ENS Éditions

Mathesis, idéalité et historicité

Jean-Toussaint Desanti

David Wittmann (éd.)

Éditeur : ENS Éditions

Lieu d’édition : Lyon

Année d’édition : 2014

Date de mise en ligne : 7 février 2022

Collection : La croisée des chemins

https://books.openedition.org

Édition imprimée

Nombre de pages : 346

Référence électronique

DESANTI, Jean-Toussaint. Mathesis, idéalité et historicité. Nouvelle édition [en ligne]. Lyon : ENS Éditions, 2014 (généré le 07 février 2022). Disponible sur Internet : <http://books.openedition.org/enseditions/29620>.

Légende de couverture

Beham Hans Sebald (Nüremberg, 1500 – Francfort-sur-le-Main, 1550) La géométrie, pl. 6, pour Les arts libéraux, XVIe, burin Coll. Musée du dessin et de l’estampe originale, Gravelines. Inv. : 2006.08.0031 (06) Crédit photographique : Lefevre Geert

Crédits de couverture

Crédit photographique : Lefevre Geert

Ce document a été généré automatiquement le 7 février 2022.

© ENS Éditions, 2014

Conditions d’utilisation :
http://www.openedition.org/6540

Résumés

Ce volume rassemble les études que le philosophe Jean-Toussaint Desanti (1914-2002) a consacrées à la philosophie des sciences et à la philosophie des mathématiques en particulier. Certains de ces articles proposent des réflexions décisives sur la raison scientifique, l’histoire des sciences et leur rapport à la culture. D’autres reviennent aussi sur les thématiques abordées dans Les Idéalités mathématiques, en facilitent l’accès et les précisent. On trouvera ainsi un ensemble de réflexions historiques sur la naissance des nombres irrationnels, la théorie des fonctions de variables réelles, la naissance de la modernité mathématique ainsi que des analyses épistémologiques plus générales sur l’invention, l’explication, les notions de genèse et de structure en mathématiques. Le cœur de ces analyses est constitué par les notions d’objet, de subjectivité et d’historicité. Comme l’explique Dominique Pradelle dans sa préface, Jean-Toussaint Desanti cherche une tierce voie entre une philosophie de la conscience et une philosophie du concept. Dans cette perspective, l’originalité des textes présentés est d’éclairer le problème de l’historicité des mathématiques et plus encore du sujet des mathématiques.

Sommaire

Avertissement

Préface

L’unité de la pensée de Desanti : objets idéaux, sujet et histoire

Dominique Pradelle

De Cauchy à Riemann

Ou la naissance de la théorie des fonctions de variables réelles

Une crise de développement exemplaire : la « découverte » des nombres irrationnels

Un drame à trois personnages

La résolution de la crise

Les mathématiques : naissance de la « modernité » (1850-1900)

La fausse unité

Les trois fractures

Les origines de la mathématique moderne

Sur le devenir de la science

Remarques sur la connexion des notions de genèse et de structure en mathématiques

Extraits de la discussion

L’invention mathématique et le sens

Discussion de l’exposé

L’explication en mathématiques

En quoi l’histoire des mathématiques peut-elle être utile au mathématicien ?

Sur l’usage de la notion d’objet en mathématiques

Mathématiques et Subjectivité

Discussion

Trajet dans Les Idéalités mathématiques

L’étrange en mathématique

Discussion

Quelles mathématiques pour la psychanalyse ?

Galilée et la nouvelle conception de la nature

Galilée, père de la physique mathématique ?

