On me demande souvent à quoi ressemble la vie d’un chercheur, d’un mathématicien, de quoi est fait notre quotidien, comment s’écrit notre œuvre. C’est à cette question que le présent ouvrage tente de répondre.

Le récit suit la genèse d’une avancée mathématique, depuis le moment où l’on décide de se lancer dans l’aventure, jusqu’à celui où l’article annonçant le nouveau résultat – le nouveau théorème – est accepté pour publication dans une revue internationale.

Entre ces deux instants, la quête des chercheurs, loin de suivre une trajectoire rectiligne, s’inscrit dans un long chemin tout en rebonds et en méandres, comme il arrive souvent dans la vie.

Mis à part quelques aménagements insignifiants liés aux besoins de la présentation, tout dans le récit est conforme à la réalité, ou du moins tel que je l’ai ressenti.

Quelques longs passages en anglais sont traduits à la fin de l’ouvrage.

Merci à Olivier Nora pour avoir suscité ce projet à l’occasion d’une rencontre impromptue ; merci à Claire pour ses relectures attentives et ses suggestions ; merci à Claude pour ses belles illustrations ; merci à Ariane Fasquelle et à l’équipe de Grasset pour la qualité de leur écoute et de leur travail éditorial ; merci enfin à Clément pour une collaboration inoubliable, sans laquelle le sujet de ce livre ne serait pas.

Lecteurs et lectrices sont les bienvenus pour me faire part de leurs questions ou commentaires par voie électronique.

Cédric Villani
Paris, décembre 2011

Chapitre 1

Lyon, le 23 mars 2008

Un dimanche à 13 heures ; le laboratoire serait désert, s’il n’y avait deux mathématiciens affairés. Un rendez-vous intime pour une séance de travail au calme, dans le bureau que j’occupe depuis huit ans au troisième étage de l’Ecole normale supérieure de Lyon.

Assis dans un fauteuil confortable, je tapote énergiquement sur le large bureau, les doigts déployés telles les pattes d’une araignée, comme mon professeur de piano m’y a entraîné jadis.

À ma gauche, sur une table séparée, une station de travail informatique. À ma droite, une armoire contenant quelques centaines de livres qui parlent de mathématique et de physique. Derrière moi, soigneusement rangés sur de longues étagères, des milliers et des milliers de pages d’articles, photocopiés à une époque ancestrale où les revues scientifiques n’étaient pas encore électroniques ; et des reproductions de nombreux ouvrages de recherche, photocopillés à une époque où mon salaire ne me permettait pas d’étancher ma soif de livres. Il y a aussi un bon mètre linéaire de brouillons, méticuleusement archivés durant de longues années ; et tout autant de notes manuscrites, témoins d’innombrables heures passées à écouter des exposés de recherche. Sur le bureau devant moi, Gaspard, mon ordinateur portable, baptisé en l’honneur de Gaspard Monge, le grand mathématicien révolutionnaire ; et une pile de feuilles couvertes de symboles mathématiques, griffonnées aux huit coins du monde et rassemblées pour l’occasion.

Mon complice, Clément Mouhot, regard pétillant et marqueur à la main, se tient près du grand tableau blanc qui occupe tout le mur en face de moi.

– Alors explique, pourquoi tu m’as fait venir, c’est quoi ton projet ? Tu n’as pas trop donné de détails dans ton mail…

– Je me remets à mon vieux démon, évidemment c’est très ambitieux, c’est la régularité pour Boltzmann inhomogène.

– Régularité conditionnelle ? Tu veux dire, modulo des bornes de régularité minimales ?

– Non, inconditionnelle.

– Carrément ! Pas dans un cadre perturbatif ? Tu crois qu’on est prêts ?

– Oui, je m’y suis remis, j’ai à peu près bien avancé, j’ai des idées, mais là je suis bloqué. J’ai décomposé la difficulté avec plusieurs modèles réduits, mais même le plus simple m’échappe. Je croyais l’avoir avec un argument de principe de maximum, et là non, tout s’est écroulé. J’ai besoin d’en parler.

– Vas-y, je t’écoute.

Je parle longuement : le résultat que j’ai en tête, mes tentatives, les différents morceaux que je n’arrive pas à enchaîner les uns aux autres, et le puzzle logique qui ne se met pas en place, l’équation de Boltzmann qui demeure rebelle.

