Table des matières

Avant-propos

Introduction

Les origines de la pensée mathématique

La sortie de l’animalité

L’invention de l’écriture et l’arithmétique

Les débuts de la géométrie

Les quatre opérations arithmétiques

Les Indo-Européens

Les Grecs

Réception du legs égypto-mésopotamien

Thalès de Milet

Angles, cordes, arcs et secteurs

Égalité des angles opposés par le sommet

Égalité des angles alternes internes

Somme des angles d’un triangle

Pythagore de Samos

La théorie des nombres

Le triangle rectangle

Les grandeurs incommensurables

Quelques problèmes géométriques

Les trois problèmes insolubles

Les lunules d’Hippocrate

La divine proportion

Les sections coniques

La naissance de la logique

Les Éléments d’Euclide

La géométrie euclidienne

Le théorème fondamental de l’arithmétique

Archimède et le rapport de la circonférence au diamètre

Apollonius et les coniques

La trigonométrie

Les Romains

Ménélaüs et les transversales du triangle

Ptolémée et les sécantes du cercle

Diophante et les équations

La synthèse de Pappus

Boèce et Cassiodore

Le Moyen Âge

La découverte du zéro

Les mathématiciens de langue arabe

La naissance des universités

Léonard de Pise

Logique et scolastique

Réflexion sur les séries

La Renaissance  : l’algèbre

Les algébristes italiens

Les équations

Résolution géométrique de l’équation du premier degré

Résolution géométrique de l’équation du deuxième degré

Résolution algébrique de l’équation du troisième degré

La trigonométrie

Le xviie siècle : l’analyse

Les logarithmes

La géométrie analytique

Le théorème fondamental de l’algèbre

Premiers succès de la géomètrie de Descartes

La géométrie projective

Le triangle de Pascal

Calculer avec l’infini

Les indivisibles

Les séries

Le problème des tangentes et la dérivée

La quadrature des courbes et l’intégrale

Le xviiie siècle : les fonctions

La notion de fonction

Les fonctions trigonométriques

Les fonctions inverses

Les fonctions logarithmiques et exponentielles

Les développements en série

Les fonctions de plusieurs variables

Le calcul intégral

Les équations différentielles

Intégrale indéfinie et intégrale définie

Les intégrales multiples

Le retour aux équations

Les systèmes d’équations

La résolution des équations de degré supérieur à 4

Les nombres imaginaires

Le xixe siècle : l’abstraction

La professionnalisation des mathématiciens

Les nombres imaginaires

Le retour à la géométrie

La théorie des groupes

La dialectique rationnelle

Déterminants, matrices et vecteurs

Les nombres feints de Leibniz

La multiplication des déterminants par un nombre

Les vecteurs

Les matrices

La recherche de la rigueur

La logique symbolique

Les géométries non euclidiennes

Les géométries à n dimensions

La topologie

L’axiomatisation de l’arithmétique

La théorie des coupures de Dedekind

La théorie des ensembles de Cantor

Plus grand que l’infini !

Le logicisme de Frege

L’axiomatisation de Peano

L’axiomatisation de la géométrie

L’algèbre supérieure

Le xxe siècle : la synthèse

Axiomatisation et logicisation

L’intégrale

L’intégrale de Riemann

L’intégrale de Lebesgue

La crise des fondements

Bertrand Russell

Kurt Gödel

Nicolas Bourbaki

Bibliographie

Les œuvres fondamentales

Histoire des mathématiques

Index des mathématiciens

Avant-propos

En 2002, nous entamions la publication d’une « Histoire des sciences », chez Vuibert, projet qui n’allait s’achever qu’en 2009, et qui se décline en neuf volumes contenant 3 110 pages. Notre objectif était double, didactique et philosophique.

Primo, il nous semblait utile de mettre à la disposition du public – et notamment des enseignants et des étudiants – des tableaux synthétisant nos connaissances sur l’origine et le développement, au cours de l’histoire de l’Humanité, de la pensée scientifique, car nous pensions que les idées modernes en mathématiques, en physique, en chimie, en biologie, en médecine et en technologie ne se comprenaient bien qu’en sachant comment elles s’étaient construites au cours des siècles. Nous pensions tout naturellement aux enseignants chargés d’initier à la science d’aujourd’hui, qui pouvaient trouver dans une histoire explicative des sciences un soutien à leur effort pédagogique. Mais nous pensions également au grand public, désireux peut-être de comprendre ce que signifient des expressions comme « progrès scientifique » ou « vérité scientifique ».

