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Que sais-je ?

COLLECTION FONDÉE PAR PAUL ANGOULVENT

Olivier Houdé, La Psychologie de l’enfant, no 369.

Gaston Mialaret, Les Sciences de l’éducation, no 1645.

Patrick Rayou, Agnès van Zanten (dir.), Les 100 mots de l’éducation, no 3926.

Michèle Kail, L’Acquisition du langage, no 3939.

Michel Fayol, L’Acquisition de l’écrit, no 3970.

Michèle Kail, L’Acquisition de plusieurs langues, no 4005.

ISBN 978-2-7154-1110-4

ISSN 0768-0066

Dépôt légal – 1re édition : 2012
4e édition mise à jour : 2022, juin

© Presses Universitaires de France / Humensis, 2022

170 bis, boulevard du Montparnasse, 75014 Paris

Ce document numérique a été réalisé par Nord Compo.

Introduction

Les mathématiques ennuient certains élèves, elles en séduisent d’autres. En cela, leur situation ressemble à celle d’autres disciplines. Pourtant, dans presque tous les pays de l’OCDE, environ 20 % des enfants et adolescents développent à leur endroit des sentiments négatifs, allant de l’anxiété à la phobie, sans qu’on comprenne encore très bien pourquoi1. Dans nos sociétés, les mathématiques sont fortement valorisées : dans les activités professionnelles d’abord puisque le niveau moyen requis pour l’exercice de la plupart des professions est estimé à celui de la classe de troisième2 ; dans la société dite de la connaissance ensuite, objectif dont l’atteinte nécessite une culture scientifique dans laquelle elles ont une part importante ; dans l’école enfin, où elles jouent un double rôle, de discipline phare et d’outil de sélection, l’une et l’autre contribuant à surévaluer les réussites et à dramatiser les échecs. La société française et les autorités s’inquiètent de la performance des élèves de CM1, de CM2, des classes de quatrième et de seconde aux épreuves de différents programmes internationaux (respectivement TIMSS, CEDRE et PISA) dont les résultats convergent pour montrer la baisse de niveau et l’augmentation de l’hétérogénéité des élèves français : les faibles en mathématiques sont plus nombreux que dans d’autres pays, et les très bons, pas aussi nombreux qu’on le supposait3. Ces données amènent à s’interroger sur les décisions à prendre et les moyens à mobiliser pour prévenir une possible poursuite de la baisse en même temps que remédier à celle que l’on observe. La recherche – longtemps ignorée par les ministères concernés – est mise à contribution. Que nous apprend-elle ? Pourrait-elle contribuer, et comment, à améliorer cette situation ?

De manière schématique, les travaux concernant le nombre, son acquisition et son utilisation chez l’enfant et l’adulte apparaissent au début du XXe siècle et ne cessent d’augmenter. Ils se succèdent selon trois périodes. Jusque vers les années 1960, deux préoccupations dominent, toutes deux liées à un souci d’application : premièrement, situer les individus les uns par rapport aux autres ; deuxièmement, chercher à décrire et tenter d’expliquer la difficulté relative des savoirs et savoir-faire arithmétiques et à concevoir des techniques susceptibles d’en améliorer l’apprentissage et l’utilisation. La période située entre 1950 et 1980 est marquée par la diffusion des conceptions de Jean Piaget sur le développement de l’enfant et leur application au champ pédagogique, en relation avec les mathématiques dites modernes. Plus récemment, à partir de 1980, sous l’influence de la neuropsychologie puis des sciences cognitives, un double mouvement, théorique et empirique, a mis en évidence la diversité et la complexité des activités mentales associées aux mathématiques, recherché les fonctionnements cérébraux qui leur sont associés, cherché à les mettre en relation avec les données de la génétique et du développement tout en se préoccupant des applications aux pathologies et à la pédagogie.

L’acquisition du nombre : différences interindividuelles et perspectives psychopédagogiques. – Dès le début du XXe siècle, les psychologues s’intéressent à l’acquisition du nombre et de la numération. Leur perspective traduit le souci d’établir des critères de différenciation interindividuels. Il s’agit de ne maintenir, au sein de l’école rendue obligatoire, que les enfants aptes à suivre les programmes établis. Binet élabore en 1905 un premier test dans lequel apparaissent quelques épreuves numériques. En 1908 puis 1911, les épreuves subissent des remaniements qui aboutissent à les ordonner en fonction de l’âge de réussite, par exemple, à 5 ans, compter 4 sous, à 6 ans, 13 sous et à 7 ans, 9 sous (trois simples et trois doubles). D’une part, les auteurs souhaitent élaborer une échelle de développement couvrant les principaux champs, dont celui du nombre. D’autre part, ils recherchent des épreuves pour lesquelles l’amélioration des performances en fonction de l’âge est régulière et s’étale sur une brève période de temps. Ces items permettent d’affecter clairement un individu à un niveau de développement et un seul.