L’équation de Boltzmann, la plus belle équation du monde, comme je l’ai dit à un journaliste ! Je suis tombé dedans quand j’étais petit, c’est-à-dire pendant ma thèse, et j’en ai étudié tous les aspects. On trouve de tout dans l’équation de Boltzmann : la physique statistique, la flèche du temps, la mécanique des fluides, la théorie des probabilités, la théorie de l’information, l’analyse de Fourier… Certains disent que personne au monde ne connaît mieux que moi le monde mathématique engendré par cette équation.

Il y a sept ans, j’ai initié Clément à cet univers mystérieux, quand il a commencé sa thèse sous ma direction. Clément a appris avec avidité, il est certainement le seul à avoir lu tous mes travaux sur l’équation de Boltzmann ; maintenant il est un chercheur respecté, autonome, brillant et enthousiaste.

Il y a sept ans je lui ai mis le pied à l’étrier, aujourd’hui c’est moi qui ai besoin de lui. Je suis sur un problème trop difficile, tout seul je n’y arriverai pas ; au minimum il faut que je puisse raconter mes efforts à quelqu’un qui connaît la théorie sur le bout des doigts.

– Supposons que les collisions rasantes sont bien présentes, d’accord ? un modèle sans cut-off. Alors l’équation se comporte comme une diffusion fractionnaire, dégénérée bien sûr, mais quand même une diffusion, et dès qu’on a des bornes sur la densité et la température, on peut se lancer dans un schéma itératif à la Moser, adapté pour tenir compte de la non-localité.

– Schéma de Moser ? Hmmm… Attends, je vais prendre des notes.

– Oui, un schéma façon Moser. La clé c’est que l’opérateur de Boltzmann… cet opérateur c’est vrai qu’il est bilinéaire, il est non local, mais quand même, moralement il est sous forme divergence, c’est ça qui fait marcher le schéma de Moser. Tu fais un changement de fonction non linéaire, tu grimpes en puissance… Et en fait il faut un peu plus que la température, il y a la matrice des moments d’ordre 2 qu’il faut contrôler. Mais quand même l’essentiel c’est la positivité.

– Attends, pas si vite, pourquoi la température suffit pas ?

J’explique longuement ; on discute, on conteste. Le tableau se retrouve inondé de symboles mathématiques, Clément veut en savoir plus sur la positivité. Comment montrer la positivité stricte sans borne de régularité ? Est-ce possible ?

– C’est pas si choquant, quand tu y penses, les collisions produisent des bornes inférieures, le transport dans un domaine confinant aussi, ça va dans le bon sens ; les deux effets devraient se renforcer, à moins d’avoir vraiment pas de chance. Dans le temps Bernt avait essayé, il avait planté. Bon, il y en a un paquet qui ont essayé, sans succès, mais ça reste plausible.

– T’es sûr que le transport va rendre positif sans régularité ? Pourtant, sans collisions, tu transportes la valeur de la densité, ça ne devient pas plus positif…

– Oui mais quand on moyenne en vitesse ça renforce la positivité… un peu comme les lemmes de moyennes cinétiques, mais là c’est pas de la régularité, c’est de la positivité. C’est vrai que personne l’a tellement étudié sous cet angle. Ça me rappelle… tiens, il y a deux ans, à Princeton, un post-doc chinois m’a posé une question un peu dans ce genre. Tu prends une équation de transport, disons dans le tore, tu supposes zéro régularité, tu veux montrer que la densité spatiale devient strictement positive. Sans régularité ! Il savait le faire pour le transport libre, ou pour un truc plus général en temps petit, mais en temps plus grand il était coincé… À l’époque j’avais transmis sa question à d’autres, mais j’ai pas obtenu de réponse convaincante.

– Alors attends, déjà, comment tu fais avec le bête transport libre ?

Transport libre, c’est le jargon pour désigner un gaz idéal dans lequel les particules n’interagissent pas. Un modèle tellement simplifié qu’il n’est guère réaliste, pourtant il est souvent riche d’enseignements.

– Boh, avec la solution explicite, ça doit le faire, attends, on va essayer de retrouver.

Nous nous mettons à chercher, chacun de notre côté, pour retrouver le raisonnement qu’avait dû faire Dong Li. Ce n’est pas un résultat majeur, plutôt un petit exercice. Mais peut-être, comprendre la solution de ce petit exercice va nous mettre sur la voie pour résoudre la grande énigme. Et puis c’est comme un jeu ! Au bout de quelques minutes de griffonnage silencieux, c’est moi qui gagne.

– Je crois que je l’ai.

Je passe au tableau pour exposer la solution, comme dans une séance d’exercices corrigés.