Secundo, nous voulions contribuer à la grande question de la « vérité », qui est posée déjà par les premiers philosophes de l’ancienne Grèce, il y a plus de deux mille ans. La « science » a-t-elle conduit à des savoirs absolus, définitifs, à des certitudes ? Et  question immédiatement subsidiaire – que valent les savoirs non scientifiques, notamment les dogmes proposés par les différentes religions1 ? Il s’agissait donc de repérer les moments principaux du développement de la pensée scientifique, de manière à fournir les bases indispensables à la réflexion épistémologique.

Nous avons commencé par l’étude de l’évolution de la pensée mathématique, et notre Nouvel Abrégé d’histoire des mathématiques a donc paru en septembre 2002. Il nous a semblé que le temps était venu de proposer une nouvelle version, augmentée et refondue, de cet ouvrage que le public a bien voulu accueillir très favorablement. On trouvera donc, ci-après, une « Histoire des maths » destinée à fois aux spécialistes et aux amateurs, au monde de l’enseignement et à celui de la recherche en histoire et en philosophie des mathématiques, à ceux qui connaissent les mathématiques mais en ignorent peut-être l’histoire, à ceux qui connaissent l’histoire mais peut-être pas celle des mathématiques.

Introduction

« Les chaussures sont un instrument pour marcher, les maths sont un instrument pour penser. On peut marcher sans chaussures, mais on va moins loin. »

(Jean-Marie Souriau)

En résumant vingt-six siècles de recherches sur les figures et sur les nombres, nous tenterons de rassembler l’essentiel de cette extraordinaire œuvre de l’Humanité qu’est la science mathématique. Nous résumons cette histoire pour son intérêt humain, et aussi parce que nous croyons que l’étude chronologique des problèmes scientifiques est le meilleur moyen de les comprendre. Nous espérons que notre ouvrage montrera que la mathématique constitue vraiment le « noyau dur » de la pensée, et que son étude – ou, du moins, l’étude de ses fondements – est nécessaire pour étudier les possibilités de connaissance de l’esprit humain.

Nous avons voulu ne retenir que l’essentiel, afin de montrer surtout les filiations intellectuelles entre les problèmes, les découvertes et les théories. Bien des domaines de la vaste science mathématique ne sont pas abordés, ne sont même pas cités. D’autre part, nous n’avons pas retenu la moindre anecdote. C’est à peine si le lecteur saura que René Descartes était français, que Georg Cantor fut l’ami de Richard Dedekind, ou qu’Augustin Cauchy fut professeur à l’École polytechnique. Rien sur le duel d’Évariste Galois, où cet inventeur génial de la théorie des groupes trouva la mort dans sa prime jeunesse ; rien sur les méditations d’Archimède dans son bain ; rien sur les amours particulières d’Alan Turing. Tout ce pittoresque n’est pas sans intérêt, il a même l’intérêt considérable de nous rappeler que les mathématiques sont une construction humaine, mais nous avons concentré notre effort sur la compréhension des idées et de leur enchaînement dans l’Histoire2.

La mathématique est l’ossature de la tradition de pensée de l’Occident.

Pas moins ! Personne n’ignore que Platon avait fait inscrire au fronton de l’entrée de son Académie « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre », et aujourd’hui il est peu de professions qui n’exigent certaines connaissances mathématiques, au moins rudimentaires. Ceux qui ont fondé les mathématiques, Thalès et Pythagore, sont aussi, et ce n’est pas un hasard, ceux qui ont fondé la philosophie. Je ne sais pas s’il est nécessaire, pour « être un homme », d’avoir lu Racine, d’avoir contemplé l’Acropole, d’avoir écouté, au moins une fois dans sa vie, les Concertos brandebourgeois, d’avoir étudié les rudiments du droit civil, mais je suis persuadé qu’il manque quelque chose à celui qui n’a jamais entendu parler de la théorie des ensembles, ou qui n’a aucune idée de ce qu’est le calcul intégral. Point n’est besoin de savoir résoudre une équation (de même, on peut écouter Beethoven sans savoir jouer d’aucun instrument, et même en ignorant le solfège), mais comment se dire « homme », comment surtout se prétendre « humaniste », sans savoir un peu ce qui a tant préoccupé Euclide et Descartes, ce qui a permis à Einstein de bouleverser notre vision du monde, ce qui a rendu possible le développement, si spectaculaire et si plein de conséquences socio-économiques, de l’informatique et des télécommunications ?

