dans notre univers, c’est la combinaison « gagnante » qui est sortie, la conscience a fait son apparition, et la notion de néant n’est plus une pseudo-idée. Elle demeure une réelle possibilité métaphysique qu’il convient d’explorer.

Parmi tous les visages que l’homme a pu donner au néant et au vide au fil du temps, qu’il soit philosophe, théologien, cosmologue ou mathématicien, commençons par nous pencher sur le vide mathématique.

L’empire du zéro

Dans le monde des mathématiques, le vide prend la forme du chiffre zéro. Le mot « zéro » a pour racine l’indien sunya qui signifie « vide » ou « néant ». Traduit littéralement, sunya devient sifr en arabe (qui a aussi le sens de « vide ») et zephirum en latin, ce qui a donné naissance au mot « zéro ».

Si le concept du zéro nous est familier aujourd’hui, cela n’a pas été toujours le cas. Longtemps, il a représenté pour certaines sociétés antiques en Occident une notion dangereuse et menaçante, capable de mettre à mal la structure du raisonnement logique et, par là, susceptible d’ébranler les fondements mêmes de la société. À cause de ce danger qui lui était associé, le zéro a mis très longtemps à s’imposer dans sa forme actuelle, alors que la pensée mathématique est née il y a des dizaines de milliers d’années avec le désir qu’avait l’homme de compter ses possessions (des cailloux ou des outils par exemple), les entités qui l’entouraient (tels des arbres ou des loups), ou simplement de marquer le temps qui passe. Compter, c’est déterminer la quantité d’éléments dans un ensemble de choses, c’est assigner un nombre à cette quantité. L’idée de nombre qui nous semble si évidente aujourd’hui est en fait le résultat d’un long travail d’abstraction et de mûrissement de l’esprit, d’un long et ardu cheminement de la pensée mathématique à travers les siècles. Ce qui relève pour nous d’opérations simples dans la vie quotidienne – additionner, soustraire, multiplier des nombres pour vérifier une facture, une addition au restaurant ou un compte en banque – se révèle être en fait une pratique extraordinaire qui n’est survenue que tard dans l’histoire des hommes. Nous verrons que ces calculs par l’écrit, et par l’écrit seulement, avec dix figures pour représenter tous les nombres du monde, ne sont devenus possibles qu’avec l’invention du zéro. Des millénaires ont été nécessaires à l’humanité pour apprendre à passer de la quantité aux nombres puis à inventer le zéro pour pouvoir calculer par l’écrit.

Pour exprimer la quantité par des nombres, le premier pas dans le processus d’abstraction consiste à allier le différent au semblable. L’homme doit prendre en compte l’existence singulière des choses, tout en étant capable de gommer leurs différences particulières. Par exemple, pour compter le nombre de moutons dans son troupeau, le berger doit reconnaître que tous ses moutons sont de la même espèce, bien que chacun diffère par ses propriétés physiques : chaque mouton a en effet son propre poids, sa taille particulière, etc.

Il faut ensuite élaborer un système de numération. Les hommes des premières civilisations humaines, à l’ère paléolithique, comptaient en faisant des entailles sur un support solide, chaque entaille correspondant à une unité de l’ensemble. Le support solide utilisé était parfois le bois ou la pierre, mais le plus souvent des os d’animaux car ceux-ci résistaient mieux à l’usure du temps et de l’humidité. Les archéologues ont retrouvé des « os numériques » portant des entailles datant de près de trente mille ans (fig.).

Bois de renne entaillé datant d’environ 15 000 ans av. J.-C.

À l’origine, le système de numération était très rudimentaire. L’homme des cavernes savait seulement distinguer entre « un » et « plusieurs ». Avec le temps, la numération devint plus construite – « un », « deux » et « plusieurs », puis « un », « deux », « trois » et « plusieurs » –, mais sans aller plus loin. Nombre de langues primitives ne possédaient pas de mots pour désigner des nombres supérieurs à 3. C’est encore le cas aujourd’hui pour certaines tribus indiennes d’Amérique du Sud.