– On décompose la solution selon les répliques du tore… on change de variables dans chaque morceau… il y a un jacobien qui sort, tu utilises la régularité Lipschitz… et finalement tu trouves une convergence en 1/t (« un sur t »). C’est lent mais ça sonne bien.

– Quoi, alors, t’as pas de régularisation… la convergence est obtenue par moyenne… moyenne…

Clément réfléchit à voix haute devant mon calcul. Soudain il s’illumine, tout excité, agitant l’index en direction du tableau :

– Mais alors il faudrait voir si ça peut pas aider pour le damping Landau !

Je suis bluffé. Trois secondes de silence. Vague sentiment de quelque chose d’important.

Je demande des explications, Clément se trouble, s’affaire, m’explique que cette preuve lui rappelle une discussion qu’il a eue il y a trois ans de cela avec un autre chercheur d’origine chinoise, Yan Guo, à Providence, sur la côte est des États-Unis.

– Dans l’amortissement Landau on cherche une relaxation pour une équation réversible…

– Oui oui, je sais, mais l’interaction ne joue pas de rôle ? On est pas sur du Vlasov, là, c’est juste le transport libre !

– Peut-être que l’interaction doit jouer un rôle, oui, et puis… elle devrait être exponentielle, la convergence. Tu crois que 1/t est optimal ?

– Ça sonne bien, non ?

– Mais si la régularité était plus forte ? Ça serait pas mieux ?

– Hmrmrm.

Je grogne. Mélange de doute et de concentration, d’intérêt et de frustration.

Après quelques instants de silence, regards fixes et lèvres serrées, l’échange reprend… Pour passionnant qu’il soit, le mythique (et mystique ?) amortissement Landau n’a rien à voir avec notre projet de recherche initial ; au bout de quelques minutes on passe à autre chose. La discussion continue longuement. De fil en aiguille, on voyage à travers les questions mathématiques. On prend des notes, on argumente, on s’indigne, on apprend, on prépare un plan d’attaque. Quand on se sépare, l’amortissement Landau est tout de même sur la longue liste des devoirs à faire à la maison.

*

L’équation de Boltzmann,

découverte aux alentours de 1870, modélise l’évolution d’un gaz raréfié, fait de milliards de milliards de particules, qui se cognent les unes contre les autres ; on représente la distribution statistique des positions et vitesses de ces particules par une fonction f (t, x, v), qui au temps t indique la densité de particules dont la position est (environ) x et dont la vitesse est (environ) v.

Ludwig Boltzmann découvrit la notion statistique d’entropie, ou désordre, d’un gaz :

en utilisant son équation, il démontra qu’à partir d’un état initial fixé arbitrairement l’entropie ne pouvait qu’augmenter au cours du temps, jamais diminuer. En termes imagés, le gaz livré à lui-même devient, spontanément, de plus en plus désordonné, et cette évolution est irréversible.

Avec la croissance de l’entropie, Boltzmann retrouvait une loi découverte expérimentalement quelques décennies plus tôt et connue sous le nom de second principe de la thermodynamique ; mais il y ajoutait plusieurs contributions conceptuelles exceptionnelles. D’abord il remplaçait une loi empirique, observée expérimentalement et érigée en principe, par une démonstration argumentée ; ensuite il introduisait une interprétation mathématique, extraordinairement féconde, de la mystérieuse entropie ; et enfin il réconciliait la physique microscopique – imprévisible, chaotique et réversible – avec une physique macroscopique prévisible et irréversible. Ces contributions valent à Boltzmann une place de choix au panthéon de la physique théorique, ainsi que l’attention toujours renouvelée des philosophes et épistémologues.

Boltzmann définit ensuite l’état d’équilibre d’un système statistique comme un état d’entropie maximale, fondant ainsi le champ immense de la physique statistique à l’équilibre : c’est l’état le plus désordonné qui est le plus naturel.

Le jeune Boltzmann conquérant fit place peu à peu à un vieil homme tourmenté, qui se suicida en 1906. Son traité de théorie des gaz, toujours d’actualité, apparaît avec le recul comme l’un des plus importants ouvrages scientifiques du dix-neuvième siècle. Mais ses prédictions, confirmées par l’expérience, sont toujours en attente d’une théorie mathématique complète ; une des pièces manquantes dans le puzzle est l’étude de la régularité des solutions de l’équation de Boltzmann. Malgré ce mystère persistant, ou peut-être en partie grâce à lui, l’équation de Boltzmann est maintenant l’objet d’une théorie florissante ; elle occupe une communauté internationale de mathématiciens, physiciens et ingénieurs, qui se réunissent par centaines dans les colloques Rarefied Gas Dynamics et dans bien d’autres occasions.