Nous avons mis tout notre soin à illustrer notre texte par des citations, parfois assez longues, des « moments forts » de l’histoire des mathématiques. Il est essentiel de savoir qu’en histoire des sciences, c’est toujours au texte original qu’il faut se reporter. C’est la condition nécessaire pour vraiment comprendre comment les notions ont évolué. Il s’agit donc de lire Euclide, Pascal, Bourbaki, dans le texte même. Aussi trouvera-t-on quelques extraits choisis de leurs œuvres.

Nous avons voulu rester aussi près que possible de la vérité historique. Toutefois, nous avons souvent utilisé le symbolisme mathématique actuel pour présenter des notions pourtant bien antérieures à ce symbolisme. Certains puristes trouveront qu’il s’agit d’anachronismes, et ils auront parfaitement raison. Les mathématiciens de la Grèce antique n’utilisaient pas les chiffres décimaux. Et les algébristes de la Renaissance ne disposaient pas encore de tous nos symboles et abréviations. Mais l’utilisation correcte des notations de chaque époque aurait rendu notre ouvrage presque illisible ! Nous ne nous sommes pas privé, par exemple, d’écrire « + » à la place de « plus », même si ce n’est qu’en 1489 que l’Allemand Johann Widman introduit ce signe bien pratique.

Les origines de la pensée mathématique

Il y a quelques millions d’années, l’homme sort de l’animalité en inventant l’outil et le langage, c’est-à-dire la technique. Après l’invention de l’écriture, il y a cinq mille ans, l’étude des nombres (arithmétique) et des figures (géométrie) se développe en Mésopotamie et en Égypte.

La sortie de l’animalité

L’homme sort de l’animalité il y a quelques millions d’années en inventant l’outil. Cette invention ne consiste pas en l’usage seul de l’outil (l’observation actuelle des grands singes montre que ceux-ci sont capables d’utiliser une pierre pour écraser un fruit dur), mais en la conservation de l’outil et en l’amélioration de celui-ci par le façonnage et l’assemblage. C’est ainsi qu’une pierre taillée devient un grattoir ou un couteau ; qu’assemblée avec un manche en bois, elle devient une hache.

La conception, la fabrication et l’utilisation d’outils exigent des capacités intellectuelles développées : idée de la relation entre une cause (frapper un fruit) et un effet (ouverture du fruit qui libère sa partie nutritive), idée de la différenciation entre les matériaux. Il faut savoir distinguer les matériaux durs (pierres) et les matériaux tendres (bois), ou les substances comestibles et celles qui ne le sont pas. La classification est ainsi la première activité intellectuelle de l’humanité. Nous sommes déjà dans le domaine que plus tard (des milliers d’années plus tard) l’on qualifiera de mathématique. Le lecteur ne doit donc pas être surpris si nous commençons notre histoire de la mathématique au moment même du commencement de l’histoire de l’humanité. Dès que celle-ci est constituée, l’esprit humain fonctionne, et classe les choses. Le classement est ainsi une des premières « activités mentales ». C’est vraiment le premier pas de la pensée mathématique et, à vrai dire, de la pensée tout court.

L’outil donnant à l’homme primitif un avantage décisif sur ses concurrents (autres singes, prédateurs carnivores…), la population humaine augmente, et la sortie de l’animalité est achevée avec la deuxième invention, celle du langage. La combinaison de l’outil et du langage permettra la transmission du savoir-faire de génération en génération non seulement par le geste, mais aussi par la parole. Cette combinaison est la technique, qui isole l’humain des autres animaux3. Dès son apparition, la technique exige des capacités intellectuelles qui font la différence entre l’humanité et l’animalité.