Dessin montrant comment utiliser les doigts des deux mains pour le calcul digital : ceux de la main gauche pour les unités et les dizaines, et ceux de la main droite pour les centaines et les milliers, et des positions variées des mains par rapport à certaines parties du corps pour les dizaines et centaines de mille.

L’homme s’est aussi servi de son corps pour compter. Non pas pour y faire des entailles comme dans le cas de l’os, du bois ou de la pierre, mais pour faire correspondre un nombre à certaines parties du corps. Par exemple, les doigts de la main sont associés au nombre 5. De nombreuses civilisations ont ainsi développé des schémas très complexes basés sur une gestuelle des doigts disposés de façon différente : allongés, courbés ou pliés, chaque combinaison de la position des doigts étant associée à un nombre différent. Ce système de numération est capable de représenter de très grandes quantités (fig.). Ainsi, au XVIe siècle, les Chinois, en utilisant un « calcul digital », basé sur les doigts des deux mains, ont pu représenter des nombres qui dépassent le milliard ! Alors que certains systèmes de numération sont en base 5, le nombre de doigts dans une main, notre système de numération actuel (et celui de nombreuses autres cultures) est en base 10, c’est-à-dire que nous comptons par groupes d’unités (ou paquets) de dix, soit le nombre total de nos doigts. Certaines tribus indiennes d’Amérique utilisent un système de numération en base 8 : ce qui paraît étrange au premier abord ne l’est plus quand on se rend compte que c’est là le nombre total des intervalles entre nos dix doigts.

Une étape décisive dans la construction d’un système de numération consiste à passer des nombres aux chiffres, ces derniers étant les symboles utilisés pour représenter les nombres. Ainsi notre système de numération actuel est basé sur les chiffres dits « arabes », 1, 2, 3… 9, en plus du fameux zéro. Mais d’autres civilisations ont utilisé non pas des chiffres comme symboles, mais des dessins d’objets. Par exemple, une des plus anciennes numérations connues, la numération sumérienne qui date de 3 000 av. J.-C. environ, utilise le dessin d’un clou pour représenter l’unité et celui d’un poinçon pour la dizaine (fig.). Les Sumériens ont non seulement adopté une base décimale mais également une base 60. Nous nous servons encore aujourd’hui de cette dernière pour compter le temps, une heure valant soixante minutes et une minute soixante secondes.

Numération sumérienne.

La numération hiéroglyphique égyptienne, qui se développe vers la même époque et qui est de base décimale, utilise, elle, une série de dessins : ainsi, une barre verticale représente l’unité, une anse de panier la dizaine, une corde enroulée la centaine, une fleur de lotus le millier, un doigt dressé pour la dizaine de mille, un têtard pour la centaine de mille et un homme levant les bras au ciel pour le million5 (fig.). Dans ces systèmes de numération, les symboles jouent le même rôle dans l’écriture des nombres que les lettres de l’alphabet dans l’écriture des mots. Mais dans tous ces systèmes, le zéro reste désespérément absent !

Numération égyptienne.

Les signes et symboles une fois établis, il est nécessaire d’élaborer un code pour les disposer spatialement afin de pouvoir exprimer un nombre ou, inversement, pour pouvoir décoder l’écriture d’une représentation numérique. La disposition spatiale des chiffres ou des symboles est invariablement linéaire, les signes se déployant soit horizontalement, soit verticalement, avec un sens de lecture déterminé. Elle s’appuie sur ce qu’on appelle le « principe de la base », c’est-à-dire qu’au lieu de compter par unités (1+1+1…), on compte par groupes ou paquets. Cela permet de raccourcir considérablement l’écriture des grands nombres. La base adoptée peut être n’importe quel nombre. La plus utilisée est la base décimale : ainsi, en base 10, le nombre 121 est égal à 1 + 2 × 10 + 1 × 10² et a la valeur de cent vingt et une unités. C’est celle que nous utilisons aujourd’hui. Mais l’adoption de la base décimale n’est pas universelle. Les Mayas en leur temps se servaient d’une base 20, alors que les Sumériens, on l’a vu, utilisaient aussi la base 60. Dépendant de la base adoptée, un même nombre possède différentes valeurs. Ainsi, dans un système de numération en base binaire (base 2), le nombre 121 vaut 1 + 2 × 2 + 1 × 2², soit seulement neuf unités au lieu de cent vingt et une unités dans le système décimal.