Ludwig Boltzmann

Chapitre 2

Lyon, mars 2008

L’amortissement Landau !

Après notre rendez-vous de travail, des souvenirs confus me reviennent en tête : bribes de conversation, discussions inachevées… Tous les physiciens spécialistes des plasmas sont familiers de l’amortissement Landau, mais pour les mathématiciens ce phénomène reste un mystère.

En décembre 2006, je me trouvais à Oberwolfach, dans un institut légendaire perdu au cœur de la Forêt-Noire, une retraite où les mathématiciens vont et viennent dans un ballet incessant pour parler des sujets les plus divers. Portes sans serrures, boissons en libre accès, petites caisses en bois où l’on dépose l’argent, gâteaux à profusion, tables auxquelles les convives doivent s’asseoir à une place déterminée par tirage au sort.

Ce jour-là à Oberwolfach, le sort m’avait placé à la même table que Robert Glassey et Eric Carlen, deux spécialistes américains de théorie mathématique des gaz. La veille j’avais fièrement présenté à l’ouverture du colloque une moisson de résultats nouveaux ; et le matin même, Eric nous avait servi un exposé enthousiaste et débordant d’idées, dont nous continuions à parler autour de la soupe fumante. Tout cela mis bout à bout faisait un peu trop pour Robert, qui se sentait vieux et dépassé et soupirait : « Time to retire »…

Eric s’était récrié : pourquoi la retraite, alors qu’il n’y a jamais eu d’époque aussi excitante pour la théorie des gaz ! Et moi aussi je m’étais récrié : pourquoi la retraite, alors que nous avons tellement besoin de l’expérience acquise par Robert en trente-cinq ans de carrière !

– Robert, tell me about the mysterious Landau damping effect, can you explain, is it for real ?

Weird, strange étaient les mots qui étaient revenus dans la réponse de Robert. Oui, Maslov a travaillé dessus ; oui, il y a le paradoxe de la réversibilité qui semble incompatible avec l’amortissement Landau ; non, ce n’est pas clair. Eric avait suggéré que cet amortissement était une chimère sortie de l’imagination fertile des physiciens, sans espoir de formulation mathématique. Moi je n’en avais guère retiré d’informations, et j’avais archivé cette conversation dans un coin de mon cerveau.

Maintenant nous sommes en 2008, je n’en sais pas plus qu’en 2006. Mais Clément, lui, a eu l’occasion d’en discuter longuement avec Yan Guo, le « petit frère » scientifique de Robert – ils ont eu le même directeur de thèse. Le fond du problème, disait Yan, c’est que Landau n’a pas travaillé sur le modèle originel, mais sur un modèle simplifié, linéarisé. Personne ne sait si ses travaux s’appliquent aussi au « vrai » modèle non linéaire. Yan est fasciné par ce problème, et il n’est pas le seul.

Yan Guo

On pourrait s’y attaquer, Clément et moi ? Pourquoi pas. Mais pour résoudre le problème, il faut d’abord savoir exactement quelle est la question ! En recherche mathématique, identifier clairement l’objectif est un premier pas crucial, et délicat.

Et quel que soit cet objectif, la seule chose dont nous sommes sûrs, c’est le point de départ : l’équation de Vlasov

qui détermine, avec une excellente précision, les propriétés statistiques des plasmas. Le mathématicien, comme la pauvre Dame de Shalott des légendes arthuriennes, ne peut regarder le monde directement, mais seulement à travers son reflet, mathématique en l’occurrence. C’est donc dans le monde des idées mathématiques, régi par la seule logique, que nous devrons traquer Landau…

Ni Clément ni moi n’avons jamais travaillé sur cette équation. Mais les équations sont à tout le monde, et nous allons retrousser nos manches.

*

Lev Davidovich Landau, Juif russe né en 1908, Prix Nobel en 1962, est l’un des plus grands physiciens du vingtième siècle. Persécuté par le régime soviétique, libéré de prison grâce au dévouement de ses collègues, il fut aussi un tyran de la physique théorique de son époque, et l’auteur avec Eugeny Lifshitz d’un cours magistral qui fait encore référence. Ses contributions fondamentales sont présentes dans tous les ouvrages de physique des plasmas : d’abord l’équation de Landau, petite sœur de l’équation de Boltzmann que j’ai étudiée pendant des années au cours de ma thèse ; et puis le célèbre amortissement Landau, qui suggère une stabilisation spontanée des plasmas, un retour vers l’équilibre sans augmentation d’entropie, à l’opposé des mécanismes qui régissent l’équation de Boltzmann.