L’unité du champ épistémologique : cosmologie copernicienne, mécanique nouvelle et géométrie archimédienne

Le style galiléen et le champ de la science galiléenne

Galilée, copernicien rigoureux

L’épistémologie galiléenne

La raison scientifique

Le rôle de la science dans la culture

Index nominum

Avertissement

La présente édition a été réalisée dans le cadre des travaux de l’Institut Jean-Toussaint Desanti de l’ENS de Lyon. L’Institut a entrepris d’analyser et de mettre en valeur les archives du philosophe, mais également de proposer un certain nombre de rééditions de ses œuvres. Ce volume s’inscrit donc dans la continuité de ceux que nous avons déjà contribué à rééditer : Introduction à l’histoire de la philosophie, PUF, 2006 ; Une pensée captive, PUF, 2008 ; Un destin philosophique, Hachette Littératures, 2008 ; Le philosophe et les pouvoirs et autres dialogues, Hachette Littératures, 2008. Rappelons que des textes inédits ont également été publiés, à partir du travail mené au sein de l’Institut ; ainsi en va-t-il de ceux contenus dans le recueil dirigé par D. Pradelle et F-D. Sebbah, Penser avec Desanti, TER, 2010.

Pour ce qui regarde la présente édition, les références des publications antérieures sont systématiquement indiquées au début de chaque article, en bas de page. Nous avons choisi de rester au plus proche des premières publications. Cependant, pour le confort de la lecture, nous avons supprimé les quelques coquilles rencontrées et harmonisé la typographie et la présentation des textes. Les notes sont celles de Jean-Toussaint Desanti sauf lorsqu’elles sont encadrées par des crochets : il s’agit dans ce cas d’un ajout de l’éditeur.

Préface

L’unité de la pensée de Desanti : objets idéaux, sujet et histoire

Dominique Pradelle

À Michel Fichant, grâce à qui j’ai fait jadis la découverte des textes de Desanti sur les mathématiques

Notre tâche est de présenter la réédition d’un certain nombre d’articles consacrés par Desanti à la philosophie des sciences, en particulier des mathématiques, et édités dans des revues et contextes très divers. Elle se heurte, dans le cas de Desanti, à une difficulté spécifique à son style et son parcours intellectuels : celle du caractère problématique de l’unité de ces écrits. Car s’il existe bien un style desantien d’interrogation et de langue philosophiques, y a-t-il pour autant chez lui une doctrine unitaire, un ensemble de thèses que l’on pourrait identifier comme constituant la philosophie desantienne des mathématiques, voire des sciences ou de la connaissance en général ? En d’autres termes, peut-on se réclamer d’un système doctrinal constitué et exposé dans les livres publiés – au premier chef Les Idéalités mathématiques et La philosophie silencieuse –, qui formerait le foyer théorique à partir duquel on pourrait mettre en lumière la reprise des questions philosophiques et l’éventuelle inflexion des thèses auxquelles se livreraient les écrits annexes ? Y a-t-il une unique question centrale, voire un ensemble de questions centrales qui formeraient l’horizon problématique depuis lequel se laisseraient éclairer ces textes ?

Une telle reconstitution de la doctrine, ou simplement de l’horizon problématique, semble se heurter à plusieurs éléments constitutifs de la pensée desantienne, sur lesquels nous voudrions nous pencher.