Dans la vaste majorité des systèmes de numération, la valeur d’un chiffre ne dépend pas de la position qu’il occupe dans la représentation du nombre. Par exemple, dans la numération romaine, le I vaut 1 et le V vaut 5 où qu’ils se trouvent dans l’écriture du nombre. La place du chiffre ne compte pas – au sens propre comme au sens figuré. Ainsi le nombre 4 s’écrit IV, et le nombre 6 VI, l’ordre des symboles indiquant s’il faut soustraire 1 de 5 (I précède V) ou additionner 1 à 5 (I suit V). De même, la position du chiffre n’a pas d’importance dans le système hiéroglyphique égyptien. Par exemple, le nombre 22 peut être représenté soit par

soit par

Tout change avec l’invention de la numération de position. Au lieu de chiffres (ou symboles) dont la valeur ne dépend aucunement de leur place dans l’écriture du nombre, à chaque chiffre est assignée une valeur qui n’est pas constante, mais qui varie en fonction de la position qu’il occupe dans le nombre. Dans ce schéma, la place joue un rôle essentiel, elle compte littéralement. Comment assigner une valeur à chaque chiffre en fonction de son emplacement dans le nombre ? La règle est simple : chaque place correspond à une certaine puissance de la base. Prenons par exemple le nombre 333 dans notre système de numération en base décimale. Le premier chiffre 3 vaut 3 × 10² = 300, le deuxième 3 × 10¹ = 30 et le dernier 3 × 100 = 3 (car 10⁰ = 1). La valeur du nombre 333 est donc de 300 + 30 + 3, soit trois cent trente-trois unités. De même, dans un système en base 5, le premier chiffre vaudrait 3 × 5² = 75, le deuxième 3 × 5¹ = 15 et le dernier 3 × 5⁰ = 3. Le nombre 333 vaudrait ainsi quatre-vingt-treize unités. Dans un système de numération de position, il n’est plus besoin de symboles différents pour indiquer dizaines, centaines, milliers, etc., puisque la position même du symbole dans l’écriture du nombre assure cette fonction (si les Égyptiens avaient connu le principe de position, ils n’auraient pas eu besoin de dessiner une anse de panier pour désigner la dizaine ou une fleur de lotus pour désigner le millier). Les seuls chiffres ou symboles nécessaires sont ceux qui sont associés aux chiffres inférieurs à 10.

C’est la numération de position qui va imposer le zéro. Pourquoi ? Il faut comprendre qu’avant l’invention du zéro, l’écriture des nombres dans les systèmes existants ne facilitait pas, en général, les calculs. Abaques, bouliers (fig.) et autres quipus (des cordelettes à nœuds en usage chez les Incas à partir du XIIIe siècle) aidaient ainsi les hommes à compter. Le principe de position était déjà utilisé dans ces divers instruments de calcul qui permettaient d’effectuer des opérations élémentaires telles qu’additions, soustractions, multiplications ou divisions. Pour passer de la représentation d’un nombre sur une planche de calcul à une représentation écrite, il suffit de faire disparaître les colonnes de l’abaque ou les tiges des bouliers, et de remplacer les boules, les nœuds et autres objets enfilés dans les tiges ou alignés dans les colonnes par des symboles écrits. Mais une question se pose : comment représenter une place vide dans une colonne ou l’absence d’une boule sur une tige ? Par un symbole qui désigne un vide ou une absence : c’est le zéro. Celui-ci est absolument indispensable à tout système de numération de position. Considérons par exemple le nombre 2 016. Sans le zéro, comment indiquer d’une part que les centaines ne « comptent » pas, et d’autre part que le chiffre 2 qui précède le zéro est celui des milliers et le chiffre 1 qui le suit celui des dizaines ?