Physique des gaz, physique de Boltzmann : l’entropie augmente, l’information se perd, la flèche du temps est à l’œuvre, on oublie l’état initial ; peu à peu la distribution statistique s’approche d’un état d’entropie maximale, aussi désordonné que possible.

Physique des plasmas, physique de Vlasov : l’entropie est constante, l’information se conserve, pas de flèche du temps, on se souvient toujours de l’état initial ; pas d’augmentation du désordre et aucune raison de s’approcher de quoi que ce soit en particulier.

Mais Landau a repris l’étude de Vlasov – ce Vlasov qu’il méprise et dont il n’hésite pas à affirmer que presque toutes les contributions sont fausses – et il a suggéré que les forces électriques s’atténuent spontanément au cours du temps, sans qu’il y ait augmentation d’entropie ni frottements de quelque nature que ce soit. Une hérésie ?

Le calcul mathématique de Landau, complexe et ingénieux, a convaincu la communauté scientifique, qui a donné à ce phénomène le nom d’amortissement Landau. Non sans que des voix incrédules s’élèvent, bien sûr.

Lev Landau

Chapitre 3

Lyon, le 2 avril 2008

La table basse installée dans le couloir est couverte de brouillons, et le tableau noir est envahi de petits dessins. Par la grande baie vitrée on aperçoit une sorte de gigantesque araignée noire cubiste haute sur pattes, le fameux laboratoire lyonnais P₄ où l’on fait des expériences sur les virus les plus dangereux du monde.

Mon invité, Freddy Bouchet, range ses brouillons et les fourre dans sa sacoche. Pendant une bonne heure, on a discuté de ses recherches, de simulations numériques sur les galaxies, et de la mystérieuse faculté qu’ont les étoiles de s’organiser spontanément dans des configurations stables.

Freddy Bouchet

Cette stabilisation n’est pas inscrite dans la loi de la gravitation universelle, découverte par Newton il y a 343 ans. Pourtant, quand on observe une nuée d’étoiles régies par cette loi de la gravitation, il semble bien que l’ensemble se stabilise après un temps assez grand. On l’observe bien dans de nombreux calculs effectués sur des ordinateurs puissants…

Alors, à partir de la loi de la gravitation universelle, peut-on déduire cette propriété de stabilisation ?

L’astrophysicien Lynden-Bell, qui y croyait dur comme… comme un astéroïde ferrique, baptisa ce phénomène relaxation violente. La belle oxymore !

– La relaxation violente, Cédric, c’est comme l’amortissement Landau. Sauf que l’amortissement Landau c’est en régime perturbatif, et la relaxation violente en régime fortement non linéaire.

Freddy a une double formation de mathématicien et de physicien, il a consacré une partie de sa vie à des problèmes comme celui-ci. Parmi les questions fondamentales qu’il a étudiées, il y en a une dont il est venu plus particulièrement m’entretenir aujourd’hui.

– Cédric, tu vois, quand on modélise les galaxies, bien sûr on remplace les étoiles, petits points dans l’univers, par un fluide, comme un gaz d’étoiles. On passe du discret au continu. Mais quelle est l’amplitude de l’erreur commise lors de cette approximation ? Comment est-ce que ça dépend du nombre d’étoiles ? Dans un gaz, il y a un milliard de milliards de particules, dans une galaxie il y en a seulement cent milliards. Est-ce que ça change beaucoup les choses ?

Mon interlocuteur a longuement discuté, questionné, montré des résultats, tracé des dessins, noté des références. On a évoqué le lien entre ses recherches et l’un de mes chevaux de bataille, la théorie du transport optimal, fondée par Monge. L’échange a été profitable et Freddy est satisfait. Pour ma part, je suis tout excité d’avoir vu l’amortissement Landau surgir à nouveau, quelques jours seulement après ma discussion avec Clément.

Pendant que Freddy prend congé et s’éloigne, mon voisin de bureau, qui jusque-là s’affairait en silence à classer des papiers, intervient. Ses longs cheveux gris, soigneusement coupés au carré, lui donnent un air gentiment contestataire.

– Cédric, tu sais, je voulais trop rien dire, mais les figures, là, sur le tableau, je les connaissais.