La très longue histoire du développement simultané de l’outil et du langage (des millions d’années) constitue la plus grande partie de la préhistoire, étudiée grâce aux outils de pierre qui se sont conservés du fait de leur caractère imputrescible et grâce aux ossements humains qui ont échappé à la destruction par la fossilisation. Les préhistoriens et les paléoanthropologues ont pu retracer avec une certaine précision cette longue période qui se terminera par l’invention de l’écriture, il y a environ 5 000 ans.

L’invention de l’écriture et l’arithmétique

Ce moment de l’invention de l’écriture, quelque part dans le « Croissant fertile » (région des fleuves Nil, Jourdain, Euphrate et Tigre), correspond au passage de la préhistoire à l’histoire.

Avant l’écriture, l’homme n’a pu laisser comme traces de son existence que ses os et ses outils, et, quand il connaîtra le feu, les cendres de ses foyers. Dorénavant, il laissera en outre des « documents », c’est-à-dire des textes (à condition bien sûr que le support de ceux-ci ait été conservé : argile durcie au four, pierre taillée, papyrus préservé de la destruction dans un milieu suffisamment sec).

La technique préhistorique, formée de deux éléments (l’outil et le langage ou, si l’on veut, la main et la parole), peut être considérée aussi comme constituée de deux moments successifs. Au début, elle ne correspond qu’à des productions de simple subsistance : les outils servent pour la chasse, pour la défense contre les prédateurs, pour la préparation des aliments4. Avec le développement du langage et donc de la vie sociale, une élévation du niveau de vie conduit à une certaine spécialisation (les hommes chassent et les femmes cuisinent, certains hommes fabriquent certains types d’outils, etc.), ce qui entraîne l’apparition d’échanges. À la technique de subsistance, ou artisanat, succède la technique de production, ou industrie. L’artisan fabrique ce dont il a besoin au moment même où il en a besoin. Il vit au jour le jour. L’industriel fabrique en grandes quantités en vue d’échanges ultérieurs. Il a des projets.

L’apparition de l’écriture correspond à un niveau de vie déjà élevé, que l’archéologie nous a révélé. De grands rassemblements d’hommes, sous l’autorité d’une classe dirigeante fortement organisée avec un chef suprême (le roi), disposent d’une technique évoluée, d’une industrie déjà diversifiée, et occupent de vastes territoires.

En Égypte, c’est l’époque des pharaons, qui édifient des pyramides spectaculaires et disposent de l’écriture hiéroglyphique. En Mésopotamie, c’est l’époque des cités (Our, Ourouk, Lagash…), qui construisent des ziggourats et utilisent l’écriture cunéiforme.

La classe dirigeante n’étant plus astreinte aux lourds travaux de production (effectués par la masse), elle peut se consacrer à divers loisirs. Parmi ceux-ci, la contemplation du ciel étoilé et la pratique de l’écriture suscitent les premières réflexions désintéressées, c’est-à-dire poursuivies dans un but exclusif de plaisir intellectuel, en dehors de toute préoccupation utilitaire.

C’est ainsi que l’observation et la réflexion permettent à certains Égyptiens et à certains Mésopotamiens d’acquérir quelques connaissances constituant une pré-science. Ils savent localiser les astres dans le ciel, distinguant les étoiles des planètes, ils établissent le calendrier, c’est-à-dire le rapport constant entre certains phénomènes astronomiques et le retour régulier des saisons. Et, bien entendu, ils ont des connaissances techniques très variées : élevage et agriculture, connaissance des matériaux (matériaux pierreux mais aussi métaux), connaissances médicales. La technique et la « pré-science » que nous venons de définir se combinent à des idées mystiques pour former un savoir cultivé par des spécialistes : les prêtres, les scribes, les médecins…