Les bouliers (ici un boulier chinois) permettent d’effectuer des opérations de calcul élémentaire comme l’addition, la soustraction, la multiplication ou la division. Le calcul se fait en déplaçant des boules sur des tiges parallèles, ce qui nécessite une grande dextérité manuelle.

Il y a eu trois zéros dans l’histoire des mathématiques. Le premier a vu le jour vers 300 av. J.-C. avec les Babyloniens. Ceux-ci utilisaient un système de numération en base 60 et leur représentation des chiffres était similaire à celle utilisée par les Sumériens. Ainsi un clou représentait l’unité et un chevron la dizaine. Mais les Babyloniens réalisèrent que sans un symbole pour représenter le zéro, ce mode de représentation pouvait mener à des ambiguïtés dans la lecture des nombres. Par exemple, deux clous verticaux qui se suivaient représentaient le nombre 61 (1 × 60 + 1). Mais le nombre 3 601 était aussi représenté par deux clous verticaux, séparés par un espace plus grand que dans le cas de 61 pour signifier que le nombre de dizaines est nul (60 × 60 × 1 + 60 × 0 + 1 = 3 601). Juger de la grandeur de l’espace de séparation étant subjectif et pouvant prêter à confusion, les Babyloniens introduisirent un signe de séparation signifiant « zéro » dans l’écriture de ces nombres. Ce zéro était représenté par un double clou incliné. Dès lors, l’ambiguïté était levée : deux clous verticaux qui se suivaient représentaient 61, tandis que deux clous verticaux séparés par un double clou incliné représentaient 3 601.

Zéro babylonien représenté par un double clou incliné.

Le deuxième zéro à entrer en scène fut celui des Mayas. Il fit son apparition pendant le premier millénaire de notre ère (500-925). Utilisant un système de numération en base 20, eux aussi firent appel à un signe graphique séparateur, cette fois sous la forme d’un coquillage, afin de dissiper toute ambiguïté dans l’écriture de leurs nombres. Mais les zéros babylonien et maya jouaient principalement le rôle de marqueurs de places vides dans l’écriture des nombres. Jamais ils ne furent considérés comme un nombre à part entière. En soi, ils n’avaient pas d’existence propre et étaient vides de sens. Ils ne tiraient leur signification que des symboles qui les précédaient ou les suivaient.

Zéro maya. Ses diverses formes sont représentées par des glyphes de coquillages.