Conférencier plénier au dernier Congrès International des Mathématiciens, membre de l’Académie des sciences, souvent présenté – et sans doute à juste titre – comme « le meilleur conférencier du monde » en mathématique, Etienne Ghys est une institution à lui tout seul. Provincial militant, il s’est consacré depuis vingt ans à développer le laboratoire de mathématique de l’ENS Lyon, qu’il a contribué plus que tout autre à transformer en l’un des meilleurs centres de géométrie du monde. Aussi bougon que charismatique, Etienne a toujours son mot à dire sur tous les sujets.

Étienne Ghys

– Les figures qu’on a tracées avec Freddy, tu les connais ?

– Oui, celle-ci on la retrouve dans la théorie K.A.M. Et puis celle-ci aussi, je l’ai déjà vue…

– Tu as une bonne référence ?

– Oui, ben K.A.M. tu sais ça se trouve un peu partout : tu pars d’un système dynamique complètement intégrable, quasipériodique, tu perturbes un peu, il y a un problème de petits diviseurs qui détruit certaines trajectoires sur le long terme, mais tu as quand même la stabilité en probabilité.

– Oui, je connais, mais les figures ?

– Attends, je vais te trouver un bon livre là-dessus. Mais il y a plein de figures qu’on trouve dans les livres de cosmologie, qu’on a l’habitude de voir en théorie des systèmes dynamiques.

Très intéressant. Je vais me renseigner. Est-ce que ça va m’aider à comprendre ce qui est caché derrière la stabilisation ?

C’est ce que j’apprécie par-dessus tout, dans mon laboratoire si petit et si performant, la façon dont les sujets se mélangent dans les conversations, entre chercheurs d’horizons mathématiques divers, autour d’une machine à café ou dans les couloirs, sans craindre les barrières thématiques. Tant de nouvelles pistes à explorer !

Je n’ai pas la patience d’attendre qu’Etienne retrouve une référence pour moi dans sa vaste collection, alors je récupère ce que je peux dans ma propre bibliothèque : un traité d’Alinhac et Gérard, sur la méthode de Nash-Moser. J’ai déjà potassé cet ouvrage il y a quelques années, et je sais que la méthode de Nash-Moser est l’un des piliers de la théorie de Kolmogorov-Arnold-Moser, dite K.A.M., dont a parlé Etienne. Je sais aussi que derrière Nash-Moser il y a l’extraordinaire schéma d’approximation de Newton, ce schéma qui converge avec une vitesse inimaginable, en exponentielle d’exponentielle, et que Kolmogorov a su exploiter de manière si inventive !

Franchement je ne vois aucun lien entre toutes ces belles choses et mon problème d’amortissement Landau. Mais peut-être que l’intuition d’Etienne est la bonne ? Trêve de rêvasseries, je fourre le livre dans mon sac à dos déjà si lourd, et je file pour retrouver mes enfants à la sortie de l’école.

À peine dans le métro, je sors un manga de la poche de ma veste, et pendant un court et précieux instant, le monde extérieur disparaît pour laisser place à un univers empli de chirurgiens surnaturellement habiles au visage rapiécé, de yakuzas endurcis donnant leur vie pour leurs petites filles aux grands yeux de biche, de monstres cruels se changeant soudain en héros tragiques, de petits garçons aux boucles blondes se transformant peu à peu en monstres cruels. Un monde sceptique et tendre, passionné et désabusé, sans préjugé ni manichéisme, qui dégouline d’émotion, frappe au cœur et fait perler les larmes aux yeux du lecteur prêt à jouer le jeu de l’ingénu.

Station Hôtel de Ville, il est temps de sortir. Le temps du trajet, le conte a coulé dans mon cerveau et dans mes veines comme un petit torrent d’encre et de papier, je suis nettoyé de l’intérieur.

Toutes les pensées mathématiques se sont aussi mises en mode pause. Mangas et mathématiques ne se mélangent pas. Peut-être plus tard, dans les rêves ? Et si Landau, après le terrible accident qui aurait dû lui coûter la vie, avait été opéré par Black Jack ? Sûr que le sulfureux chirurgien l’aurait pleinement ressuscité, et que Landau aurait pu reprendre son œuvre de surhomme.

Tiens, je n’ai plus repensé à la remarque d’Etienne et à cette histoire de théorie de Kolmogorov-Arnold-Moser. Kolmogorov et Landau… quel rapport ? Alors que je pose le pied hors du métro, le mystère recommence à tourner dans mon cerveau. S’il y a un lien, je le trouverai.