Entre phénoménologie et matérialisme, épistémologie internaliste et externaliste

La question centrale de Desanti concerne le mode de constitution historique de ce champ d’idéalités en devenir qu’est la mathématique : si les théories mathématiques ne sont pas inscrites de toute éternité dans un ciel intelligible, c’est que leur forme de rationalité se déploie dans l’histoire, c’est-à-dire que l’historicité lui est consubstantielle ; quelle est cette forme d’historicité ? Est-il possible d’expliciter la nature de l’instance productrice de ces champs d’idéalités ? Cependant, une fois la question posée, les livres publiés de Desanti consacrés à l’épistémologie des mathématiques laissent ouverte une pluralité d’interprétations possibles, sans qu’il soit aisé de trancher définitivement en faveur de l’une d’entre elles. Ainsi, à la question, posée dans la discussion de clôture du colloque consacré à « La place de J.-T. Desanti dans la philosophie française »1, de savoir de quelle nature était l’épistémologie desantienne des mathématiques, Maurice Caveing avait répondu que cette dernière était indiscutablement matérialiste ; et de fait, dans l’article « Matérialisme et épistémologie » repris dans La Philosophie silencieuse, Desanti revendique le choix d’un matérialisme minimal ou d’une épistémologie matérialiste faible2. Si une épistémologie matérialiste forte désigne une thèse positive qui enveloppe les exigences de naturalisation, voire de physicalisation de l’appareil de connaissance, ainsi que de description de ses modalités de fonctionnement, un matérialisme faible implique seulement une suite de thèses négatives ou minimales : exclusion de toute transcendance, en particulier celle d’un sujet pur, transcendantal et extra-mondain, conçu comme pur opérateur des actes noétiques nécessaires à l’émergence des objets idéaux et à l’effectuation des modes d’évidence où ils se donnent effectivement ; d’où, corrélativement, la conception de l’appareil de connaissance comme un système lié, c’est-à-dire assimilé à l’homme envisagé dans sa substance mondaine ou terrestre, inscrit dans le champ de l’intersubjectivité et des diverses praxeis sociales, ainsi que dans l’historicité des praxeis théorétiques ; et, enfin, le postulat négatif qu’en dehors de ces deux domaines immanents ou mondains – nature et société –, il n’y a rien à connaître, c’est-à-dire aucune instance ab-solue, qui soit déliée de toute connexion causale avec la nature et le monde social (comme l’est le sujet transcendantal husserlien)3. Or une telle assomption matérialiste minimale semble devoir nécessairement conduire à une épistémologie externaliste, dont la tâche propre serait d’élucider le mode d’inscription de l’activité théorétique dans la société – donc la fonction des institutions (académies, sociétés savantes, etc.) dans l’émergence des savoirs, celui des grands acteurs économiques (État, entreprises, etc.) et des problèmes technologiques liés à l’environnement et à la maîtrise de la nature par l’homme.

Tel n’est pourtant pas le style d’élucidation propre à l’épistémologie de Desanti, qui semble strictement internaliste et situé dans le sillage de Jean Cavaillès. En témoigne tout d’abord le choix thématique délibéré de l’exemple de la théorie des ensembles, c’est-à-dire d’un matériau théorique minimal, purement formel, dépourvu de connexion directe avec des applications pratiques et de motivation par la résolution de problèmes d’ordre physique, mais renvoyant à l’émergence et à l’investissement de structures abstraites qui viennent à fournir le « matériau pur » d’une théorie4 ; il en résulte la possibilité de considérer un « champ pur des Idéalités mathématiques », pur parce que préalablement purifié de tout rapport à un dehors extra-théorique, non mathématique, qu’il soit d’ordre perceptif, social, économique ou lié à la théorie physique, donc d’une pureté relative résultant d’un acte d’abstraction méthodique5 ; et cela implique, enfin, un style d’élucidation réflexif ou phénoménologique (au sens husserlien), qui dégage les actes intentionnels ou noétiques nécessaires à la constitution et au maintien de l’unité du domaine théorique nouveau, et, par un geste archéologique, en retrace les motivations depuis la situation mathématique antérieure – à savoir la théorie d’un champ d’objets « naturel », le continu arithmétique, où les structures abstraites ultérieurement thématisées étaient déjà présentes et investies de manière naïve, comme inhérentes à ces objets.

Il en résulte un problème de cohérence, ainsi que de choix nécessaire entre des options théoriques sinon opposées, du moins difficilement compatibles : d’un côté, une épistémologie matérialiste et externaliste qui restitue la connexion de la mathématique, prise comme « phénomène de culture »6 ou fait social, avec le dehors naturel et social en lequel elle s’inscrit ; de l’autre, une épistémologie internaliste qui élucide l’évolution intra-théorique de la mathématique, c’est-à-dire la transition d’une situation mathématique naïve à une autre, « dans une relation dont on ne peut jamais briser la circularité »7. Une tension fondamentale se fait ainsi jour entre le projet affiché de ressaisir « toutes les dimensions du mode d’existence des idéalités mathématiques »8 – y compris, donc, celles qui ouvrent sur son autre, c’est-à-dire le rapport à l’ensemble de la réalité historique et économico-sociale – et le choix méthodique consistant à réduire cette élucidation au dévoilement du « mouvement de constitution et [du] mode d’enchaînement des concepts spécifiques de la science »9 – c’est-à-dire de ne voir, comme dimensions de ce mode d’existence, que les connexions intra-théoriques entre des états successifs de la conceptualité mathématique.