Ce sont les mathématiciens indiens qui vont reprendre le flambeau. Inspirés par le système de numération de position babylonien et son zéro dont ils ont appris l’existence lors de l’invasion de l’Inde par Alexandre le Grand et ses troupes au IVe siècle avant notre ère, ils vont doter ledit zéro de toutes les propriétés d’un nombre et le faire émerger dans toute sa gloire. C’est le zéro que nous utilisons encore aujourd’hui. Le mot sunya (vide) apparaît pour la première fois en l’an 458 dans un traité de cosmologie indien écrit en sanskrit, le Lokavibhaga, signifiant « Les Parties de l’univers ». Ce traité est aussi le document le plus ancien connu où apparaît un nombre écrit selon le principe de la numération de position. En l’occurrence, il s’agit du nombre 14 236 713 tel que nous l’écririons aujourd’hui (en fait, dans le texte, les chiffres sont écrits en toutes lettres, de droite à gauche : « trois, un, sept, six, trois, deux, quatre, un »)6. Les chiffres de 1 à 9 ont été inventés en Inde avant notre ère. Avec l’addition du zéro au Ve siècle, et en utilisant la base décimale, la numération indienne de position franchit une nouvelle étape décisive. Désormais, les dix figures qui nous sont familières, autant que les doigts des deux mains, suffisent pour représenter tous les nombres du monde. La capacité de représentation de ce système est illimitée. Le graphisme adopté pour représenter les dix figures est exempt de toute ambiguïté. En effet, ni le 2, ni le 3, ni le 4 ne sont des regroupements de 1 comme dans les trois autres systèmes de numération de position. Cette particularité graphique confère à chacun des signes une indépendance totale et fait qu’à chaque assemblage de chiffres correspond un nombre et un seul, et vice versa. Cette manière d’écrire les chiffres établit automatiquement un lien entre la taille d’un nombre et la longueur de son nom. Ce qui est conforme à notre intuition : plus la représentation du nombre est longue, plus il est grand. Par exemple, 1 005 est plus grand et plus long que 18. Ce qui n’est nullement le cas dans l’écriture romaine, par exemple, où 1 005 s’écrit MV (deux signes) alors que 18 s’écrit XVIII (cinq signes).

Le prodigieux système de la numération de position, munie du zéro proposé par le génie mathématique indien, abolit comme par magie la distance entre écriture et calcul. Plus besoin d’avoir recours aux abaques, bouliers et autres cordelettes à nœuds. L’écriture calculatoire qui naît de ce système permet d’attaquer les calculs les plus complexes avec juste une plume et une feuille de papyrus ! Ces extraordinaires qualités font que la numération indienne est devenue aujourd’hui universelle.

La peur du zéro et de l’infini

Une question se pose pourtant : pourquoi le zéro est-il né en Inde et non pas en Occident ? Pendant la période allant du VIe siècle av. J.-C. au Ve siècle de notre ère, les Grecs avaient pourtant accompli de grandes avancées dans le domaine des mathématiques. En particulier, ils avaient posé les premières bases de la théorie des nombres. Pourquoi n’étaient-ils pas allés jusqu’au zéro ? La réponse réside probablement dans une peur métaphysique de ce chiffre. Pour les mathématiciens grecs, l’idée même du zéro était anathème, car comment « rien » pouvait-il être « quelque chose » ? D’abord, le zéro évoquait chez eux l’idée du début de l’univers, c’est-à-dire du vide et du chaos primordial, ce qui provoquait l’effroi. Mais surtout les propriétés mathématiques du zéro leur apparaissaient des plus étranges puisqu’elles étaient différentes de celles de tout autre nombre. Additionnez un nombre (différent de zéro) à lui-même, il change. Par exemple, 2 + 2 = 4 et 3 + 3 = 6. Mais additionnez zéro à lui-même et vous obtiendrez toujours zéro. Cela va à l’encontre de l’axiome d’Archimède (vers 287-212 av. J.-C.) selon lequel si vous additionnez un nombre à lui-même maintes fois, celui-ci peut devenir aussi grand que voulu. De plus, le zéro refuse obstinément de modifier tout autre nombre, que ce soit pour l’agrandir ou l’amoindrir : additionnez ou soustrayez zéro à un nombre quelconque, vous obtiendrez le même nombre exactement.

Les propriétés décrites précédemment peuvent nous induire à penser que le zéro est impotent, qu’il est dépourvu de toute substance. Et pourtant, mettez-le à l’œuvre dans les opérations mathématiques les plus simples, telles la multiplication et la division, et il bouleverse toutes nos idées reçues. Ainsi, multipliez tout nombre par zéro, vous obtiendrez toujours zéro. Tous les nombres sont réduits à un seul et unique nombre : zéro. L’opération inverse, la division par zéro, est encore plus redoutable puisqu’elle fait entrer en scène… l’infini. À l’inverse, divisez tout nombre par l’infini, vous obtiendrez zéro. Où l’on voit déjà que, comme le couple Yin-Yang, le zéro et l’infini sont indissolublement liés.