En fait, à cette époque je n’ai pas de moyen de deviner qu’il me faudra plus d’un an avant de le trouver, ce lien. Ni de comprendre l’ironie invraisemblable : la figure qui a fait réagir Etienne, qui lui a fait penser à Kolmogorov, c’était la figure qui illustrait une situation où le lien avec Kolmogorov est brisé.

Ce jour-là, Étienne a eu une bonne intuition, pour une mauvaise raison. Un peu comme si Darwin avait deviné l’évolution des espèces en comparant les chauves-souris et les ptérodactyles, convaincu à tort d’un lien étroit entre les deux.

Dix jours après le tour inattendu pris par ma séance de travail avec Clément, c’est la deuxième coïncidence miraculeuse qui surgit fort à propos sur mon chemin.

Encore faut-il l’exploiter.

*

« Ce physicien russe, comment s’appelle-t-il ? On l’a relevé mort après un accident de voiture comme mot. Il était médicalement mort. J’ai lu le récit de ce cas extraordinaire. La science soviétique a mobilisé toutes ses ressources pour sauver un chercheur irremplaçable. On a même fait appel à des médecins étrangers. On a ranimé ce mort. Pendant des semaines les plus grands chirurgiens du monde se sont relayés à son chevet. Quatre fois l’homme est mort. Quatre fois on lui a insufflé une vie artificielle, j’ai oublié les détails mais je me souviens que la lecture était fascinante de cette lutte contre une inadmissible fatalité. Sa tombe était ouverte, on l’en a arraché de force. Il a repris son poste à l’université de Moscou. »

Paul Guimard, Les Choses de la vie

*

La loi de la gravitation universelle de Newton énonce que deux corps quelconques s’attirent avec une force proportionnelle au produit de leurs masses, et inversement proportionnelle au carré de leur éloignement :

Cette loi de gravitation classique rend bien compte du mouvement des étoiles dans les galaxies. Mais même si la loi de Newton est simple, le nombre immense d’étoiles dans une galaxie rend la théorie difficile. Après tout, ce n’est pas parce que l’on comprend le fonctionnement de chaque atome pris séparément que l’on comprend le fonctionnement d’un être humain…

Quelques années après la loi de la gravitation, Newton faisait une autre découverte extraordinaire : le schéma d’approximation de Newton, qui permet de calculer les solutions d’une équation quelconque

Partant d’une solution approchée x₀, on remplace la fonction F par sa tangente Tx0 au point (x₀, F(x₀)) (en termes techniques, on linéarise l’équation autour de x₀ et on résout l’équation approchée Tx0 (x) = 0. Cela donne une nouvelle solution approchée x₁, et on peut recommencer : on remplace F par sa tangente Tx1 en x₁, on définit x₂ comme la solution de Tx₁ (x₂) = 0, et ainsi de suite. En notation mathématique précise, la relation qui lie xn à xn₊₁ est

Les approximations successives x₁, x₂, x₃,… ainsi obtenues sont incroyablement bonnes : elles s’approchent de la « vraie » solution avec une rapidité phénoménale. Il suffit souvent de quatre ou cinq essais pour obtenir une précision supérieure à celle de n’importe quelle calculatrice moderne. Les Babyloniens, dit-on, utilisaient déjà cette méthode pour extraire les racines carrées il y a quatre mille ans ; Newton découvrit que ce procédé s’appliquait à des équations quelconques, pas seulement au calcul des racines carrées.

Bien plus tard, la convergence surnaturellement rapide du schéma de Newton a été utilisée pour démontrer certains des résultats théoriques les plus marquants du vingtième siècle : le théorème de stabilité de Kolmogorov, le théorème de plongement isométrique de Nash… À lui seul, ce schéma diabolique transcende la distinction artificielle entre mathématique pure et mathématique appliquée.

Isaac Newton

*

Le mathématicien russe Andreï Kolmogorov est une figure de légende dans l’histoire des sciences du vingtième siècle. C’est lui qui fonde la théorie moderne des probabilités, dans les années 1930. Sa théorie de la turbulence des fluides, élaborée en 1941, fait toujours référence, que ce soit pour la corroborer ou pour l’attaquer. Sa théorie de la complexité préfigure le développement de l’intelligence artificielle.