Nos distinctions actuelles entre technique et magie, entre science et religion, entre religion et philosophie, entre philosophie et littérature, n’ont évidemment aucun sens à cette époque. Les points lumineux que l’on observe la nuit dans le ciel sont à la fois des objets dont on détermine la position (astronomie), des indicateurs pour le comportement des hommes (astrologie), des dieux dont on raconte l’histoire (littérature), des forces que l’on redoute (religion). Et pour mener à bien une opération un peu complexe (une expédition de chasse ou la construction de grands édifices…), il faut à la fois accomplir des gestes qui nous paraissent « techniques » et d’autres que nous qualifions de « mystiques ». Par exemple, il faut pour produire tel métal mélanger telle pierre verte avec du charbon de bois, il faut chauffer fortement le mélange, mais il faut aussi prononcer telle incantation, effectuer tel geste, ou placer le four à tel endroit. Nous appelons aujourd’hui « magie » la partie de ces opérations que nous savons aujourd’hui inutiles (incantations, gestes rituels, localisations spécifiques…), et donc nous distinguons technique et magie5. Mais cette distinction était totalement sans signification pour les Mésopotamiens et pour les Égyptiens.

Pourquoi, un jour, en Mésopotamie ou en Égypte, un homme a-t-il inventé l’écriture ?

Graver des images d’animaux ou des motifs décoratifs sur un os ou un morceau de bois, peindre sur les parois d’une caverne, orner de lignes droites ou sinueuses les premières poteries, étaient des pratiques déjà anciennes et tout à fait courantes. Il y avait là un certain sens esthétique, une occupation « pour faire passer le temps », probablement certaines idées magico-religieuses (le gibier représenté par le chasseur, qui espère avoir ainsi prise sur lui…), mais surtout l’idée du signifiant d’un certain signifié. Une ligne brisée (le signifiant) fait penser aux ondulations d’une étendue d’eau (le signifié), un triangle fait penser à une tête de bœuf ou à un poignard, etc. Pour le primitif, l’animal peint est et n’est pas l’animal réel. Dans la pensée prélogique de l’homme préhistorique, il y a confusion entre l’image et ce qu’elle représente, mais la confusion n’est pas totale. Aussi primitif soit-il, le chasseur qui dessine une antilope sait fort bien que son dessin n’est pas tout à fait aussi réel que l’antilope qu’il va poursuivre et capturer. Et avant que l’écriture ne soit ce qu’elle deviendra dans les hiéroglyphes des Égyptiens ou dans les cunéiformes des Chaldéens, elle n’a été qu’une suite de dessins fortement simplifiés : trois boules pour représenter trois sacs de blé, quatre pointes pour représenter quatre épées, deux spirales pour représenter deux pièces de tissu enroulé…

L’on peut ainsi admettre que l’origine de l’écriture est technique, correspondant à un besoin de comptabilisation, pour les échanges, héritages et autres transactions. Le fait est d’ailleurs que les premiers documents écrits découverts par les archéologues sont manifestement des documents « comptables ». Il semble que, d’emblée, écriture et comptage apparaissent simultanément. Le signe graphique renvoie à une réalité phonétique (le mot prononcé) et à une réalité psychologique (la chose représentée par le mot). Et l’on peut supposer que le besoin fut à l’origine non pas celui de représenter des choses (représenter le soleil, ou tel bœuf, ou tel sac de blé ne correspondait à aucun véritable besoin), mais de représenter des ensembles concrets de choses correspondant pour le scripteur à un intérêt économique. Cela signifie que les premiers signes étaient autant de nature arithmétique (l’arithmétique est la technique des dénombrements) que de nature linguistique : il s’agissait de représenter en même temps un type de bien économique (sac de blé, pièce de tissu) et la quantité de ce bien. Citons James Ritter, spécialiste des mathématiques de la haute Antiquité6 :

« Les mathématiques et l’écriture entretiennent – c’est récemment devenu clair – une relation symbiotique. Elles sont nées en même temps et leurs destinées ont toujours été étroitement liées, même si la seconde s’est, dans une large mesure, libérée des contraintes imposées par les premières. Nous sommes si habitués à envisager les systèmes modernes d’écriture comme des réflexions du langage parlé qu’il peut être salutaire de rappeler que tel ne fut pas le cas au commencement ».

L’archéologie, en tout cas, confirme bien que les premiers textes découverts, tant en Égypte qu’en...