La peur du zéro des Grecs est donc en partie liée à leur effroi de l’infini. Leur méfiance à cet égard était intense car celui-ci, comme le zéro, semble aussi bafouer allègrement toutes les règles habituelles de l’arithmétique : enlevez une quantité infinie d’une autre quantité infinie, le résultat n’est pas une quantité moindre mais toujours infinie. Prenez par exemple la suite infinie des nombres entiers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6… Enlevez tous les nombres pairs 0, 2, 4, 6… qui forment eux aussi une suite infinie, il vous restera l’ensemble des nombres impairs 1, 3, 5…, soit une autre suite infinie7 !

Le Grec Zénon d’Élée (495-435 av. J.-C.) enfonça le clou encore plus avec ses paradoxes de l’infini. Disciple du philosophe Parménide (vers 515-vers 440 av. J.-C.) qui rejetait toute notion de changement (le monde a été, est et sera toujours le même selon cette école de pensée), Zénon s’attacha à prouver cette proposition par une quarantaine de démonstrations, dont deux en particulier, appelées les « paradoxes de Zénon », ont traversé le temps. Elles reposent sur les mystères de l’infini. Dans son premier paradoxe, Zénon se propose de démontrer que le mouvement est impossible. Il imagine un coureur qui va d’un point à un autre et analyse les mouvements du coureur en détail : celui-ci doit d’abord parcourir la moitié de la distance qui sépare les deux points, puis la moitié de la distance qui reste, puis encore la moitié de la distance restante, et ainsi de suite ad infinitum. Parce que le coureur doit accomplir un nombre infini de pas, Zénon conclut que le coureur ne pourrait jamais arriver à destination et que le mouvement est impossible. À partir d’arguments si simples qu’ils semblent irréfutables, Zénon est arrivé à une conclusion qui ne tient pas debout. Nous savons bien que le coureur arrivera à destination en un temps fini. Le mystère de ce paradoxe ne sera résolu que beaucoup plus tard, avec l’étude des séries infinies. Si le temps mis par le coureur pour parcourir chaque distance supplémentaire devient de plus en plus court et tend vers zéro, comme c’est le cas ici, le temps mis pour parvenir à destination n’est pas infini mais fini. Les Grecs, n’ayant pas la notion de zéro, ne pouvaient trouver la solution.

Le deuxième paradoxe de Zénon met en scène une course entre Achille et une tortue. De prime abord, l’argumentation apparaît tout aussi persuasive. Zénon démontre que la tortue ne pourra jamais être rattrapée par Achille, car le poursuivant doit d’abord atteindre l’endroit que le poursuivi vient de quitter, de sorte que le plus lent possède toujours sur le plus rapide une avance déterminée. L’écrivain argentin Jorge Luis Borges décrit ce paradoxe ainsi : « Achille court dix fois plus vite que la tortue et il lui accorde une avance de dix mètres. Achille parcourt ces dix mètres, la tortue en parcourt un ; Achille parcourt ce mètre, la tortue un décimètre ; Achille parcourt ce décimètre, la tortue un centimètre ; Achille parcourt ce centimètre, la tortue un millimètre ; Achille aux pieds légers le millimètre, la tortue un dixième de millimètre, et ainsi de suite à l’infini sans qu’il puisse jamais l’atteindre… » De nouveau, des arguments qui semblent inattaquables mènent à une conclusion absurde : Achille n’arrivera jamais à dépasser la tortue ! Mais de nouveau, la solution vient du fait que les distances successives parcourues par Achille deviennent de plus en plus petites et tendent vers zéro, ce qui fait que la distance totale parcourue par Achille, qui est la somme d’un nombre infini de distances, n’est pas infinie mais finie. Ce qui fait qu’Achille peut rattraper et dépasser la tortue en un temps fini.