En 1934, au Congrès International des Mathématiciens, il propose un énoncé stupéfiant. Alors que Poincaré a convaincu ses pairs, voici 70 ans déjà, que le système solaire présente une instabilité intrinsèque – qu’une incertitude sur la position des planètes, si minime soit-elle, rend impossible toute prédiction de la position de ces planètes dans un futur lointain –, Kolmogorov argumente, en mariant avec une audace stupéfiante les probabilités et les équations déterministes de la mécanique, que le système solaire est probablement stable. L’instabilité est possible, comme l’a vu Poincaré, mais d’après Kolmogorov elle ne survient que rarement.

Le théorème de Kolmogorov montre que si l’on part d’un système mécanique exactement soluble (le système solaire tel que l’imaginait Kepler, avec des planètes tournant sagement et pour toujours autour du Soleil, selon des orbites elliptiques immuables) et qu’on le perturbe un tout petit peu (en tenant compte des forces d’attraction gravitationnelles entre planètes, que Kepler négligeait), alors le système ainsi obtenu reste stable pour la grande majorité des conditions initiales.

Le style elliptique de Kolmogorov et la complexité de son argument font douter ses contemporains. Avec des approches différentes, le Russe Vladimir Arnold et l’Allemand Jürgen Moser parviennent à reconstituer des preuves complètes, le premier de l’énoncé originel de Kolmogorov, le second d’une variante plus générale. C’est la naissance de la théorie K.A.M., qui a donné naissance à quelques-unes des plus puissantes et surprenantes pages de la mécanique classique.

Andreï Kolmogorov

La beauté singulière de cette théorie a emporté l’adhésion des scientifiques, et pendant trois décennies on croira à un système solaire stable, même si les conditions techniques exigées par la théorie de Kolmogorov ne sont pas exactement remplies dans la réalité. Il faudra attendre les travaux de Jacques Laskar à la fin des années 1980 pour que l’opinion se retourne encore. Mais ceci est une autre histoire.

Chapitre 4

Chaillol, le 15 avril 2008

L’audience retient son souffle, le professeur donne le signal, et tous les enfants font danser leur archet sur les cordes. Méthode Suzuki oblige, les parents assistent à la leçon collective. De toute façon, dans ce grand chalet entièrement occupé par le stage de musique, que faire d’autre ?

Les parents répriment les grimaces quand les notes se font trop grinçantes. Ceux qui ont accepté hier de se ridiculiser en jouant des instruments de leurs enfants, pour le plus grand plaisir de ces derniers, savent combien il est difficile de sortir un son juste de ces instruments diaboliques ! Et puis, aujourd’hui il y a une vraie belle ambiance de travail dans la bonne humeur, les enfants sont heureux.

Méthode Suzuki ou pas, ce qui compte par-dessus tout, c’est le don pédagogique du professeur, et celui qui enseigne le violoncelle à mon fils est tout simplement extraordinaire.

Assis dans les premiers rangs, je dévore Galactic Dynamics, le best-seller de Binney & Tremaine, avec l’enthousiasme d’un petit enfant découvrant un nouveau monde. Je n’aurais pas cru que l’équation de Vlasov était si importante en astrophysique. Boltzmann est toujours la plus belle équation du monde, mais Vlasov c’est pas si mal !

Non seulement l’équation de Vlasov gagne en prestige dans ma tête, mais également les étoiles gagnent en attrait.

Les galaxies spiralées, les amas globulaires, tout ça, je trouvais assez joli, oui oui, pas mal… Mais maintenant que j’ai une clé mathématique pour y pénétrer c’est tout bonnement passionnant.

Depuis notre séance de travail avec Clément, j’ai refait les calculs, je commence à avoir mes idées. Je marmonne.

– Comprends pas, ils disent que l’amortissement Landau c’est très différent du mélange des phases… Mais moi je pense que c’est pareil, au fond. Hrmrmrm.

Petit coup d’œil aux chères têtes blondes. Tout va bien.

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Portrait de Catherine Ribeiro : © APIS.

Portrait de Gribouille : © photo de Jean-Pierre Leloir.

« Le marin et la rose », paroles de Jean Huard/musique de Claude Pingault :

© 1960, Les Editions Transatlantiques.

Extrait de l’Oiseau soleil in Des choses fragiles, Neil Gaiman, traduction de Michel Pagel : © Le Diable Vauvert, 2009.

Photo de Bande : © Hervé Thouroude, prise dans l’Atelier d’Expérimentation Musicale de Patrice Moullet

ISBN : 978-2-246-79883-5

Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays.

© Éditions Grasset & Fasquelle, 2013.