Les chercheurs relèvent que des modifications minimes induisent des différences de performance. Ainsi, Alice Descœudres a comparé les taux de réussite d’enfants de 2 à 6 ans à des épreuves mettant en jeu les mêmes nombres, mais à travers des activités différentes : par exemple, concernant la quantité 3, reproduire un ensemble de 3 objets est réussi (à 75 %) à 3 ans, mais montrer autant d’objets (3) que de doigts ne l’est qu’à 4 ans, dire combien on a entendu de coups frappés (3) à 5 ans et imiter 3 coups frappés à 5 ans et demi4. Que signifie donc « maîtriser » un nombre ? Cela suppose-t-il qu’on soit capable de le mobiliser dans n’importe quelle condition, indépendamment des difficultés liées à l’exécution de telle ou telle tâche ? Suffit-il de l’utiliser dans au moins une épreuve ? Plus généralement se trouve soulevée la question de la construction d’un modèle de développement et de fonctionnement susceptible de rendre compte de ces variations intra- et interindividuelles. Cette question a conduit à établir une échelle de développement des performances arithmétiques chez l’enfant de 5 à 9 ans en combinant deux approches : longitudinale et transversale5.

Le constat de ces variations a amené plusieurs auteurs à adopter un point de vue psychopédagogique. Celui-ci soulève le problème des rapports entre le développement de l’enfant, tel que le décrivent les recherches, et la construction de programmes d’enseignement6. Deux perspectives d’intervention sont envisageables. La première consiste à différer l’introduction de certaines notions ou savoir-faire afin d’adapter la difficulté au niveau supposé de développement des individus. La seconde, plus volontariste, revient à mettre en place un environnement et des interventions susceptibles de susciter ou de soutenir certaines activités et d’induire l’apprentissage de savoirs et savoir-faire.

Pour adapter les programmes comme pour préparer l’environnement, il convient de disposer d’informations relatives au « développement » des élèves. Ces données doivent concerner des apprentissages particuliers, ce qui a conduit à étudier les niveaux de difficulté de tâches bien délimitées. Par exemple, la plus ou moins grande facilité d’apprentissage des 100 premières combinaisons additives (de 0 + 0 à 9 + 9) a été analysée chez des enfants de deuxième année primaire (7-8 ans) soumis pendant vingt jours à un apprentissage des additions par le biais d’un jeu arithmétique7. Les combinaisons additives n’ont pas le même niveau de difficulté. La hiérarchie des réussites8 permet, aujourd’hui encore, de prédire les performances et suggère que les individus recourent au comptage plutôt qu’à une remémoration des résultats. De plus, la corrélation entre la pratique d’un item et le taux de réussite pour cet item reste faible : la répétition systématique ne suffit pas.

Les travaux les plus anciens relativement à l’acquisition du nombre et des opérations arithmétiques ont fait apparaître des thèmes que la psychologie cognitive reprendra : difficulté relative des combinaisons d’opérations ; problème des erreurs ; rapports entre ce que fait un individu (performance) et ce qu’il serait capable de faire (compétence). Ils révèlent aussi l’existence de domaines restés pas ou peu explorés. On ne trouve aucune allusion à l’organisation linguistique des dénominations de nombres. La résolution de problèmes arithmétiques n’a guère retenu l’attention. La question de la nature de la connaissance du nombre n’est pas soulevée.

De l’empirisme au constructivisme : le nombre comme invariant fondé sur la logique. – Les travaux conduits au cours de la première moitié du XXe siècle se caractérisent par leur caractère empirique. Les chercheurs visent à décrire l’évolution des connaissances – par exemple les tables de multiplication – et des savoir-faire des enfants, par exemple le traitement des opérations. Ils ne s’interrogent pas sur la définition du nombre, mais s’attachent à en explorer les manifestations. Il s’agit pour eux d’évaluer des niveaux de performance et d’essayer d’élaborer des techniques efficaces d’intervention. Le critère est la réussite.

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