Entre ces positions fondamentales, comment trancher ? Faut-il mettre l’accent sur la revendication matérialiste expressément assumée par Desanti, ou au contraire sur le style effectif de ses analyses, qui mobilisent la conceptualité husserlienne et l’héritage de Cavaillès ? On voit que loin d’être d’un ordre purement périphérique, la question posée à Desanti par Maurice Clavel10 touche une difficulté essentielle de l’interprétation de ses textes. Cette tension entre le matérialisme revendiqué par Desanti et le choix d’une élucidation strictement internaliste de la genèse intra-théorique des concepts avait également été pointée par Michel Vadée, qui soulignait ce que cette méthode impliquait de réductionnisme abstractif :

[…] l’expression même de « champ pur des idéalités » me semble porter la marque d’une mise entre parenthèses trop radicale de toute histoire. Les idéalités mathématiques, me semble-t-il, portent toujours la marque de l’histoire, de certains matériaux concrets ; même sous forme d’idéalités physiques, elles ne sont pas idéalités de n’importe quoi. Leur champ n’est que relativement pur. 11

On appréciera l’ambiguïté de la réponse apportée par Desanti :

Qu’une théorie n’ait pas d’extérieur ne signifie pas qu’il n’y ait pas d’ autre d’où elle naisse. 12
Pour la mathématique, la situation se complique du fait de sa triple constitution : syntaxique, idéo-temporelle (unité théorie-1/théorie-2), pratique. Cela veut dire qu’autonome à un niveau de constitution, elle ne l’est pas à l’autre. Et, ce qui est plus important, c’est parce qu’elle ne l’est pas à cet autre qu’elle l’est au premier. 13

Qu’est-ce à dire ? Comment concilier le statut intra-théorique des idéalités et du devenir des théories avec l’existence d’une dimension « autre » où s’enracinerait cette genèse ? Le caractère intra-théorique de la genèse est-il le simple effet de la méthode descriptive et abstractive adoptée par Desanti, ou est-ce l’objet d’une thèse ontologique affirmant l’autonomie du devenir des idéalités ? S’agissant de la mathématique, comment concilier le « phénomène de son autonomie » avec le fait qu’elle soit « toujours ouverte sur son “autre” »14 ? Si le chantier de théorisation qu’est la théorie en devenir comporte des connexions avec la rationalité physicienne et l’ensemble de la réalité économico-sociale15, pourquoi le texte des Idéalités mathématiques n’en souffle-t-il mot ?

Le style desantien : « bonne épochè », absence de doctrine, renouvellement de l’inquiétude

Cette hésitation de fond est confortée par le style même de l’attitude intellectuelle ou philosophique propre à Desanti ; comme l’écrit Jacques Dubucs, « il réfléchit plutôt qu’il n’argumente »16, c’est-à-dire qu’il n’affirme pas une thèse de philosophie des mathématiques qu’il s’attacherait ensuite à fonder et défendre par des arguments contre les thèses opposées, mais approfondit sans cesse certaines questions centrales : qu’en est-il du statut d’objets propre aux entités idéales et théories de la mathématique ? qu’en est-il du mode d’existence de telles entités ? qu’en est-il de la place et de la fonction du sujet en mathématique, si les théories possèdent une consistance et une validité omni-subjectives et indépendantes de toute conscience singulière ? Pour reprendre une métaphore employée par le compositeur André Boucourechliev à propos de la forme musicale de la variation, l’on dira que Desanti présente toujours à nouveau « le même objet sous des lumières différentes »17 – à condition d’entendre ici par objet un ensemble de questions centrales sur lesquelles il ne cesse de revenir pour les déployer sous un éclairage légèrement différent, sans que l’on sache toutefois si les considérations développées dessinent une cohérence doctrinale avec les thèses des ouvrages et articles précédents.