Ces paradoxes qui semblent bafouer le bon sens et qui n’ont pas été résolus par les Grecs ont installé dans leur esprit appréhension et méfiance vis-à-vis de l’infini et de son acolyte, le zéro. Pour Aristote (384-322 av. J.-C.), il fallait coûte que coûte les tenir à distance. Ces entités qui paraissaient défier la raison et la logique portaient le risque de semer une panique générale parmi la population et de causer des troubles sociaux. Le prestige de la pensée aristotélicienne était tel que le bannissement de l’infini et du zéro fut accepté sans réserve en Occident dans les vingt siècles qui suivirent. Le zéro n’avait aucune chance d’y faire son apparition.

Mais c’était loin d’être le cas en Orient. Alors que les notions de vide et de néant engendraient méfiance et effroi en Occident8, elles étaient au contraire accueillies à bras ouverts par la civilisation indienne. Le vide joue en effet un rôle important dans la religion hindoue. Le dieu Shiva est à la fois le créateur et le destructeur du monde, tenant dans une de ses quatre mains un tambourin symbolisant la musique de la création, et dans une autre une langue de feu qui présage la mort à venir de l’univers (fig.). Mais Shiva représente aussi le vide suprême qui a engendré l’univers. Parce que la pensée indienne embrasse le vide, il était naturel que le zéro dans sa forme la plus glorieuse ait vu le jour en Inde.

La danse du dieu Shiva. Shiva danse sur une forme prostrée représentant l’ignorance, entouré d’une auréole de flammes (intuition qui rejoint la théorie du big bang selon laquelle l’univers est parti d’un état extrêmement chaud) sortant d’un lotus, symbole de la connaissance.

Le zéro indien à la conquête du monde

Les deux siècles suivant l’invention par les Indiens de la numération de position munie d’un zéro virent le déclin et la chute de l’Empire romain, et simultanément la montée en puissance de l’Empire arabe. Dès l’an 751, celui-ci s’étendait déjà jusqu’en Espagne à l’ouest et en Inde à l’est. En l’an 773, une délégation indienne présenta au calife de Bagdad un précieux ouvrage indien traitant de calcul et de chiffres. La grande bibliothèque que le souverain fonda au IXe siècle dans sa ville, la Maison de la sagesse, devint un grand centre de savoir en Orient. C’est là, pendant les premières décennies de ce siècle, que le mathématicien arabe Muhammad ibn Musa al-Khuwarizmi (vers 780-850) écrivit son fameux Livre de l’addition et de la soustraction d’après le calcul des Indiens, où il expliquait comment le système indien de numération avec son zéro fonctionnait et proposait des méthodes pour que le lecteur puisse rapidement faire des calculs (tels que des multiplications et des divisions). Ce livre contribua de façon exceptionnelle à faire connaître la numération indienne dans le monde de l’Islam. Les savants arabes n’étaient pas sans connaître les idées d’Aristote et son aversion pour l’infini et le zéro, mais ils n’eurent aucun problème à accepter la conception indienne du zéro comme une représentation du vide.

Mais l’Occident, sous l’emprise de la pensée aristotélicienne, traînait des pieds. Trois siècles passèrent avant la première traduction en latin de l’ouvrage d’Al-Khuwarizmi. Retraduit maintes fois par la suite, il joua aussi un rôle clé pour répandre la connaissance du calcul indien dans l’Occident chrétien. La numération indienne se propagea dès lors comme un feu de forêt à travers l’Espagne, l’Angleterre et le reste de l’Europe. Et cela malgré la résistance de l’Église, toujours sous la domination de la pensée d’Aristote. Mais les bastions aristotéliciens commençaient à se fissurer sérieusement sous l’assaut d’attaques répétées. En 1277, l’archevêque de Paris Étienne Tempier décida d’abolir certaines doctrines d’Aristote qui entraient en contradiction directe avec l’idée d’un Dieu omnipotent. En particulier, l’interdiction du vide fut révoquée : Dieu pouvait créer un vide si bon lui semblait, il n’avait que faire de l’interdiction aristotélicienne. La résistance de l’Église se prolongea pendant encore quelques siècles. Jusqu’en 1543, où la révolution copernicienne allait faire table rase de toute la pensée cosmologique d’Aristote. En tout cas, l’impact de l’ouvrage d’Al-Khuwarizmi en Occident fut tel que les méthodes de calcul décrites par le mathématicien arabe ont pris le nom d’« algorithmes », venant du mot algorismus, latinisation du nom du savant arabe. Plus généralement, le mot « algorithme » désigne aujourd’hui une suite finie d’instructions permettant de résoudre un problème.