Peut-être pourrait-on caractériser le style philosophique de Desanti en disant que sa finalité n’est pas de produire une doctrine cohérente et systématique, mais de maintenir sans cesse l’acuité vive d’un état d’esprit interrogatif susceptible de reprendre sans cesse à neuf les mêmes questions, sans volonté d’aboutir à des thèses définitives. Sans doute peut-on appliquer à la pensée de Desanti lui-même ce que, dans un texte intitulé « Relire la Krisis aujourd’hui », il écrivait à propos de la pensée de Husserl :

Il n’y a pas de doctrine. Simplement l’ouverture d’une tâche réflexive, d’un travail de la pensée par essence interminable, « infini », comme le disait Husserl lui-même […]. C’est le plus clair des bénéfices que j’en retire [ scil. de la lecture des derniers textes de Husserl] : le renouvellement de l’inquiétude 18 .

Renouvellement de l’inquiétude : c’est-à-dire maintien dans un état de non-repos, de non-appartenance à quelque lieu philosophique, à quelque corps de doctrine déjà constitué et peuplé d’évidences définitivement acquises, mais de questionnement toujours à nouveau ouvert. De Husserl, Desanti ne reprend pas l’exigence de refonder le savoir philosophique sur un sol d’évidences apodictiques, soustraites par principe à toute possibilité de doute ultérieur et réactivables par tout ego philosophant19, mais les deux thèses selon lesquelles la raison requiert nécessairement (et non accidentellement) un déploiement dans l’histoire, et que « l’être-vrai est partout un but idéal »20, c’est-à-dire que l’historicité de la raison philosophique a pour structure une approximation indéfinie, non susceptible par essence de se clore sur un champ d’évidences acquises. C’est pourquoi, loin d’espérer apporter aux questions posées – celles du statut des objets idéaux, de l’instance productrice des idéalités et de la forme d’historicité qui structure cette genèse – des réponses définitives, la méthode de Desanti consiste à reprendre et renouveler la réflexion à leur sujet, quitte à réactiver les mêmes arguments et mobiliser les mêmes exemples.

De ce style foncièrement aporétique du philosopher desantien, dont l’un des symptômes est la clôture des textes par la formule finale « Je ne sais », l’on trouve une expression dans son rapport à la tradition de philosophie des mathématiques, ainsi que dans son détournement de la méthode husserlienne de l’épochè. Dans un entretien avec Maurice Caveing, Desanti affirme que faire de la philosophie des mathématiques ne consiste pas à passer en revue les différentes thèses pré-constituées relatives à l’être des entités mathématiques et au statut de leur instance constituante (réalisme des structures de type platonicien réactualisé par Lautman, formalisme hilbertien, intuitionnisme brouwerien, kantisme et philosophie transcendantale de type husserlien, philosophie dialectique de type hégélien…), à faire son choix entre ces différentes thèses, puis à trouver des arguments pour défendre la thèse élue contre les antithèses possibles21. Pour paraphraser Descartes, l’acte de philosopher ne consiste pas à effectuer le dénombrement des théories mathématiques : d’une part, parce que le choix entre ces thèses pré-constituées s’apparenterait à une simple posture idéologique dont les motivations véritables se situeraient à un niveau extra-mathématique, dans l’adhésion à des thèses ontologiques ou des principes méthodiques généraux et extérieurs au champ proprement mathématique (réalisme, idéalisme, méthode génétique, etc.) ; ensuite, parce que le véritable travail philosophique ne consiste pas à donner et fonder des réponses à des questions pré-données, mais à élaborer les questions elles-mêmes ; enfin et surtout, parce qu’il est vain de vouloir produire une théorie des théories universelle, assignant à l’être des idéalités et à l’activité productrice un fondement absolu (sujet transcendantal...