Partis du Moyen-Orient, les chiffres indiens se sont ainsi répandus dans l’Empire arabe, puis dans la péninsule Ibérique. Les commerçants et les banquiers européens n’étaient que trop contents de découvrir ce système, enchantés par la facilité avec laquelle les chiffres se laissaient manier et leur permettaient d’effectuer leurs calculs, et ravis de pouvoir envoyer aux oubliettes abaques et autres instruments. Malgré la réticence au début des pouvoirs administratifs (par exemple la ville de Florence en Italie avait interdit l’utilisation des chiffres arabes en 1299 sous prétexte que 0 pouvait être trop facilement transformé en 6, par la simple addition d’un trait), les arguments sur les avantages commerciaux avancés par les marchands ont fini par l’emporter9. La numération indienne avec son zéro s’est imposée en Europe et aujourd’hui elle est adoptée sans exception par tous les pays de la planète.

Il faut savoir que la graphie des chiffres a évolué pendant leur long voyage à travers l’espace et le temps (environ huit siècles pour aller de l’Inde à l’Espagne). Ils ont acquis une forme différente de la forme hindi originale. La graphie des chiffres que nous utilisons aujourd’hui ne vient en fait ni de l’Inde ni du Moyen-Orient arabe, mais de l’Espagne maure. On les connaît sous le nom des « chiffres du ghobar » (fig.).

Avec le temps, l’origine indienne de ce système de numération doté d’un zéro s’est estompée dans la mémoire des hommes. Les figures indiennes sont peu à peu devenues des chiffres dits « arabes » et le zéro est conçu comme une innovation arabe. Il faut pourtant rendre aux Indiens ce qui leur est dû : un prodigieux système de numération de position basé sur dix chiffres seulement : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, capable de représenter tous les nombres du monde, et qui abolit la distance séparant l’écriture du calcul.

L’évolution de la graphie des chiffres indiens au cours du temps.

1.

Dictionnaire culturel en langue française, sous la direction d’Alain Rey, Le Robert, 2005.

2.

George Steiner, Dix raisons (possibles) à la tristesse de pensée, Albin Michel, 2005.

3.

Christophe André, Méditer, jour après jour, L’Iconoclaste, 2011.

4.

Henri Bergson, L’Évolution créatrice, Presses universitaires de France, 2013.

5.

Denis Guedj, L’Empire des nombres, Gallimard, 1996.

6.

Ibid.

7.

Pour une description détaillée des propriétés mathématiques de l’infini, voir mon ouvrage Désir d’infini, op. cit.

8.

La peur du zéro demeure de nos jours en Occident. Par exemple, l’an 0 n’existe pas dans nos calendriers. Dans les ascenseurs, l’étage zéro est souvent remplacé par le rez-de-chaussée. Lors du passage à l’an 2000 s’est manifestée une peur non justifiée du zéro : celui-ci était supposé dérégler tous nos systèmes informatiques et causer une catastrophe mondiale.

9.

Charles Seife, Zero. The Biography of a Dangerous Idea, Viking, 2000.

Notes

1.

Trinh Xuan Thuan, Désir d’infini, Folio essais, 2014.

2.

Blaise Pascal, Pensées, Folio classique, 2004.